抓分练7 分式方程-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（人教版 河南专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 7　 分式方程 一、选择题(每题 3 分,共 15 分) 1. 解分式方程 x 2x-1 + 2 1-2x = 3 时,去分母化为 一元一次方程,正确的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. x+2 = 3 B. x-2 = 3 C. x+2 = 3(2x-1) D. x-2 = 3(2x-1) 2. 若关于 x 的分式方程3x -2 x+1 = m x+1 +1 的解为 负数,则 m 的值可能是(　 　 ) A. -2 B. -3 C. -4 D. -5 3. “孔子周游列国”是流传很广的故事. 有一 次孔子和学生们到距离他们住的驿站 15 公 里的书院参观,学生们步行出发,1 小时后, 孔子乘牛车出发,牛车的速度是学生们步 行的速度的 1. 5 倍,且孔子和学生们同时到 达该 书 院. 设 学 生 们 步 行 的 速 度 为 x 公里 /时,则可列方程为(　 　 ) A. 15 x = 15 1. 5x +1 B. 15 x +1 = 15 1. 5x C. 15 x-1 = 15 1. 5x D. 15 x+1 = 15 1. 5x 4. 若关于 x 的分式方程 kx x-1 -2k-1 1-x = 2 无解,则 k 的值为(　 　 ) A. k= - 1 3 B. k= 1 C. k= 1 3 或 2 D. k= 0 5. 下表是学习分式方程应用时,老师板书的 问题和两名同学所列的方程. 甲、乙两地相距 1 400 km,乘高铁列车从甲 地到乙地比乘特快列 车少用 9 h,已知高铁 列车的平均行驶速度 是特快列车的 2. 8 倍. 小明: 1 400 x -1 400 2. 8x = 9 小红: 1 400 y = 2. 8×1 400 y+9 下列判断正确的是(　 　 ) A. 小明设的未知数是高铁列车的平均速度 B. 小红设的未知数是乘特快列车从甲地到 乙地的时间 C. 高铁列车的平均速度是 100 km / h D. 特快列车从甲地到乙地的时间是 14 h 二、填空题(每题 3 分,共 12 分) 6. 请根据所给方程 6 x + 6 x+5 = 1,联系生活实际, 编写一道应用题(要求题目完整,题意清 楚,不要求解方程) 　 . 7. 在解分式方程: x -1 x2 -4 +2 = 1 x2 +2x 的过程中,去 分母 时, 需 方 程 两 边 都 乘 以 最 简 公 分 母　 　 　 　 . 8. 某汽车测评机构对 A 款电动汽车与 B 款燃 油汽车进行对比调查,发现 A 款电动汽车 平均每公里充电费用比 B 款燃油车平均每 公里燃油费用少 0. 6 元. 当充电费和燃油费 用均为 200 元时. A 款电动汽车的行驶里程 是 B 款燃油车的 4 倍. 则 A 款电动汽车平 均每公里充电费用为　 　 　 　 元. 9. 若关于 x 的一元一次不等式组 x-2 3 <x+1 x+a≤3 ì î í ï ï ï ï 至 少有 2 个整数解,且关于 y 的分式方程y -a y-2 + 1 2-y = -1 的解是正整数,则所有满足条件 的整数 a 的值之和是　 　 　 　 . 31 情境期末·ZBR·八年级数学上 三、解答题(共 28 分) 10. (8 分)解分式方程: (1) x 2x-5 + 5 5-2x = 1; (2)x +1 x-1 -1 = 4 x2 -1 ; (3) 4 3x+3 = 1- 1 x+1 ; (4) 1 x+3 - 2 3-x = 12 x2 -9 . 11. (9 分)某服装店用 4 500 元购进一批衬 衫,很快售完,服装店老板又用 2 100 元购 进第二批该款式的衬衫,进货量是第一次 的一半,但进价每件比第一批降低了 10 元. (1)这两次各购进这种衬衫多少件? (2)若第一批衬衫的售价是 200 元 / 件. 老 板想让这两批衬衫售完后的总利润为 1 950 元,则第二批衬衫每件售价多少元? 12. (11 分)我们把形如 x+ab x = a+b(a、b 不为 零),且两个解分别为 x1 = a,x2 = b 的方程 称为“十字分式方程” . 例如:x+ 5 x = 6 为“十字分式方程”,可化为 x+1 ×5 x = 1+5,∴ x1 = 1,x2 = 5. 再如:x+ 6 x = -5 为“十字分式方程”,可化 为 x+ ( -2) ×( -3) x = ( - 2) + ( - 3),∴ x1 = -2,x2 = -3. 应用上面的结论,解答下列问题: (1)若 x+ 8 x = -6 为“十字分式方程”,则 x1 = 　 　 　 　 ,x2 = 　 　 　 　 ; (2)请利用上述方法求“十字分式方程” x+ 12 x-2 = -6 的解; (3)若“十字分式方程” x- 3 x = - 6 的两个 解分别为 x1 =m,x2 =n,求 n m +m n 的值. 41 14. 解:(1)当 x= 1 时,P-Q= x+2- 8x x+2 = 1+2- 8 3 = 1 3 ; (2)∵ P-Q= x+2- 8x x+2 = (x+2) 2 -8x x+2 = (x-2) 2 x+2 ,∵ x>0,∴ (x-2) 2 x+2 >0,当 x= 2 时,(x -2) 2 x+2 = 0,∴ 当 x>0 且 x≠2 时, P>Q;当 x= 2 时,P=Q; (3)∵ y= 4 P - Q 12 ,P = x+ 2,Q = 8x x+2 ,∴ y = 4 P - Q 12 = 4 x+2 - 8x 12(x+2) = 12-2x 3(x+2) = -2(x+2)+16 3(x+2) = - 2 3 + 16 3(x+2) ,∵ x、y 均为非零整数,∴ x= -3 时,y = -6,xy = 18;x = -6 时,y = -2,xy= 12;x= -18 时,y= -1,xy = 18;综上所述:xy 的值 为 18 或 12. 15. 解:(1) a b -a+1 b+1 = a(b+1) b(b+1) -b(a+1) b(b+1) = a-b b2 +b ,∵ b>a> 0,∴ b2 +b>0,a-b<0,∴ a -b b2 +b <0,∴ 说明所得分式a +1 b+1 的值是 增大了; (2) ①甲所购饲料的平均单价是: 800m +800n 800×2 = m+n 2 (元 /千克);乙所购饲料的平均单价是: 800 ×2 800 m +800 n = 2mn m+n (元 /千克); ②m +n 2 -2mn m+n = (m+n) 2 2(m+n) - 4mn 2(m+n) = (m-n) 2 2(m+n) ,∵ m,n 是正 数,且 m≠n,∴ (m -n) 2 2(m+n) >0,∴ m +n 2 > 2mn m+n ,∴ 乙所购饲料 的平均单价低. 基础知识抓分练 7　 分式方程 1. D　 【解析】∵ x 2x-1 + 2 1-2x = 3,∴ x 2x-1 - 2 2x-1 = 3,方程两 边同时乘(2x-1),可得:x-2 = 3(2x-1) . 故选 D. 2. C　 【解析】去分母,得:3x- 2 = m+x+ 1,移项,合并同类 项,得:2x= 3+m,系数化 1,得:x = 3 +m 2 ,∵ 该分式方程的 解为负数,且分式方程有意义,∴ 3+m 2 <0 3+m 2 ≠-1 ì î í ï ï ïï ,∴ m<-3 且 m≠-5,故选 C. 3. A　 4. C 5. D　 【解析】设特快列车的平均行驶速度为 x km / h,由题 意得:1400 x -1400 2. 8x = 9. 解得:x= 100,经检验 x = 100 是原分 式方程的解,设高铁列车从甲地到乙地的时间为 y h,由 题意得:1400 y = 2. 8×1400 y+9 ,解得:y= 5,经检验 y= 5 是原分 式方程的解,则特快列车从甲地到乙地的时间是 5+ 9 = 14(h),故选项 A、B、C 错误. 故选 D. 6. 一项工作,甲乙合作需 6 天完成,甲独做比乙独做多用 5 天,乙独做需几天? (答案不唯一) 7. x(x+2)(x-2) 8. 0. 2　 【解析】设 A 款电动汽车平均每公里充电费用为 x 元,则 B 款燃油车平均每公里燃油费用为(x+0. 6)元,根 据题意得:200 x = 200 x+0. 6 ×4,解得 x= 0. 2,经检验,x= 0. 2 是 所列方程的解,且符合题意,∴ A 款电动汽车平均每公里 充电费用为 0. 2 元. 9. 2　 【解析】 x-2 3 <x+1① x+a≤3② { ,解不等式①得:x>- 52 ,解不等 式②得:x≤3-a,则根据题意可知,不等式组的解集为: - 5 2 < x ≤ 3 - a, ∵ 关 于 x 的 一 元 一 次 不 等 式 组 x-3 3 <x+1 x+a≤3 { 至少有 2 个整数解,则该不等式的整数解至少 包含:-2,-1,∴ 3-a≥-1,解得:a≤4,分式方程y -a y-2 + 1 2-y = -1 去分母得:y-a-1 = 2-y,解得:y=a +3 2 ,∵ a≤4,∴ y = a+3 2 ≤ 7 2 ,∵ y 是正整数,且 y≠2,∴ y = 1 或 y = 3,∴ a = -1 或 a= 3,∴ 满足条件的整数 a 的和为-1+3 = 2. 10. 解:(1)原方程化为 x 2x-5 - 5 2x-5 = 1. 方程两边同时乘上 (2x-5)得:x-5 = 2x- 5. 移项,合并同类项,得:x = 0. 检 验:将 x= 0 代入 2x-5≠0,∴ x= 0 是原方程的解; (2)x +1 x-1 -1 = 4 x2 -1 ,两边乘最简公分母得:(x+1) 2 -(x2 - 1)= 4,展开得:x2 +2x+1-x2 +1 = 4. 合并同类项得:2x+2 = 4,解得 x= 1. 经检验,x = 1 时,x- 1 = 0. ∴ 原分式方程 无解; (3)两边同时乘以 3(x+1),去分母得:4 = 3x+3-3,解得 x= 4 3 ,检验:把 x= 4 3 代入得 3(x+ 1) = 7≠0,所以分式 方程的解为 x= 4 3 ; (4)两边同时乘以(x+3) (x-3),去分母得:x-3+2(x+ 3)= 12,解得 x= 3,检验:把 x = 3 代入得(x+3) (x-3)= 0,所以分式方程无解. 11. 解:(1)设第二次购进衬衫 x 件,则第一次购进衬衫 2x 件,依题意,得4 500 2x -2 100 x = 10,解得 x = 15. 经检验,x = 15 是所列分式方程的解,且符合题意,∴ 2x= 30. 故第一 次购进衬衫 30 件,第二次购进衬衫 15 件; (2)第一次购进衬衫的单价为 4 500÷30 = 150(元 /件), 第二次购进衬衫的单价为 150- 10 = 140(元 /件) . 设第 二批衬衫每件售价为 y 元 /件,依题意,得(200- 150) × 30+(y-140)×15 = 1 950,解得 y = 170,故第二批衬衫每 件售价为 170 元. 12. 解:(1)-2　 -4 (2)∵ x+12 x = -6 为“十字分式方程”,∴ x-2+ 12 x-2 = -8, ∴ x-2+( -2)×(-6) x-2 = (-2)+(-6),∴ x-2 = -2 或 x-2 = -6,∴ x1 = 0,x2 = -4; (3)∵ “十字分式方程”x- 3 x = -6 的两个解分别为 x1 = m,x2 =n,∴ x1x2 =mn= -3,x1 +x2 =m+n = -6,∴ n m + m n = m2 +n2 mm = (m+n) 2 -2mm mn = 36+6 -3 = -14. 追梦专项一　 大题抢分练 1. 解:(1)原式=ab(a2 +2ab+b2 )= ab(a+b) 2 ; (2)原式= (m-1)-n2(m-1)= (m-1)(1-n2 )= (m-1)(1 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·八年级数学上　 第 5 页