抓分练4 中位线、位似图形和图形与坐标-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年九年级数学上册（华东师大版 河南专用）

时,AD AB =AE AC ,∴ x 6 = 12-2x 12 ,解得 x = 3;当△ADE∽△ACB 时,AD AC =AE AB ,∴ x 12 = 12-2x 6 ,解得 x= 4. 8. 9. 8　 【解析】过点 E 作 EF⊥AO,垂足为 F,过点 B 作 BG⊥ EF,垂足为 G,∴ ∠BGE = ∠EFO = 90°,∴ ∠EBG+∠BEG = 90°,由题意得:OF=CE=CD+DE= 2m,AB =FG = 6m,AF =BG,EF=CO. ∵ AO = 10m,∴ AF = BG = OA-OF = 8m. ∵ ∠BEG+ ∠FEO = 90°, ∴ ∠EBG = ∠FEO, ∴ △BEG ∽ △EOF,∴ BG EF =EG OF ,∴ 8 EG+6 = EG 2 ,解得 EG = 2 或 EG = -8 (舍去),∴ OC =EF = 2+6 = 8(m),∴ 裁判与立柱之间的 水平距离 OC 的长为 8m. 三、解答题 10. (1)证明:∵ AB=AC,AD 为 BC 边上的中线,∴ AD⊥BC. ∵ DE⊥AB,∴ ∠BED = ∠ADC = 90°. ∵ AB = AC,∴ ∠B = ∠C,∴ △BDE∽△CAD; (2)解:∵ AD 为 BC 边上的中线,BC = 10,∴ BD = CD = 1 2 BC= 5. ∵ △BDE∽△CAD,AC = 13,∴ BE CD = BD AC ,即BE 5 = 5 13 ,∴ BE= 25 13 . 11. 解:过 C 作 CD⊥MN 于 D,延长交 A′B′于 E,则 AB∥MN ∥A′ B′, ∴ ∠MNC = ∠A′ B′ C, ∠NMC = ∠B′ A′ C, ∴ △MNC∽△A′B′C,∵ CE⊥A′B′,∴ MN A′B′ = CD CE . ∵ CE = 5m,DE= 3m,A′B′ = AB = 0. 8m,∴ CD = CE-DE = 2m,∴ MN 0. 8 = 2 5 ,∴ MN= 0. 32,答:镜面长 MN 至少为 0. 32 米. 基础知识抓分练 4 中位线、位似图形和图形与坐标 一、选择题 1. A　 【解析】∵ 点 A(a,-1)与点 B(2,b)关于原点对称,∴ a= -2,b= 1,∴ a+b= -2+1 = -1. 故选 A. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【解题技巧】两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相 反,即点 P(x,y)关于原点 O 的对称点是 P′(-x,-y). 2. C　 3. D 4. B　 【解析】由题意,得 DE 是△ABC 的中位线. ∵ BC = 14,∴ DE= 1 2 BC= 7. ∵ ∠AFB = 90°,AB = 8,∴ DF = 1 2 AB = 4,∴ EF=DE-DF= 7-4 = 3. 故选 B. 5. A　 【解析】设点 B′的横坐标为 x,则 B、C 间的水平距离 为 a-1,B′、C 间的水平距离为-x+ 1. ∵ △ABC 放大到原 来的 2 倍得到△A′B′C,∴ 2(a-1)= -x+1,解得 x = -2a+ 3. 故选 A. 6. D　 【解析】∵ 点 G 是△ABC 的重心,∴ BG = 2GE. ∵ BE = BG+GE= 15,∴ BG= 10. 故选 D. 二、填空题 7. (2,3)或(0,-1) 8. 8　 【解析】由题意,得正方形 ABCD 的周长 ∶四边形 A′B′ C′D′的周长=AB ∶A′B′ = 1 ∶ 2. ∵ 正方形 ABCD 的周长为 4,∴ 四边形 A′B′C′D′的周长为 8. 9. 30 13 　 【解析】连结 CM. ∵ 点 D、E 分别为 CN,MN 的中点, ∴ DE= 1 2 CM. 当 CM⊥AB 时,CM 的值最小,此时 DE 的 值也最小. 由勾股定理得:AB = AC2 +BC2 = 52 +122 = 13. ∵ S△ABC = 1 2 ·AB·CM = 1 2 ·AC·BC,∴ CM = 60 13 . ∴ DE= 1 2 CM= 30 13 . 10. (-1011,-1012) 三、解答题 11. 解:(1)如图,△A′B′C′即为所求. (2)由图象可知:B′(4,8),C′(8,2) . S△A′B′C′ = 6×8- 1 2 ×2 ×8- 1 2 ×6×2- 1 2 ×6×4 = 22. 12. (1)证明:在△ABC 中. ∵ 点 D、E 分别是 AB 与 AC 的中 点,∴ AD AB = AE AC = 1 2 . ∵ ∠A = ∠A,∴ △ADE∽△ABC,∴ ∠ADE= ∠ABC,DE BC =AD AB = 1 2 ,∴ DE∥BC,DE= 1 2 BC; (2) 10 　 【解析】连结 AR. ∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠D= 90°. ∵ 点 R 是 CD 的中点,CD = 4,∴ DR = 1 2 CD = 2. ∵ AD = 6,∴ AR = AD2 +DR2 = 62 +22 = 2 10 . ∵ E、F 分别是 AP、RP 的中点,∴ EF= 1 2 AR= 10 . (3)4 或 10　 【解析】如图 1,延长 AD 交∠ABC 平分线于 点 G,延长 FE 交 AB 于点 H. ∵ BG 平分∠ABC,∴ ∠ABG = ∠CBG. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC,AB =CD= 14,∴ ∠G = ∠CBG,∴ ∠G = ∠ABG,∴ AG = AB = 14. ∵ AF⊥BG,∴ BF=FG. ∵ 点 E 是 CD 的中点,∴ CE = DE,∴ CE DE =BF FG = 1,∴ EF∥BC∥AG,∴ FH AG =BF BG = 1 2 ,∴ FH = 1 2 AG= 7. ∵ EF= 3,∴ EH= 4. ∴ BC=EH = 4;如图 2,∵ EF∥BC,AB∥CD,∴ 四边形 BCEH 是平行四边形,同理 可得:FH= 1 2 AG= 7. ∵ EF= 3,∴ EH=FH+EF = 10. ∵ EH ∥BC,AB∥CD,∴ 四边形 BCEH 是平行四边形,∴ BC = EH= 10;综上所述,BC= 4 或 10. 基础知识抓分练 5 解直角三角形 一、选择题 1. C　 【解析】Rt△ABC 中,∠C = 90°,∴ ∠A+∠B = 90°,∴ cosB= sinA= 3 5 . 故选 C. 2. A　 3. B 4. D　 【解析】由题意,得 EC=ED= 2. ∵ DE 垂直平分 AB,∴ ∠BDE= 90°. 在△BDE 中,∵ ∠BDE = 90°,∠B = 30°,∴ BE= 2DE= 4. ∴ BC=BE+EC= 6. 故选 D. 5. B 6. B　 【解析】由题意得:DC⊥AC,在 Rt△DBC 中,∠DBC = 45°,DC= x 米,∴ BC= DC tan45° = x. ∵ AB= 30 米,∴ AC = (x+ 30)m,在 Rt△ACD 中,∠DAC = 28°,∴ CD = AC·tan28°, ∴ x=(30+x) tan28°. 故选 B. 二、填空题 7. 75°　 【解析】由题意,得 sinA- 3 2 = 0,1-tanB= 0,∴ sinA= 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBH·九年级数学　 第 3 页 追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 4　 中位线、位似图形和图形与坐标 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. (贵港期末)已知点 A(a,-1),点 B(2,b)关 于原点对称,则 a+b 的值为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. -1 B. 1 C. -3 D. 3 2. 点 A(3,2)先向左平移 5 个单位,再向上平 移 1 个 单 位 得 到 点 A′, 则 A′ 的 坐 标 为(　 　 ) A. (8,3) B. (8,1) C. ( -2,3) D. ( -2,1) 3. 如图,在由小正方形组成的网格中,以点 O 为位似中心,把△ABC 放大到原来的 2 倍, 则点 A 的对应点为(　 　 ) A. 点 D B. 点 E C. 点 F D. 点 G 第 3 题图 　 　 第 4 题图 4. 如图,在△ABC 中,点 D,E 分别是边 AB,AC 的中点,点 F 是线段 DE 上的一点. 连结 AF,BF,∠AFB = 90°,且 AB = 8,BC = 14,则 EF 的长是(　 　 ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 如图,△ABC 中,A、B 两个顶点在 x 轴的上 方,点 C 的坐标是(1,0),以点 C 为位似中 心,在 x 轴的下方作 △ABC 的位似图形 △A′B′C,并把△ABC 的边长放大到原来的 2 倍,设点 B 的横坐标是 a,则点 B 的对应 点 B′的横坐标是(　 　 ) A. -2a+3 B. -2a+1 C. -2a+2 D. -2a-2 第 5 题图 　 　 第 6 题图 6. 如图,已知点 G 是△ABC 的重心,分别延长 线段 BG、CG,交边 AC、AB 于点 E,D. 若 BE = 15,则 BG 的长是(　 　 ) A. 5 B. 7. 5 C. 9 D. 10 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 7. (成都期末)在平面直角坐标系中,△ABC 的 顶点坐标分别是 A(1,1),B(4,2),C(3,5), 以点 A 为位似中心,相似比为 1 ∶2. 把三角 形 ABC 缩小,得到△AB1C1,则点 C 的对应 点 C1 的坐标为　 　 　 　 . 8. 文化情境·数学文化 《 墨子 · 天文志》 记 载:“执规矩,以度天下之方圆. ”度方知圆, 感悟数学之美. 如图,正方形 ABCD 的周长 为 4,以它的对角线的交点为位似中心,作 它的位似图形 A′B′C′D′,若 A′B′ ∶AB = 2 ∶1, 则四边形 A′B′C′D′的周长为 　 　 　 　 . 第 8 题图 　 　 第 9 题图 9. 在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,AC = 5,BC = 12, 点 N 是 BC 边上一点,点 M 为 AB 边上的动 点,点 D、E 分别为 CN、MN 的中点,则 DE 的最小值是　 　 　 　 . 10. 学习情境·规律探究 如图,在平面直角坐 标系中,设点 M 自 P0(1,0)处向上运动 1 个单位至 P1(1,1),然后向左运动 2 个单 7 情境期末·ZBH·九年级数学 位至 P2 处,再向下运动 3 个单位至 P3 处, 再向右运动 4 个单位至 P4 处,再向上运动 5 个单位至 P5 处,…,如此继续运动下去, 则 P2 023 的坐标为　 　 　 　 　 　 　 　 . 三、解答题(共 20 分) 11. (8 分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点均在格点(网格线的交点)上,已知 A(1,0),B(2,4),C(4,1) . (1)以点 O 为位似中心,在第一象限画出 △ABC 的位似图形△A′B′C′,使△A′B′C′ 与△ABC 的相似比为 2 ∶1;(A、B、C 的对应 点分别为 A′、B′、C′) (2) 在( 1) 的条件下,写出点 B′,C′的坐 标,并求出△A′B′C′的面积. 12. 【教材呈现】(12 分)(长春期末)如图是华师 版九年级上册数学教材的部分内容. 猜想:如图,在△ABC 中,点 D、E 分别是 AB 与 AC 的中点. 根据画出的图形,可以 猜想: DE∥BC,且 DE= 1 2 BC. 对此,我们可以用演绎推理给出证明. (1)【定理证明】请根据教材内容,结合图 ①,写出证明过程; (2) 【定理应用】如图②,已知矩形 ABCD 中,AD= 6,CD = 4,点 P 在 BC 上从 B 向 C 移动,R、E、F 分别是 DC、AP、RP 的中点, 则 EF= 　 　 　 　 ; (3)【拓展提升】在平行四边形 ABCD 中, AB = 14,点 E 是 CD 的中点,过点 A 作 ∠ABC 平分线的垂线,垂足为点 F,连结 EF,若 EF= 3,则 BC= 　 　 　 　 . 图① 　 　 图② 8