试卷5 宝丰2023-2024学年上学期期末评估试卷-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年九年级数学上册（北师大版 河南专用）

情境期末·九年级数学　 第 1 页 情境期末·九年级数学　 第 2 页 情境期末·九年级数学　 第 3 页　 　 　 　 试卷 5 宝丰第一学期期末评估试卷 测试范围:九上~九下第二章　 测试时间:100 分钟　 测试分数:120 分 一、选择题(本题满分 30 分,共有 10 道小题,每小题 3 分) 1. sin60°的值为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. 2 2 B. 3 2 C. 1 D. 1 2 2. 下列函数中,属于二次函数的是(　 　 ) A. y= 2x-1 B. y= 1 x C. y= x2(x+3) D. y= x(x+1) 3. 利用科学计算器计算 2 sin50°,下列按键顺序正确的是(　 　 ) A. B. C. D. 4. 在 Rt△ABC 中,各边都扩大 5 倍,则锐角 A 的正切函数值(　 　 ) A. 扩大 5 倍 B. 不变 C. 缩小 1 5 D. 不能确定 5. 如图,在△ABC 中,AC = 2,∠B = 45°,∠C = 30°,则 BC 的长度 为(　 　 ) A. 3 B. 2 C. 1+ 3 D. 3 第 5 题图 　 　 第 7 题图 6. 把抛物线 y= x2 向右平移 2 个单位,然后向下平移 3 个单位,则 平移后得到的抛物线解析式是(　 　 ) A. y= (x-2) 2 -3 B. y= -(x+2) 2 -3 C. y= (x+2) 2 +3 D. y= -(x-2) 2 +3 7. 如图,抛物线 y=ax2 +bx+c(a≠0)与 x 轴交于点(4,0),其对称轴 为直线 x= 1,则不等式 ax2 +bx+c>0 的解集是(　 　 ) A. x>4 B. x= 1 C. -2<x<4 D. x<-2 或 x>4 8. 滑雪爱好者小张从山坡滑下,为了得出滑行距离 s(单位:m)与 滑行时间 t(单位:s) 之间的关系式,测得的一些如下数据(如 表),为观察 s 与 t 之间的关系,建立坐标系(如图),以 t 为横坐 标,s 为纵坐标绘制了如图所示的函数图象 滑行时间 t / s 0 1 2 3 4 滑行距离 s / m 0 4. 5 14 28. 5 48 根据以上信息,可知, s 与 t 的函数关系式是(不考虑取值范 围)(　 　 ) A. s= 3 2 t2 +3t B. s= 3 2 t2 -3t C. s= 5 2 t2 -2t D. s= 5 2 t2 +2t 　 　 第 8 题图 　 　 　 第 9 题图 9. 现在手机导航极大方便了人们的出行,如图,嘉琪一家自驾到风 景区 C 游玩,到达 A 地后,导航显示车辆应沿北偏西 45°方向行 驶 4 千米至 B 地,再沿北偏东 60°方向行驶一段距离到达风景区 C,嘉琪发现风景区 C 在 A 地的北偏东 15°方向,那么 B,C 两地 的距离为(　 　 ) A. 2 6千米 B. (2 2 +3)千米 C. 3 2千米 D. 5 千米 10. 如图 1 是莲花山景区一座抛物线形拱桥,按图 2 所示建立平面 直角坐标系,得到抛物线解析式为 y = - 1 36 x2,正常水位时水面 宽 AB 为 36 m,当水位上升 5 m 时水面宽 CD 为(　 　 ) 图 1 　 　 　 图 2 A. 10 m B. 12 m C. 24 m D. 48 m 二、填空题(本题满分 15 分,共有 5 道小题,每小题 3 分) 11. 如图,以 O 为圆心,任意长为半径画弧,与射线 OA 交于点 B,再 以 B 为圆心,BO 长为半径画弧,两弧交于点 C,画射线 OC,则 tan∠AOC 的值为　 　 　 　 . 第 11 题图 　 　 第 13 题图 12. 将 y= 2x2 -12x-12 变为 y=a(x-m) 2 +n 的形式 　 . 13. 如图是某建筑物的侧面图形. 已知 AB 建筑物坡度为 3 ∶1,总长 为 20 10米. 斜坡 AC 和平台 CD 形成∠ACD 为 135°,从 E 点看 D 点的仰角为 30°,AC 斜坡长 15 米. 求 DE 长度为　 　 　 　 米. (结果保留根号) 14. 如图,抛物线 y= - 1 2 x2 +2x 的顶点为 A,抛物线 y = 1 2 x2 +2x 的顶 点为 B,过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C,过点 B 作 BD⊥y 轴于点 D, 则阴影部分的面积为　 　 　 　 . 第 14 题图 　 　 第 15 题图 15. 如图,某幢建筑物从 2. 25 米高的窗口 A 用水管向外喷水,喷的 水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直),如果抛物线的 最高点 M 离墙 1 米,离地面 3 米,则水流下落点 B 离墙的距离 OB 是　 　 　 　 . 三、解答题(本题 8 小题,共 75 分) 16. (本小题 3 分,共 9 分)计算: (1)sin30°-cos60°+tan60°; (2)cos230°+sin230°-tan45°; (3)( -1) 2 023 +2sin45°-cos30°+sin60°+tan260°. 17. (8 分)已知抛物线 y= 2x2 +4x-6. (1)求抛物线的顶点坐标; (2)将该抛物线向右平移 m(m>0)个单位长度,平移后所得新 抛物线经过坐标原点,求 m 的值. 试卷 5 　 　 　 　 　情境期末·九年级数学　 第 4 页 情境期末·九年级数学　 第 5 页 情境期末·九年级数学　 第 6 页 18. (8 分)如图,在△ABC 中,∠C = 90°,AB = 13,sinB = 5 13 . 求 AC 的 长及∠A 的正切值. 19. (8 分)如表是二次函数 y= -x2 +4x+c 的部分取值情况: 根据表中信息,回答下列问题: x … 0 2 4 … y … c 5 1 … (1)二次函数 y= -x2 +4x+c 图象的顶点坐标是　 　 　 　 　 　 ; (2)求 c 的值,并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象; (3)观察图象,写出 y>0 时 x 的取值范围:　 　 　 　 　 　 　 　 . 20. (10 分)2023 年 5 月 30 日 9 点 31 分,“神舟十六号”载人飞船 在中国酒泉卫星发射中心点火发射,成功把景海鹏、桂海潮、朱 杨柱三名航天员送入到中国空间站. 如图,在发射的过程中,飞 船从地面 O 处发射,当飞船到达 A 点时,从位于地面 C 处的雷 达站测得 AC 的距离是 8 km,仰角为 30°;10 s 后飞船到达 B 处, 此时测得仰角为 45°. (1)求点 A 离地面的高度 AO; (2)求飞船从 A 处到 B 处的平均速度. (结果精确到 0. 1 km / s, 参考数据: 3 ≈1. 73) 21. (10 分)某大米成本为每袋 40 元,当售价为每袋 80 元时,每小 时可销售 100 袋,为了吸引更多顾客,采取降价措施,据市场调 查反映:销售单价每降 1 元,则每小时可多销售 5 袋,设每袋大 米的售价为 x 元(x 为正整数),每小时的销售量为 y 袋. (1)求出 y 与 x 的函数关系式; (2)当获得利润为 4 000 元时,降价多少元? (3)设每小时获得的利润为 w 元,当销售单价为多少元时,每小 时获得的利润最大,最大利润是多少? 22. (11 分)某临街店铺在窗户上方安装如图 1 所示的遮阳棚,其侧 面如图 2 所示,遮阳棚展开长度 AB = 200 cm,遮阳棚前端自然 下垂边的长度 BC= 25 cm,遮阳棚固定点 A 距离地面高度 AD = 296. 8 cm,遮阳棚与墙面的夹角∠BAD= 72°. (1)如图 2,求遮阳棚前端 B 到墙面 AD 的距离; (2)如图 3,某一时刻,太阳光线与地面夹角∠CFG = 60°,求遮 阳棚在地面上的遮挡宽度 DF 的长(结果精确到 1 cm). (参考 数据: sin72° ≈ 0. 951, cos72° ≈ 0. 309, tan72° ≈ 3. 078, 3 ≈ 1. 732) 图 1 　 图 2 　 图 3 23. (11 分)如图,已知抛物线 y=ax2 +bx+3 与 x 轴交于 A( -3,0)和 B(1,0)两点,与 y 轴交于点 C. (1)求抛物线的解析式; (2)设抛物线的顶点为 M,试判断△ACM 的形状; (3)在 x 轴上方的抛物线上是否存在一点 P,使△PAB 的面积 为 8,若存在,直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 达式为 y= - 1 4 (x-4) 2 +4,即 y= - 1 4 x2 +2x ; (2)工人不会碰到头,理由如下:∵ 小船距 O 点 0. 4m, 小船宽 1. 2m,工人直立在小船中间,由题意得:工人距 O 点距离为 0. 4+ 1 2 × 1. 2 = 1( m),∴ 将 x = 1 代入 y = - 1 4 x2 +2x,解得:y= 7 4 = 1. 75. ∵ 1. 75m>1. 68m,∴ 此时 工人不会碰到头. 21. 解:(1)∵ AB⊥y 轴于点 B,∴ ∠OBA= 90°,∵ OB= 2AB = 4,∴ A(2,4),∵ 点 A 在反比例函数 y = k x (x>0)的图象 上,∴ k= 4×2 = 8,∴ 反比例函数的解析式为 y= 8 x ; (2)过 A 作 AF⊥x 轴于 F,∴ ∠AFD = 90°,∵ ∠ADO = 45°,∴ ∠FAD= 90°-∠CDF= 45°,∴ AF=DF =OB = 4,∵ OF=AB= 2,∴ OD = 6,∴ D(6,0),设直线 AC 的解析式 为 y = ax+ b,∵ 点 A( 2,4),D( 6,0) 在直线 AC 上, ∴ 2a+b= 4 6a+b= 0{ ,∴ a= -1 b= 6{ ,∴ 直线 AC 的解析式为 y = - x+ 6 ①,由(1)知,反比例函数的解析式为 y = 8 x ②,联立① ②,解得 x = 2 y= 4{ 或 x= 4 y= 2{ ,∴ C(4,2) . 22. 解:(1)∵ 抛物线 y= 1 4 x2 +bx+c 过点 O(0,0),E(10,0), ∴ c = 0 25+10b+c= 0{ ,解得 c= 0 b= - 5 2 { ,∴ 抛物线的函数表达式 为:y= 1 4 x2 - 5 2 x,对称轴 x= - b 2a = 5,∴ 当 x = 5 时,抛物 线有最大值,最大值 y = 25 4 - 25 2 = - 25 4 ,∴ 抛物线顶点坐 标为(5,-25 4 ); (2)∵ B( t,0),∴ AB= 10-2t,BC= -( 1 4 t2 - 5 2 t)= - 1 4 t2 + 5 2 t,∴ 矩形 ABCD 的周长= 2(AB+BC)= 2(10-2t- 1 4 t2 + 5 2 t)= 2(- 1 4 t2 + 1 2 t+10)= - 1 2 t2 +t+20,∵ a= - 1 2 <0,函 数有最大值,当 t = - b 2a = - 1 2×(- 1 2 ) = 1 时,矩形 ABCD 的周长最大值为:- 1 2 + 1 + 20 = 41 2 . ∴ 当 t = 1 时,矩形 ABCD 的周长有最大值,最大值是41 2 . 23. (1)证明:∵ 四边形 AEFG 为正方形,∴ AE = AG,∠EAG = 90°,又∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ AB =AD,∠BAD = 90°,∴ ∠EAG - ∠BAG = ∠BAD - ∠BAG, ∴ ∠EAB = ∠GAD,∴ △AEB≌△AGD(SAS),∴ BE=DG; (2)解:当∠EAG= ∠BAD 时,BE=DG,理由如下:∵ 四边 形 AEFG 与四边形 ABCD 是菱形,∴ AE=AG,AB=AD. ∵ BE=DG,∴ △AEB≌△AGD(SSS),∴ ∠EAB = ∠GAD,∴ ∠EAG= ∠BAD; (3)解:ED2 +GB2 = 260. 　 【解析】过点 E 作 EM⊥DA,交 DA 的延长线于点 M,过点 G 作 GN⊥AB 交 AB 于点 N, 由题意知,AE= 4,AB = 8,∵ AE AG = AB AD = 2 3 ,∴ AG = 6,AD = 12,∵ ∠EMA = ∠ANG, ∠MAE = ∠GAN, ∴ △AME ∽ △ANG,设 EM= 2a,AM= 2b,则 GN= 3a,AN= 3b,则 BN= 8-3b,∴ ED2 = (2a) 2 +(12+ 2b) 2 = 4a2 + 144+ 48b+ 4b2, GB2 =(3a) 2 +(8-3b) 2 = 9a2 +64-48b+9b2,∴ ED2 +GB2 = 13(a2 +b2)+208 = 13×4+208 = 260. 宝丰第一学期期末评估试卷 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A B C A D D A C 1. B　 2. D　 3. A 4. B　 【解析】锐角三角函数值随着角度的变化而变化,而 角的大小与边的长短没有关系,因此锐角 A 的正切函数 值不会随着边长的扩大而变化. 故选 B. 5. C　 【解析】过 A 作 AD⊥BC 于 D,∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°,在 Rt△ADC 中,∠C = 30°,AC = 2,∴ AD = 1 2 AC = 1, CD= 3,在 Rt△ADB 中,∠B= 45°,AD= 1,∴ BD=AD= 1, ∴ BC=BD+CD= 1+ 3 . 故选 C. 6. A　 【解析】原抛物线顶点坐标为(0,0),平移后抛物线顶 点坐标为(2,-3),∴ 平移后抛物线解析式为:y = (x-2) 2 -3. 故选 A. 7. D　 【解析】函数的对称轴为直线 x = 1,与 x 轴一个交点 是(4,0),则另一个交点为(-2,0),观察函数图象知,不 等式 ax2 +bx+c>0 的解集为 x<-2 或 x>4. 故选 D. 8. D　 【解析】观察函数图象,可知:s 与 t 成二次函数关系, 设 s=at2 +bt+c(a≠0),将(0,0),(1,4. 5),(2,14)代入 s =at2 +bt+c 得: c= 0 a+b+c= 4. 5 4a+2b+c= 14 { ,解得: a= 5 2 b= 2 c= 0 ì î í ï ï ïï ,∴ s 与 t 的函 数关系式是 s= 5 2 t2 +2t. 故选 D. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式, 根据给定数据,利用待定系数法求出二次函数解析式是 解题的关键. 9. A　 【解析】过点 B 作 BD⊥AC 于 D,由题意得,∠BAC = 60°,∠ABC= 75°,∴ ∠C = 180°-∠ABC-∠BAC = 45°,∵ BD⊥AC,∴ ∠BDC = ∠BDA = 90°,∴ ∠ABD = 30°,∠DBC = 45° = ∠C,∴ AD= 1 2 AB = 2 千米,CD =BD,∴ CD =BD = 3 2 AB= 2 3千米,∴ BC= 2CD= 2 6千米. 故选 A. 10. C　 【解析】∵ AB = 36 米,∴ 当 x = 18 时,y = - 1 36 × 182 = -9,-9+5 = -4(米),把 y= -4 代入抛物线表达式得:-4 = - 1 36 x2,解得 x= ±12,此时水面宽 CD= 24m. 故选 C. 二、填空题 11. 3 　 【解析】连接 BC,根据作图可知:OB = OC = BC,∴ △OBC 为等边三角形,∴ ∠AOC = 60°,所以 tan∠AOC = tan60° = 3 . 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBB·九年级数学　 第 18 页 12. y= 2(x-3) 2 -30 13. (120-15 2 ) 　 【解析】如图过点 A 作 AH⊥BE 于点 H,延长 DC 交 AH 于点 G, 作 DN ⊥ BE 于 点 N, 则 Rt△ABH 中,设 BH = xm,则 AH = 3xm,则 AB= 10 x= 20 10,解得:x = 20,则 AH = 60m, 在 Rt△ACG 中,由∠ACD 为 135°知,∠ACG = 45°,则 AG = 2 2 AC= 15 2 2 m,则 GH = AH-AG = (60- 15 2 2 )m = DN, 在 Rt △DNE 中, ∠DEN = 30°,则 DE = 2ND = ( 120 - 15 2)m. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【方法点拨】本题考查了解直角三角形的应用———仰角俯 角问题,坡度坡角问题,含 30 度角的直角三角形,根据题 目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关 键. 14. 4　 【解析】如图,过点 B 作 BE⊥ x 轴于点 E,∵ 抛物线 y= - 1 2 x2 + 2x= - 1 2 (x-2) 2 +2 的顶点 A(2, 2),抛物线 y = 1 2 x2 + 2x = 1 2 (x+ 2) 2 - 2 的顶点 B(- 2, -2),∴ A、B 两点关于原点对称,∵ 两抛物线的二次项 系数 | a | = 1 2 ,即抛物线开口大小相同,∴ 抛物线 OA 段 绕点 O 旋转 180°后,与抛物线 OB 段重合,∴ S阴影 = S正方形 ODBE = 2×2 = 4. 15. 3 米　 【解析】抛物线的顶点坐标为(1,3),设抛物线的 解析式为:y=a(x-1) 2 +3,把 A(0,2. 25)代入,得 2. 25 = a(0-1) 2 +3,解得 a = - 3 4 ,∴ y = - 3 4 (x-1) 2 +3,当 y = 0 时,- 3 4 (x-1) 2 +3 = 0,解得,x1 = -1,x2 = 3,∴ 点 B 的坐 标为(3,0),所以 OB = 3,所以水流下落点 B 离墙距离 OB 的长度是 3 米. 三、解答题 16. 解:(1)原式= 1 2 - 1 2 + 3 = 3 ; (2)原式= ( 3 2 ) 2 +( 1 2 ) 2 -1 = 3 4 + 1 4 -1 = 1-1 = 0; (3)原式= -1+2× 2 2 - 3 2 + 3 2 +( 3 ) 2 = -1+ 2 - 3 2 + 3 2 + 3 = 2+ 2 . 17. 解:(1) 由题知, y = 2x2 + 4x - 6 = 2 ( x2 + 2x + 1) - 8 = 2(x+1) 2 -8,所以抛物线的顶点坐标为(-1,-8) . (2)令 y= 0 得,2x2 +4x-6 = 0,解得 x1 = 1,x2 = -3. 又因为 将该抛物线向右平移 m(m>0)个单位长度,平移后所得 新抛物线经过坐标原点,所以-3+m= 0,解得 m= 3. 故 m 的值为 3. 18. 解:在 Rt△ABC 中,∵ sinB = AC AB = 5 13 ,AB = 13,∴ AC = 5. ∴ BC= AB2 -AC2 = 132 -52 = 12. ∴ tanA=BC AC = 12 5 . 19. 解:(1)(2,5) 　 【解析】∵ 抛物线的对称轴为直线 x = - 4 2×(-1) = 2,∴ 二次函数图象的顶点坐标为(2,5) . (2)∵ (2,5)在二次函数 y= -x2 +4x+c 的图象上,∴ -4+ 8+c= 5,解得 c= 1. 二次函数的图象如图所示: (3)2- 5 <x<2+ 5 　 【解析】当 y = 0 时,-x2 +4x+1 = 0, 解得 x1 = 2- 5,x2 = 2+ 5,∴ 抛物线与 x 轴的交点坐标 为(2- 5,0),(2+ 5,0),所以 y>0 时 x 的取值范围为 2 - 5 <x<2+ 5 . 20. 解:(1)在 Rt△AOC 中,∵ ∠AOC = 90°,∠ACO = 30°,AC = 8km,∴ AO = 1 2 AC = 1 2 × 8 = 4( km),∴ 点 A 离地面的 高度 AO 为 4km; (2)在 Rt△AOC 中,∵ ∠AOC = 90°,∠ACO = 30°,AC = 8km,∴ OC= 3 2 AC= 4 3 km,在 Rt△BOC 中,∵ ∠BOC = 90°,∠BCO= 45°,∴ ∠BCO = ∠OBC = 45°,∴ OB = OC = 4 3 km,∴ AB=OB-OA= (4 3 -4)km,4 3 -4 10 ≈0. 3(km / s)∴ 飞船从 A 处到 B 处的平均速度 0. 3km / s. 21. 解:(1)∵ y= 100+5(80-x)= 500-5x,∴ y 与 x 的函数关 系式为 y= -5x+500; (2)(x-40) ( -5x+500)= 4000,解得:x1 = 60,x2 = 80(不 合题意,舍去);∴ 降价为:80- 60 = 20(元),答:当获得 利润为 4000 元时,降价 20 元. (3)根据题意得:w = ( x- 40) y = ( x- 40) ( - 5x+ 500) = -5(x-70) 2 +4500,∵ - 5< 0,∴ 当 x = 70 时,w 取最大值 4500,∴ 当销售单价为 70 元时,每小时获得的利润最 大,最大利润是 4500 元. 22. 解:(1)如图 1,作 BE⊥AD 于 E,∵ AB = 200cm,∠BAD = 72°,∴ 在 Rt△ABE 中,sin∠BAE=BE AB ,即 sin72° = BE 200 ,∴ BE= sin72°×200≈0. 951×200 = 190. 2( cm),答:遮阳棚 前端 B 到墙面 AD 的距离约为 190. 2cm. (2)如图 2,作 BE⊥AD 于 E,CH⊥AD 于 H,延长 BC 交 DG 于 K,则 BK⊥DG,∴ 四边形 BEHC,四边形 HDKC 是 矩形, 由 ( 1 ) 得 BE = 190. 2cm, ∴ DK = HC = BE = 190. 2cm,在 Rt △ABE 中, cos ∠BAE = AE AB ,即 cos72° = AE 200 ,∴ AE= cos72°×200≈0. 309×200 = 61. 8( cm),由题 意得:EH=BC= 25cm,∴ DH = AD-AE-EH = 296. 8-61. 8 -25 = 210 ( cm), ∴ CK = DH = 210cm,在 Rt △CFK 中, tan∠CFK= CK FK ,即 tan60° = 210 FK ,∴ FK = 210 tan60° = 210 3 ≈ 121. 25(cm),∴ DF = DK - FK = 190. 2 - 121. 25 ≈ 69 (cm),答: 遮阳棚在地面上的遮挡宽度 DF 的长约 为 69cm. 图 1 　 　 图 2 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBB·九年级数学　 第 19 页 23. 解:(1)由抛物线与 x 轴交于 A(-3,0),B(1,0)两点,则 函数关系式为:y=a(x+ 3) (x- 1) = ax2 + 2ax- 3a,∴ - 3a = 3,解得 a= -1,∴ y= -(x+3)(x-1)= -x2 -2x+3; (2)△ACM 是直角三角形,理由如下:∵ y = -x2 -2x+3 = -(x+1) 2 +4,∴ 抛物线的顶点 M( -1,4),∵ A( -3,0),C (0,3),∴ AC2 = 18,AM2 = 20,CM2 = 2,∴ AC2 +CM2 =AM2 , ∴ △ACM 是直角三角形. (3)存在,理由如下:∵ A( -3,0),B(1,0),∴ AB = 4,设 点 P 的横坐标为 t,则 P( t,-t2 -2t+3),∴ △PAB 的面积 为: 1 2 AB·yP = 8,∴ 1 2 ×4×( -t2 -2t+3)= 8,解得 t = -1, ∴ 点 P 的坐标为(-1,4) . 舞钢、鲁山上学期期末调研试卷 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D B D A C B B C 1. A 2. C　 【解析】∵ x1,x2 是方程 x 2 -9x+11 = 0 的两个实数根, ∴ x1x2 = c a = 11. 故选 C. 3. D　 【解析】在△ABC 中,∠C= 90°,∠A=α,AB= c,∴ BC = ABsinA= c·sinα. 故选 D. 4. B　 【解析】∵ DE∥BC,∴ AD DB = AE EC ,∵ AD = 2,AB = 6,∴ DB =AB-AD= 4,∴ AE EC = AD DB = 1 2 . 故选 B. 5. D　 【解析】A. 四边相等的四边形是菱形,故 A 不符合题 意;B. 对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方 形,故 B 不符合题意;C. 对角线相等的四边形不一定是 矩形,故 C 不符合题意;D. 对角线互相垂直平分的四边 形是菱形,正确,故 D 符合题意. 故选 D. 6. A　 【解析】∵ △ABC 与△A′B′C′是位似图形,且△ABC 与△A′B′C′的位似比是 1 ∶ 2,△ABC 的面积是 3,∴ △ABC 与△A′B′C′的面积比为 1 ∶ 4,则△A′B′C′的面积 是 12. 故选 A. 7. C　 【解析】∵ k2 +2023>0,∴ 反比例函数 y = k 2 +2023 x 的图 象位于第一、三象限,在每个象限内,y 随 x 的增大而减 小,∵ x1 <0<x2 <x3,∴ 点 A 在第三象限,点 B、C 在第一象 限,∴ y1 <0,y2 >y3 >0,∴ y1 <y3 <y2 . 故选 C. 8. B　 【解析】画树状图可知,共有 6 种等可能的结果,点 P 在反比例函数 y= 6 x 的图象上的有 2 种情况,∴ 点(m,n) 在反比例函数 y= 6 x 图象上的概率为 2 6 = 1 3 . 故选 B. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点评】本题考查反比例函数与概率的结合,解题关 键是掌握反比例函数的性质,掌握画树状图求概率的方 法. 9. B　 【解析】根据题意可知,菱形 ABC′D′的高等于 AB 的 一半,∴ 菱形 ABC′D′的面积为 1 2 AB2,正方形 ABCD 的面 积为 AB2 . ∴ 菱形 ABC′D′的面积与正方形 ABCD 的面积 之比是 1 2 . 故选 B. 10. C　 【解析】过点 B 作 BD⊥y 轴于 D,∵ 直线 y= k1x+2 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 C,∴ 点 C 的坐标为(0,2), ∴ OC= 2,∵ S△ OBC = 2,∴ BD= 2,∵ tan∠BOC= 1 2 ,∴ BD OD = 1 2 ,∴ OD= 4,∴ 点 B 的坐标为(2,4),∵ 直线 y = k1x+ 2 与反比例函数 y= k2 x 在第一象限内的图象交于点 B,∴ k2 = 2×4 = 8. 故选 C. 二、填空题 11. 50°　 【解析】∵ cos(α- 20°) = 3 2 ,∴ α- 20° = 30°,∴ α = 50°. 12. 1　 【解析】根据题意得 Δ = 42 -4×2a>0,解得 a<2,所以 整数 a 的最大值是 1. 13. y= - 8 x 　 【解析】设点 A 的坐标为(x,y) . ∵ A(x,y)在反 比例函数 y= k x 的图象,∴ k= xy,∴ | xy | = 8,∵ 点 A 在第 二象限,∴ k= -8,∴ y= - 8 x . 14. 9　 【解析】∵ ∠DEF= ∠BCD= 90°,∠D = ∠D,∴ △DEF ∽△DCB,∴ EF BC = DE DC ,∵ DE = 40cm = 0. 4m,EF = 30cm = 0. 3m,AC= 1. 5m,CD= 10m,∴ 0. 3 BC = 0. 4 10 ,∴ BC = 7. 5 米, ∴ AB=AC+BC= 1. 5+7. 5 = 9(米) . 15. (60+20 3 ) 　 【解析】如图,设过 A 点正北方向直线为 AD,过 B 点正北 方向直线为 BG,过 B 作 BE⊥AC 于 E,过 C 作 CF ∥AD, 由 题 意 得: ∠DAB= 65°,∠DAC = 20°,∠CBG = 40°, AB = 60 2 km, ∴ ∠CAB = ∠DAB-∠DAC = 65° - 20° = 45°,∵ BE⊥AC,∴ ∠AEB = ∠CEB = 90°,∴ △AEB 是等腰直角 三角形,∴ AE = BE = 2 2 AB = 60km,∵ CF∥AD∥BG,∴ ∠ACF= ∠DAC = 20°,∠BCF = ∠CBG = 40°,∴ ∠BCE = ∠BCF+ ∠ACF = 40° + 20° = 60°, ∴ 在 Rt △BCE 中, tan∠BCE= tan60° =BE CE = 60 CE = 3,∴ CE = 20 3 km,∴ AC =AE+CE=(60+20 3)km. 三、解答题 16. 解:(1)x2 +6x-1 = 0,移项得:x2 +6x= 1,配方得:x2 +6x+9 = 1+9,即(x+3) 2 = 10,开方得:x+ 3 = ± 10 ,解得:x1 = -3+ 10 ,x2 = -3- 10 ; (2)原式= 1 2 -2×( 2 2 ) 2 + 3 2 ×( 3 3 ) 2 = 1 2 -2× 1 2 + 3 2 × 1 3 = 1 2 -1+ 1 2 = 0. 17. 解:如图所示: 18. 解:过点 A 作 AE ⊥ CD, 垂足为 E, 设 AE = x 米. 在 Rt△ACE 中,∵ ∠C= 45°,∴ CE = AE = x 米. 在 Rt△ADE 中,∵ ∠D= 25°,tanD= AE DE ,∴ DE = AE tanD = AE tan25° ≈ x 0. 47 . ∵ DE+CE=CD,∴ x 0. 47 +x = 70. ∴ x≈22. 38. ∴ AB =BE- AE= 60-22. 38 = 37. 62≈37. 6(米) . 答:妙乐寺塔 AB 的 高度约为 37. 6 米. 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBB·九年级数学　 第 20 页