抓分练10 圆中的计算问题、正多边形和圆-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年九年级数学上册（华东师大版 河南专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 10　 圆中的计算问题、正多边形和圆 一、选择题(每小题 3 分,共 21 分) 1. 若一个圆内接正多边形的中心角是 60°,则 这个多边形是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 正九边形 B. 正八边形 C. 正七边形 D. 正六边形 2. 如图,正六边形 ABCDEF 内接于☉O,过点 O 作 OM⊥边 BC 于点 M,若☉O 的半径为 4,则边心距 OM 的长为(　 　 ) A. 2 3 B. 3 C. 2 D. 2 2 第 2 题图 　 　 第 3 题图 3. (浙江绍兴中考)如图,正方形 ABCD 内接 于☉O, 点 P 在 AB ( 上, 则 ∠BPC 的度数 为(　 　 ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 4. 如图,点 A、B、C、D 为一个正多边形的顶点, 点 O 为正多边形的中心,若∠ADB = 20°,则 这个正多边形的边数为(　 　 ) A. 9 B. 10 C. 18 D. 20 第 4 题图 　 　 　 第 5 题图 5. 如图,点 A、B、C 是☉O 上的点,已知☉O 的 半径 r = 10,∠1 = 108°,欢欢利用图中阴影 部分 制 作 一 个 圆 锥, 则 这 个 圆 锥 的 高 为(　 　 ) A. 2 B. 6 C. 8 D. 4 6 6. 生活情境·生日帽 在数学跨学科主题活动 课上,芳芳用半径 15 cm,圆心角 120°的扇 形纸板,做了一个圆锥形的生日帽,如图所 示. 在不考虑接缝的情况下,这个圆锥形生 日帽的底面圆半径是(　 　 ) A. 3 cm B. 4 cm C. 5 cm D. 6 cm 7. 生活情境·蒙古包 (眉山模拟)如图,蒙古 包可以近似地看作是由圆锥和圆柱组成, 若用毛毡搭建一个底面半径为 5 米,圆柱高 3 米,圆锥高 2 米的蒙古包,则需要毛毡的 面积为(　 　 ) A. (30+5 29 )π 平方米 B. 40π 平方米 C. (30+5 21 )π 平方米 D. 55π 平方米 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 8. (佛山一模)如图,从一个腰长为 60 cm,顶 角为 120°的等腰三角形铁皮 OAB 中剪出一 个最 大 的 扇 形 COD, 则 此 扇 形 的 弧 长 为　 　 　 　 cm. 第 8 题图 　 　 第 9 题图 9. 文化情境·数学文化 我国魏晋时期数学家 刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割 圆术”,即利用圆的内接正多边形逼近圆的 方法来近似估算,指出“割之弥细,所失弥 91 情境期末·ZBH·九年级数学 少. 割之又割,以至于不可割,则与圆周合 体,而无所失矣” . 如图,☉O 的半径为 1,运 用“割圆术”,以圆内接正六边形面积近似 估计 ☉O 的 面 积, 可 得 π 的 估 计 值 为 　 　 　 　 . (结果保留根号) 10. 如图,正六边形 ABCDEF 的外接圆☉O 的 半径为 2,过圆心 O 的两条直线 l1、l2 的夹 角 为 60°, 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为　 　 　 　 . 第 10 题图 　 　 　 第 11 题图 11. 如图,将矩形 ABCD 绕着点 A 逆时针旋转 得到矩形 AEFG,点 B 的对应点 E 落在边 CD 上,若 AB = 6 ,BC = 3 ,则 CF ( 长为 　 　 　 　 . 三、解答题(共 17 分) 12. (8 分)如图所示,已知正八边形 ABCDEF- GH 内接于☉O,连结 AC、BD,相交于点 P, 若☉O 的半径为 1. (1)求 AC 的长; (2)求∠APD 的度数. 13. 生活情境·摩天轮 (9 分) (邢台模拟)石 家庄水上公园南侧新建的摩天轮吸引了 附近市民的目光,据工作人员介绍,新建 摩天轮直径为 100 m,最低点距离地面 1 m,摩天轮的圆周上均匀地安装了 24 个 座舱(本题中将座舱视为圆周上的点),游 客在距离地面最近的位置进舱. (1)小明所在座舱到达最高点时距离地面 的高度为　 　 　 　 m; (2)在小明进座舱后间隔 3 个座舱小亮进 入座舱(如图,此时小明和小亮分别位于 P,Q 两点) . ①求两人所在座舱在摩天轮上的距离(PQ ( 的长); ②求此时两人所在座舱距离地面的高度 差. 　 　 02 3. D　 【解析】连结 AD. ∵ OA=OD,∠AOD = 50°,∴ ∠ADO = 180°-∠AOD 2 = 65°. ∵ AO∥DC,∴ ∠ODC = ∠AOC = 50°, ∴ ∠ADC= ∠ADO+∠ODC= 115°,∴ ∠B = 180°-∠ADC = 65°. 故选 D. 4. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是☉O 的内接四边形,∴ ∠A +∠BCD= 180°. ∵ ∠BCD= 105°,∴ ∠A= 75°,∴ ∠BOD = 2∠A= 150°. ∵ ∠BOC = 2∠COD,∴ ∠COD = 1 3 × 150° = 50°,∴ ∠CBD= 1 2 ∠COD= 25°. 故选 B. 5. A 6. D　 【解析】过 A 作 AB⊥NM 于 B,连结 AM,由题意,得 MB=NB,∴ MN= 9-3 = 6,AM= 5,∴ BM=BN = 3,OB = 3+3 = 6,由勾股定理得:AB = 52 -32 = 4,∴ 点 A 的坐标为 (-4,-6) . 故选 D. 7. B　 【解析】∵ 点 D 是弓臂 AB ( 的中点,∴ OD⊥AB,∴ AC= 2dm. ∵ CD= 1dm,∴ OC= ( r-1)dm. ∵ OA2 -OC2 = AC2,即 r2 -( r-1) 2 = 22,∴ r= 2. 5(dm) . 故选 B. 二、填空题 8. 9 9. 75°　 【解析】∵ ∠AOD= 30°,∴ ∠BOA= 180°-30° = 150°. ∵ C 是 AB ( 的中点,∴ ∠BOC=∠AOC= 1 2 ∠BOA=75°. 10. 20 11. 2 3 　 【解析】连结 AC,BC. ∵ AB 是圆的直径,∴ ∠ACB = 90°,在Rt△ACB 中,BC = 2,AC = 3,∴ tan∠CAB = BC AC = 2 3 . ∵ ∠BDC = ∠BAC, ∴ tan ∠BDC = tan ∠CAB = BC AC = 2 3 . 三、解答题 12. (1)解:如图,点 E 即为所求: (2)证明:设∠EAC= x,DE 交 AB 于点 H. ∵ AB 为☉O 的 直径,CD⊥AB,CE ( = CB ( , ∴ DB ( = CB ( = CE ( , ∴ ∠EAC = ∠CAB= ∠EDC= x,∠DEC = 2x,∴ ∠EAB = 2x,∠DHB = 90°-x= ∠AHE,在△AEH 中,∠AEH = 180° - 2x-( 90° - x)= 90°-x,∴ ∠AEM = 180° -( 90° -x) - 2x = 90° -x,∴ ∠AEH= ∠AEM,∴ EA 平分∠DEM; (3)证明:连结 BD,由(2)可知∠AEH = ∠AHE,∴ AE = AH,即△AEH 是等腰三角形. ∵ ∠EAC = ∠CAB,∴ EF = HF. ∵ CE ( = BC ( ,∴ ∠EDC = ∠CDB. ∵ CD⊥AB,∴ DH = BD. ∵ DB ( =CB ( =CE ( ,∴ EC =BD =DH,∴ FD-FH =BD,即 FD-EF=EC. 13. (1)证明:连结 OP. ∵ OA = OP,∴ ∠BAC = ∠APO. ∵ CP =CB,∴ ∠B = ∠BPC,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,∴ ∠BAC+∠B = 90°,∴ ∠APO+ ∠BPC = 90°,∴ ∠OPC = 180°-90° = 90°,∴ OP⊥CP,∵ OP 为☉O 的半径,∴ 直 线 CP 是☉O 的切线; (2) 解:在 Rt △ABC 中, ∠ACB = 90°, ∠B = 60°,BC = 3 3 ,∴ AC= 9,∵ CP =CB,∴ PC = 3 3 ,设☉O 的半径为 r,在 Rt△OPC 中,r2 +(3 3 ) 2 = (9-r) 2 ,解得 r= 3,∴ ☉O 的半径为 3. 基础知识抓分练 10 圆中的计算问题、正多边形和圆 一、选择题 1. D 2. A　 【解析】连结 OB、OC. ∵ 六边形 ABCDEF 是正六边 形,∴ ∠BOC= 60°,OB=OC= 4,∴ △OBC 是等边三角形, ∴ BC = OB = OC = 4. ∵ OM ⊥ BC, ∴ BM = CM = 2, 在 Rt△OBM 中,OM= OB2 -BM2 = 2 3 . 故选 A. 3. B　 【解析】连结 OB、OC. ∵ 正方形 ABCD 内接于☉O,∴ ∠BOC= 90°, ∴ BC ( 所对的圆心角为 90°, ∴ ∠BPC = 1 2 ∠BOC= 45°. 故选 B. 4. A　 5. C 6. C　 【解析】由题意,得扇形弧长是120π ×15 180 = 10πcm,设 圆锥的底面半径是 rcm,则 2πr= 10π,解得 r= 5. 故选 C. 7. A　 【解析】∵ 底面圆的半径为 5 米,圆锥高为 2 米,∴ 圆 锥的母线长= 22 +52 = 29(米),所以圆锥的侧面积 = 1 2 ·2π·5· 29 = 5 29 π(平方米);圆柱的侧面积 = 2π·5·3 = 30π(平方米),所以需要毛毡的面积= (30π+ 5 29 π)平方米. 故选 A. 二、填空题 8. 20π　 【解析】过 O 作 OE⊥AB 于 E,当扇形的半径为 OE 时扇形 OCD 最大. ∵ OA = OB = 60cm,∠AOB = 120°,∴ ∠A= ∠B = 30°,∴ OE = 1 2 OA = 30cm,∴ 弧 CD 的长 = 120π×30 180 = 20π(cm) . 9. 3 3 2 10. 2π 3 - 3 　 【解析】设直线 l1 与 AB ( 交于点 N,与 AB 交于 点 G,与 DE 交于点 H. 直线 l2 与 CD 交于点 K,与 CD ( 交 于点 M. 连结 AD,OC. ∵ ☉O 是正六边形的外接圆,∴ AD 必过点 O,∠COD= 360° 6 = 60°. 又∵ OC=OD,∴ △COD 是 等边三角形,OC = OD = CD = 2. ∵ 直线 l1, l2 的夹角为 60°,∴ ∠COD - ∠KOD = ∠KOH - ∠KOD, 即 ∠COK = ∠DOH. 又 ∵ ∠DOH = ∠AOG, ∴ ∠COK = ∠AOG. ∵ ∠OCK=∠OAG = 60°,OC =OA. ∴ △OCK≌△OAG(A. S. A. ),S扇形COM =S扇形AON,∴ S扇形COM -S△OCK = S扇形AON -S△OAG,∴ S阴影 =S扇形COD-S△COD = 60×π×22 360 - 1 2 ×2× 3 = 2 3 π- 3 . 11. 3π 4 　 【解析】连结 AC、AF,过点 E 作 EM⊥AB 于 M,则 EM = CB = 3,由旋转的性质可知,AB = AE = 6,AC = AF, 在 Rt △ABC 中, AC = ( 6) 2 +( 3) 2 = 3, 在 Rt△AEM 中,AM= ( 6) 2 -( 3) 2 = 3,∴ AM = EM,∴ ∠EAM= 45°,由旋转可得,∠FAC = ∠EAM = 45°,∴ CF ( 的长为 45·π·3 180 = 3π 4 . 三、解答题 12. 解:(1)连结 OA,OB,设 OB 与 AC 交于点 Q,由题意可 知,QA=QC,OB⊥AC. ∵ 多边形 ABCDEFGH 是正八边 形,∴ ∠AOB = 360° 8 = 45°, ∴ QA = OQ = OAsin ∠AOB = 2 2 ,∴ AC= 2QA= 2 ; 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBH·九年级数学　 第 6 页 (2)∵ AFD ( 所对的圆心角为 5∠AOB= 225°,∴ AFD ( 所对 的圆周角为∠ABD = 1 2 × 225° = 112. 5°. ∵ ∠BAC = 1 2 × 45° = 22. 5°,∴ ∠APD= ∠ABD+∠BAC= 135°. 13. 解:(1)101 (2)①∵ 摩天轮的圆周上均匀地安装了 24 个座舱,∴ 每相邻两个座椅之间所对的圆心角为 360°÷24 = 15°,∴ ∠POQ= 4×15° = 60°,∴ PQ ( 的长为:60π ×50 180 = 50π 3 (m), ∴ 两人所在座舱在摩天轮上的距离为50π 3 m; ②作 PN⊥OQ 于 N,在 Rt△OPN 中,OP = 50m,∠PON = 60°,∴ ON= 1 2 OP = 25m,∴ NQ =OQ-ON = 25m,∴ 两人 所在座舱距离地面的高度差为 25m. 追梦专项一　 大题抢分练 1. 解:(1)原式= 2+ 2 2 -1+2 2 -2 = -1+ 5 2 2 ; (2)原式= - 1 4 +1-2 3 + 1 2 = 5 4 -2 3 ; (3)原式= 3 2 -2× 2 2 - 3 - 2 2 2× 1 2 = 3 2 - 2 - 3 + 2 2 = - 3 2 - 2 2 ; (4)∵ a= 2,b= 1,c = -2,∴ Δ = b2 -4ac = 1+4×2×2 = 17 > 0, ∴ x = -b± b2 -4ac 2a = -1± 17 4 , 解 得 x1 = -1+ 17 4 ,x2 = -1- 17 4 . 2. 解:任务一:①移项　 ②二　 符号错误 任务二:∵ 3(x-3)= (x-3) 2,∴ 3( x-3) -( x-3) 2 = 0, 则(x-3)(3-x+3)= 0,∴ x-3 = 0 或 3-x+3 = 0,解得 x1 = 3,x2 = 6. 3. (1)证明:∵ Δ = ( -6m) 2 -4×7m2 = 8m2 ≥0,∴ 该方程 总有两个实数根; (2)解:当 m= 2时,方程化为 x2 -6 2 x+14 = 0,∴ x1 + x2 = 6 2 .　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　【解题技巧】(1)先计算根的判别式的值得到 Δ = 8m2, 则 Δ≥0,然后根据根的判别式的意义得到结论;(2) 直接利用根与系数的关系:若 x1,x2 是一元二次方程 ax2 +bx+c = 0(a≠0)的两根时,x1 +x2 = - b a ,x1 x2 = c a 求解. 4. 解:(1) 1 4 (2)列表如下: 生 旦 净 丑 生 (生,旦) (生,净) (生,丑) 旦 (旦,生) (旦,净) (旦,丑) 净 (净,生) (净,旦) (净,丑) 丑 (丑,生) (丑,旦) (丑,净) 共有 12 种等可能的结果,其中王娟抽取的两张明信 片上的卡通形象有一张为丑的结果有: ( 生,丑), (旦,丑),(净,丑),(丑,生),(丑,旦),(丑,净),共 6 种,∴ 王娟抽取的两张明信片上的卡通形象有一张为 丑的概率为 6 12 = 1 2 . 5. 解:(1)60　 　 54° 补全条形统计图如图所示: (2)800× 15 60 = 200(人),答:该校七年级 800 名学生中 选择“厨艺”劳动课程的大约有 200 人; (3)用列表法表示所有可能出现的结果如下: 园艺 电工 木工 编织 园艺 (电工,园艺) (木工,园艺) (编织,园艺) 电工 (园艺,电工) (木工,电工) (编织,电工) 木工 (园艺,木工) (电工,木工) (编织,木工) 编织 (园艺,编织) (电工,编织) (木工,编织) 共有 12 种等可能出现的结果,其中选中“园艺、编 织”的有 2 种,∴ 恰好选中“园艺、编织”这两类劳动 课程的概率为 2 12 = 1 6 . 6. 解:(1)设这三个月该市新建智能充电桩个数的月平 均增长率为 x. 根据题意得:300(1+x) 2 = 432,解得 x1 = 0. 2 = 20%,x2 = -2. 2(不符合题意,舍去) . 答:这三 个月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率 为 20%; (2)设本次追加购买 m 个 A 种充电桩,则追加购买 (100-m)个 B 种充电桩. 根据题意得:m≤100-m,解 得 m≤50. 设本次追加购买共花费 w 万元,则 w = 0. 5m+0. 6(100-m),即 w = -0. 1m+60. ∵ -0. 1<0,∴ w 随 m 的增大而减小,∴ 当 m= 50 时,w 取得最小值, 最小值为-0. 1×50+60 = 55(万元) . 答:本次追加购买 最少花费 55 万元. 7. 解:(1)设这种水果黄瓜每个支干长出 x 个小分支. 根 据题意得 1+x+x2 = 21,整理得 x2 +x-20 = 0,解得 x1 = 4,x2 = -5(不符合题意,舍去) . 答:这种水果黄瓜每个 支干长出 4 个小分支; (2)∵ 栅栏的总长为 22 米,且种植田的宽 AB 为 m 米,∴ 种植田的长 AD 为(22+1×2-3m)米. 根据题意 得(22+1×2-3m) ·m = 36,整理得 m2 -8m+12 = 0,解 得 m1 = 2,m2 = 6,当 m= 2 时,22+1×2-3×2 = 18>10,不 符合题意;当 m = 6 时,22+1×2-3×6 = 6<10,符合题 意. 答:该种植田的宽 AB 为 6 米. 8. (1) 证明:∵ ∠DAE = ∠E,∠AFD = ∠EFC,∴ △ADF ∽△ECF; (2)解:∵ AF = 2EF,∴ AF EF = 2. ∵ △ADF∽△ECF,∴ DF CF = AF EF = 2. ∵ CF= 3,∴ DF= 6,∴ DC=CF+DF= 9. 9. 解:(1) 10 3 (2) AE BD 的大小无变化,理由如下:∵ 将△EDC 绕点 C 顺时针方向旋转,且点 D,E 分别是边 BC,AC 的中点, ∴ CD BC = CE AC = 1 2 ,∠ACB = ∠DCE,∴ CD CE = BC AC ,∠ACE = ∠BCD. ∴ △ACE∽△BCD,∴ AE BD =CE CD = 10 3 ; 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBH·九年级数学　 第 7 页