抓分练5 解直角三角形-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年九年级数学上册（华东师大版 河南专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 5　 解直角三角形 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 在 Rt △ABC 中,∠C = 90°,若 sinA = 3 5 ,则 cosB 的值是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 3 4 B. 4 3 C. 3 5 D. 4 5 2. 点( -sin60°,cos60°) 关于 y 轴对称的点的 坐标是(　 　 ) A. ( 3 2 , 1 2 ) B. ( - 3 2 , 1 2 ) C. ( - 3 2 ,- 1 2 ) D. ( - 1 2 ,- 3 2 ) 3. 已知在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,tanA = 1 2 ,BC = 8,则 AC 等于(　 　 ) A. 6 B. 16 C. 12 D. 4 4. 如图,在△ABC 中,∠ACB = 90°,DE 垂直平 分 AB,分别交 AB、BC 于点 D、E,AE 平分 ∠BAC, ∠B = 30°, DE = 2, 则 BC 的 长 为(　 　 ) A. 2 3 +2 B. 4 3 C. 4 D. 6 第 4 题图 　 　 第 5 题图 5. 生活情境·梯子斜靠 如图,梯子跟地面的夹 角为∠α,关于∠α 的三角函数值与梯子的 倾斜程度之间的叙述正确的是(　 　 ) A. sinα 的值越小,梯子越陡 B. cosα 的值越小,梯子越陡 C. tanα 的值越小,梯子越陡 D. 陡缓程度与∠α 的函数值无关 6. (佛山模拟)如表是小亮填写的实践活动报 告的部分内容:设树顶到地面的高度 DC = x 米,根据以下条件,可以列出求树高的方程 为(　 　 ) 题目 测量树顶到地面的距离 测量目标 示意图 相关数据 AB= 30 米,∠α= 28°,∠β= 45° A. x= (x-30)tan28° B. x= (30+x)tan28° C. x+30 = xtan28° D. x-30 = xtan28° 二、填空题(每小题 3 分,共 9 分) 7. (威海期末)在△ABC 中,若∠A、∠B 满足 | sinA- 3 2 | + ( 1 - tanB) 2 = 0,则∠C 的度数 为　 　 　 　 . 8. (泰州期中)在△ABC 中,∠C = 90°,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,若 a2 = bc,则 sinB 的值为　 　 　 　 . 9. 新定义 定义:若一个三角形一边上的中 线、高线与这条边有两个交点,这两个交点 之间的距离称为这条边上的“中高距” . 如 图,△ABC 中,AD 为 BC 边上的中线,AE 为 BC 边上的高线,则 DE 的长称为 BC 边上的 “中高距” . (1)若 BC 边上的“中高距” 为 0,则△ABC 的形状是　 　 　 　 三角形; (2)若∠B= 30°,∠C = 45°,AB = 4,则 BC 边 上的“中高距”为　 　 　 　 . 三、解答题(共 28 分) 10. (9 分) 如图,在△ABC 中,DE 垂直平分 AB,分别交 AB 于点 D,交 BC 于点 E,且 AE 平分∠BAC,∠B= 30°. (1)求∠C 的度数; (2)若 DE= 3,求 BC 的长. 9 情境期末·ZBH·九年级数学 11. 数学思想·数形结合 (10 分) (衡阳期末) 阅读以下材料,并按要求完成相应的任 务. 构建几何图形解决代数问题是“数形结 合”思想的重要应用,例如:在计算 tan15° 时,可构造如图 1 所示的图形. 在 Rt△ACB 中,∠C = 90°,∠ABC = 30°,设 AC = x( x> 0),延长 CB 至点 D,使得 BD = AB,连结 AD,易知∠D= 15°,CD=BD+BC=AB+BC= 2x+ 3 x,所以 tan15° = tanD= … 图 1 　 图 2 任务: (1)请根据上面的步骤,完成 tan15°的计 算; (2 ) 请 类 比 这 种 方 法, 计 算 图 2 中 tan22. 5°的值. 12. 热点情境·郑北大桥 (9 分)郑北大桥横跨 亚洲最大铁路编组站,该桥为独塔双索面 钢混凝土结合梁斜拉桥,是国内同类型桥 中桥面最宽的结合梁斜拉桥. 某数学“综 合与实践”小组的同学把“测量郑北大桥 的某组斜拉索最高点到桥面的距离”作为 一项课题活动,进行了探究,具体过程如 下: 【方案设计】如图,分别在 A,B 两点放置测 角仪,测得∠CDE 和∠CED 的度数,并量 出 AB 的距离,即可解决问题; 【数据收集】∠CDE = 37°,∠CED = 45°,AB = 347 米,测角仪 AD 和 BE 的高度为 1. 5 米; 【问题解决】求郑北大桥某组斜拉索最高 点 C 到桥面 AB 的距离. (结果保留整数. 参 考数据: sin37° ≈ 0. 6, cos37° ≈ 0. 8, tan37°≈0. 75) 　 　 01 时,AD AB =AE AC ,∴ x 6 = 12-2x 12 ,解得 x = 3;当△ADE∽△ACB 时,AD AC =AE AB ,∴ x 12 = 12-2x 6 ,解得 x= 4. 8. 9. 8　 【解析】过点 E 作 EF⊥AO,垂足为 F,过点 B 作 BG⊥ EF,垂足为 G,∴ ∠BGE = ∠EFO = 90°,∴ ∠EBG+∠BEG = 90°,由题意得:OF=CE=CD+DE= 2m,AB =FG = 6m,AF =BG,EF=CO. ∵ AO = 10m,∴ AF = BG = OA-OF = 8m. ∵ ∠BEG+ ∠FEO = 90°, ∴ ∠EBG = ∠FEO, ∴ △BEG ∽ △EOF,∴ BG EF =EG OF ,∴ 8 EG+6 = EG 2 ,解得 EG = 2 或 EG = -8 (舍去),∴ OC =EF = 2+6 = 8(m),∴ 裁判与立柱之间的 水平距离 OC 的长为 8m. 三、解答题 10. (1)证明:∵ AB=AC,AD 为 BC 边上的中线,∴ AD⊥BC. ∵ DE⊥AB,∴ ∠BED = ∠ADC = 90°. ∵ AB = AC,∴ ∠B = ∠C,∴ △BDE∽△CAD; (2)解:∵ AD 为 BC 边上的中线,BC = 10,∴ BD = CD = 1 2 BC= 5. ∵ △BDE∽△CAD,AC = 13,∴ BE CD = BD AC ,即BE 5 = 5 13 ,∴ BE= 25 13 . 11. 解:过 C 作 CD⊥MN 于 D,延长交 A′B′于 E,则 AB∥MN ∥A′ B′, ∴ ∠MNC = ∠A′ B′ C, ∠NMC = ∠B′ A′ C, ∴ △MNC∽△A′B′C,∵ CE⊥A′B′,∴ MN A′B′ = CD CE . ∵ CE = 5m,DE= 3m,A′B′ = AB = 0. 8m,∴ CD = CE-DE = 2m,∴ MN 0. 8 = 2 5 ,∴ MN= 0. 32,答:镜面长 MN 至少为 0. 32 米. 基础知识抓分练 4 中位线、位似图形和图形与坐标 一、选择题 1. A　 【解析】∵ 点 A(a,-1)与点 B(2,b)关于原点对称,∴ a= -2,b= 1,∴ a+b= -2+1 = -1. 故选 A. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【解题技巧】两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相 反,即点 P(x,y)关于原点 O 的对称点是 P′(-x,-y). 2. C　 3. D 4. B　 【解析】由题意,得 DE 是△ABC 的中位线. ∵ BC = 14,∴ DE= 1 2 BC= 7. ∵ ∠AFB = 90°,AB = 8,∴ DF = 1 2 AB = 4,∴ EF=DE-DF= 7-4 = 3. 故选 B. 5. A　 【解析】设点 B′的横坐标为 x,则 B、C 间的水平距离 为 a-1,B′、C 间的水平距离为-x+ 1. ∵ △ABC 放大到原 来的 2 倍得到△A′B′C,∴ 2(a-1)= -x+1,解得 x = -2a+ 3. 故选 A. 6. D　 【解析】∵ 点 G 是△ABC 的重心,∴ BG = 2GE. ∵ BE = BG+GE= 15,∴ BG= 10. 故选 D. 二、填空题 7. (2,3)或(0,-1) 8. 8　 【解析】由题意,得正方形 ABCD 的周长 ∶四边形 A′B′ C′D′的周长=AB ∶A′B′ = 1 ∶ 2. ∵ 正方形 ABCD 的周长为 4,∴ 四边形 A′B′C′D′的周长为 8. 9. 30 13 　 【解析】连结 CM. ∵ 点 D、E 分别为 CN,MN 的中点, ∴ DE= 1 2 CM. 当 CM⊥AB 时,CM 的值最小,此时 DE 的 值也最小. 由勾股定理得:AB = AC2 +BC2 = 52 +122 = 13. ∵ S△ABC = 1 2 ·AB·CM = 1 2 ·AC·BC,∴ CM = 60 13 . ∴ DE= 1 2 CM= 30 13 . 10. (-1011,-1012) 三、解答题 11. 解:(1)如图,△A′B′C′即为所求. (2)由图象可知:B′(4,8),C′(8,2) . S△A′B′C′ = 6×8- 1 2 ×2 ×8- 1 2 ×6×2- 1 2 ×6×4 = 22. 12. (1)证明:在△ABC 中. ∵ 点 D、E 分别是 AB 与 AC 的中 点,∴ AD AB = AE AC = 1 2 . ∵ ∠A = ∠A,∴ △ADE∽△ABC,∴ ∠ADE= ∠ABC,DE BC =AD AB = 1 2 ,∴ DE∥BC,DE= 1 2 BC; (2) 10 　 【解析】连结 AR. ∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠D= 90°. ∵ 点 R 是 CD 的中点,CD = 4,∴ DR = 1 2 CD = 2. ∵ AD = 6,∴ AR = AD2 +DR2 = 62 +22 = 2 10 . ∵ E、F 分别是 AP、RP 的中点,∴ EF= 1 2 AR= 10 . (3)4 或 10　 【解析】如图 1,延长 AD 交∠ABC 平分线于 点 G,延长 FE 交 AB 于点 H. ∵ BG 平分∠ABC,∴ ∠ABG = ∠CBG. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC,AB =CD= 14,∴ ∠G = ∠CBG,∴ ∠G = ∠ABG,∴ AG = AB = 14. ∵ AF⊥BG,∴ BF=FG. ∵ 点 E 是 CD 的中点,∴ CE = DE,∴ CE DE =BF FG = 1,∴ EF∥BC∥AG,∴ FH AG =BF BG = 1 2 ,∴ FH = 1 2 AG= 7. ∵ EF= 3,∴ EH= 4. ∴ BC=EH = 4;如图 2,∵ EF∥BC,AB∥CD,∴ 四边形 BCEH 是平行四边形,同理 可得:FH= 1 2 AG= 7. ∵ EF= 3,∴ EH=FH+EF = 10. ∵ EH ∥BC,AB∥CD,∴ 四边形 BCEH 是平行四边形,∴ BC = EH= 10;综上所述,BC= 4 或 10. 基础知识抓分练 5 解直角三角形 一、选择题 1. C　 【解析】Rt△ABC 中,∠C = 90°,∴ ∠A+∠B = 90°,∴ cosB= sinA= 3 5 . 故选 C. 2. A　 3. B 4. D　 【解析】由题意,得 EC=ED= 2. ∵ DE 垂直平分 AB,∴ ∠BDE= 90°. 在△BDE 中,∵ ∠BDE = 90°,∠B = 30°,∴ BE= 2DE= 4. ∴ BC=BE+EC= 6. 故选 D. 5. B 6. B　 【解析】由题意得:DC⊥AC,在 Rt△DBC 中,∠DBC = 45°,DC= x 米,∴ BC= DC tan45° = x. ∵ AB= 30 米,∴ AC = (x+ 30)m,在 Rt△ACD 中,∠DAC = 28°,∴ CD = AC·tan28°, ∴ x=(30+x) tan28°. 故选 B. 二、填空题 7. 75°　 【解析】由题意,得 sinA- 3 2 = 0,1-tanB= 0,∴ sinA= 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBH·九年级数学　 第 3 页 3 2 ,tanB= 1,∴ ∠A = 60°,∠B = 45°,∴ ∠C = 180°-∠A- ∠B= 75°. 8. 5 -1 2 　 【解析】 ∵ a2 = bc,即 b = a 2 c ,∴ sinB = b c = a 2 c2 = ( a c ) 2 = sin2A,又∵ sin2A+sin2B = 1,∴ sin2B+sinB- 1 = 0, ∴ sinB= 5 -1 2 (取正值) . 9. (1)等腰　 (2) 3 - 1　 【解析】(2)∵ AD 为 BC 边上的中 线,AE 为 BC 边上的高线,∠B= 30°,∠C= 45°,AB= 4,∴ AE = 1 2 AB=2,BE= 2 3,∴ ∠CAE=∠C= 45°,∴ EC=AE= 2,∴ CD= 1 2 BC= 1 2 ×(2 3+2)= 3+1,∴ DE=CD-CE= 3-1. 三、解答题 10. 解:(1)∵ DE 是边 AB 上的垂直平分线,∴ AE = BE,∴ ∠B= ∠BAE = 30°. ∵ AE 平分∠BAC,∴ ∠BAE = ∠EAC = 30°,∴ ∠BAC= 30°+30° = 60°,∴ ∠C = 180°-∠BAC- ∠B= 90°; (2)∵ AE 平分∠BAC,∠ACB = 90°,DE⊥AB,∴ EC = ED = 3. ∵ DE 垂直平分 AB,∴ ∠BDE= 90°. 在△BDE 中. ∵ ∠BDE= 90°,∠B = 30°. ∴ BE = 2DE = 6. ∴ BC = BE+EC = 9. 11. 解:(1)AC CD = x 2x+ 3 x = 2- 3 ,∴ tan15° = 2- 3 ; (2)延长 CB 到点 D,使 BD =BA,因为∠ABC = 45°,AB = DB,所以∠D= ∠DAB= 22. 5°. 令 AC = x,则 BC = x,AB = 2 x,所以 BD = AB = 2 x,则 CD = CB+DB = x+ 2 x. 在 Rt△ACD 中,tanD= AC CD = 2 -1,即 tan22. 5° = 2 -1. 12. 解:过点 C 作 CH⊥AB 于点 H,交 DE 于点 G,由题意得: AD =GH =EB = 1. 5 米,AB =DE = 347 米,设 DG = x 米,在 Rt△CDG 中,∠CDG = 37°,∴ CG = DG·tan37°≈0. 75x (米),在 Rt△CGE 中,∠CEG = 45°,∴ △CGE 是等腰直 角三角形,∴ EG = CG = 0. 75x 米. ∵ DG+GE = DE,∴ x+ 0. 75x= 347,解得 x≈198. 3,∴ CH=CG+GH = 0. 75x+1. 5 ≈150 米,答:郑北大桥某组斜拉索最高点 C 到桥面 AB 的距离约为 150 米. 基础知识抓分练 6 随机事件的概率 一、选择题 1. D 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】必然事件指在一定条件下,一定发生的事件; 不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件;不确 定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能 不发生的事件. 2. C　 3. B　 4. B 5. D　 【解析】共有 12 种等可能的结果,其中两人恰好介绍 “红旗渠”和“清明上河园”的结果有 2 种,∴ P(两人恰好 介绍“红旗渠”和“清明上河园”)= 2 12 = 1 6 . 故选 D. 6. A　 【解析】观察图②知:频率逐渐稳定在 0. 3,所以试验 的概率为 0. 3,A. 指针指向的数字能被 3 整除的为 3,6, 9,概率为 3 10 ;B. 转动转盘,指针指向的数字是偶数的概 率为 0. 5;C. 转动转盘,指针指向的数字比 6 大的数为 7, 8,9,10,概率为 0. 4;D. 转动转盘后,指针指向的数字能 被 5 整除的数为 5 和 10,概率为 0. 2. 故选 A. 二、填空题 7. 1 2 8. 15　 【解析】由题意得白球的个数为 50×0. 3 = 15(个) . 【变式】6　 【解析】设木箱中蓝球有 x 个,根据题意得: 9 9+x = 0. 6,解得 x= 6,经检验 x = 6 是原方程的解,则估计 木箱中蓝球有 6 个. 9. 1 49 三、解答题 10. 解:(1)列表如下: A B C D A (A,A) (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,B) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,C) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) (D,D) (2)由表知,共有 16 种等可能结果,其中两个国家选到 同一个领域的有 4 种等可能结果,所以 P(两个国家选 到同一个领域)= 4 16 = 1 4 . 11. 解:(1)60×25% = 15(人),60-15-21-6 = 18(人),360°× 18 60 = 108°,答:“C”对应扇形圆心角为 108°; (2)480× 6 60 = 48(人) . ∴ 估计全体 480 名九年级学生最 了解 D 主题的人数约有 48 人; (3)画树状图如下: 共有 12 种等可能的结果,其中恰好甲、乙被选到的结果有: 甲乙,乙甲,共 2 种,∴ P(恰好甲、乙被选到)= 2 12 = 1 6 . 基础知识抓分练 7 二次函数及其图象与性质 一、选择题 1. A 2. A　 【解析】∵ 抛物线开口向下,∴ a<0. ∵ 抛物线与 y 轴 交于负半轴,∴ c<0,∴ ac>0. ∵ 对称轴 x= - b 2a <0,∴ b<0, ∴ bc>0,∴ A(ac,bc)在第一象限. 故选 A. 3. D　 【解析】∵ a>0,∴ 抛物线开口向上,对称轴为直线 x = - 2 a <0,与 y 轴的交点坐标为(0,1),∴ 当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大,当 x<- 2 a 时,y 随 x 的增大而减小,函数图 象一定不经过第四象限,不一定经过第三象限,故只有 D 选项符合题意. 故选 D. 4. B　 5. D 6. B　 【解析】分别作出两条抛物线的对称轴 PM,QN,交 AD 于点 M,N,∴ 四边形 PMCQ 是矩形,∴ MN =PQ. ∵ AB = 10,BC = 5,CD = 6,∴ MA = MC = 1 2 AC = 1 2 (AB+BC)= 15 2 ,BN=ND= 1 2 BD= 1 2 (CD+BC)= 11 2 ,∴ MN = AD-AM- ND=(AB+BC+CD)-AM-ND= 8,∴ PQ= 8. 故选 B. 7. B　 【解析】过 A 作 AH⊥x 轴于 H. ∵ 四边形 ABCO 是正 方形,∴ ∠AOB = 45°,∴ ∠AOH = 45°,∴ AH = OH,设 A (m,m),则 B(0,2m),∴ m=am 2 +c 2m= c{ ,解得 am = - 1,m = c 2 ,∴ ac 的值为-2. 故选 B. 二、填空题 8. y= -x2 +1(答案不唯一) 　 9. y3 >y1 >y2 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBH·九年级数学　 第 4 页