试卷4 驻马店市2023年学业质量监测试卷-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年九年级数学上册（北师大版 河南专用）

情境期末·九年级数学　 第 1 页 情境期末·九年级数学　 第 2 页 情境期末·九年级数学　 第 3 页　 　 　 　 试卷 4 驻马店市学业质量监测试卷 测试范围:九上~九下　 测试时间:100 分钟　 测试分数:120 分 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)下列各小题均有四个选项,其中 只有一个是正确的. 1. 下列四个图案标志中,是中心对称图形的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. B. C. D. 2. 一元二次方程 x2 +x-1 = 0 根的判别式的值是(　 　 ) A. -3 B. 3 C. -5 D. 5 3. 下列计算正确的是(　 　 ) A. 2 + 3 = 5 B. 2 3 - 3 = 2 C. 2 × 3 = 6 D. 12 ÷3 = 2 4. 如图,AB 是☉O 的直径,BC、CD、DA 是☉O 的弦,且 BC = CD = DA,则∠BCD= (　 　 ) A. 105° B. 120° C. 135° D. 150° 第 4 题图 　 　 　 第 6 题图 5. 三秋陈醋,四季飘香. 为打开市场,醋厂经过两次降价,售价由原 来的每瓶 25 元降至每瓶 16 元,已知两次降价的百分率相同,则 每次降价的百分率为(　 　 ) A. 20% B. 25% C. 30% D. 36% 6. 韩梅将水浒人物宋江和李逵的画像及其绰号制成 4 张无差别卡 片(除图案和文字不同外,其他完全相同),将卡片背面朝上洗 匀,从中随机抽取两张,则抽取的卡片人物画像与绰号完全对应 的概率是(　 　 ) A. 1 5 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 2 7. 将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起,边 AD 与 BC 相交 于点 E,则BE EC 的值等于(　 　 ) A. 2 2 B. 6 3 C. 3 3 D. 6 2 第 7 题图 　 　 　 第 8 题图 　 　 　 第 9 题图 8. 如图,在平面直角坐标系中,正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以 原点 O 为位似中心的位似图形,且位似比为 1 3 ,点 A,B,E 在 x 轴 上,若正方形 BEFG 的边长为 6. 则 C 点坐标为(　 　 ) A. (3,2) B. (3,1) C. (2,2) D. (4,2) 9. 如图,二次函数 y= ax2 +bx 的图象开口向下,且经过第三象限的 点 P. 若点 P 的横坐标为-1,则一次函数 y= (a-b)x+b 的图象大 致是(　 　 ) A. B. C. D. 10. 如图,矩形 OABC 的顶点 O 为坐标原点,AC= 4. 对角线 OB 在第 一象限的角平分线上. 若矩形从图示位置开始绕点 O 以每秒 45°的速度顺时针旋转,则当第 2 024 秒时,矩形的对角线交点 G 的坐标为(　 　 ) A. (2,0) B. (0,2) C. ( 2 , 2 ) D. (- 2 ,- 2 ) 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 写出一个使 x-3在实数范围内有意义的 x 值是　 　 　 　 . 12. 王林用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂分别为 1 000 N 和 0. 6 m,当动力臂由 1. 5 m 增加到 2 m 时,撬动这块石头可以节 省　 　 　 　 N 的力. (杠杆原理:阻力×阻力臂=动力×动力臂) 13. 如图,在☉O 中,弦 AB 垂直平分半径 OC. 垂足为 D,若☉O 的半 径为 2,则弦 AB 的长为　 　 　 　 . 第 13 题图 　 　 第 14 题图 　 　 第 15 题图 14. 如图,四边形 ABCD 是边长为 4 的菱形,O 为其对称中心,过 O 点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分. 若∠ABC = 60°,则 阴影部分的面积为　 　 　 　 . 15. 如图,正方形 ABCD 的边长为 8,E 为 BC 上一定点. BE= 6,F 为 AB 上一动点,把△BEF 沿 EF 对折,点 B 落在点 G 处,当△AFG 恰好为直角三角形时,BF 的长为　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (10 分)(1)计算: 4 + | -5 | +( -1) 2 023 . (2)解方程:x(x-3) +2 = 0. 17. (9 分)如图,在△ABC 中,点 D 是 AB 边上的一点,AD= 2BD. (1)尺规作图:作直线 DE∥BC 交 AC 于点 E;(不写作法,保留 作图痕迹) (2)在(1)的条件下,若 AC= 6,求 AE 的长. 18. (9 分)宝严寺塔(图 1),俗称“东关塔”,位于西平县城东关,故 名,该塔造型古朴,2006 年 6 月被批准为国家级文物保护单位. 如图 2,某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量宝严寺塔 AB 的高度,他们通过调整测量位置,使斜边 DF 与地面保持平行,并使边 DE 与宝严寺塔顶点 A 在同一直线 上. 已知 DE= 1. 6 米,EF= 1. 1 米. 目测点 D 与地面的距离 DG= 1. 3 米,到宝严寺塔的水平距离 DC = 40 米. 求宝严寺塔 AB 的 高度. 图 1　 　 　 　 　 图 2　 　 　 试卷 4 　 　 　 　 　情境期末·九年级数学　 第 4 页 情境期末·九年级数学　 第 5 页 情境期末·九年级数学　 第 6 页 19. (9 分)某农户为提高经济收入,购买了 39 m 的铁栅栏. 准备用 这些铁栅栏靠墙(墙长 15 m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形 养鸡场(如图所示). (1) 若要建的矩形养鸡场面积为 120 m2 . 求鸡场的长 AB 和 宽 BC; (2)该农户想要建一个 130 m2 的矩形养鸡场,这一想法能实现 吗? 请说明理由. 20. (9 分)如图 1 是汝南北城古桥,斑驳的桥面上书写着历史的痕 迹. 古桥拱截面 OBA 可视为抛物线的一部分,在某一时刻,桥拱 内的水面宽 OA= 8 m,桥拱顶点 B 到水面的距离是 4 m. (1)按如图 2 所示建立平面直角坐标系,求桥拱部分抛物线的 函数表达式(无需写出取值范围); (2)一只宽为 1. 2 m 的打捞船径直向桥驶来,当船驶到桥拱下 方且距 O 点 0. 4 m 时,桥下水位刚好在 OA 处. 有一名身高 1. 68 m 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾,他的头顶是否会 触碰到桥拱,请说明理由(假设船底与水面齐平) . 　 　 图 1　 　 　 　 图 2　 　 　 　 21. (9 分)如图,点 A 在反比例函数 y = k x ( x>0)的图象上,AB⊥y 轴于点 B,且 OB= 2AB= 4. (1)求反比例函数的解析式; (2)点 C 在这个反比例函数图象上,连接 AC 并延长交 x 轴于点 D. 且∠ADO= 45°,求点 C 的坐标. 22. (10 分)如图,抛物线 y = 1 4 x2 +bx+c 过点 O(0,0),E(10,0),矩 形 ABCD 的边 AB 在线段 OE 上(点 B 在点 A 的左侧),点 C,D 在抛物线上,设动点 B 坐标为( t,0) . (1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标; (2) 当 t 为何值时,矩形 ABCD 的周长有最大值? 最大值是 多少? 23. (10 分)背景:一次小组合作探究课上. 小 明将两个正方形按如图所示的位置摆放 (点 E、A、D 在同一条直线上) . 发现 BE = DG 且 BE⊥DG. 小组讨论后,提出了下列三个问题. 请你帮助解答: (1)将正方形 AEFG 绕点 A 按逆时针方向旋转(如图 1),还能得 到 BE=DG 吗? 若能,请给出证明;若不能,请说明理由; (2)把背景中的正方形分别改成菱形 AEFG 和菱形 ABCD. 将菱 形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转(如图 2),试问当∠EAG 与 ∠BAD 的大小满足怎样的关系时,背景中的结论 BE =DG 仍成 立? 请说明理由; (3)把背景中的正方形分别改写成矩形 AEFG 和矩形 ABCD. 且 AE AG = AB AD = 2 3 ,AE = 4,AB = 8,将矩形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向 旋转(如图 3),连接 DE,BG. 小组发现:在旋转过程中,DE2 + BG2 的值是定值,请直接写出此定值. 图 1 　 图 2 　 图 3 15. (0,3)、(4,0)、( 7 4 ,0) 　 【解析】当 PC∥OA 时,∠BPC = ∠BOA= 90°,∵ ∠B = ∠B,∴ Rt△BPC∽Rt△BOA,由点 C 是 AB 的中点,可得 P 为 OB 的中点,此时 P 点坐标为 (0,3);当 PC∥OB 时,∠APC = ∠BOA = 90°,∵ ∠A = ∠A,∴ Rt△ACP∽Rt△ABO,由点 C 是 AB 的中点,可得 P 为 OA 的中点,此时 P 点坐标为(4,0);当 PC⊥AB 时, ∠ACP = ∠BOA = 90°,∵ ∠CAP = ∠OAB,∴ Rt△APC∽ Rt△ABO,∴ AC OA =AP AB ,∵ 点 A(8,0)和点 B(0,6),∴ AB = 62 +82 = 10,∵ 点 C 是 AB 的中点,∴ AC = 5,∴ 5 8 = AP 10 ,∴ AP= 25 4 ,∴ OP =OA-AP = 8- 25 4 = 7 4 ,此时 P 点坐 标为( 7 4 ,0),综上所述,满足条件的 P 点坐标为(0,3)、 (4,0)、( 7 4 ,0) . 三、解答题 16. 解:(1)如图所示: (2)2 17. 解:(1) 1 2 (2)画树状图如下: 由树状图知共有 8 种等可能结果,其中至少答对两道题 的有 4 种结果,所以他获胜的概率为 4 8 = 1 2 . 18. 解:(1)∵ 反比例函数 y = k x (x>0)的图象过格点 P(2, 2),∴ k= 2×2 = 4,∴ 反比例函数的解析式为 y= 4 x ; (2)如图所示:矩形 OAPB、矩形 OCDP 即为所求作的 图形. (答案不唯一) 19. 解: ( 1) 图中所有相似的三角形有: △ABD∽ △CAD, △ABD∽△CBA,△CAD∽△CBA; (2) 能得到 AB2 = BD · BC, 理由如下: ∵ △ABD ∽ △CBA,∴ AB BC =BD AB ,∴ AB2 =BD·BC; (3) 20 3 　 【解析】在 Rt△ABD 中,BD = 3,AB = 5,∴ AD = 52 -32 = 4,∵ △ABD∽△CAD,∴ AB AC = BD AD ,∴ 5 AC = 3 4 , ∴ AC= 20 3 . 20. 解:(1)设运动 t 秒时,P,Q 两点相距 15 厘米,依题意, 得:t2 +(21-t) 2 = 152 ,解得:t1 = 9,t2 = 12,∴ 运动 9 秒或 12 秒时,P,Q 两点相距 15 厘米; (2)△PCQ 的面积不能等于 60 平方厘米,理由如下:设 运动 x 秒时,△PCQ 的面积等于 60 平方厘米,依题意, 得: 1 2 x(21-x)= 60,整理,得:x2 -21x+120 = 0,∵ Δ = ( - 21) 2 -4×1×120 = -39<0,∴ 原方程无解,即△PCQ 的面 积不能等于 60 平方厘米. 21. (1)证明:∵ AB = AC,AD 是中线,∴ AD⊥BC,∠BAD = ∠CAD,∴ ∠ADC= 90°,∵ AN 为△ABC 的外角∠CAM 的 平分线,∴ ∠MAN= ∠CAN,∴ ∠CAD+∠CAN = 1 2 ×180° = 90°,即∠DAE = 90°,∵ CE⊥AN,∴ ∠AEC = 90°,∴ 四 边形 ADCE 是矩形; (2)DF= 1 2 AB 　 【解析】由(1)知,四边形 ADCE 为矩 形,∴ AC=DE,DF=EF= 1 2 DE,又∵ AB=AC,∴ AB =DE, ∴ DF= 1 2 AB. 22. (1)证明:∵ (x-3)(x-2)= |m | ,∴ x2 -5x+6- |m | = 0,∵ Δ= (-5) 2 -4(6- | m | )= 1+4 | m | ,而 | m | ≥0,∴ Δ>0,∴ 方程总有两个不相等的实数根; (2)解:∵ 方程的一个根是 1,∴ |m | = 2,解得:m= ±2,∴ 原方程为:x2 -5x+4 = 0,解得:x1 = 1,x2 = 4. 即 m 的值为 ±2,方程的另一个根是 4. 23. (1)3 ∶4　 【解析】∵ D,E 分别是 AB,AC 的中点,∴ DE 为△ABC 的中位线,∴ DE∥BC,∴ △ADE∽ △ABC,∴ S△ADE S△ABC =(AD AB ) 2 = ( 1 2 ) 2 = 1 4 ,∴ 四边形 DECB 的面积与 △ABC 的面积之比为 3 ∶4; (2)证明:∵ DE∥BC,∴ △ADE∽△ABC,∴ AD AB = AE AC =DE BC = 1 2 ,∴ D,E 分别是 AB,AC 的中点,∴ DE 为△ABC 的 中位线; (3)解:命题为假命题. 理由如下:∵ D 是 AB 中点,∴ AD AB = 1 2 ,∵ DE = 1 2 BC,∴ AD AB = DE BC ,而公共∠A 不是两组对 应边的夹角,∴ △ADE 和△ABC 不一定相似,∴ 点 E 不 一定为 AC 的中点,∴ DE 不一定是△ABC 的中位线,所 以原命题为假命题. 驻马店市学业质量监测试卷 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C B A B C A D C 1. A 2. D　 【解析】∵ a= 1,b= 1,c= -1,∴ Δ= b2 -4ac= 1+4 = 5. 所 以一元二次方程 x2 + x- 1 = 0 根的判别式的值是 5. 故 选 D. 3. C　 【解析】 2与 3无法合并,则 A 不符合题意;2 3 - 3 = 3,则 B 不符合题意; 2 × 3 = 2×3 = 6,则 C 符合 题意; 12 ÷3 = 12 3 = 2 3 3 ,则 D 不符合题意. 故选 C. 4. B　 【解析】由题意知,弦 BC、CD、DA 三等分半圆,∴ 弦 BC 和 CD 和 DA 对的圆心角均为 60°,∴ ∠BCD = 120°. 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBB·九年级数学　 第 16 页 故选 B. 5. A　 【解析】设每次降价的百分率为 x,依题意得:25(1- x) 2 = 16,解得:x1 = 0. 2 = 20%,x2 = 1. 8(不合题意,舍去) . 故选 A. 6. B　 【解析】设宋江、李逵、及时雨、黑旋风分别用 A、B、C、 D 表示,画树状图如图所示: 可得,一共有 12 种等可能性,其中抽取的卡片人物画像 与绰号完全对应的可能性有 4 种,∴ 抽取的卡片人物画 像与绰号完全对应的概率为 4 12 = 1 3 . 故选 B. 7. C 8. A　 【解析】∵ 正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形,且相似比为 1 3 ,∴ AD BG = 1 3 ,∵ BG = 6,∴ AD=BC= 2,∵ AD∥BG,∴ △OAD∽△OBG,∴ OA OB = 1 3 ,∴ OA 2+OA = 1 3 ,解得:OA = 1,∴ OB = 3,∴ C 点坐标为: (3,2) . 故选 A. 9. D　 【解析】由二次函数的图象可知,a< 0,b< 0,当 x = - 1 时,y=a-b<0,∴ y = (a-b) x+b 的图象在第二、三、四象 限. 故选 D. 10. C　 【解析】∵ 四边形 ABCO 是矩形,∴ AC =OB = 4,AG = CG,OG=BG,∴ OG= 2,∴ G( 2, 2 ),∵ 每秒旋转 45°,8 次一个循环,2024÷8 = 253,∴ 点 G 在第一象限,∴ 点 G 的 坐标为( 2, 2) . 故选 C. 二、填空题 11. 6(答案不唯一) 12. 100　 【解析】根据“杠杆原理”动力×动力臂 = 1000 × 0. 6,∴ 函数的解析式为动力 = 600 动力臂 ,当动力臂 = 1. 5 时,动力= 600 1. 5 = 400,当动力臂 = 2 时,动力 = 600 2 = 300, 因此,撬动这块石头可以节省 400-300 = 100N 的力. 13. 2 3 　 【解析】连接 OA,由 AB 垂直平分 OC,得到 OD = 1 2 OC= 1,∵ OC⊥AB,∴ D 为 AB 的中点,则 AB = 2AD = 2 OA2 -OD2 = 2 22 -12 = 2 3 . 14. 4 3 　 【解析】连接 AC、BD,∵ O 是菱形 ABCD 的对称中 心,∴ O 是 AC、BD 的交点,且 AC⊥BD,∴ OA = OC = 1 2 AC,OB= 1 2 BD,∠ABO = 1 2 ∠ABC = 30°,∴ AO = 1 2 AB = 2,BO= AB2 -AO2 = 2 3,∴ AC= 4,BD = 4 3,∴ S△ CBD = 1 2 × 1 2 AC·BD= 1 2 × 1 2 ×4×4 3 = 4 3,设过点 O 的三 条直线与菱形 ABCD 的各边分别交于点 E、F、G、H、P、 Q,如图所示:∵ AB∥CD,∴ ∠OBE = ∠ODH,∠OEB = ∠OHD,∵ OB = OD,∴ △OBE≌△ODH(AAS),∴ S△ OBE =S△ ODH,∵ AD∥CB,∴ ∠OAQ = ∠OCG,∠OQA = ∠OGC, ∵ OA = OC,∴ △OAQ≌ △OCG (AAS),∴ OQ = OG,∵ ∠OPQ = ∠OFG, ∠OQP = ∠OGF, ∴ △OPQ ≌ △OFG (AAS),∴ S△ OPQ = S△ OFG,∴ S阴影 = S△ OBE +S△ OBF +S△ OPQ + S四边形 OGCH =S△ ODH+S△ OBF+S△ OFG+S四边形 OGCH =S△ CBD = 4 3 . 15. 3 或 6　 【解析】分两种情况:如图 1,当∠AGF = 90°时, △AFG 为直角三角形,根据∠AGF = 90° = ∠FGE,可得 点 A,G,E 在同一直线上,∵ BE = 6,AB = 8,∴ Rt△ABE 中,AE= 10,又∵ GE=BE= 6,∴ AG= 10-6 = 4,设 BF =GF =x,则 AF= 8-x,Rt△AGF 中,AG2 +FG2 =AF2,即 42 +x2 = (8-x) 2,解得 x= 3,∴ BF=GF= 3;如图 2,当∠AFG = 90° 时,△AFG 为直角三角形,此时,∠BFG = 90° = ∠FGE = ∠B,而 BF=GF,∴ 四边形 BEGF 是正方形,∴ BF=FG = BE= 6,综上所述,BF 的长为 3 或 6. 图 1 　 　 图 2 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【方法点拨】本题主要考查了正方形的性质,勾股定理,矩 形的性质以及折叠的性质的综合应用,折叠是一种对称 变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变, 位置变化,对应边和对应角相等. 解决问题的关键是作辅 助线构造矩形和直角三角形,依据勾股定理列方程求解. 三、解答题 16. 解:(1)原式= 2+5-1 = 7-1 = 6; (2)方程整理,得 x2 -3x+2 = 0,a = 1,b = -3,c = 2,Δ = b2 - 4ac= (-3) 2 -4×1×2 = 9-8 = 1>0,∴ 方程有两个不相等 的实数根,∴ x= -(-3)±1 2 = 3±1 2 ,即 x1 = 1,x2 = 2. 17. 解:(1)如图所示,直线 DE 即为所求; (2)∵ DE∥BC,∴ AD BD = AE CE = 2,∴ AE = 2CE,∵ AC = AE+ CE= 6,∴ AE= 4. 18. 解:由题意得:BC = DG = 1. 3 米,CD⊥AB,FE⊥AD,∴ ∠ACD = ∠FED = 90°, ∵ ∠EDF = ∠ADC, ∴ △DEF∽ △DCA,∴ DE DC =EF AC ,∴ 1. 6 40 = 1. 1 AC ,解得:AC = 27. 5,∴ AB = AC+BC= 27. 5+1. 3 = 28. 8(米),∴ 宝严寺塔 AB 的高度 为 28. 8 米. 19. 解:(1)设 BC= xm,则 AB= (39-3x)m,由题意得:x(39- 3x)= 120,整理得:x2 -13x+40 = 0,解得:x1 = 5,x2 = 8,当 x= 5 时,39-3x= 24>15,不符合题意;当 x = 8 时,39-3x = 15,符合题意;答:鸡场的长 AB 和宽 BC 分别为 15m 与 8m. (2)设 BC=am,则 AB= (39-3a)m,由题意得:a(39-3a) = 130,整理得:3a2 -39a+130 = 0,Δ= (-39) 2 -4×3×130 = -39<0,方程无实数解;所以想法不能实现. 20. 解:(1)由题意得:水面宽 OA 是 8m,桥拱顶点 B 到水面 的距离是 4m,结合函数图象可知,顶点 B (4,4),点 O (0,0),设二次函数的表达式为 y = a(x- 4) 2 + 4,将点 O (0,0)代入函数表达式,解得:a = - 1 4 ,∴ 二次函数的表 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBB·九年级数学　 第 17 页 达式为 y= - 1 4 (x-4) 2 +4,即 y= - 1 4 x2 +2x ; (2)工人不会碰到头,理由如下:∵ 小船距 O 点 0. 4m, 小船宽 1. 2m,工人直立在小船中间,由题意得:工人距 O 点距离为 0. 4+ 1 2 × 1. 2 = 1( m),∴ 将 x = 1 代入 y = - 1 4 x2 +2x,解得:y= 7 4 = 1. 75. ∵ 1. 75m>1. 68m,∴ 此时 工人不会碰到头. 21. 解:(1)∵ AB⊥y 轴于点 B,∴ ∠OBA= 90°,∵ OB= 2AB = 4,∴ A(2,4),∵ 点 A 在反比例函数 y = k x (x>0)的图象 上,∴ k= 4×2 = 8,∴ 反比例函数的解析式为 y= 8 x ; (2)过 A 作 AF⊥x 轴于 F,∴ ∠AFD = 90°,∵ ∠ADO = 45°,∴ ∠FAD= 90°-∠CDF= 45°,∴ AF=DF =OB = 4,∵ OF=AB= 2,∴ OD = 6,∴ D(6,0),设直线 AC 的解析式 为 y = ax+ b,∵ 点 A( 2,4),D( 6,0) 在直线 AC 上, ∴ 2a+b= 4 6a+b= 0{ ,∴ a= -1 b= 6{ ,∴ 直线 AC 的解析式为 y = - x+ 6 ①,由(1)知,反比例函数的解析式为 y = 8 x ②,联立① ②,解得 x = 2 y= 4{ 或 x= 4 y= 2{ ,∴ C(4,2) . 22. 解:(1)∵ 抛物线 y= 1 4 x2 +bx+c 过点 O(0,0),E(10,0), ∴ c = 0 25+10b+c= 0{ ,解得 c= 0 b= - 5 2 { ,∴ 抛物线的函数表达式 为:y= 1 4 x2 - 5 2 x,对称轴 x= - b 2a = 5,∴ 当 x = 5 时,抛物 线有最大值,最大值 y = 25 4 - 25 2 = - 25 4 ,∴ 抛物线顶点坐 标为(5,-25 4 ); (2)∵ B( t,0),∴ AB= 10-2t,BC= -( 1 4 t2 - 5 2 t)= - 1 4 t2 + 5 2 t,∴ 矩形 ABCD 的周长= 2(AB+BC)= 2(10-2t- 1 4 t2 + 5 2 t)= 2(- 1 4 t2 + 1 2 t+10)= - 1 2 t2 +t+20,∵ a= - 1 2 <0,函 数有最大值,当 t = - b 2a = - 1 2×(- 1 2 ) = 1 时,矩形 ABCD 的周长最大值为:- 1 2 + 1 + 20 = 41 2 . ∴ 当 t = 1 时,矩形 ABCD 的周长有最大值,最大值是41 2 . 23. (1)证明:∵ 四边形 AEFG 为正方形,∴ AE = AG,∠EAG = 90°,又∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ AB =AD,∠BAD = 90°,∴ ∠EAG - ∠BAG = ∠BAD - ∠BAG, ∴ ∠EAB = ∠GAD,∴ △AEB≌△AGD(SAS),∴ BE=DG; (2)解:当∠EAG= ∠BAD 时,BE=DG,理由如下:∵ 四边 形 AEFG 与四边形 ABCD 是菱形,∴ AE=AG,AB=AD. ∵ BE=DG,∴ △AEB≌△AGD(SSS),∴ ∠EAB = ∠GAD,∴ ∠EAG= ∠BAD; (3)解:ED2 +GB2 = 260. 　 【解析】过点 E 作 EM⊥DA,交 DA 的延长线于点 M,过点 G 作 GN⊥AB 交 AB 于点 N, 由题意知,AE= 4,AB = 8,∵ AE AG = AB AD = 2 3 ,∴ AG = 6,AD = 12,∵ ∠EMA = ∠ANG, ∠MAE = ∠GAN, ∴ △AME ∽ △ANG,设 EM= 2a,AM= 2b,则 GN= 3a,AN= 3b,则 BN= 8-3b,∴ ED2 = (2a) 2 +(12+ 2b) 2 = 4a2 + 144+ 48b+ 4b2, GB2 =(3a) 2 +(8-3b) 2 = 9a2 +64-48b+9b2,∴ ED2 +GB2 = 13(a2 +b2)+208 = 13×4+208 = 260. 宝丰第一学期期末评估试卷 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A B C A D D A C 1. B　 2. D　 3. A 4. B　 【解析】锐角三角函数值随着角度的变化而变化,而 角的大小与边的长短没有关系,因此锐角 A 的正切函数 值不会随着边长的扩大而变化. 故选 B. 5. C　 【解析】过 A 作 AD⊥BC 于 D,∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°,在 Rt△ADC 中,∠C = 30°,AC = 2,∴ AD = 1 2 AC = 1, CD= 3,在 Rt△ADB 中,∠B= 45°,AD= 1,∴ BD=AD= 1, ∴ BC=BD+CD= 1+ 3 . 故选 C. 6. A　 【解析】原抛物线顶点坐标为(0,0),平移后抛物线顶 点坐标为(2,-3),∴ 平移后抛物线解析式为:y = (x-2) 2 -3. 故选 A. 7. D　 【解析】函数的对称轴为直线 x = 1,与 x 轴一个交点 是(4,0),则另一个交点为(-2,0),观察函数图象知,不 等式 ax2 +bx+c>0 的解集为 x<-2 或 x>4. 故选 D. 8. D　 【解析】观察函数图象,可知:s 与 t 成二次函数关系, 设 s=at2 +bt+c(a≠0),将(0,0),(1,4. 5),(2,14)代入 s =at2 +bt+c 得: c= 0 a+b+c= 4. 5 4a+2b+c= 14 { ,解得: a= 5 2 b= 2 c= 0 ì î í ï ï ïï ,∴ s 与 t 的函 数关系式是 s= 5 2 t2 +2t. 故选 D. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式, 根据给定数据,利用待定系数法求出二次函数解析式是 解题的关键. 9. A　 【解析】过点 B 作 BD⊥AC 于 D,由题意得,∠BAC = 60°,∠ABC= 75°,∴ ∠C = 180°-∠ABC-∠BAC = 45°,∵ BD⊥AC,∴ ∠BDC = ∠BDA = 90°,∴ ∠ABD = 30°,∠DBC = 45° = ∠C,∴ AD= 1 2 AB = 2 千米,CD =BD,∴ CD =BD = 3 2 AB= 2 3千米,∴ BC= 2CD= 2 6千米. 故选 A. 10. C　 【解析】∵ AB = 36 米,∴ 当 x = 18 时,y = - 1 36 × 182 = -9,-9+5 = -4(米),把 y= -4 代入抛物线表达式得:-4 = - 1 36 x2,解得 x= ±12,此时水面宽 CD= 24m. 故选 C. 二、填空题 11. 3 　 【解析】连接 BC,根据作图可知:OB = OC = BC,∴ △OBC 为等边三角形,∴ ∠AOC = 60°,所以 tan∠AOC = tan60° = 3 . 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBB·九年级数学　 第 18 页