抓分练3 轴对称与画轴对称图形-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（人教版 河南专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 3　 轴对称与画轴对称图形 一、选择题(每题 3 分,共 18 分) 1. 随着科技的进步,我国新能源汽车发展迅 猛. 下列新能源汽车品牌图标是轴对称图 形的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. B. C. D. 2. (梅州一模)若点 A(1+m,1-n)与点 B(3, 2)关于 y 轴对称,则 m+n 的值是(　 　 ) A. -5 B. -3 C. 3 D. 1 3. 点 M 是△ABC 三边垂直平分线的交点,连 接 MA、MB、MC,若∠MBC+∠ACM = 75°,则 ∠BAM 的值是(　 　 ) A. 45° B. 30° C. 25° D. 15° 第 3 题图 　 　 第 4 题图 4. 如图,在 2×2 的方格纸中有一个以格点为 顶点的△ABC,则与△ABC 成轴对称且以格 点为顶点三角形共有(　 　 ) A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 5. 如图,线段 AB、DE 的垂直平分线交于点 C, 且∠ABC = ∠EDC = 72°, ∠AEB = 92°, 则 ∠EBD 的度数为(　 　 ) A. 168° B. 158° C. 128° D. 118° 第 5 题图 　 　 第 6 题图 6. 如图,已知 AD 是△ABC 的角平分线,AD 的 中垂线交 AB 于点 F,交 BC 的延长线于点 E. 以下四个结论:①∠EAD = ∠EDA;②DF ∥AC;③∠FDE = 90°;④∠B = ∠CAE. 恒成 立的结论有(　 　 ) A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题(每题 3 分,共 9 分) 7. 如图,△ABC 和△DEC 关于直线 l 对称,若 ∠A= 60°,∠E= 20°,则∠ACB= 　 　 　 　 . 第 7 题图 　 第 8 题图 　 第 9 题图 8. 文化情境·传统文化 折纸是一门古老而有 趣的艺术,如图,已知长方形纸带 ABCD,将 纸带沿 EF 折叠后,点 B,C 分别落在点 B′, C′的位置,C′在 AD 上,再沿 AB 折叠,点 B′ 落在点 B″位置,点 B″在 C′E 上,若∠1 = ∠2,则∠1 = 　 　 　 　 °. 9. 如图,在平面直角坐标系中,四边形 AOCB 是边长为 2 的正方形,A、C 分别在 y 轴正半 轴与 x 轴正半轴上,P 点坐标为( -1,1),将 P 点关于 A 对称得到 P1,将 P1 关于 O 点对 称得到 P2,将 P2 关于 C 点对称得到 P3,将 P3 关于 B 点对称得到 P4,将 P4 关于 A 点对 称得到 P5, ……,按照顺序以此类推,则 P2 024 的坐标为　 　 　 　 . 三、解答题(共 33 分) 10. (8 分)如图,在平面直角坐标系中,A(1, 2),B(3,1),C( -2,-1) . (1)在图中画出△ABC 关于 y 轴对称的 △A1B1C1; (2)分别写出 A1、B1、C1 三点的坐标; (3)求 S△ABC . 5 情境期末·ZBR·八年级数学上 11. (8 分)如图,AC 与 BD 相交于点 O,且 AC 是 BD 的垂直平分线,OE⊥AB 于点 E,OF ⊥AD 于点 F. (1)求证:∠ABC= ∠ADC; (2)若 AB= 13,DF= 6,求 AE 的长. 12. (8 分)如图,在△ABC 中,DM、EN 分别垂 直平分边 AC 和边 BC,交边 AB 于 M、N 两 点,DM 与 EN 所在直线相交于点 F. (1)若 AB= 7,求△CMN 的周长; (2)若∠MFN= 72°,求∠MCN 的度数. 13. (9 分)如图,在△ABC 中,l 是 AB 的垂直 平分线,与边 AC 交于点 E,点 D 在 l 上,且 DB=DC,连接 AD. (1)求证:∠CAD= ∠ACD; (2)延长 AD,与 BC 交于点 F,若 AC=AB, 求证:F 是 BC 的中点. 6 △BCE 中,∠EBC+∠C+∠BEC = 180°,∴ ∠CBG+ ∠C + ∠CEF + ∠EFA + ∠BJF = 360°+ 180° = 540°,即∠A+ ∠CBG+ ∠C+ ∠D+∠CEF+∠AFE+∠DGB= 540°,∴ 90° ·n= 540°. ∴ n= 6. 10. ①③ 11. 12　 100　 【解析】由题知,当 k = 1 时,m= 1;当 k = 2 时, m= 2;当 k = 3 时,m = 4;当 k = 4 时,有如下情况:{1,4, 4},{2,3,4},{2,4,4},{3,3,4},{3,4,4},{4,4,4},所 以 m= 6,以此类推,当 k= 5 时,m= 9;当 k= 6 时,m= 12; …因为 1 = 1,2 = 1+1,4 = 1+2+1,6 = 1+2+2+1,9 = 1+2+3 +2+1,12 = 1+2+3+3+2+1,…,所以当 k = 19 时,m= 1+2 +3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 100. 12. 解:(1)360°×3-180° = 1080°-180° = 900°,故这个多边 形的内角和是 900°;设这个多边形的边数是 n,依题意 得(n-2)×180° = 900°,解得 n= 7. ∴ 这个多边形的边数 为 7; (2)剪掉一个角以后,多边形的边数可能减少了 1,也可 能不变,或者增加了 1. 截完后所形成的新多边形的边 数可能是 6 或 7 或 8. ①当多边形为六边形时,其内角和 为(6-2)×180° = 720°;②当多边形为七边形时,其内角 和为(7-2)×180° = 900°;③当多边形为八边形时,其内 角和为(8- 2) × 180° = 1080°. 综上所述,截完后所形成 的新多边形的内角和为 720°或 900°或 1080°. 13. 解:(1)∵ AD 是△ABC 的高,∴ ∠ADB = 90°,∵ ∠BAD = 65°,∴ ∠ABD= 90°-65° = 25°. ∵ CE 是△ACB 的角平分 线,∠ACB= 50°,∴ ∠ECB = 1 2 ∠ACB = 25°,∴ ∠AEC = ∠ABD+∠ECB= 25°+25° = 50°; (2)F 是 AC 中点,∴ AF=FC,∵ △BCF 与△BAF 的周长 差为 3,∴ (BC+CF+BF)-(AB+AF+BF)= 3,∴ BC-AB = 3,∵ AB= 9,∴ BC= 12. 14. 解:(1)270°　 (2)240° (3)∠1+∠2 = 180°+∠A. 证明:∵ ∠1 = ∠A+∠ANM,∠2 =∠A+∠AMN,∴ ∠1+∠2 = ∠A+∠ANM+∠AMN+∠A= 180°+∠A; (4)∠1+∠2 = 2∠BAC. 理由:连接 AP,∵ ∠1 = ∠FAP+ ∠FPA,∠2 = ∠EAP + ∠EPA, ∴ ∠1 + ∠2 = ∠FAP + ∠FPA+ ∠EAP + ∠EPA = ∠BAC + ∠EPF. ∵ ∠BAC = ∠EPF,∴ ∠1+∠2 = 2∠BAC. 基础知识抓分练 2　 全等三角形 1. A 2. C　 【解析】过点 D 作 DE⊥AB,垂足为 E,∵ AD 平分 ∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC,∴ DE = DC = 3,∵ AB = 10,∴ △ABD 的面积= 1 2 AB·DE= 1 2 ×10×3 = 15. 故选 C. 3. A　 【解析】在△BCD 和△DEF 中, BC=DE ∠C= ∠E CD=EF { ,∴ △BCD ≌△DEF(SAS),∴ BD = DF. 同理可得:BD = AG. ∴ BD = DF=AG. ∵ 四边形 ABFG 的周长 =AG+AB+FG+BF = b,AB =FG=DE=EF,∴ 四边形 ABFG 的周长=BD+DE+EF+BF =b. 又△BDF 的周长=BD+DF+BF=a,DE+EF>DF,∴ a< b. 故选 A. 4. D　 【解析】过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,∵ AD 为∠CAB 的 平分线,∠C = 90°,∴ DE = CD = BC-BD = 800- 500 = 300 (m) . 故选 D. 5. A 6. 75°　 【解析】∵ △ABC≌△DBE,∴ ∠CBE = ∠ABC = 30°, BC=BE,∴ ∠BCE= ∠BEC= 1 2 ×(180°-30°)= 75°. 7. 4 8. 解:(1)如图所示: (2)①8 ②理由:如图,由题意可知,AC = CD = 20 米,DE = 8 米, ∠A= 90°,∠D= 90°,∴ ∠A= ∠D,在△ABC 和△DEC 中, ∠A= ∠D AC=DC ∠ACB= ∠DCE { ,∴ △ABC≌△DEC( ASA),∴ AB = DE = 8 米,∴ 小明的方案是正确的. 9. 解:(1)BD 垂直平分线段 AC(答案不唯一) (2)四边形 ADCF(答案不唯一) (3)证明:由轴对称的性质可知,∠CAD = ∠CAF,∠BAD = ∠BAE,∠ADB = ∠AEB = 90°,AD = AF = AE,∴ ∠EAF = 2∠BAC,∠AEF = ∠AFE, ∴ ∠EAF + 2 ∠AEF = 180°, ∴ 2∠BAC+ 2 ∠AEF = 180°, ∴ ∠BAC + ∠AEF = 90°. ∵ ∠FEG+∠AEF= 90°,∴ ∠BAC= ∠FEG. 基础知识抓分练 3　 轴对称与画轴对称图形 1. B 2. A　 【解析】由题意可得,1+m= -3,1-n = 2,∴ m = -4,n = -1,∴ m+n= -4+(-1)= -5. 故选 A. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【概念回顾】点( x,y)关于 x 轴对称的点的坐标为( x, -y);点(x,y)关于 y 轴对称的点的坐标为(-x,y). 3. D　 【解析】∵ 点 M 为△ABC 三边垂直平分线的交点,∴ MA = MB = MC, ∴ ∠MCA = ∠MAC, ∠MBC = ∠MCB, ∠MAB = ∠MBA, ∵ ∠MBC + ∠ACM = 75°, ∴ ∠MAC + ∠MCA + ∠MCB + ∠MBC = 150°, ∴ ∠MAB = ∠MBA = 1 2 ×(180°-150°)= 15°. 故选 D. 4. C 5. C　 【解析】连接 CE,∵ 线段 AB,DE 的垂直平分线交于 点 C, ∴ CA = CB, CE = CD, ∵ ∠ABC = ∠EDC = 72° = ∠DEC,∴ ∠ACB = ∠ECD = 36°,∴ ∠ACE = ∠BCD,在 △ACE 和△BCD 中, CA=CB ∠ACE= ∠BCD CE=CD { ,∴ △ACE≌△BCD (SAS), ∴ ∠AEC = ∠BDC, 设 ∠AEC = ∠BDC = α, 则 ∠BDE = 72° - α, ∠CEB = 92° - α, ∴ ∠BED = ∠DEC - ∠CEB= 72°-(92°-α)= α-20°,∴ 在△BDE 中,∠EBD = 180°-(72°-α)-(α-20°)= 128°. 故选 C. 6. C　 【解析】①∵ EF 是 AD 的垂直平分线,∴ EA = ED,∴ ∠EAD = ∠EDA. ② ∵ EF 是 AD 的垂直平分线,∴ FA = FD,∴ ∠FDA = ∠FAD, ∵ AD 平分 ∠BAC, ∴ ∠FAD = ∠CAD,∴ ∠FDA= ∠CAD,∴ DF∥AC. ③∵ FD 与 BE 不一 定互相垂直,∴ ③ 不一定成立. ④ 由 ① ② 得 ∠EAD = ∠EDA, ∠FAD = ∠CAD, 又 ∵ ∠EDA = ∠B + ∠FAD, ∠EAD= ∠CAD+∠CAE,∴ ∠B= ∠CAE. 故选 C. 7. 100° 8. 360 7 　 【解析】 设 ∠B′FG = α,∠1 = ∠2 = β,由折叠得: ∠GFB″= ∠B′FG = α,∠B′ = ∠GB″F = ∠B′C′B″ = 90°,∴ ∠1+∠C′B″G= ∠C′B″G+∠FB″E = 90°,∴ ∠FB″E = ∠1 = β,∵ C′E∥B′F,∴ ∠B′FB″= ∠FB″E,∴ β= 2α,∵ CD∥AB, ∴ ∠CEF = ∠AFE = α+β = ∠C′EF,△FEB″中,∠FEB″+ ∠EFB″+∠FB″E = 180°,∴ α+β+β+β= 180°,∴ 7α= 180°, ∴ α=(180 7 )°,∴ ∠1 =β= 2α=(360 7 )°. 9. (-1,1) 　 【解析】如图,由题意 P(- 1,1),P1(1,3),P2 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·八年级数学上　 第 2 页 (-1,-3),P3(5,3),P4(-1,1),∴ P4 与 P 重合,四次一个 循环,∵ 2024÷4 = 506,∴ P2024 与 P4 重合,∴ P2024(-1,1) . 10. 解:(1)△A1B1C1 如图所示; (2)由图可知,A1(-1,2),B1(-3,1),C1(2,-1); (3)S△ABC = 3×5- 1 2 ×2×1- 1 2 ×3×3- 1 2 ×2×5 = 9 2 . 11. (1)证明:∵ AC 是 BD 的垂直平分线,∴ AB = AD,CB = CD,在△ABC 和△ADC 中, AB=AD CB=CD AC=AC { ,∴ △ABC≌△ADC (SSS),∴ ∠ABC= ∠ADC; (2)解:由(1)得 AB=AD= 13,∵ DF= 6,∴ AF=AD-DF = 7,∵ △ABC≌△ADC,∴ ∠BAC = ∠DAC,∵ OE⊥AB,OF ⊥AD,∴ ∠AEO = ∠AFO = 90°,在△AEO 和△AFO 中, ∠AEO= ∠AFO ∠EAO= ∠FAO AO=AO { ,∴ △AEO≌ △AFO( AAS),∴ AE = AF = 7. 12. 解:(1)∵ DM,EN 分别垂直平分边 AC 和边 BC,∴ MC = MA,NC=NB,∴ △CMN 的周长 =CM+CN+MN =MA+NB +MN=AB= 7; (2)∵ DM,EN 分别垂直平分边 AC 和边 BC,∴ ∠CDF = ∠CEF= 90°,∵ ∠MFN = 72°,∴ ∠ACB = 360°-90°- 90° -72° = 108°,∴ ∠A+∠B = 180°-108° = 72°,∵ MC =MA, NC = NB, ∴ ∠MCA = ∠A, ∠NCB = ∠B, ∴ ∠ACM + ∠BCN= ∠A+∠B= 72°,∴ ∠MCN= 108°-72° = 36°. 13. 证明:(1)∵ l 是 AB 的垂直平分线,∴ DA = DB,∵ DB = DC,∴ DA=DC,∴ ∠CAD= ∠ACD; (2)延长 AD,与 BC 交于点 F,∵ AC = AB, ∴ ∠ABC = ∠ACB, ∵ DB = DC, ∴ ∠DBC = ∠DCB, ∴ ∠ACD = ∠ABD, 在 △ACD 和 △ABD 中, DC=DB ∠ACD= ∠ABD AC=AB { , ∴ △ACD≌△ABD(SAS),∴ ∠CAD= ∠BAD,∵ AC =AB,∴ F 是 BC 的中点. 基础知识抓分练 4　 等腰三角形与最短路径问题 1. C　 2. B　 3. D 4. B　 【解析】连接 CE,∵ △ABC 是等边三角形,AD 是中 线,∴ AD 垂直平分 BC,∴ BE=EC,∴ BE+EF=EC+EF,∴ 当点 C,点 E,点 F 三点共线,且 CF⊥AB 时,EC+EF 值最 小,即 BE+EF 的值最小. ∵ △ABC 是等边三角形,AD⊥ BC,CF⊥AB,∴ AD =CF = 6,即 BE+EF 的最小值是 6. 故 选 B. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【方法点拨】最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短 或垂线段最短等结论. 连接 CE,由题意可得 BE = EC,将 FE+EB 转化为 FE+CE,当点 C,点 E,点 F 三点共线,且 CF⊥AB 时,EC+EF 值最小,即 BE+EF 的值最小,此时 CF 的长度为 BE+EF 的最小值. 5. C　 【解析】∵ ∠B= 30°,∠C = 40°,∴ ∠BAC = 180°-30°- 40° = 110°,∵ DA=DB,EA=EC,∴ ∠B = ∠DAB = 30°,∠C = ∠EAC= 40°,∴ ∠DAE= ∠BAC-∠BAD-∠CAE = 110°- 30°-40° = 40°. 故选 C. 6. D　 【解析】∵ 在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相 交于点 O,∴ ∠OBC = 1 2 ABC,∠OCB = 1 2 ∠ACB,∠A+ ∠ABC+∠ACB = 180°,∴ ∠OBC+∠OCB = 90°- 1 2 ∠A,∴ ∠BOC= 180°-(∠OBC+ ∠OCB) = 90° + 1 2 ∠A,故②正 确;∵ 在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O,∴ ∠OBC = ∠OBE, ∠OCB = ∠OCF, ∵ EF∥BC, ∴ ∠OBC = ∠EOB, ∠OCB = ∠FOC, ∴ ∠EOB = ∠OBE, ∠FOC= ∠OCF,∴ BE=OE,CF =OF,∴ EF =OE+OF =BE +CF,故①正确;过点 O 作 OM⊥AB 于 M,作 ON⊥BC 于 N,连接 OA,∵ 在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相 交于点 O,∴ ON = OD = OM = m,∴ S△AEF = S△AOE +S△AOF = 1 2 AE·OM+ 1 2 AF·OD= 1 2 OD·(AE+AF)= 1 2 mn,故④ 正确;∵ 在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O,∴ 点 O 到△ABC 各边的距离相等,故③正确. 故选 D. 7. 21 或 24　 8. 6 9. 45°或 0°或 90° 　 【解析】∵ ∠ACB = 120°,∠PCB = α,∴ ∠ACP= 120°-α,①当 PC=PD 时,此时∠PCD = ∠PDC = 120°-α,∵ ∠CPD+∠PCD+∠PDC = 180°,∴ 30°+(120°- α)+(120°-α)= 180°,∴ α = 45°;②当 CD = CP 时,此时 ∠CDP= ∠CPD = 30°,∵ ∠CPD+∠PCD+∠PDC = 180°, ∴ 30°+(120°-α)+30° = 180°,∴ α = 0°,此时点 P 与点 B 重合;③当 CD=PD 时,此时∠PCD= ∠CPD= 30°,∴ 120° -α= 30°,∴ α = 90°;综上可知,点 P 在滑动时,α = 45°或 0°或 90°时,△PCD 的形状是等腰三角形. 10. 证 明: ∵ ABCDE 是 正 五 边 形, ∴ ∠E = ∠EDC = (5-2)×180° 5 = 108°,∴ ∠EDA = 180° -∠E 2 = 36°,∠FDC = ∠EDC-∠EDA = 72°,∵ BF∥ED,∴ ∠DFG = ∠EDA = 36°,∠FGD= 180°- 36°- 72° = 72°,∴ ∠FDC = ∠FGD, ∴ FD=FG,∴ △DFG 是等腰三角形. 11. 解:(1)△DEF 是等边三角形,理由如下:∵ AB =AD,∠A = 60°,∴ △ABD 为等边三角形,∴ ∠ADB= ∠ABD = 60°, ∵ CE∥AB,∴ ∠DEF = ∠A = 60°,∠EFD = ∠ABD = 60°, ∴ △DEF 是等边三角形; (2)连接 AC 交 BD 于点 O,∵ AB =AD,CB =CD,∴ AC 垂 直平分 BD,∴ AO⊥BD,∴ ∠BAO = ∠DAO = 30°,∵ CE∥ AB,∴ ∠ACE= ∠BAO= ∠DAO,∴ AE=CE = 7,∴ DE =AD -AE= 12-7 = 5,∵ △DEF 是等边三角形,∴ EF=DE= 5, ∴ CF=CE-EF= 2. 12. (1)证明:∵ EF 是 AB 的中垂线,∴ OA =OB,∵ AB = AC, D 为 BC 中点,∴ AD⊥BC,∴ AD 是 BC 的中垂线,∴ OB =OC,∴ OA=OC,∴ △OAC 是等腰三角形; (2)解:∵ AB = AC,D 为 BC 中点,∴ ∠DAC = ∠BAD = 20°,∴ ∠BAC= 40°,∵ EF 是 AB 的中垂线,∴ EF⊥AB, ∴ ∠AFE = 50°,∵ OA = OC,∴ ∠OCA = ∠OAC = 20°,∴ ∠COF= ∠AFE-∠OCA= 50°-20° = 30°. 基础知识抓分练 5　 整式的乘法与因式分解 1. D 2. A　 【解析】x2(x-y)+y2(y-x)= x2(x-y) -y2(x-y)= (x- y)(x2 -y2)= (x-y) 2(x+y),∵ x> 0,y> 0,且 x≠y,∴ (x- y) 2(x+y)>0. 故选 A. 3. B　 【解析】设 k 是正整数,∵ (k+1) 2 -k2 = (k+1+k)(k+1 -k)= 2k+1,∴ 除 1 外,所有的奇数都是智慧数,所以 A,C 选项都是智慧数,不符合题意;∵ (k+1) 2 -(k-1) 2 = (k+1 +k-1)(k+1-k+1)= 4k,∴ 除 4 外,所有的能被 4 整除的 偶数都是智慧数,所以 D 选项是智慧数,不符合题意,B 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·八年级数学上　 第 3 页