专项1 大题抢分练(分考点计对练习解答题)-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年九年级数学上册（华东师大版 河南专用）

(2)∵ AFD ( 所对的圆心角为 5∠AOB= 225°,∴ AFD ( 所对 的圆周角为∠ABD = 1 2 × 225° = 112. 5°. ∵ ∠BAC = 1 2 × 45° = 22. 5°,∴ ∠APD= ∠ABD+∠BAC= 135°. 13. 解:(1)101 (2)①∵ 摩天轮的圆周上均匀地安装了 24 个座舱,∴ 每相邻两个座椅之间所对的圆心角为 360°÷24 = 15°,∴ ∠POQ= 4×15° = 60°,∴ PQ ( 的长为:60π ×50 180 = 50π 3 (m), ∴ 两人所在座舱在摩天轮上的距离为50π 3 m; ②作 PN⊥OQ 于 N,在 Rt△OPN 中,OP = 50m,∠PON = 60°,∴ ON= 1 2 OP = 25m,∴ NQ =OQ-ON = 25m,∴ 两人 所在座舱距离地面的高度差为 25m. 追梦专项一　 大题抢分练 1. 解:(1)原式= 2+ 2 2 -1+2 2 -2 = -1+ 5 2 2 ; (2)原式= - 1 4 +1-2 3 + 1 2 = 5 4 -2 3 ; (3)原式= 3 2 -2× 2 2 - 3 - 2 2 2× 1 2 = 3 2 - 2 - 3 + 2 2 = - 3 2 - 2 2 ; (4)∵ a= 2,b= 1,c = -2,∴ Δ = b2 -4ac = 1+4×2×2 = 17 > 0, ∴ x = -b± b2 -4ac 2a = -1± 17 4 , 解 得 x1 = -1+ 17 4 ,x2 = -1- 17 4 . 2. 解:任务一:①移项　 ②二　 符号错误 任务二:∵ 3(x-3)= (x-3) 2,∴ 3( x-3) -( x-3) 2 = 0, 则(x-3)(3-x+3)= 0,∴ x-3 = 0 或 3-x+3 = 0,解得 x1 = 3,x2 = 6. 3. (1)证明:∵ Δ = ( -6m) 2 -4×7m2 = 8m2 ≥0,∴ 该方程 总有两个实数根; (2)解:当 m= 2时,方程化为 x2 -6 2 x+14 = 0,∴ x1 + x2 = 6 2 .　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　【解题技巧】(1)先计算根的判别式的值得到 Δ = 8m2, 则 Δ≥0,然后根据根的判别式的意义得到结论;(2) 直接利用根与系数的关系:若 x1,x2 是一元二次方程 ax2 +bx+c = 0(a≠0)的两根时,x1 +x2 = - b a ,x1 x2 = c a 求解. 4. 解:(1) 1 4 (2)列表如下: 生 旦 净 丑 生 (生,旦) (生,净) (生,丑) 旦 (旦,生) (旦,净) (旦,丑) 净 (净,生) (净,旦) (净,丑) 丑 (丑,生) (丑,旦) (丑,净) 共有 12 种等可能的结果,其中王娟抽取的两张明信 片上的卡通形象有一张为丑的结果有: ( 生,丑), (旦,丑),(净,丑),(丑,生),(丑,旦),(丑,净),共 6 种,∴ 王娟抽取的两张明信片上的卡通形象有一张为 丑的概率为 6 12 = 1 2 . 5. 解:(1)60　 　 54° 补全条形统计图如图所示: (2)800× 15 60 = 200(人),答:该校七年级 800 名学生中 选择“厨艺”劳动课程的大约有 200 人; (3)用列表法表示所有可能出现的结果如下: 园艺 电工 木工 编织 园艺 (电工,园艺) (木工,园艺) (编织,园艺) 电工 (园艺,电工) (木工,电工) (编织,电工) 木工 (园艺,木工) (电工,木工) (编织,木工) 编织 (园艺,编织) (电工,编织) (木工,编织) 共有 12 种等可能出现的结果,其中选中“园艺、编 织”的有 2 种,∴ 恰好选中“园艺、编织”这两类劳动 课程的概率为 2 12 = 1 6 . 6. 解:(1)设这三个月该市新建智能充电桩个数的月平 均增长率为 x. 根据题意得:300(1+x) 2 = 432,解得 x1 = 0. 2 = 20%,x2 = -2. 2(不符合题意,舍去) . 答:这三 个月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率 为 20%; (2)设本次追加购买 m 个 A 种充电桩,则追加购买 (100-m)个 B 种充电桩. 根据题意得:m≤100-m,解 得 m≤50. 设本次追加购买共花费 w 万元,则 w = 0. 5m+0. 6(100-m),即 w = -0. 1m+60. ∵ -0. 1<0,∴ w 随 m 的增大而减小,∴ 当 m= 50 时,w 取得最小值, 最小值为-0. 1×50+60 = 55(万元) . 答:本次追加购买 最少花费 55 万元. 7. 解:(1)设这种水果黄瓜每个支干长出 x 个小分支. 根 据题意得 1+x+x2 = 21,整理得 x2 +x-20 = 0,解得 x1 = 4,x2 = -5(不符合题意,舍去) . 答:这种水果黄瓜每个 支干长出 4 个小分支; (2)∵ 栅栏的总长为 22 米,且种植田的宽 AB 为 m 米,∴ 种植田的长 AD 为(22+1×2-3m)米. 根据题意 得(22+1×2-3m) ·m = 36,整理得 m2 -8m+12 = 0,解 得 m1 = 2,m2 = 6,当 m= 2 时,22+1×2-3×2 = 18>10,不 符合题意;当 m = 6 时,22+1×2-3×6 = 6<10,符合题 意. 答:该种植田的宽 AB 为 6 米. 8. (1) 证明:∵ ∠DAE = ∠E,∠AFD = ∠EFC,∴ △ADF ∽△ECF; (2)解:∵ AF = 2EF,∴ AF EF = 2. ∵ △ADF∽△ECF,∴ DF CF = AF EF = 2. ∵ CF= 3,∴ DF= 6,∴ DC=CF+DF= 9. 9. 解:(1) 10 3 (2) AE BD 的大小无变化,理由如下:∵ 将△EDC 绕点 C 顺时针方向旋转,且点 D,E 分别是边 BC,AC 的中点, ∴ CD BC = CE AC = 1 2 ,∠ACB = ∠DCE,∴ CD CE = BC AC ,∠ACE = ∠BCD. ∴ △ACE∽△BCD,∴ AE BD =CE CD = 10 3 ; 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBH·九年级数学　 第 7 页 (3)AE= 31 +1 或 31 -1　 【解析】∵ 点 D,E 分别 是边 BC,AC 的中点,∴ DE = 1 2 AB = 1,DE∥AB,∴ ∠CDE= ∠B = 90°,由旋转,得∠CDE = 90° = ∠ADC, ∴ AD= AC2 -CD2 = 40-9 = 31 ,∴ AE = AD+DE = 31 +1 或 AE=AD-DE= 31 -1. 10. 解:(1)y= x2 -2x-3 = (x-1) 2 -4,∴ 该二次函数图象 的顶点坐标为(1,-4); (2)令 x= 0,则 y = -3,∴ 该二次函数图象与 y 轴的 交点为(0,-3);令 y= 0,则 x2 -2x-3 = 0,解得 x1 = 3, x2 = -1,∴ 该二次函数图象与 x 轴的交点为(3,0)和 ( -1,0); (3)函数图象如图所示: (4)由函数图象可得:当-1≤x≤2 时,y 的取值范围 为-4≤y≤0. 11. 解:(1)由题意得:水面宽 OA 是 8m,桥拱顶点 B 到 水面的距离是 4m,结合函数图象可知,顶点 B( 4, 4),点 O(0,0),设二次函数的表达式为 y = a(x-4) 2 +4,将点 O(0,0)代入函数表达式,解得 a = - 1 4 ,∴ 二次函数的表达式为 y= - 1 4 (x-4) 2 +4,即 y = - 1 4 x2 +2x(0≤x≤8); (2)工人不会碰到头,理由如下:由题意得:工人距 O 点距离为 0. 4+ 1 2 × 1. 2 = 1( m),∴ 将 x = 1 代入 y = - 1 4 x2 +2x,解得:y = 1. 75. ∵ 1. 75m>1. 68m,∴ 此时 工人不会碰到头. 12. 解:(1)将 A( -1,0),C(0,-5)代入 y = -x2 +bx+c,∴ 0=-1-b+c c=-5{ ,解得 b=-6 c=-5{ ,∴ 二次函数的解析式为 y = -x2-6x-5,令-x2 -6x-5 = 0,解得 x1 = -5,x2 = -1,∴ B (-5,0); (2)过点 N 作 NG⊥x 轴与 BC 交于点 G,设直线 BC 的解析式为 y= kx+m,把 B( -5,0),C(0,-5)分别代 入得 0 = -5k+m m= -5{ ,解得 k= -1 m= -5{ ,∴ 直线 BC 的解析式 为 y= -x-5,设 N(n,-n2 -6n-5),则 G(n,-n-5),∴ NG= ( -n2 -6n-5) -( -n-5) = -n2 -5n,∴ 当 n = - 5 2 时,NG 有最大值为 25 4 . ∵ OB = OC = 5, ∴ ∠OBC = ∠OCB= 45°,∵ NG⊥x 轴,∴ NG∥y 轴,∴ ∠NGM = ∠BCO= 45°,又∵ NM⊥BC,∴ △MNG 为等腰直角三 角形,∴ MN= 2 2 NG,∴ NM 的最大值为 25 2 8 ; (3)存在,点 P(0,-1),(0, 15 2 );理由如下:∵ C(0, -5),∴ OC= 5. ∵ A( -1,0),B( -5,0),∴ OB = 5,∴ OB=OC,∴ ∠OBC= ∠OCB= 45°,∴ ∠BAC<135°,即 点 P 只能在点 C 上方的 y 轴上,∴ ∠PCB = ∠ABC = 45°,设 P(0,a),则 a>-5,∴ AB = 4,BC = 5 2 ,CP = a +5. ∵ 以点 B,C,P 为顶点的三角形与△ABC 相似, ∴ ①△PCB∽△ABC,∴ PC AB =BC BC = 1,解得 a = -1,∴ P (0,- 1); ② △BCP ∽ △ABC, ∴ BC AB = PC BC ,即 5 2 4 = (5+a) 5 2 ,解得 a = 15 2 ,∴ P(0, 15 2 ) . 综上,以 B,C,P 为 顶点的三角形与△ABC 相似,此时 P( 0, -1),( 0, 15 2 ) . 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【解题技巧】(3)因为∠BAC<135°,即点 P 只能在点 C 上方的 y 轴上,又∵ ∠OBC= ∠OCB= 45°,所以分两种 情况:①△PCB∽△ABC 和②△BCP∽△ABC,分别讨 论即可求解. 13. (1)解:如图所示: (2)证明:连结 OC、AO 并延长交 BC 于点 M. ∵ AB = AC,OB=OC,∴ AM 是线段 BC 的垂直平分线,∴ AM ⊥BC. ∵ AD∥BC,∴ OA⊥AD,∴ AD 为☉O 的切线; (3)2　 【解析】设∠ABD= x°,∠DBC= (2x)°. ∵ OA = OB,∴ ∠OAB = ∠ABD = x°. ∵ AD∥BC,∴ ∠BAD + ∠ABC= 180°,即 2x+x+x+90 = 180,解得 x = 22. 5,∵ AD∥BC,∴ ∠ADB = ∠DBC = 45°,∴ ∠AOD = ∠ADO = 45°,∴ AO=AD= 2. 14. (1) 证明:连结 AE,则∠FBD = ∠FAE. ∵ ∠BFD = ∠AFE,∴ △BFD∽△AFE,∴ BF AF = DF EF . ∴ AF·DF = BF·EF; (2)解:连结 OD. ∵ ☉O 与 AC 相切,AB 为直径,∴ BA⊥AC,∠ADB = 90°. ∵ AB = AC,∴ ∠ABC = 45°,∴ ∠AOD = 2 ∠ABC = 90°, ∴ S阴影 = S扇形AOD - S△AOD = 90×π×42 360 - 1 2 ×4×4 = 4π-8. 15. 解:(1)∵ ∠CAD= 15°,∠CBD = 30°,∴ ∠BCA = 15°, ∴ BC = BA = 23 米,在 Rt △CBD 中,CD = 1 2 BC = 23 2 米,由勾股定理可知:BD = 23 3 2 米,在 Rt△BDE 中, tan∠DBE= ED BD ,∴ ED=BD·tan53°≈26. 5 米,答:宝 轮寺塔 DE 的高度为 26. 5 米; (2)通过多次测量取其平均值,即可减少误差. 追梦专项二　 易错重难专练 类型一　 二次根式 1. B　 【解析】A. 被开方数不一样,不能合并;B. 8 = 2 2; C. 12 = 2 3;D. 16 = 4. 故选 B. 2. B　 3. D 4. C　 【解析】A. 2 与 3 不是同类二次根式;B. 3 2 - 2 = 2 2;D. 10 ÷ 5 = 2 . 故选 C. 5. C　 【解析】由题意得 x2 -4≠0,∴ x≠±2. 又∵ x+2≥0,∴ x≥-2,∴ x 的取值范围是:x>-2 且 x≠2. 故选 C. 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBH·九年级数学　 第 8 页 情境期末·九年级数学　 第 1 页 情境期末·九年级数学　 第 2 页 情境期末·九年级数学　 第 3 页 专项 1 追梦专项一　 大题抢分练 二次根式、一元二次方程与三角函数的相关计算 1. (8 分)计算或解方程: (1) 1 2 × 8 +1÷ 2 -(1- 2 ) 2;　 　 　 　 　 　 　 　 (2) -2-2 +( - 1 2 ) 0 - 12 +sin30°; (3)sin60°-2sin45°-tan60° -cos45° 2sin30° ; (4)2x2 +x-2 = 0. 2. 过程性学习 (8 分)(山西模拟) 下面是小敏同学解方程 3(x-3)= (x-3) 2 的过程,请认真阅读并完 成相应的任务. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 解: 3(x-3)-(x-3) 2 = 0. 第一步…………… (x-3)(3-x-3)= 0. 第二步…………… 则 x-3 = 0 或 3-x-3 = 0. 第三步……… 解得 x1 = 3,x2 = 0. 第四步……………… 任务一: 填空:①以上解题过程中,第一步变形的名称是　 　 　 　 ; ②第　 　 　 　 步开始出现错误,错误的原因是　 　 　 　 　 　 　 　 ; 任务二:请写出解该方程的正确过程. 3. (8 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2 -6mx+7m2 = 0. (1)求证:该方程总有两个实数根; (2)若 m= 2时,求方程两根 x1 +x2 的值. 随机事件的概率 4. 文化情境·传统文化 (8 分)(榆林三模)京剧,是我国的国粹艺术,素有“国剧”之称. 李丽是一位京 剧爱好者,她有四张如图所示印有生、旦、净、丑卡通形象的明信片(除卡通形象外,其余均相同), 准备送给好友王娟两张,李丽将四张明信片背面朝上放在桌面上,洗匀后让王娟先随机抽取一张, 再从剩下的三张中随机抽取一张. (1)王娟抽取的第一张明信片上的卡通形象是“旦”的概率是　 　 　 　 ; (2)用列表或画树状图的方法求王娟抽取的两张明信片上的卡通形象有一张为丑的概率. 生 　 旦 　 净 　 丑 5. 新课标·立德树人 (8 分)某学校为积极落实“立德树人”根本任务,构建“五育并举”课程体系,在 七年级试点开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程. 为了解七年级学生对每类课程 的选择情况,随机抽取了七年级若干名学生进行调查(每人只选一类最喜欢的课程),将调查结果 绘制成如图两幅统计图(不完整): 　 　 (1)本次随机调查的学生人数为　 　 　 　 人,电工类所在扇形的圆心角的度数是　 　 　 　 ,在图中 补全条形统计图; (2)若该校七年级共有 800 名学生,请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数; (3)七(1)班计划在“园艺、电工、木工、编织”类劳动课程中任选两类参加学校阶段展示活动,求恰 好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率. 一元二次方程的应用 6. 社会热点情境·数字城市建设 (9 分)为加快数字化城市建设,规范居民安全用电行为,某市计划新 建一批智能充电桩,第一个月新建了 300 个,随着居民对智能充电桩需求量的增加,到第三个月新 建充电桩 432 个. (1)求这三个月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率; (2)若市场上有 A,B 两种充电桩,A 种充电桩的价格是每个 0. 5 万元,B 种充电桩的价格是每个 0. 6 万元. 该市决定再追加购买 A,B 两种充电桩共 100 个,且 A 种充电桩的个数不超过 B 种充电桩 的个数,求本次追加购买最少花费多少钱? 7. 跨学科试题·生物 (9 分)(重庆期末)新高考采用“3+1+2”的模式,对生物学科提出了更高的要求. 某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力,组建了生物课外活动小组. 在一次野外实践时,同学 们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干 和小分支的总数是 21. (1)这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支? (2)学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植这种水果黄瓜,一面利用学校的墙(墙的最大可用 长度为 10 米),其余部分需要用总长为 22 米的栅栏围成,且矩形中间需用栅栏隔开,栅栏因实验需 要,有两个宽为 1 米的门(门无需栅栏,如下图所示) . 设种植田的宽 AB 为 m 米. 若该种植田的面积 为 36 平方米(栅栏的占地面积忽略不计),求该种植田的宽 m. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 专项 1 　 情境期末·九年级数学　 第 4 页 情境期末·九年级数学　 第 5 页 情境期末·九年级数学　 第 6 页 图形的相似 8. (9 分)(十堰期末)如图,F 为四边形 ABCD 边 CD 上一点,连结 AF 并延长交 BC 延长线于点 E,已 知∠DAE= ∠E. (1)求证:△ADF∽△ECF; (2)若 CF= 3,AF= 2EF,求 DC 的长度. 9. (10 分)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠B= 90°,AB= 2,BC= 6,点 D,E 分别是边 BC,AC 的中点,连结 DE, 将△EDC 绕点 C 顺时针方向旋转,记旋转角为 α. (1)问题发现 当 α= 0°时,AE BD = 　 　 　 　 ; (2)拓展探究 试判断:当 0°≤α<360°时,AE BD 的大小有无变化? 请仅就图 2 的情况给出证明; (3)问题解决 当△EDC 旋转至 A,D,E 三点共线时,如图 3,图 4,直接写出线段 AE 的长. 图 1 　 图 2 　 图 3 　 图 4 二次函数 10. (10 分)已知二次函数 y= x2 -2x-3. (1)求该二次函数的顶点坐标; (2)求该二次函数图象与 x 轴、y 轴的交点; (3)在平面直角坐标系 xOy 中,画出二次函数 y= x2 -2x-3 的图象; (4)结合函数图象,直接写出当-1≤x≤2 时,y 的取值范围. 11. (10 分)如图 1,桥拱截面 OBA 可视为抛物线的一部分,在某一时刻,桥拱内的水面宽 OA = 8 m,桥 拱顶点 B 到水面的距离是 4 m. (1)按如图 2 所示建立平面直角坐标系,求桥拱部分抛物线的函数表达式; (2)一只宽为 1. 2 m 的打捞船径直向桥驶来,当船驶到桥拱下方且距 O 点 0. 4 m 时,桥下水位刚 好在 OA 处,有一名身高 1. 68 m 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾,他的头顶是否会触碰到桥 拱,请说明理由(假设船底与水面齐平). 图 1 　 　 图 2 12. (11 分)(广西一模)如图,抛物线 y= -x2 +bx+c 与 x 轴交于点 A( -1,0)和点 B,与 y 轴交于点 C(0, -5),连结 BC. N 是线段 BC 上方抛物线上一点,过点 N 作 NM⊥BC 于 M. (1)求抛物线的解析式和点 B 的坐标; (2)求线段 NM 的最大值; (3)若点 P 是 y 轴上的一点,是否存在点 P,使以 B,C,P 为顶点的三角形与△ABC 相似? 若存在, 求点 P 的坐标,若不存在,请说明理由. 圆 13. 新趋势·过程性学习 (10 分)在☉O 中,AB=AC,连结 BC. (1)尺规作图:过点 A 作 AD∥BC,交 BO 的延长线于点 D(不写作法,保留作图痕迹); (2)求证:AD 为☉O 的切线; (3)若 AD= 2,∠DBC= 2∠ABD,则☉O 的半径为　 　 　 　 . 14. (10 分)(徐州二模)如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的☉O 与 BC 交于点 D,连结 AD. (1)若点 E 为劣弧 AD 的中点,连结 BE 交 AD 于点 F. 求证:AF·DF=BF·EF; (2)若☉O 的半径等于 4,且☉O 与 AC 相切于点 A,求阴影部分的面积(结果保留 π). 解直角三角形 15. 建筑文化·宝轮寺塔 (10 分)(南阳一模)宝轮寺塔,始建于隋文帝仁寿元年(601 年),故又称仁寿 建塔,位于河南省三门峡市陕州风景区. 数学活动小组欲测量宝轮寺塔 DE 的高度,如图,在 A 处 测得宝轮寺塔塔基 C 的仰角为 15°,沿水平地面前进 23 米到达 B 处,测得宝轮寺塔塔顶 E 的仰角 ∠EBD 为 53°,测得塔基 C 的仰角∠CBD 为 30°(图中各点均在同一平面内) . (1)求宝轮寺塔 DE 的高度; (2)实际测量时会存在误差,请提出一条减小误差的合理化建议. (结果精确到 0. 1 米,参考数据:sin53°≈ 4 5 ,cos53°≈ 3 5 ,tan53°≈ 4 3 , 3 ≈1. 73) 　 　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋