抓分练6 分式及分式的运算-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（人教版 河南专用）

选项 2022 不是奇数也不是 4 的倍数,不是智慧数,符合 题意. 故选 B. 4. B　 【解析】设共用长方形纸片 C 为 m 张,则:拼成的大正 方形的面积为 a2 +mab+ 4b2,∴ a2 +mab+ 4b2 为完全平方 式,∴ m= 4 或 m = -4(舍去),∴ 共用长方形纸片 C 为 4 张. 故选 B. 5. C　 【解析】∵ x3 -xy2 = x(x2 -y2)= x( x+y) ( x-y),∵ x = 50,y= 20,则各个因式的值为 x= 50,x+y= 70,x-y= 30,∴ 产生的密码不可能是 307040. 故选 C. 6. C　 【解析】由平移法可得,种花土地总面积是以(a-2b) 为边长的正方形,∴ 种花土地总面积 = (a-2b) 2;∵ 种花 土地的面积等于大正方形的面积减去阴影部分的面积, 即种花土地总面积为 a2 -(4ab-4b2)= a2 -4ab+4b2,∴ ① ④正确. 故选 C. 7. ±18 8. (15a+50)m2 　 【解析】由题意得:(a+10)(a+5)-a2 = a2 + 5a+10a+50-a2 =(15a+50)m2,∴ 第二块比第一块的面积 多了(15a+50)m2 . 9. 1 2 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】根据多项式乘多项式进行计算,根据题意令 x2 项的系数为 0,且常数项为-6,得出 m,n 的值,进而即 可求解. 10. (2x+3y+3)(2x+3y-3) 11. 解:(1)54 ÷52 ×5-1 = 54-2 ×5-1 = 25× 1 5 = 5; (2) ( 4a3b - 6a2b2 + 12ab3 ) ÷ ( 2ab) = ( 4a3b) ÷ ( 2ab) - (6a2b2 )÷(2ab)+(12ab3 )÷(2ab)= 2a2 -3ab+6b2 . 12. 解:(1)4　 【解析】设 x2 -x-12 =(x+3)(x-a),所以 x2 -x -12 = x2 +(3-a)x-3a,所以-3a= -12,解得 a= 4; (2)设另一个因式为(x+n),则 2x2 -bx- 6 = (2x+ 3) (x+ n),2x2 -bx-6 = 2x2 +(2n+3)x+3n,∴ 3n = -6,2n+3 = -b, 解得 n= -2,b= 1,所以另一个因式为 x-2,b 的值为 1. 13. 解:(1)设 3-x= p,x-2 = q,则(3-x)(x-2)= pq = -1,(3- x)+(x-2)= p+q= 1,∴ (3-x) 2 +(x-2) 2 = p2 +q2 = (p+q) 2 -2pq= 1-2×(-1)= 3; (2)- 9 2 　 【解析】设 n- 2 024 = r,2 023 -n = s,则( n- 2 024) 2 +(2 023-n) 2 = r2 +s2 = 10,(n- 2 024) +(2 023- n)= r+s= -1,∵ r2 +s2 =( r+s) 2 -2rs,∴ (n-2 024)(2 023- n)= rs=( r +s) 2 -( r2 +s2) 2 = 1-10 2 = - 9 2 ; (3)由题意可知:BP=AB-AP = a-4,DR =CD-CR = a-2, ∴ (a-4)-(a- 2) = - 2. 图中阴影部分的面积为(a- 4) (a-2)= 4,则正方形 PBEF 和正方形 DMNR 的面积和 为:(a-4) 2 +(a-2) 2 = [(a-4) -(a-2)] 2 +2(a-4) (a- 2)= 4+2×4 = 12. 基础知识抓分练 6　 分式及分式的运算 1. B　 2. B 3. C 　 【解析】将分式3x +y xy 中的 x 和 y 都扩大 2 倍可得 3·2x+2y 2x·2y = 1 2 ·3x +y xy ,∴ 原分式缩小 2 倍. 故选 C. 4. D 5. C　 【解析】根据题意得 P = n m2 -1 ,Q = n (m-1) 2 ,∴ P-Q = n m2 -1 - n (m-1) 2 = n(m-1)-n(m+1) (m+1)(m-1) 2 = n· -2 (m+1)(m-1) 2 , ∵ m>1,∴ (m+1)(m-1) 2 >0,∴ P-Q<0,即 P<Q,所以选项 C 正确;∵ P Q = n m2 -1 ÷ n (m-1) 2 = n (m+1)(m-1) ·(m -1) 2 n = m-1 m+1 ,∴ P=m -1 m+1 Q,所以选项 D 错误. 故选 C. 6. D　 【解析】由 a+b+c= 2,两边平方,得 a2 +b2 +c2 +2ab+2bc +2ac= 4,将已知代入,得 ab+bc+ac= 1 2 ;由 a+b+c= 2 得 c -1 = 1-a-b,∴ ab+c-1 =ab+1-a-b = (a-1)(b-1),同理, 得 bc+a-1 =(b-1)(c-1),ca+b-1 =(c-1)(a-1),∴ 原式 = 1 (a-1)(b-1) + 1 (b-1)(c-1) + 1 (c-1)(a-1) = c-1+a-1+b-1 (a-1)(b-1)(c-1) = -1 (ab-a-b+1)(c-1) = -1 abc-ac-bc+c-ab+a+b-1 = -1 1- 1 2 +2-1 = - 2 3 . 故选 D. 7. A 　 【解析】 ∵ P - Q = ( x - 1) - 1 x-1 = (x-1) 2 -1 x-1 = x2 -2x+1-1 x-1 = x 2 -2x x-1 = x(x-2) x-1 ,∴ 当 2>x>1 时,x-1>0,x> 0,x-2<0,则x(x -2) x-1 <0,即 P<Q,∴ 结论①不对;当 x< 0 时,x-1<0,x- 2< 0,则x(x -2) x-1 < 0,即 P<Q,∴ 结论②对. 故选 A. 8. x x2 +1 (答案不唯一) 9. a +b b 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【方法点拨】根据分式的除法法则:分式除以分式,把除式 的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘进行计算即可, 注意结果要化到最简. 10. x2 +x　 【解析】由题意得 x 2 △ = x x2 -1 ÷ 1 x-1 = x x2 -1 ·(x-1) = x x+1 ,∴ △ = x 2(x+1) x = x2 +x. 11. 解:( b a - a b )÷a +b ab = b 2 -a2 ab · ab a+b = (b+a)(b-a) ab · ab a+b = b -a,当 a= 2024,b= 2025 时,原式= 2025-2024 = 1. 12. 解:(1)P= [(a +2)(a-2) (a-2) 2 - 1 a-2 ]·a +2 a+1 = (a +2 a-2 - 1 a-2 ) · a+2 a+1 =a+1 a-2 ·a +2 a+1 =a+2 a-2 ; (2)∵ DE 垂直平分线段 AC,∴ EA = EC,∴ △ECB 的周 长=EC+EB+BC=EA+EB+BC = AB+BC = 7+5 = 12,∴ a = 12,∴ P= 12 +2 12-2 = 7 5 . 13. 解:(1)c= a b -a+b,∴ c= -3 5 -(-3)+5 = - 3 5 +3+5 = 7 2 5 , ∴ a,b 的“传承数”c 的值为 7 2 5 ; (2)∵ x2 + 1 x2 = 2,即(x+ 1 x ) 2 -2x· 1 x = 2,∴ (x+ 1 x ) 2 = 4,x+ 1 x = ±2,∵ c 是 a,b 的“传承数”,∴ c= a b -a+b = 1 x -1+x= x+ 1 x -1. ∵ x+ 1 x = 2 或-2,∴ x+ 1 x -1 = 1 或-3, ∴ a,b 的“传承数”为 1 或-3. 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·八年级数学上　 第 4 页 14. 解:(1)当 x= 1 时,P-Q= x+2- 8x x+2 = 1+2- 8 3 = 1 3 ; (2)∵ P-Q= x+2- 8x x+2 = (x+2) 2 -8x x+2 = (x-2) 2 x+2 ,∵ x>0,∴ (x-2) 2 x+2 >0,当 x= 2 时,(x -2) 2 x+2 = 0,∴ 当 x>0 且 x≠2 时, P>Q;当 x= 2 时,P=Q; (3)∵ y= 4 P - Q 12 ,P = x+ 2,Q = 8x x+2 ,∴ y = 4 P - Q 12 = 4 x+2 - 8x 12(x+2) = 12-2x 3(x+2) = -2(x+2)+16 3(x+2) = - 2 3 + 16 3(x+2) ,∵ x、y 均为非零整数,∴ x= -3 时,y = -6,xy = 18;x = -6 时,y = -2,xy= 12;x= -18 时,y= -1,xy = 18;综上所述:xy 的值 为 18 或 12. 15. 解:(1) a b -a+1 b+1 = a(b+1) b(b+1) -b(a+1) b(b+1) = a-b b2 +b ,∵ b>a> 0,∴ b2 +b>0,a-b<0,∴ a -b b2 +b <0,∴ 说明所得分式a +1 b+1 的值是 增大了; (2) ①甲所购饲料的平均单价是: 800m +800n 800×2 = m+n 2 (元 /千克);乙所购饲料的平均单价是: 800 ×2 800 m +800 n = 2mn m+n (元 /千克); ②m +n 2 -2mn m+n = (m+n) 2 2(m+n) - 4mn 2(m+n) = (m-n) 2 2(m+n) ,∵ m,n 是正 数,且 m≠n,∴ (m -n) 2 2(m+n) >0,∴ m +n 2 > 2mn m+n ,∴ 乙所购饲料 的平均单价低. 基础知识抓分练 7　 分式方程 1. D　 【解析】∵ x 2x-1 + 2 1-2x = 3,∴ x 2x-1 - 2 2x-1 = 3,方程两 边同时乘(2x-1),可得:x-2 = 3(2x-1) . 故选 D. 2. C　 【解析】去分母,得:3x- 2 = m+x+ 1,移项,合并同类 项,得:2x= 3+m,系数化 1,得:x = 3 +m 2 ,∵ 该分式方程的 解为负数,且分式方程有意义,∴ 3+m 2 <0 3+m 2 ≠-1 ì î í ï ï ïï ,∴ m<-3 且 m≠-5,故选 C. 3. A　 4. C 5. D　 【解析】设特快列车的平均行驶速度为 x km / h,由题 意得:1400 x -1400 2. 8x = 9. 解得:x= 100,经检验 x = 100 是原分 式方程的解,设高铁列车从甲地到乙地的时间为 y h,由 题意得:1400 y = 2. 8×1400 y+9 ,解得:y= 5,经检验 y= 5 是原分 式方程的解,则特快列车从甲地到乙地的时间是 5+ 9 = 14(h),故选项 A、B、C 错误. 故选 D. 6. 一项工作,甲乙合作需 6 天完成,甲独做比乙独做多用 5 天,乙独做需几天? (答案不唯一) 7. x(x+2)(x-2) 8. 0. 2　 【解析】设 A 款电动汽车平均每公里充电费用为 x 元,则 B 款燃油车平均每公里燃油费用为(x+0. 6)元,根 据题意得:200 x = 200 x+0. 6 ×4,解得 x= 0. 2,经检验,x= 0. 2 是 所列方程的解,且符合题意,∴ A 款电动汽车平均每公里 充电费用为 0. 2 元. 9. 2　 【解析】 x-2 3 <x+1① x+a≤3② { ,解不等式①得:x>- 52 ,解不等 式②得:x≤3-a,则根据题意可知,不等式组的解集为: - 5 2 < x ≤ 3 - a, ∵ 关 于 x 的 一 元 一 次 不 等 式 组 x-3 3 <x+1 x+a≤3 { 至少有 2 个整数解,则该不等式的整数解至少 包含:-2,-1,∴ 3-a≥-1,解得:a≤4,分式方程y -a y-2 + 1 2-y = -1 去分母得:y-a-1 = 2-y,解得:y=a +3 2 ,∵ a≤4,∴ y = a+3 2 ≤ 7 2 ,∵ y 是正整数,且 y≠2,∴ y = 1 或 y = 3,∴ a = -1 或 a= 3,∴ 满足条件的整数 a 的和为-1+3 = 2. 10. 解:(1)原方程化为 x 2x-5 - 5 2x-5 = 1. 方程两边同时乘上 (2x-5)得:x-5 = 2x- 5. 移项,合并同类项,得:x = 0. 检 验:将 x= 0 代入 2x-5≠0,∴ x= 0 是原方程的解; (2)x +1 x-1 -1 = 4 x2 -1 ,两边乘最简公分母得:(x+1) 2 -(x2 - 1)= 4,展开得:x2 +2x+1-x2 +1 = 4. 合并同类项得:2x+2 = 4,解得 x= 1. 经检验,x = 1 时,x- 1 = 0. ∴ 原分式方程 无解; (3)两边同时乘以 3(x+1),去分母得:4 = 3x+3-3,解得 x= 4 3 ,检验:把 x= 4 3 代入得 3(x+ 1) = 7≠0,所以分式 方程的解为 x= 4 3 ; (4)两边同时乘以(x+3) (x-3),去分母得:x-3+2(x+ 3)= 12,解得 x= 3,检验:把 x = 3 代入得(x+3) (x-3)= 0,所以分式方程无解. 11. 解:(1)设第二次购进衬衫 x 件,则第一次购进衬衫 2x 件,依题意,得4 500 2x -2 100 x = 10,解得 x = 15. 经检验,x = 15 是所列分式方程的解,且符合题意,∴ 2x= 30. 故第一 次购进衬衫 30 件,第二次购进衬衫 15 件; (2)第一次购进衬衫的单价为 4 500÷30 = 150(元 /件), 第二次购进衬衫的单价为 150- 10 = 140(元 /件) . 设第 二批衬衫每件售价为 y 元 /件,依题意,得(200- 150) × 30+(y-140)×15 = 1 950,解得 y = 170,故第二批衬衫每 件售价为 170 元. 12. 解:(1)-2　 -4 (2)∵ x+12 x = -6 为“十字分式方程”,∴ x-2+ 12 x-2 = -8, ∴ x-2+( -2)×(-6) x-2 = (-2)+(-6),∴ x-2 = -2 或 x-2 = -6,∴ x1 = 0,x2 = -4; (3)∵ “十字分式方程”x- 3 x = -6 的两个解分别为 x1 = m,x2 =n,∴ x1x2 =mn= -3,x1 +x2 =m+n = -6,∴ n m + m n = m2 +n2 mm = (m+n) 2 -2mm mn = 36+6 -3 = -14. 追梦专项一　 大题抢分练 1. 解:(1)原式=ab(a2 +2ab+b2 )= ab(a+b) 2 ; (2)原式= (m-1)-n2(m-1)= (m-1)(1-n2 )= (m-1)(1 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·八年级数学上　 第 5 页 追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 6　 分式及分式的运算 一、选择题(每题 3 分,共 21 分) 1. 下列代数式中,属于分式的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. x 2 B. 1 x+2 C. 1 2 (x+y) D. 1 2 x2 + 1 2 x 2. 石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性, 在多个领域具有重要的应用前景. 石墨烯 中 每 两 个 相 邻 碳 原 子 间 的 键 长 为 0. 000 000 000 142 米,此键长用科学记数 法表示为(　 　 ) A. 1. 42×10-9 B. 1. 42×10-10 C. 0. 142×10-9 D. 1. 42×10-11 3. 若把分式3x +y xy 中的 x 和 y 都扩大 2 倍,那么 分式的值(　 　 ) A. 扩大 2 倍 B. 不变 C. 缩小 2 倍 D. 缩小 4 倍 4. 下列计算正确的是(　 　 ) A. 2 x - 1 y = 1 xy B. 1 x + 1 x = 1 2x C. x y -x+1 y = 1 3y D. 1 x-y + 1 y-x = 0 5. 生活情境·试验田 如图,“丰收 1 号” 小麦 的试验田是边长为 m(m>1)的正方形去掉 一个边长为 1 m 的正方形蓄水池后余下的 部分,“丰收 2 号”小麦的试验田是边长为 (m- 1)的正方形,两块试验田的小麦都收 获了 n kg. 设“丰收 1 号” 小麦和“丰收 2 号” 小麦的单位面积产量分别为 P kg / m2 和 Q kg / m2 . 则下列说法正确的是(　 　 ) A. P>Q B. P=Q C. P<Q D. P 是 Q 的m +1 m-1 6. 已知 abc = 1,a + b + c = 2,a2 + b2 + c2 = 3,则 1 ab+c-1 + 1 bc+a-1 + 1 ca+b-1 的值为(　 　 ) A. -1 B. - 1 2 C. 2 D. - 2 3 7. 设 P= x-1,Q= 1 x-1 ,x≠1,有以下 2 个结论: ①当 x>1 时,P>Q;②当 x<0 时,P<Q. 下列 判断正确的是(　 　 ) A. ①错②对 B. ①对②错 C. ①②都错 D. ①②都对 二、填空题(每题 3 分,共 9 分) 8. 新趋势·结论开放 写出一个 x 取任意实数 时,一定有意义的分式　 　 　 　 . 9. 化简:a 2 +ab a-b ÷ ab a-b 的结果是　 　 　 　 . 10. 学习情境·墨迹覆盖 数学课上,老师讲了 分式的除法,放学后,小刚回到家中拿出 课堂笔记,认真复习老师课上讲的内容, 他突然发现一道题:化简 x x2 -1 ÷ x 2 △ ,其中 “△”处被墨迹盖住了,但他知道这道题化 简的结果为 1 x-1 ,则 “ △” 所表示的式子 为　 　 　 　 . 三、解答题(共 45 分) 11. (8 分)先化简,再求值:( b a - a b ) ÷a +b ab ,其 中 a= 2 024,b= 2 025. 11 情境期末·ZBR·八年级数学上 12. (9 分)已知 P= ( a 2 -4 a2 -4a+4 - 1 a-2 ) ÷a +1 a+2 . (1)化简 P; (2) 如图,在△ABC 中,AB = 7,BC = 5,AC 的垂直平分线交 AB 于点 E,交 AC 于点 D, △BCE 的周长等于 a,求 P 的值. 13. 新趋势·新定义 (9 分)定义:任意两个数 a,b,按规则 c= a b -a+b 得到一个新数 c,称 所得的新数 c 为数 a、b 的“传承数” . (1)若 a= -3,b= 5,求 a,b 的“传承数”c; (2)若 a = 1,b = x,且 x2 + 1 x2 = 2,求 a,b 的 “传承数”c. 14. (9 分)已知:P= x+2,Q= 8x x+2 . (1)当 x= 1 时,计算 P-Q 的值; (2)当 x>0 时,判断 P 与 Q 的大小关系,并 说明理由; (3)设 y= 4 P - Q 12 ,若 x、y 均为非零整数,求 xy 的值. 15. (10 分)(1)已知 b>a>0,分式 a b 的分子分 母都加上 1,说明所得分式a +1 b+1 的值是增大 了还是减少了? (2)甲、乙两位采购员两次同去一家饲料 公司购买饲料. 两次饲料的价格有变化, 第一次的价格为 m 元 /千克,第二次的价 格为 n 元 /千克,(m、n 是正数,且 m≠n); 甲每次购买 800 千克;乙每次用去 800 元, 而不管购买多少饲料. ①甲、乙所购饲料的平均单价是多少元? ②谁的购买方式平均单价较低? 21