抓分练1 二次根式-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年九年级数学上册（华东师大版 河南专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 1　 二次根式 一、选择题(每小题 3 分,共 21 分) 1. (重庆期末)下列二次根式是最简二次根式 的是(　 　 ) A. 12 　 　 B. 10 　 　 C. 8 　 　 D. 1 2 2. 下列二次根式中,无论 x 取什么值都有意义 的是(　 　 ) A. -x-5 B. x C. x2 +1 D. x2 -5 3. (泰安期末)已知点 P(a,b)是平面直角坐 标系中第二象限的点,则化简 a2 - b2 - ( b-a ) 2 的结果是(　 　 ) A. -2b B. -2a C. 2(b-a) D. 0 4. 下列计算正确的是(　 　 ) A. 12 ÷ 6 = 2 B. 2 3 × 3 = 6 C. 8 + 2 = 10 D. 2 6 - 5 = 1 5. 若 x 为实数,在( 2 +1)□x 的“□”中添上一 种运算符号(在“+,-,×,÷”中选择)后,其运 算的结果为有理数,则 x 不可能是(　 　 ) A. 2 +1 B. 2 -1 C. 1- 2 D. 2 2 6. 学习情境·问题讨论 在解决问题“已知 7 = a, 70 = b,用含 a,b 的代数式表示 4. 9 ” 时,甲的结果是ab 10 ;乙的结果是7a b ;丙的结 果是 7b 10a ,则下列说法正确的是(　 　 ) A. 甲对 B. 乙、丙对 C. 甲、乙对 D. 甲、乙、丙都对 7. 二次根式的乘法在生活和高科技领域中有 着广泛的应用. 如图,将某一部件的一个长 方形变化成等面积的一个圆形,已知长方 形的长是 140π cm,宽是 35π cm,那么圆 的半径应是(　 　 ) A. 2 35 cm B. 2 70 cm C. 35 cm D. 70 cm 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 8. 若二次根式 2x+7是最简二次根式,则 x 可 取的最小整数是　 　 　 　 . 9. 新趋势·开放性试题 小华和小刚两人分别 拿一张卡片,小华在卡片上写二次根式 a, 小刚在卡片上写二次根式 b,使得 ab= 24 , 请你写出一对满足条件的 a,b 的值,分别 是　 　 　 　 和　 　 　 　 . 10. 新定义 若两个代数式 M 与 N 满足 M·N = -1,则称这两个代数式为“互为友好因 式”,则 3 - 5 的“互为友好因式”是 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 11. 跨学科试题·物理 一切运动的物体都具有 动能,其大小由两个因素决定:物体的质 量和运动速度. 已知动能的计算公式是 Ek = 1 2 mv2,其中 Ek 表示动能(单位:焦耳), m 表示物体的质量(单位:千克),v 表示物 体的运动速度(单位:米 /秒),现有一个运 动的物体的质量是 10 千克,动能是 1 000 焦耳,则该物体的运动速度是 　 　 　 　 米 / 秒. 1 情境期末·ZBH·九年级数学 12. 新趋势·一题多问 已知 m 为正整数, 若 189m 是 整 数, 则 根 据 189m = 3×3×3×7m = 3 3×7m可知 m 有最小值 3×7 = 21. 设 n 为正整数,若 300 n 是大于 1 的整数,则 n 的最小值为 　 　 　 　 ,最大 值为　 　 　 　 . 三、解答题(共 24 分) 13. (8 分)计算: (1)(2 48 -3 24 ) ÷ 3 + 32 ; (2)2 5 ×5 2 -( 5 - 2 ) 2 . 14. 学习情境·过程性学习 (7 分)若 x<3,化简 x2 -6x+9 + | 5-x | ,小明的解答过程如下: 解:原式= (x-3) 2 +(5-x) 第一步…… = x-3+5-x 第二步……………… = 2 第三步……………………… (1)小明的解答从第　 　 　 　 步开始出现 错误; (2)请写出正确的解答过程. 15. (9 分)阅读材料:小华在学习二次根式后, 发现一些含根号的式子可以写成另一个 式子的平方,如 3+2 2 = (1+ 2 ) 2 . 善于思 考的小华进行了以下探索:设 a+b 2 = (m +n 2 ) 2(其中 a,b,m,n 均为整数),则有 a +b 2 =m2 +2n2 +2mn 2 . ∴ a =m2 +2n2,b = 2mn. 这样小华就找到了一种类似把 a+b 2的式 子化为平方式的方法. 请你仿照小华的方法探索并解决下列问 题. (1)a,b,m,n 均为正整数,若 a+b 3 = (m+ n 3 ) 2,用含 m,n 的式子分别表示 a,b,则 a= 　 　 　 　 ,b= 　 　 　 　 ; (2)当 a,b,m,n 均为正整数时,利用(1) 中探索的结论解答下面问题: ①若 a+b 3 = (1+ 3 ) 2,则 a = 　 　 　 　 , b= 　 　 　 　 ; ②若 a+4 3 = (m+n 3 ) 2,求正整数 a 的 值. 2 35π = πr2,解得 r= 70 . 故选 D. 二、填空题 8. -2　 【解析】由题意,得 2x+7≥0,解得 x≥- 3. 5. ∵ x 取 整数值,当 x= -2 时,二次根式为 3,是最简二次根式. 9. 2 　 2 3(答案不唯一) 　 10. 5 + 3 2 11. 10 2 　 【解析】∵ Ek = 1 2 mv2,m = 10 千克,Ek = 1000 焦 耳,∴ v= 2Ek m = 2×1000 10 = 10 2(米 / 秒) . 12. 3　 75　 【解析】∵ 300 n = 3×100 n = 10 3 n ,且为整数, ∴ n 最小为 3. ∵ 300 n 是大于 1 的整数,∴ 300 n 越小,300 n 越小,则 n 越大,当 300 n =2 时,300 n =4,∴ n=75. 三、解答题 13. 解:(1)原式= (8 3 -6 6 ) ÷ 3 +4 2 = 8-6 2 +4 2 = 8- 2 2 ; (2)原式= 10 10 -(5+2-2 10 )= 12 10 -7. 14. 解:(1)二 (2)∵ x<3,∴ x-3<0,5-x> 0,∴ 原式 = (x-3) 2 +(5- x)= -x+3+5-x= 8-2x. 15. 解:(1)m2 +3n2 　 2mn (2)①4　 2　 ②由(1)可得,a=m2 +3n2 ,b= 2mn= 4,∴ mn= 2. 而 a,m, n 均为正整数,∴ m= 1,n= 2 或 m= 2,n= 1. ∴ 当 m= 1,n = 2 时,a=m2 +3n2 = 13. 当 m= 2,n= 1 时,a=m2 +3n2 = 7. ∴ a= 13 或 7. 基础知识抓分练 2 一元二次方程 一、选择题 1. D 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】一元二次方程定义:含有一个未知数、未知数 的最高次数是 2 的整式方程,根据定义逐项判定即可得 到答案. 2. D　 【解析】根据题意得 16-4(m-2)×2≥0m-2≠0{ ,解得 m≤4 且 m≠2. 故选 D. 3. A　 【解析】根据题意得 Δ= b2 -4ac = (-2) 2 -4(k+1)>0, 解得 k<0,∴ 一次函数 y= kx+k 的图象经过第二、三、四象 限,不经过第一象限. 故选 A. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【点拨】掌握一元二次方程 ax2 +bx+c = 0(a≠0)的根与 Δ = b2 -4ac 有如下关系:当 Δ>0 时,方程有两个不相等的实 数根;当 Δ= 0 时,方程有两个相等的实数根;当 Δ<0 时, 方程无实数根及一次函数的性质便可得到答案. 4. D　 【解析】将 x= 1 代入方程得,a-3+2 = 0,解得 a= 1,所 以 a 的正确值为-1,则原方程为-x2 -3x+2 = 0,所以 Δ = (-3) 2 -4×(-1)×2 = 17>0,所以原方程有两个不相等的 实数根. 故选 D. 5. C 6. A　 【解析】7÷2 = 7 2 ( s),5÷1 = 5( s),∴ 7 2 s 后 P、Q 两点 同时停止移动. 设 t 秒后,△PCQ 的面积等于 4,由题意 得,BP= t,CQ= 2t,则 CP= 5-t. ∵ S△PCQ = 1 2 CQ·CP= 1 2 × 2t×(5-t)= 4,整理得 t2 -5t+4 = 0,解得 t1 = 1,t2 = 4(不合 题意,舍去),即 1 秒后,△PCQ 的面积等于 4. 故选 A. 7. D　 【解析】由题意,得 x-3 = 0,解得 x= 3,把 x = 3 代入方 程得 9-3p-6 = 0,解得 p= 1. 故选 D. 二、填空题 8. x2 -4 = 0(答案不唯一) 　 9. 5 10. -11　 【解析】根据题意得 b= -31-a+b= 0{ ,解得 a= -2 b= -3{ ,所以 方程为 x2 -2x-3 = 0,所以 4a+b= -11. 11. 80　 【解析】设每件应降价 x 元,根据题意得(200-x) (120+ x 20 ×30)= 28800,整理得 x2 -120x+3200 = 0,解得: x1 = 40,x2 = 80,又∵ 要尽快减少库存,∴ x = 80,∴ 每件 应降价 80 元. 三、解答题 12. 解:(1)方程整理,得 x2 -2x= 1,配方,得 x2 -2x+1 = 2,(x -1) 2 = 2,直接开方得 x- 1 = ± 2 ,所以 x1 = 1+ 2 ,x2 = 1 - 2 ; (2)移项,得 3x(x-1)-2(x-1)= 0,整理,得(x-1) (3x- 2)= 0,x-1 = 0 或 3x-2 = 0,所以 x1 = 1,x2 = 2 3 . 13. 解:(1)2x　 (40-x) (2)设每件服装降价 x 元,依题意得(120-x- 80) (20+ 2x)= 1200. 整理得 x2 -30x+200 = 0,解得 x1 = 10,x2 = 20. 又∵ 需要扩大销售量,∴ x = 20. 即每件服装降价 20 元 时,商家平均每天能盈利 1200 元; (3)商家不能达到平均每天盈利 1800 元,理由如下:设 每件服装降价 y 元,依题意得(120-y- 80) (20+ 2y) = 1800,整理得 y2 -30y+500 = 0. ∵ Δ= (-30) 2 -4×1×500 = -1100<0,∴ 此方程无解,即不可能达到平均每天盈利 1800 元. 14. 解:(1)是 (2)当 x= -1 时,有 a- 2 c+b = 0,即 a+b = 2 c. ∵ 2a+2b + 2 c= 12,即 2(a+b)+ 2 c= 12,∴ 3 2 c= 12,∴ c = 2 2 , a+b= 2 c = 4,∴ a2 +b2 = c2 = 8,a+b = 4. ∵ (a+b) 2 = a2 + 2ab+b2 ,∴ ab= 4,∴ S△ABC = 1 2 ab= 2. 基础知识抓分练 3 成比例线段、相似图形和相似三角形 一、选择题 1. C　 2. D 3. A　 【解析】∵ CD∥OB,∴ △ACD∽△AOB,∴ AC AO = CD OB . ∵ AC ∶OC= 2 ∶3,∴ AC AO = 2 5 . ∵ C、D 两点纵坐标分别为 1、3, ∴ CD= 3-1 = 2,∴ 2 OB = 2 5 ,解得 OB = 5,∴ B 点的纵坐标 为 5. 故选 A. 4. B　 【解析】 ∵ GE∥BD, ∴ △AEG ∽ △ABD, ∴ S△AEG S△ABD = (AG AD ) 2 . ∵ S△AEG S四边形EBDG = 4 5 ,∴ S△AEG S△ABD = 4 9 ,∴ AG AD = 2 3 ,∴ DG AD = 1 3 . ∵ GF∥AC,∴ △DGF∽△DAC,∴ GF AC = DG DA = 1 3 . ∵ AC = 9,∴ GF= 1 3 AC= 3. 故选 B. 5. B 二、填空题 6. ② 7. 3　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥CB,AD =CB. ∵ AE= 2 3 AD,∴ AE = 2 3 CB. ∵ AE∥CB,∴ △EAF∽ △BCF,∴ AF CF = AE CB = 2 3 . ∵ AC= 5,∴ CF= 3 5 AC= 3. 8. 3 或 4. 8　 【解析】设运动时间为 x 秒时,根据题意 AD = xcm,CE= 2xcm,则 AE = (12 - 2x) cm,当△ADE∽△ABC 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBH·九年级数学　 第 2 页