抓分练3 成比例线段、相似图形和相似三角形-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年九年级数学上册（华东师大版 河南专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 3　 成比例线段、相似图形和相似三角形 一、选择题(每小题 3 分,共 15 分) 1. 已知 a b = 5 2 ,则 b a-b = (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. - 2 7 B. 2 7 C. 2 3 D. - 2 3 2. 跨学科试题·音乐 (青岛期末)如图,五线 谱是由等距离、等长度的五条平行横线组 成的,同一条直线上的三个点 A,B,C 都在 横线上. 若线段 AC = 15 2 ,则线段 AB 的长 是(　 　 ) A. 5 2 B. 2 C. 3 2 D. 5 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 3. (梅州期末)如图,在平面直角坐标系中,C 为△AOB 的 OA 边上一点,AC ∶OC = 2 ∶3,过 C 作 CD∥OB 交 AB 于点 D,C、D 两点纵坐标 分别为 1、3,则 B 点的纵坐标为(　 　 ) A. 5 B. 6 C. 8 D. 3 4. (安徽中考)如图,在△ABC 中,点 D 在 BC 边上,连结 AD,点 G 在线段 AD 上,GE∥BD 且交 AB 于点 E,GF∥AC,且交 CD 于点 F, 若 S△AEG S四边形EBDG = 4 5 , AC = 9, 则 GF 的 长 为(　 　 ) A. 2 B. 3 C. 9 2 D. 6 第 4 题图 　 　 第 5 题图 5. 学习情境·课堂讨论 (廊坊二模)如图,点 D 在△ABC 的边 AC 上,添加一个条件,使得 △ADB∽ △ABC. 以下是天翼和徍琛的做 法. 下列说法不正确的是(　 　 ) 天翼的做法: 添加条件 ∠ABD = ∠C. 证明: ∵ ∠ABD = ∠C, ∠A = ∠A, ∴ △ADB∽△ABC. (两组角对应相 等的两个三角形 相似) 徍琛的做法: 添加条件 AB AC =BD CB . 证明: ∵ ∠A= ∠A,AB AC =BD CB , ∴ △ADB∽△ABC. (两组对应边成比例 及一组对应角相等的 两个三角形相似) A. 天翼的做法证明过程没有问题 B. 徍琛的做法证明过程没有问题 C. 天翼的做法添加的条件没有问题 D. 徍琛的做法添加的条件有问题 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 6. 文化情境·传统文化 (济南期末)中国象棋 是中国棋文化,也是中华民族的文化瑰宝, 它源远流长,趣味浓厚,基本规则简明易 懂. 如图所示是中国象棋的棋盘(各个小正 方形的边长均相等),根据“马走日” 的规 则,“马” 应该落在位置 　 　 　 　 处,能使 “马”、“炮”、“兵” 所在位置的格点构成的 三角形与“帅”、“车”、“相” 所在位置的格 点构成的三角形相似. 第 6 题图 　 　 第 7 题图 7. 如图,在平行四边形 ABCD 中,AE= 2 3 AD,连 结 BE,交 AC 于点 F,AC = 5,则 CF 的长为 　 　 　 　 . 5 情境期末·ZBH·九年级数学 8. 数学思想·分类讨论 如图所示,在锐角三角 形 ABC 中,AB= 6 cm,AC= 12 cm,点 D 从点 A 出发以 1 cm / s 的速度运动到点 B 停止, 点 E 从点 C 出发以 2 cm / s 的速度运动到点 A 停止,如果两点同时开始运动,那么以点 A、D、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时, 运动时间为　 　 　 　 s. 第 8 题图 　 　 第 9 题图 9. 如图是学生根据实景图构建的某次运动 会———跳水运动跳台模型示意图,已知跳 台立柱 OA = 10 m,垂直于地面,跳台 AB = 6 m,平行于地面,裁判坐在垂直于地面的 高架座椅 CD 上,座椅高 CD = 1. 2 m,眼睛 与座位的竖直距离 DE= 0. 8 m,裁判望向起 跳点 B 的仰角 α 与望向立柱底部 O 点的俯 角 β 互余,则裁判与立柱之间的水平距离 OC 的长为　 　 　 　 m. 三、解答题(共 18 分) 10. (9 分)如图,在△ABC 中,AB = AC,AD 为 BC 边上的中线,DE⊥AB 于点 E. (1)求证:△BDE∽△CAD; (2)若 AC= 13,BC= 10,求线段 BE 的长. 11. 生活情境·视力表 (9 分)为了加强视力保 护意识,欢欢想在书房里挂一张测试距离 为 5 m 的视力表,但两面墙的距离只有 3 m. 在一次课题学习课上,欢欢向全班同 学征集“解决空间过小,如何放置视力表 问题”的方案,其中甲同学设计了一个方 案. 甲同学的设计方案 图 例 方 案 使用平面镜成像的原理来解决房间小 的问题. 如图,在相距 3 m 的两面墙上分别悬 挂视力表(AB)与平面镜(MN),由平 面镜成像原理,作出了光路图,通过调 整人的位置,使得视力表 AB 的上、下 边沿 A,B 发出的光线经平面镜 MN 的 上下边沿反射后射入人眼 C 处,通过 测量视力表的全长(AB)就可以计算 出所需镜长 MN. 已知视力表的全长 AB = 0. 8 m,要使墙面 上的镜子能呈现完整的视力表,求镜面长 MN 至少为多少米? 6 35π = πr2,解得 r= 70 . 故选 D. 二、填空题 8. -2　 【解析】由题意,得 2x+7≥0,解得 x≥- 3. 5. ∵ x 取 整数值,当 x= -2 时,二次根式为 3,是最简二次根式. 9. 2 　 2 3(答案不唯一) 　 10. 5 + 3 2 11. 10 2 　 【解析】∵ Ek = 1 2 mv2,m = 10 千克,Ek = 1000 焦 耳,∴ v= 2Ek m = 2×1000 10 = 10 2(米 / 秒) . 12. 3　 75　 【解析】∵ 300 n = 3×100 n = 10 3 n ,且为整数, ∴ n 最小为 3. ∵ 300 n 是大于 1 的整数,∴ 300 n 越小,300 n 越小,则 n 越大,当 300 n =2 时,300 n =4,∴ n=75. 三、解答题 13. 解:(1)原式= (8 3 -6 6 ) ÷ 3 +4 2 = 8-6 2 +4 2 = 8- 2 2 ; (2)原式= 10 10 -(5+2-2 10 )= 12 10 -7. 14. 解:(1)二 (2)∵ x<3,∴ x-3<0,5-x> 0,∴ 原式 = (x-3) 2 +(5- x)= -x+3+5-x= 8-2x. 15. 解:(1)m2 +3n2 　 2mn (2)①4　 2　 ②由(1)可得,a=m2 +3n2 ,b= 2mn= 4,∴ mn= 2. 而 a,m, n 均为正整数,∴ m= 1,n= 2 或 m= 2,n= 1. ∴ 当 m= 1,n = 2 时,a=m2 +3n2 = 13. 当 m= 2,n= 1 时,a=m2 +3n2 = 7. ∴ a= 13 或 7. 基础知识抓分练 2 一元二次方程 一、选择题 1. D 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】一元二次方程定义:含有一个未知数、未知数 的最高次数是 2 的整式方程,根据定义逐项判定即可得 到答案. 2. D　 【解析】根据题意得 16-4(m-2)×2≥0m-2≠0{ ,解得 m≤4 且 m≠2. 故选 D. 3. A　 【解析】根据题意得 Δ= b2 -4ac = (-2) 2 -4(k+1)>0, 解得 k<0,∴ 一次函数 y= kx+k 的图象经过第二、三、四象 限,不经过第一象限. 故选 A. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【点拨】掌握一元二次方程 ax2 +bx+c = 0(a≠0)的根与 Δ = b2 -4ac 有如下关系:当 Δ>0 时,方程有两个不相等的实 数根;当 Δ= 0 时,方程有两个相等的实数根;当 Δ<0 时, 方程无实数根及一次函数的性质便可得到答案. 4. D　 【解析】将 x= 1 代入方程得,a-3+2 = 0,解得 a= 1,所 以 a 的正确值为-1,则原方程为-x2 -3x+2 = 0,所以 Δ = (-3) 2 -4×(-1)×2 = 17>0,所以原方程有两个不相等的 实数根. 故选 D. 5. C 6. A　 【解析】7÷2 = 7 2 ( s),5÷1 = 5( s),∴ 7 2 s 后 P、Q 两点 同时停止移动. 设 t 秒后,△PCQ 的面积等于 4,由题意 得,BP= t,CQ= 2t,则 CP= 5-t. ∵ S△PCQ = 1 2 CQ·CP= 1 2 × 2t×(5-t)= 4,整理得 t2 -5t+4 = 0,解得 t1 = 1,t2 = 4(不合 题意,舍去),即 1 秒后,△PCQ 的面积等于 4. 故选 A. 7. D　 【解析】由题意,得 x-3 = 0,解得 x= 3,把 x = 3 代入方 程得 9-3p-6 = 0,解得 p= 1. 故选 D. 二、填空题 8. x2 -4 = 0(答案不唯一) 　 9. 5 10. -11　 【解析】根据题意得 b= -31-a+b= 0{ ,解得 a= -2 b= -3{ ,所以 方程为 x2 -2x-3 = 0,所以 4a+b= -11. 11. 80　 【解析】设每件应降价 x 元,根据题意得(200-x) (120+ x 20 ×30)= 28800,整理得 x2 -120x+3200 = 0,解得: x1 = 40,x2 = 80,又∵ 要尽快减少库存,∴ x = 80,∴ 每件 应降价 80 元. 三、解答题 12. 解:(1)方程整理,得 x2 -2x= 1,配方,得 x2 -2x+1 = 2,(x -1) 2 = 2,直接开方得 x- 1 = ± 2 ,所以 x1 = 1+ 2 ,x2 = 1 - 2 ; (2)移项,得 3x(x-1)-2(x-1)= 0,整理,得(x-1) (3x- 2)= 0,x-1 = 0 或 3x-2 = 0,所以 x1 = 1,x2 = 2 3 . 13. 解:(1)2x　 (40-x) (2)设每件服装降价 x 元,依题意得(120-x- 80) (20+ 2x)= 1200. 整理得 x2 -30x+200 = 0,解得 x1 = 10,x2 = 20. 又∵ 需要扩大销售量,∴ x = 20. 即每件服装降价 20 元 时,商家平均每天能盈利 1200 元; (3)商家不能达到平均每天盈利 1800 元,理由如下:设 每件服装降价 y 元,依题意得(120-y- 80) (20+ 2y) = 1800,整理得 y2 -30y+500 = 0. ∵ Δ= (-30) 2 -4×1×500 = -1100<0,∴ 此方程无解,即不可能达到平均每天盈利 1800 元. 14. 解:(1)是 (2)当 x= -1 时,有 a- 2 c+b = 0,即 a+b = 2 c. ∵ 2a+2b + 2 c= 12,即 2(a+b)+ 2 c= 12,∴ 3 2 c= 12,∴ c = 2 2 , a+b= 2 c = 4,∴ a2 +b2 = c2 = 8,a+b = 4. ∵ (a+b) 2 = a2 + 2ab+b2 ,∴ ab= 4,∴ S△ABC = 1 2 ab= 2. 基础知识抓分练 3 成比例线段、相似图形和相似三角形 一、选择题 1. C　 2. D 3. A　 【解析】∵ CD∥OB,∴ △ACD∽△AOB,∴ AC AO = CD OB . ∵ AC ∶OC= 2 ∶3,∴ AC AO = 2 5 . ∵ C、D 两点纵坐标分别为 1、3, ∴ CD= 3-1 = 2,∴ 2 OB = 2 5 ,解得 OB = 5,∴ B 点的纵坐标 为 5. 故选 A. 4. B　 【解析】 ∵ GE∥BD, ∴ △AEG ∽ △ABD, ∴ S△AEG S△ABD = (AG AD ) 2 . ∵ S△AEG S四边形EBDG = 4 5 ,∴ S△AEG S△ABD = 4 9 ,∴ AG AD = 2 3 ,∴ DG AD = 1 3 . ∵ GF∥AC,∴ △DGF∽△DAC,∴ GF AC = DG DA = 1 3 . ∵ AC = 9,∴ GF= 1 3 AC= 3. 故选 B. 5. B 二、填空题 6. ② 7. 3　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥CB,AD =CB. ∵ AE= 2 3 AD,∴ AE = 2 3 CB. ∵ AE∥CB,∴ △EAF∽ △BCF,∴ AF CF = AE CB = 2 3 . ∵ AC= 5,∴ CF= 3 5 AC= 3. 8. 3 或 4. 8　 【解析】设运动时间为 x 秒时,根据题意 AD = xcm,CE= 2xcm,则 AE = (12 - 2x) cm,当△ADE∽△ABC 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBH·九年级数学　 第 2 页 时,AD AB =AE AC ,∴ x 6 = 12-2x 12 ,解得 x = 3;当△ADE∽△ACB 时,AD AC =AE AB ,∴ x 12 = 12-2x 6 ,解得 x= 4. 8. 9. 8　 【解析】过点 E 作 EF⊥AO,垂足为 F,过点 B 作 BG⊥ EF,垂足为 G,∴ ∠BGE = ∠EFO = 90°,∴ ∠EBG+∠BEG = 90°,由题意得:OF=CE=CD+DE= 2m,AB =FG = 6m,AF =BG,EF=CO. ∵ AO = 10m,∴ AF = BG = OA-OF = 8m. ∵ ∠BEG+ ∠FEO = 90°, ∴ ∠EBG = ∠FEO, ∴ △BEG ∽ △EOF,∴ BG EF =EG OF ,∴ 8 EG+6 = EG 2 ,解得 EG = 2 或 EG = -8 (舍去),∴ OC =EF = 2+6 = 8(m),∴ 裁判与立柱之间的 水平距离 OC 的长为 8m. 三、解答题 10. (1)证明:∵ AB=AC,AD 为 BC 边上的中线,∴ AD⊥BC. ∵ DE⊥AB,∴ ∠BED = ∠ADC = 90°. ∵ AB = AC,∴ ∠B = ∠C,∴ △BDE∽△CAD; (2)解:∵ AD 为 BC 边上的中线,BC = 10,∴ BD = CD = 1 2 BC= 5. ∵ △BDE∽△CAD,AC = 13,∴ BE CD = BD AC ,即BE 5 = 5 13 ,∴ BE= 25 13 . 11. 解:过 C 作 CD⊥MN 于 D,延长交 A′B′于 E,则 AB∥MN ∥A′ B′, ∴ ∠MNC = ∠A′ B′ C, ∠NMC = ∠B′ A′ C, ∴ △MNC∽△A′B′C,∵ CE⊥A′B′,∴ MN A′B′ = CD CE . ∵ CE = 5m,DE= 3m,A′B′ = AB = 0. 8m,∴ CD = CE-DE = 2m,∴ MN 0. 8 = 2 5 ,∴ MN= 0. 32,答:镜面长 MN 至少为 0. 32 米. 基础知识抓分练 4 中位线、位似图形和图形与坐标 一、选择题 1. A　 【解析】∵ 点 A(a,-1)与点 B(2,b)关于原点对称,∴ a= -2,b= 1,∴ a+b= -2+1 = -1. 故选 A. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【解题技巧】两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相 反,即点 P(x,y)关于原点 O 的对称点是 P′(-x,-y). 2. C　 3. D 4. B　 【解析】由题意,得 DE 是△ABC 的中位线. ∵ BC = 14,∴ DE= 1 2 BC= 7. ∵ ∠AFB = 90°,AB = 8,∴ DF = 1 2 AB = 4,∴ EF=DE-DF= 7-4 = 3. 故选 B. 5. A　 【解析】设点 B′的横坐标为 x,则 B、C 间的水平距离 为 a-1,B′、C 间的水平距离为-x+ 1. ∵ △ABC 放大到原 来的 2 倍得到△A′B′C,∴ 2(a-1)= -x+1,解得 x = -2a+ 3. 故选 A. 6. D　 【解析】∵ 点 G 是△ABC 的重心,∴ BG = 2GE. ∵ BE = BG+GE= 15,∴ BG= 10. 故选 D. 二、填空题 7. (2,3)或(0,-1) 8. 8　 【解析】由题意,得正方形 ABCD 的周长 ∶四边形 A′B′ C′D′的周长=AB ∶A′B′ = 1 ∶ 2. ∵ 正方形 ABCD 的周长为 4,∴ 四边形 A′B′C′D′的周长为 8. 9. 30 13 　 【解析】连结 CM. ∵ 点 D、E 分别为 CN,MN 的中点, ∴ DE= 1 2 CM. 当 CM⊥AB 时,CM 的值最小,此时 DE 的 值也最小. 由勾股定理得:AB = AC2 +BC2 = 52 +122 = 13. ∵ S△ABC = 1 2 ·AB·CM = 1 2 ·AC·BC,∴ CM = 60 13 . ∴ DE= 1 2 CM= 30 13 . 10. (-1011,-1012) 三、解答题 11. 解:(1)如图,△A′B′C′即为所求. (2)由图象可知:B′(4,8),C′(8,2) . S△A′B′C′ = 6×8- 1 2 ×2 ×8- 1 2 ×6×2- 1 2 ×6×4 = 22. 12. (1)证明:在△ABC 中. ∵ 点 D、E 分别是 AB 与 AC 的中 点,∴ AD AB = AE AC = 1 2 . ∵ ∠A = ∠A,∴ △ADE∽△ABC,∴ ∠ADE= ∠ABC,DE BC =AD AB = 1 2 ,∴ DE∥BC,DE= 1 2 BC; (2) 10 　 【解析】连结 AR. ∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠D= 90°. ∵ 点 R 是 CD 的中点,CD = 4,∴ DR = 1 2 CD = 2. ∵ AD = 6,∴ AR = AD2 +DR2 = 62 +22 = 2 10 . ∵ E、F 分别是 AP、RP 的中点,∴ EF= 1 2 AR= 10 . (3)4 或 10　 【解析】如图 1,延长 AD 交∠ABC 平分线于 点 G,延长 FE 交 AB 于点 H. ∵ BG 平分∠ABC,∴ ∠ABG = ∠CBG. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC,AB =CD= 14,∴ ∠G = ∠CBG,∴ ∠G = ∠ABG,∴ AG = AB = 14. ∵ AF⊥BG,∴ BF=FG. ∵ 点 E 是 CD 的中点,∴ CE = DE,∴ CE DE =BF FG = 1,∴ EF∥BC∥AG,∴ FH AG =BF BG = 1 2 ,∴ FH = 1 2 AG= 7. ∵ EF= 3,∴ EH= 4. ∴ BC=EH = 4;如图 2,∵ EF∥BC,AB∥CD,∴ 四边形 BCEH 是平行四边形,同理 可得:FH= 1 2 AG= 7. ∵ EF= 3,∴ EH=FH+EF = 10. ∵ EH ∥BC,AB∥CD,∴ 四边形 BCEH 是平行四边形,∴ BC = EH= 10;综上所述,BC= 4 或 10. 基础知识抓分练 5 解直角三角形 一、选择题 1. C　 【解析】Rt△ABC 中,∠C = 90°,∴ ∠A+∠B = 90°,∴ cosB= sinA= 3 5 . 故选 C. 2. A　 3. B 4. D　 【解析】由题意,得 EC=ED= 2. ∵ DE 垂直平分 AB,∴ ∠BDE= 90°. 在△BDE 中,∵ ∠BDE = 90°,∠B = 30°,∴ BE= 2DE= 4. ∴ BC=BE+EC= 6. 故选 D. 5. B 6. B　 【解析】由题意得:DC⊥AC,在 Rt△DBC 中,∠DBC = 45°,DC= x 米,∴ BC= DC tan45° = x. ∵ AB= 30 米,∴ AC = (x+ 30)m,在 Rt△ACD 中,∠DAC = 28°,∴ CD = AC·tan28°, ∴ x=(30+x) tan28°. 故选 B. 二、填空题 7. 75°　 【解析】由题意,得 sinA- 3 2 = 0,1-tanB= 0,∴ sinA= 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBH·九年级数学　 第 3 页