抓分练8 二次函数的应用-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年九年级数学上册（华东师大版 河南专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 8　 二次函数的应用 一、选择题(每小题 3 分,共 15 分) 1. 已知二次函数 y = ax2 +bx+c(a≠0,a,b,c 为 常数)的 y 与 x 的部分对应值如表: x 3. 23 3. 24 3. 25 3. 26 y -0. 06 -0. 08 -0. 03 0. 09 判断方程 ax2 +bx+c = 0. 02 的一个解 x 的取 值范围是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 3<x<3. 23 B. 3. 23<x<3. 24 C. 3. 24<x<3. 25 D. 3. 25<x<3. 26 2. 如图,一次函数 y= kx+b(k≠0)与抛物线 y= ax2+bx+c(a≠0)相交于 A、B 两点,则关于 x 的不等式 ax2+bx+c>kx+b 的解集为(　 　 ) A. x<-2 或 x>2 B. x>2 C. x<2 D. -2<x<2 第 2 题图 　 　 第 3 题图 3. 某超市对进货价为 10 元 /千克的某种苹果 的销售情况进行统计,发现每天销售量 y (千克) 与销售价 x(元 / 千克) 存在一次函 数关系,如图所示. 则最大利润是(　 　 ) A. 180 B. 220 C. 190 D. 200 4. 如图 1 是一个横截面为抛物线形状的拱桥, 拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 3 m,水面宽 6 m. 如图 2 建立平面直角坐标系,则抛物线 的关系式是(　 　 ) A. y= - 1 3 x2 B. y= 1 3 x2 C. y= -3x2 D. y= 3x2 图 1 　 　 图 2 5. 生活情境·球运动轨迹 如图,以 40 m / s 的速 度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时, 小球的飞行路线将是一条抛物线. 如果不 考虑空气阻力,小球的飞行高度 h(单位: m)与飞行时间 t(单位:s)之间具有函数关 系 h= 20t-5t2 . 有下列结论: ①小球从飞出到落地用时为 4 s; ②小球飞行的最大高度为 20 m; ③小球的飞行高度为 15 m 时,小球飞行的 时间是 1 s. 其中,正确结论的个数是(　 　 ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题(每小题 3 分,共 9 分) 6. 生活情境·奖杯 如图,小明以抛物线为灵 感,在平面直角坐标系中设计了一款高 OD 为 13 的奖杯,杯体轴截面 ABC 是抛物线 y = 4 7 x2 + 6 的一部分,则杯口的口径 AC 长 为　 　 　 　 . 第 6 题图 　 　 第 7 题图 7. 已知二次函数 y= -x2 +x+2 及一次函数 y= x +m,将二次函数在 x 轴上方的图象沿 x 轴 翻折到 x 轴下方,图象的其余部分不变,得 到一个新图象(如图所示),当直线 y = x+m 与这个新图象有四个交点时,m 的取值范围 是　 　 　 　 　 　 　 . 8. 如图 1,“东方之门”通过简单的几何曲线处 理,将传统文化与现代建筑融为一体,最大 程度地传承了苏州的历史文化. 如图 2, 51 情境期末·ZBH·九年级数学 “门”的内侧曲线呈抛物线形,已知其底部 宽度为 80 米,高度为 200 米. 则离地面 150 米处的水平宽度(即 CD 的长)为　 　 　 　 . 图 1 　 　 　 图 2 三、解答题(共 21 分) 9. (9 分) (河南中考)小红看到一处喷水景 观,喷出的水柱呈抛物线形状,她对此展开 研究:测得喷水头 P 距地面 0. 7 m,水柱在 距喷水头 P 水平距离 5 m 处达到最高,最 高点距地面 3. 2 m. 建立如图所示的平面直 角坐标系,并设抛物线的表达式为 y = a(x- h) 2 +k,其中 x( m)是水柱距喷水头的水平 距离,y(m)是水柱距地面的高度. (1)求抛物线的表达式; (2)爸爸站在水柱正下方,且距喷水头 P 水 平距离 3 m. 身高 1. 6 m 的小红在水柱下方 走动,当她的头顶恰好接触到水柱时,求她 与爸爸的水平距离. 　 　 　 10. (12 分)已知抛物线 y=ax2 +bx-4 经过点 A ( -2,0)、B(4,0),与 y 轴交于点 C. (1)求这条抛物线的解析式; (2)如图 1,点 D 为抛物线的顶点,若点 M 为 y 轴上一点,当点 M 到点 A、D 的距离和 最小时,求点 M 的坐标; (3)如图 2,点 P 是第四象限内抛物线上的 一个动点,当四边形 ABPC 的面积最大时, 求点 P 的坐标. 图 1 　 　 图 2 61 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【解题技巧】根据点(1,m)和点(3,n)在抛物线 y = ax2 +bx (a>0)上,得出 a+b<0,9a+3b>0,再根据点(-1,y1),(2, y2),(4,y3)在该抛物线上,求出 y1 = a-b,y2 = 4a+2b,y3 = 16a+4b,利用作差法比较大小即可. 三、解答题 10. 解: ( 1 ) 设函数关系式为 y = kx + b, 由题意可得: 260 = 28k+b 240 = 30k+b{ ,解得 k= -10 b= 540{ ,∴ 函数关系式为 y = - 10x +540; (2)由题意可得:w = (x-20) y = (x-20) ( - 10x+ 540) = -10(x-37) 2 +2890. ∵ - 10< 0,∴ 当 x = 37 时,w 有最大 值为 2890,答:当销售单价定为 37 元时,才能使每天的 销售利润最大. 11. 解:(1)把(0,0)代入 y = -x2 +2x+c 得 c = 0,∴ 抛物线解 析式为 y= -x2 +2x. ∵ y= -x2 +2x= -(x-1) 2 +1,∴ 顶点 B 的坐标为(1,1); (2)当 y= 0 时,-x2 +2x= 0,解 x1 = 0,x2 = 2,∴ A(2,0),∴ S△OAB = 1 2 ×2×1 = 1; (3)设 C 点坐标为( t,- t2 + 2t) . ∵ S△OAC = 8,∴ 1 2 × 2 × | -t2 +2t | = 8,即 t2 -2t= 8 或 t2 -2t = -8,解方程 t2 -2t = 8 得 t1 = -2,t2 = 4,∴ C 点坐标为(-2,-8)或(4,-8),方程 t2 -2t= -8 无实数解,综上所述,C 点坐标为( -2,-8)或 (4,-8) . 12. 解:(1)-x2 +6x　 　 　 　 0<x<6 (2)①6. 75　 ②函数图象如图所示: (3)①当 0<x<3 时,y 随 x 的增大而增大(答案不唯一)②3 基础知识抓分练 8 二次函数的应用 一、选择题 1. D　 2. A 3. D　 【解析】设 y = kx+ b,由图象可知, 20k+b= 2030k+b= 0{ ,解得 k= -2 b= 60{ ,∴ y= -2x+60;设销售利润为 p,根据题意得,p = (x-10)(-2x+60)= -2x2 +80x-600. ∵ a= -2<0,∴ p 有最 大值,当 x= - 80-2×2 = 20 时,p最大值 = 200. 即当销售单价为 20 元 / 千克时,每天可获得最大利润 200 元. 故选 D. 4. A 5. C　 【解析】令 h= 0,则 20t-5t2 = 0,解得 t1 = 0,t2 = 4,∴ 小 球从飞出到落地用时为 4s,故①正确;h= 20t-5t2 = -5( t2 -4t)= -5( t-2) 2 +20. ∵ -5<0,∴ h 的最大高度为 20m,故 ②正确;令 h= 15,则 20t-5t2 = 15,解得 t1 = 1,t2 = 3,∴ 小 球的飞行高度是 15m 时,小球的飞行时间是 1s 或 3s,故 ③错误. 故选 C. 二、填空题 6. 7　 【解析】∵ OD = 13,∴ 点 D 的坐标为 D(0,13),当 y = 13 时, 4 7 x2 +6 = 13,解得 x = ± 7 2 ,∴ A(- 7 2 ,13),C( 7 2 , 13),∴ AC= 7 2 -(- 7 2 )= 7. 7. -3<m<-2　 【解析】如图所示,过点 B 作直线 y= x+m1,将 直线向下平移,则一次函数 y = x+m 在两条直线之间时, 两个图象有 4 个交点,令 y = -x2 +x+2 = 0,解得 x = -1 或 2,即点 B 坐标(2,0),翻折抛物线的表达式为:y = (x-2) (x+1)= x2 -x- 2,将一次函数与二次函数表达式联立并 整理得 x2 -2x-2-m= 0,由 Δ= b2 -4ac= 4+4(2+m)= 0,解 得:m= -3,当一次函数过点 B 时,将点 B 坐标代入:y = x +m 得:0 = 2+m,解得:m= -2. 综上所述,m 的取值范围为 -3<m<-2. 8. 40 米 三、解答题 9. 解:(1)由题意知,抛物线顶点为(5,3. 2) . 设抛物线的表 达式为 y= a(x-5) 2 +3. 2,将(0,0. 7)代入得 0. 7 = 25a+ 3. 2,解得 a= - 1 10 . ∴ y= - 1 10 (x-5) 2 +3. 2 = - 1 10 x2 +x+ 7 10 , 即抛物线的表达式为 y= - 1 10 x2 +x+ 7 10 ; (2)当 y= 1. 6 时,- 1 10 x2 +x+ 7 10 = 1. 6,解得 x = 1 或 x = 9,3 -1 = 2(m)或 9-3 = 6(m),∴ 她与爸爸的水平距离为 2 米 或 6 米. 10. 解:(1)把点 A( - 2,0),B(4,0)代入抛物线解析式 y = ax2 +bx-4,得 4a-2b-4 = 016a+4b-4 = 0{ ,解得 a= 1 2 b= -1 { . ∴ 抛物线的解 析式为:y= 1 2 x2 -x-4; (2)对称轴 x= - -1 2× 1 2 = 1,把 x= 1 代入抛物线解析式,得 y= - 9 2 . ∴ 点 D(1,- 9 2 ),连结 AD 交 y 轴于点 M,则点 M 为所求点,设直线 AD 的表达式为:y = mx+n,把点 A (-2,0),D(1,- 9 2 )代入,得 0 = -2m+n - 9 2 =m+n{ ,解得 m= - 3 2 n= -3 { , 即直线 AD 的表达式为:y = - 3 2 x-3,当 x = 0 时,y = -3, 则点 M(0,-3); (3)连结 BC,过点 P 作 PH∥y 轴交 BC 于点 H. 由点 B (4,0)、C(0,-4)得,直线 BC 的表达式为:y = x-4. 设点 H(x,x-4),则点 P(x, 1 2 x2 -x-4),∴ PH= (x-4)-( 1 2 x2 -x-4)= - 1 2 x2 +2x. ∴ S四边形ABPC =S△ABC+S△PBC = 1 2 AB×OC + 1 2 PH×OB = 1 2 × ( 4 + 2) × 4 + 1 2 × ( - 1 2 x2 + 2x) × 4 = -(x-2) 2 +16≤16,故当 x= 2 时,四边形 ABPC 的面积最 大,此时,点 P 的坐标为(2,-4) . 基础知识抓分练 9 圆的认识及位置关系 一、选择题 1. D 2. A　 【解析】∵ ∠ACB = 25°,∴ ∠AOB = 2∠ACB = 50°,又 ∵ ∠DOA ∶∠AOB= 2 ∶1,∴ ∠DOA = 2×50° = 100°. ∵ OA = OD,∴ ∠D= 180° -100° 2 = 40°. 故选 A. 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBH·九年级数学　 第 5 页