抓分练2 一元二次方程-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年九年级数学上册（华东师大版 河南专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 2　 一元二次方程 一、选择题(每小题 3 分,共 21 分) 1. 下列方程是一元二次方程的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. x+5 = 3x-1 B. ax2 +x+1 = 0 C. 2x+3y= 7 D. 3x2 -1 = 2x 2. (黑龙江龙东中考)关于 x 的一元二次方程 (m-2) x2 +4x+2 = 0 有两个实数根,则 m 的 取值范围是(　 　 ) A. m≤4 B. m≥4 C. m≥4 且 m≠2 D. m≤4 且 m≠2 3. 学科内融合 若关于 x 的一元二次方程 x2 - 2x+k+1 = 0 有两个不相等的实数根,那么直 线 y= kx+k 一定不经过(　 　 ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. (湖南模拟)明明在解关于 x 的方程 ax2 -3x +2 = 0(a≠0)时,抄错了 a 的符号,解出其 中一个根是 x = 1, 则原方程 根的情况 是(　 　 ) A. 没有实数根 B. 有一个实数根是 x= -1 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 5. 文化情境·传统文化 “指尖上的非遗———麻 柳刺绣”,针线勾勒之间,绣出世间百态. 如 图是在一幅长 80 cm,宽 60 cm 的麻柳刺绣 的四周镶嵌宽度相同的边框,制成的一幅矩 形挂图,且整个挂图的面积是 6 300 cm2. 设 边框的宽度为 x cm,则列出的方程为(　 　 ) A. (60+x)(80+x)= 6 300 B. (60-x)(80-x)= 6 300 C. (60+2x)(80+2x)= 6 300 D. (60-2x)(80-2x)= 6 300 第 5 题图 　 　 第 6 题图 6. 学习情境·动点问题 如图,Rt△ACB 中,∠C = 90°,AC= 7,BC= 5,点 P 从点 B 出发向终 点 C 以 1 个单位长度 / s 移动,点 Q 从点 C 出发向终点 A 以 2 个单位长度 / s 移动,P、Q 两点同时出发,一点先到达终点时 P、Q 两 点同时停止,则(　 　 )秒后,△PCQ 的面积 等于 4. A. 1 B. 2 C. 4 D. 1 或 4 7. 用分解因式法解方程 x2 -px- 6 = 0,将左边 分解后有一个因式是 ( x - 3),则 p 的值 是(　 　 ) A. -5 B. 5 C. -1 D. 1 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 8. 新趋势·结论开放 写出一个关于 x 的一元 二次方程,使其二次项系数为 1,有一根为 2,则这个方程可以是 　 . 9. 已知方程 x2 -5x+2 = 0 的两个根分别为 x1、 x2,则 x1 +x2 的值为　 　 　 　 . 10. 如表是学生小明探究关于 x 的一元二次方 程 x2 +ax+b = 0 的根的情况,则 4a+b 的值 是　 　 　 　 . x -2 -1 0 1 2 3 x2 +ax+b 5 0 -3 -4 -3 0 11. 生活情境·产品销售 (佛山一模) 香云纱 作为广东省佛山市特产,中国国家地理标 志产品,是世界纺织品中唯一用纯植物染 料染色的丝绸面料,被纺织界誉为“软黄 金”. 在某网店,香云纱连衣裙平均每月可 以销售 120 件,每件盈利 200 元,为了尽快 减少库存,决定降价促销,通过市场调研 发现,每件降价 20 元,则每月可多售出 30 件,如果每月要盈利 2. 88 万元,则每件应 降价　 　 　 　 元. 3 情境期末·ZBH·九年级数学 三、解答题(共 27 分) 12. (8 分)解方程: (1)x2 -2x-1 = 0; (2)3x(x-1)= 2x-2. 13. (10 分)一款服装每件进价为 80 元,销售 价为 120 元时,每天可售出 20 件. 为了扩 大销售量,增加利润,经市场调查发现,如 果每件服装降价 1 元,那么平均每天可多 售出 2 件. (1)设每件衣服降价 x 元,则每天销售量 增加　 　 　 　 件,每件商品盈利　 　 　 　 元(用含 x 的代数式表示); (2)每件服装降价多少元时,商家平均每 天能盈利 1 200 元? (3)商家能达到平均每天盈利 1 800 元吗? 请说明你的理由. 14. 新定义 (9 分) (龙岩期末)如图,四边形 ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图 形,a,b,c 是 Rt△ABC 和 Rt△BED 边长, 易知 AE = 2 c,这时我们把关于 x 的形如 ax2 + 2 cx+b = 0 的一元二次方程称为“勾 系一元二次方程”,比如 3x2 + 5 2 x+ 4 = 0 是“勾系一元二次方程” . 请解决下列问 题: (1)试判断方程 x2 +2x+1 = 0　 　 　 　 “勾 系一元二次方程”(填“是”或“不是”); (2)若 x= -1 是“勾系一元二次方程”ax2 + 2 cx+b = 0 的一个根,且四边形 ACDE 的 周长是 12,求△ABC 面积. 4 35π = πr2,解得 r= 70 . 故选 D. 二、填空题 8. -2　 【解析】由题意,得 2x+7≥0,解得 x≥- 3. 5. ∵ x 取 整数值,当 x= -2 时,二次根式为 3,是最简二次根式. 9. 2 　 2 3(答案不唯一) 　 10. 5 + 3 2 11. 10 2 　 【解析】∵ Ek = 1 2 mv2,m = 10 千克,Ek = 1000 焦 耳,∴ v= 2Ek m = 2×1000 10 = 10 2(米 / 秒) . 12. 3　 75　 【解析】∵ 300 n = 3×100 n = 10 3 n ,且为整数, ∴ n 最小为 3. ∵ 300 n 是大于 1 的整数,∴ 300 n 越小,300 n 越小,则 n 越大,当 300 n =2 时,300 n =4,∴ n=75. 三、解答题 13. 解:(1)原式= (8 3 -6 6 ) ÷ 3 +4 2 = 8-6 2 +4 2 = 8- 2 2 ; (2)原式= 10 10 -(5+2-2 10 )= 12 10 -7. 14. 解:(1)二 (2)∵ x<3,∴ x-3<0,5-x> 0,∴ 原式 = (x-3) 2 +(5- x)= -x+3+5-x= 8-2x. 15. 解:(1)m2 +3n2 　 2mn (2)①4　 2　 ②由(1)可得,a=m2 +3n2 ,b= 2mn= 4,∴ mn= 2. 而 a,m, n 均为正整数,∴ m= 1,n= 2 或 m= 2,n= 1. ∴ 当 m= 1,n = 2 时,a=m2 +3n2 = 13. 当 m= 2,n= 1 时,a=m2 +3n2 = 7. ∴ a= 13 或 7. 基础知识抓分练 2 一元二次方程 一、选择题 1. D 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】一元二次方程定义:含有一个未知数、未知数 的最高次数是 2 的整式方程,根据定义逐项判定即可得 到答案. 2. D　 【解析】根据题意得 16-4(m-2)×2≥0m-2≠0{ ,解得 m≤4 且 m≠2. 故选 D. 3. A　 【解析】根据题意得 Δ= b2 -4ac = (-2) 2 -4(k+1)>0, 解得 k<0,∴ 一次函数 y= kx+k 的图象经过第二、三、四象 限,不经过第一象限. 故选 A. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【点拨】掌握一元二次方程 ax2 +bx+c = 0(a≠0)的根与 Δ = b2 -4ac 有如下关系:当 Δ>0 时,方程有两个不相等的实 数根;当 Δ= 0 时,方程有两个相等的实数根;当 Δ<0 时, 方程无实数根及一次函数的性质便可得到答案. 4. D　 【解析】将 x= 1 代入方程得,a-3+2 = 0,解得 a= 1,所 以 a 的正确值为-1,则原方程为-x2 -3x+2 = 0,所以 Δ = (-3) 2 -4×(-1)×2 = 17>0,所以原方程有两个不相等的 实数根. 故选 D. 5. C 6. A　 【解析】7÷2 = 7 2 ( s),5÷1 = 5( s),∴ 7 2 s 后 P、Q 两点 同时停止移动. 设 t 秒后,△PCQ 的面积等于 4,由题意 得,BP= t,CQ= 2t,则 CP= 5-t. ∵ S△PCQ = 1 2 CQ·CP= 1 2 × 2t×(5-t)= 4,整理得 t2 -5t+4 = 0,解得 t1 = 1,t2 = 4(不合 题意,舍去),即 1 秒后,△PCQ 的面积等于 4. 故选 A. 7. D　 【解析】由题意,得 x-3 = 0,解得 x= 3,把 x = 3 代入方 程得 9-3p-6 = 0,解得 p= 1. 故选 D. 二、填空题 8. x2 -4 = 0(答案不唯一) 　 9. 5 10. -11　 【解析】根据题意得 b= -31-a+b= 0{ ,解得 a= -2 b= -3{ ,所以 方程为 x2 -2x-3 = 0,所以 4a+b= -11. 11. 80　 【解析】设每件应降价 x 元,根据题意得(200-x) (120+ x 20 ×30)= 28800,整理得 x2 -120x+3200 = 0,解得: x1 = 40,x2 = 80,又∵ 要尽快减少库存,∴ x = 80,∴ 每件 应降价 80 元. 三、解答题 12. 解:(1)方程整理,得 x2 -2x= 1,配方,得 x2 -2x+1 = 2,(x -1) 2 = 2,直接开方得 x- 1 = ± 2 ,所以 x1 = 1+ 2 ,x2 = 1 - 2 ; (2)移项,得 3x(x-1)-2(x-1)= 0,整理,得(x-1) (3x- 2)= 0,x-1 = 0 或 3x-2 = 0,所以 x1 = 1,x2 = 2 3 . 13. 解:(1)2x　 (40-x) (2)设每件服装降价 x 元,依题意得(120-x- 80) (20+ 2x)= 1200. 整理得 x2 -30x+200 = 0,解得 x1 = 10,x2 = 20. 又∵ 需要扩大销售量,∴ x = 20. 即每件服装降价 20 元 时,商家平均每天能盈利 1200 元; (3)商家不能达到平均每天盈利 1800 元,理由如下:设 每件服装降价 y 元,依题意得(120-y- 80) (20+ 2y) = 1800,整理得 y2 -30y+500 = 0. ∵ Δ= (-30) 2 -4×1×500 = -1100<0,∴ 此方程无解,即不可能达到平均每天盈利 1800 元. 14. 解:(1)是 (2)当 x= -1 时,有 a- 2 c+b = 0,即 a+b = 2 c. ∵ 2a+2b + 2 c= 12,即 2(a+b)+ 2 c= 12,∴ 3 2 c= 12,∴ c = 2 2 , a+b= 2 c = 4,∴ a2 +b2 = c2 = 8,a+b = 4. ∵ (a+b) 2 = a2 + 2ab+b2 ,∴ ab= 4,∴ S△ABC = 1 2 ab= 2. 基础知识抓分练 3 成比例线段、相似图形和相似三角形 一、选择题 1. C　 2. D 3. A　 【解析】∵ CD∥OB,∴ △ACD∽△AOB,∴ AC AO = CD OB . ∵ AC ∶OC= 2 ∶3,∴ AC AO = 2 5 . ∵ C、D 两点纵坐标分别为 1、3, ∴ CD= 3-1 = 2,∴ 2 OB = 2 5 ,解得 OB = 5,∴ B 点的纵坐标 为 5. 故选 A. 4. B　 【解析】 ∵ GE∥BD, ∴ △AEG ∽ △ABD, ∴ S△AEG S△ABD = (AG AD ) 2 . ∵ S△AEG S四边形EBDG = 4 5 ,∴ S△AEG S△ABD = 4 9 ,∴ AG AD = 2 3 ,∴ DG AD = 1 3 . ∵ GF∥AC,∴ △DGF∽△DAC,∴ GF AC = DG DA = 1 3 . ∵ AC = 9,∴ GF= 1 3 AC= 3. 故选 B. 5. B 二、填空题 6. ② 7. 3　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥CB,AD =CB. ∵ AE= 2 3 AD,∴ AE = 2 3 CB. ∵ AE∥CB,∴ △EAF∽ △BCF,∴ AF CF = AE CB = 2 3 . ∵ AC= 5,∴ CF= 3 5 AC= 3. 8. 3 或 4. 8　 【解析】设运动时间为 x 秒时,根据题意 AD = xcm,CE= 2xcm,则 AE = (12 - 2x) cm,当△ADE∽△ABC 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBH·九年级数学　 第 2 页