抓分练4 等腰三角形与最短路径问题-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（人教版 河南专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 4　 等腰三角形与最短路径问题 一、选择题(每题 3 分,共 18 分) 1. 如图,在△ABC 中,∠C = 90°,∠B = 30°,AC = 3,则 AB 的长为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 1. 5 B. 3 C. 6 D. 9 第 1 题图 　 　 第 2 题图 2. 如图,在△ABC 中,AB = AC,尺规作图:(1) 分别以 B、C 为圆心,BC 长为半径作弧,两 弧交于点 D;(2)连接 DB、DA、DC,DA 交 BC 于点 E,则下列结论中错误的是(　 　 ) A. AD 垂直平分 BC B. 点 D 不一定在∠BAC 的角平分线上 C. S四边形ABDC = 1 2 AD·BC D. 若∠BAC= 60°,则 BC 垂直平分 AD 3. 如图,在△ABC 中,∠C = 90°,AC = 6,∠B = 30°,点 P 是 BC 边上的动点,则 AP 的长不 可能是(　 　 ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 13 第 3 题图 　 　 第 4 题图 4. 如图,在等边三角形 ABC 中,AD 是边 BC 上 的中线,且 AD= 6,E 是 AD 上的一个动点,F 是边 AB 的中点,在点 E 运动的过程中,BE +EF 的最小值为(　 　 ) A. 5 B. 6 C. 17 D. 18 5. 如图,点 D,E 为△ABC 的边 BC 上的点,且 满足 DA = DB,EA = EC,若∠B = 30°,∠C = 40°,则∠DAE 的度数为(　 　 ) A. 36° B. 38° C. 40° D. 42° 第 5 题图 　 　 第 6 题图 6. 如图,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分 线相交于点 O,过 O 点作 EF∥BC 交 AB 于 点 E,交 AC 于点 F,过点 O 作 OD⊥AC 于 D,下列四个结论:①EF =BE+CF;②∠BOC = 90°+ 1 2 ∠A;③点 O 到△ABC 各边的距离 相等;④设 OD = m,AE+AF = n,则 S△ AEF = 1 2 mn,正确的结论有(　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题(每题 3 分,共 9 分) 7. 数学思想·分类讨论 等腰三角形两边长分 别为 6,9,则其周长为　 　 　 　 . 8. 如图,在由边长为 1 的小正方形组成的 5×5 的网格中,点 A,B 在小方格的顶点上,要在 小方格的顶点确定一点 C,连接 AC 和 BC, 使△ABC 是等腰三角形. 则方格图中满足 条件的点 C 的个数有　 　 　 　 个. 第 8 题图 　 　 第 9 题图 9. 如图,已知在△ABC 中,AC = BC = 8,∠ACB = 120°,将一块足够大的直角三角尺 PMN (∠M = 90°,∠MPN = 30°) 按如图放置,顶 点 P 在线段 AB 上滑动,三角尺的直角边 PM 始终经过点 C,并且与 CB 的夹角∠PCB =α,斜边 PN 交 AC 于点 D. 点 P 在滑动时, α= 　 　 　 　 时,△PCD 的形状是等腰三角 形. 7 情境期末·ZBR·八年级数学上 三、解答题(共 28 分) 10. (9 分)如图,过正五边形 ABCDE 的顶点 B,作 BF∥ED 交 DC 的延长线于点 G,交 DA 的延长线于点 F,求证:△DFG 是等腰 三角形. 11. (9 分)如图,在四边形 ABCD 中,AB = AD, CB=CD,∠A = 60°,点 E 为 AD 上一点,连 接 BD、CE 交于点 F,CE∥AB. (1)判断△DEF 的形状,并说明理由; (2)若 AD= 12,CE= 7,求 CF 的长. 12. (10 分)如图,在△ABC 中,AB = AC,点 D 为 BC 的中点,连接 AD,AB 的垂直平分线 EF 交 AB 于点 E,交 AD 于点 O,交 AC 于 点 F,连接 OB,OC. (1)求证:△AOC 为等腰三角形; (2)若∠BAD= 20°,求∠COF 的度数. 8 (-1,-3),P3(5,3),P4(-1,1),∴ P4 与 P 重合,四次一个 循环,∵ 2024÷4 = 506,∴ P2024 与 P4 重合,∴ P2024(-1,1) . 10. 解:(1)△A1B1C1 如图所示; (2)由图可知,A1(-1,2),B1(-3,1),C1(2,-1); (3)S△ABC = 3×5- 1 2 ×2×1- 1 2 ×3×3- 1 2 ×2×5 = 9 2 . 11. (1)证明:∵ AC 是 BD 的垂直平分线,∴ AB = AD,CB = CD,在△ABC 和△ADC 中, AB=AD CB=CD AC=AC { ,∴ △ABC≌△ADC (SSS),∴ ∠ABC= ∠ADC; (2)解:由(1)得 AB=AD= 13,∵ DF= 6,∴ AF=AD-DF = 7,∵ △ABC≌△ADC,∴ ∠BAC = ∠DAC,∵ OE⊥AB,OF ⊥AD,∴ ∠AEO = ∠AFO = 90°,在△AEO 和△AFO 中, ∠AEO= ∠AFO ∠EAO= ∠FAO AO=AO { ,∴ △AEO≌ △AFO( AAS),∴ AE = AF = 7. 12. 解:(1)∵ DM,EN 分别垂直平分边 AC 和边 BC,∴ MC = MA,NC=NB,∴ △CMN 的周长 =CM+CN+MN =MA+NB +MN=AB= 7; (2)∵ DM,EN 分别垂直平分边 AC 和边 BC,∴ ∠CDF = ∠CEF= 90°,∵ ∠MFN = 72°,∴ ∠ACB = 360°-90°- 90° -72° = 108°,∴ ∠A+∠B = 180°-108° = 72°,∵ MC =MA, NC = NB, ∴ ∠MCA = ∠A, ∠NCB = ∠B, ∴ ∠ACM + ∠BCN= ∠A+∠B= 72°,∴ ∠MCN= 108°-72° = 36°. 13. 证明:(1)∵ l 是 AB 的垂直平分线,∴ DA = DB,∵ DB = DC,∴ DA=DC,∴ ∠CAD= ∠ACD; (2)延长 AD,与 BC 交于点 F,∵ AC = AB, ∴ ∠ABC = ∠ACB, ∵ DB = DC, ∴ ∠DBC = ∠DCB, ∴ ∠ACD = ∠ABD, 在 △ACD 和 △ABD 中, DC=DB ∠ACD= ∠ABD AC=AB { , ∴ △ACD≌△ABD(SAS),∴ ∠CAD= ∠BAD,∵ AC =AB,∴ F 是 BC 的中点. 基础知识抓分练 4　 等腰三角形与最短路径问题 1. C　 2. B　 3. D 4. B　 【解析】连接 CE,∵ △ABC 是等边三角形,AD 是中 线,∴ AD 垂直平分 BC,∴ BE=EC,∴ BE+EF=EC+EF,∴ 当点 C,点 E,点 F 三点共线,且 CF⊥AB 时,EC+EF 值最 小,即 BE+EF 的值最小. ∵ △ABC 是等边三角形,AD⊥ BC,CF⊥AB,∴ AD =CF = 6,即 BE+EF 的最小值是 6. 故 选 B. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【方法点拨】最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短 或垂线段最短等结论. 连接 CE,由题意可得 BE = EC,将 FE+EB 转化为 FE+CE,当点 C,点 E,点 F 三点共线,且 CF⊥AB 时,EC+EF 值最小,即 BE+EF 的值最小,此时 CF 的长度为 BE+EF 的最小值. 5. C　 【解析】∵ ∠B= 30°,∠C = 40°,∴ ∠BAC = 180°-30°- 40° = 110°,∵ DA=DB,EA=EC,∴ ∠B = ∠DAB = 30°,∠C = ∠EAC= 40°,∴ ∠DAE= ∠BAC-∠BAD-∠CAE = 110°- 30°-40° = 40°. 故选 C. 6. D　 【解析】∵ 在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相 交于点 O,∴ ∠OBC = 1 2 ABC,∠OCB = 1 2 ∠ACB,∠A+ ∠ABC+∠ACB = 180°,∴ ∠OBC+∠OCB = 90°- 1 2 ∠A,∴ ∠BOC= 180°-(∠OBC+ ∠OCB) = 90° + 1 2 ∠A,故②正 确;∵ 在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O,∴ ∠OBC = ∠OBE, ∠OCB = ∠OCF, ∵ EF∥BC, ∴ ∠OBC = ∠EOB, ∠OCB = ∠FOC, ∴ ∠EOB = ∠OBE, ∠FOC= ∠OCF,∴ BE=OE,CF =OF,∴ EF =OE+OF =BE +CF,故①正确;过点 O 作 OM⊥AB 于 M,作 ON⊥BC 于 N,连接 OA,∵ 在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相 交于点 O,∴ ON = OD = OM = m,∴ S△AEF = S△AOE +S△AOF = 1 2 AE·OM+ 1 2 AF·OD= 1 2 OD·(AE+AF)= 1 2 mn,故④ 正确;∵ 在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O,∴ 点 O 到△ABC 各边的距离相等,故③正确. 故选 D. 7. 21 或 24　 8. 6 9. 45°或 0°或 90° 　 【解析】∵ ∠ACB = 120°,∠PCB = α,∴ ∠ACP= 120°-α,①当 PC=PD 时,此时∠PCD = ∠PDC = 120°-α,∵ ∠CPD+∠PCD+∠PDC = 180°,∴ 30°+(120°- α)+(120°-α)= 180°,∴ α = 45°;②当 CD = CP 时,此时 ∠CDP= ∠CPD = 30°,∵ ∠CPD+∠PCD+∠PDC = 180°, ∴ 30°+(120°-α)+30° = 180°,∴ α = 0°,此时点 P 与点 B 重合;③当 CD=PD 时,此时∠PCD= ∠CPD= 30°,∴ 120° -α= 30°,∴ α = 90°;综上可知,点 P 在滑动时,α = 45°或 0°或 90°时,△PCD 的形状是等腰三角形. 10. 证 明: ∵ ABCDE 是 正 五 边 形, ∴ ∠E = ∠EDC = (5-2)×180° 5 = 108°,∴ ∠EDA = 180° -∠E 2 = 36°,∠FDC = ∠EDC-∠EDA = 72°,∵ BF∥ED,∴ ∠DFG = ∠EDA = 36°,∠FGD= 180°- 36°- 72° = 72°,∴ ∠FDC = ∠FGD, ∴ FD=FG,∴ △DFG 是等腰三角形. 11. 解:(1)△DEF 是等边三角形,理由如下:∵ AB =AD,∠A = 60°,∴ △ABD 为等边三角形,∴ ∠ADB= ∠ABD = 60°, ∵ CE∥AB,∴ ∠DEF = ∠A = 60°,∠EFD = ∠ABD = 60°, ∴ △DEF 是等边三角形; (2)连接 AC 交 BD 于点 O,∵ AB =AD,CB =CD,∴ AC 垂 直平分 BD,∴ AO⊥BD,∴ ∠BAO = ∠DAO = 30°,∵ CE∥ AB,∴ ∠ACE= ∠BAO= ∠DAO,∴ AE=CE = 7,∴ DE =AD -AE= 12-7 = 5,∵ △DEF 是等边三角形,∴ EF=DE= 5, ∴ CF=CE-EF= 2. 12. (1)证明:∵ EF 是 AB 的中垂线,∴ OA =OB,∵ AB = AC, D 为 BC 中点,∴ AD⊥BC,∴ AD 是 BC 的中垂线,∴ OB =OC,∴ OA=OC,∴ △OAC 是等腰三角形; (2)解:∵ AB = AC,D 为 BC 中点,∴ ∠DAC = ∠BAD = 20°,∴ ∠BAC= 40°,∵ EF 是 AB 的中垂线,∴ EF⊥AB, ∴ ∠AFE = 50°,∵ OA = OC,∴ ∠OCA = ∠OAC = 20°,∴ ∠COF= ∠AFE-∠OCA= 50°-20° = 30°. 基础知识抓分练 5　 整式的乘法与因式分解 1. D 2. A　 【解析】x2(x-y)+y2(y-x)= x2(x-y) -y2(x-y)= (x- y)(x2 -y2)= (x-y) 2(x+y),∵ x> 0,y> 0,且 x≠y,∴ (x- y) 2(x+y)>0. 故选 A. 3. B　 【解析】设 k 是正整数,∵ (k+1) 2 -k2 = (k+1+k)(k+1 -k)= 2k+1,∴ 除 1 外,所有的奇数都是智慧数,所以 A,C 选项都是智慧数,不符合题意;∵ (k+1) 2 -(k-1) 2 = (k+1 +k-1)(k+1-k+1)= 4k,∴ 除 4 外,所有的能被 4 整除的 偶数都是智慧数,所以 D 选项是智慧数,不符合题意,B 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·八年级数学上　 第 3 页