课本知识集锦-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年九年级数学上册（华东师大版 河南专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本知识集锦 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈第 21 章　 二次根式 　 二次根式 1.二次根式的概念:形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【方法指导】判定一个式子是二次根式的方法:(1)含有二次根号“ 　 ”;(2)被开方数大 于或等于 0. 若两方面都符合,则式子是二次根式. 2.二次根式有意义的条件:被开方数为非负数,即在二次根式中,a≥0 时,有意义. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【注意】当二次根式中含有分式,且分母上含有字母时,不仅要使二次根式有意义,同时需 要分母不等于 0. 3.二次根式的性质 (1)二次根式 a的双重非负性: 被开方数 a≥0; 二次根式 a≥0.{ (2)( a ) 2(a≥0)与 a2 的性质 性质 文字语言 应用及拓展 ( a) 2 =a(a≥0) 一个非负数的算术平 方根的平方等于这个 数本身 (1)正用公式:如( 2) 2 = 2,( a2 +2) 2 =a2 +2. (2)逆用公式:若 a≥0,则 a = ( a ) 2,如 5 = ( 5 ) 2, 1 3 =( 1 3 ) 2 . a2 = | a | = a(a≥0) -a(a<0){ 任意实数的平方的算 术平方根等于这个数 的绝对值 化简形如 a2 的式子时,先转化为 | a | ,再根据 a 的 符号去掉绝对值符号,如 (π-4) 2 = | π-4 | = 4-π. 　 二次根式的运算 1.最简二次根式:二次根式被开方数中不含分母,并且被开方数中所有因数(或 因式)的幂的指数都小于 2,像这样的二次根式称为最简二次根式. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【方法指导】判断一个二次根式是最简二次根式的方法:(1)被开方数中不含分母;(2)被 开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 二者缺一不可. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【点拨】化最简二次根式的一般方法:(1)将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开 方;(2)化去根号下的分母;(3)被开方数是多项式的要先进行因式分解. 2.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式 就叫做同类二次根式. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【点拨】判断是否是同类二次根式时,只与被开方数和根指数有关,而与根号外的因数(或 因式)无关. 3. 合并同类二次根式的方法: 合 并 同 类 二 次 根 式 的 方 法 与 合 并 同 类 项 类 似, 即 把根号外面的因数(或因式)相加,根指数和被开方数都不变. 1 情境期末·ZBH·九年级数学 4.二次根式的乘除与加减法 乘法 乘法: a· b = ab (a≥0,b≥0) 　 　 　 积的算术平方根: ab = a· b (a≥0,b≥0) 除法 除法: a b = a b (a≥0,b>0) 　 　 　 商的算术平方根: a b = a b (a≥0,b>0) 加减法 二次根式相加减,先把各个二次根式化简,再将同类二次根式合并 5.二次根式的混合运算 (1)二次根式混合运算的顺序:即先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里面的,对于 同级运算,一般按照从左到右的顺序进行计算. (2)整式的运算律、运算法则在二次根式的混合运算中同样适用. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 1. 下列各式中,是最简二次根式的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. 1 2 B. 18 C. 5 D. 0. 4 2. 下列各式中,化简后能与 2合并的是(　 　 ) A. 12 B. 8 C. 2 3 D. 0. 2 3. 若代数式 x +3 x-2 在实数范围内有意义,则 x 的取值范围为(　 　 ) A. x<-3 B. x≥-3 C. x>2 D. x≥-3 且 x≠2 4. 已知实数 a 在数轴上的对应点位置如图,则化简 | a-1 | - (a-2) 2 的结果是(　 　 ) A. 2a-3 B. -1 C. 1 D. 3-2a 5. 下列运算正确的是(　 　 ) A. 5 + 3 = 8 B. 12 ÷ 2 = 6 C. 3 × 2 = 6 D. 8 - 2 = 2 2 6. 如图,已知钓鱼竿 AC 的长为 6 m,露在水面上的鱼线 BC 长为 3 2 m,某钓者想看看鱼钩上 的情况,把鱼竿 AC 转动到 AC′的位置,此时露在水面上的鱼线 B′C′为 34 m,求 BB′的长. 2 追梦之旅·初中期末真题篇·课本知识集锦 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈第 22 章　 一元二次方程 　 一元二次方程 定义 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2,这样的方程叫做一元二次方程 一般形式 ax2 +bx+c= 0(a、b、c 是已知数,a≠0),其中 a、b、c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项 一元二次 方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值 　 一元二次方程的解法 方法 理论依据 适用方程 关键步骤 主要特点 直接开平方法 平方根的定义 (ax+b) 2 =n(n≥0)型方程 开平方 求解迅速,但只适用于 一些特殊结构的方程 因式分解法 若 ab= 0, 则 a= 0 或 b= 0 能化为一边为 0,另一边 为两个因式积的形式的方程 分解因式 求解迅速,但适用范围较小 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 配方 解法繁琐,当二次项系数 为 1 时用此法较简单 公式法 配方 所有一元二次方程 代入求根公式 计算量大,易出现符号错误 　 一元二次方程根的判别式 1.根的判别式:式子 b2 -4ac 叫做一元二次方程根的判别式,通常用符号“Δ”来表示,可直接判 断一元二次方程 ax2 +bx+c = 0(a≠0)的实数根的情况. 注意使用前提条件为一元二次方程, 当无法判定方程是不是一元二次方程时,应分类讨论. 2.判断一元二次方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0)的实数根的情况: ①当 Δ>0 时,有两个不相等的实数根;　 　 　 　 ②当 Δ= 0 时,有两个相等的实数根; ③当 Δ<0 时,没有实数根. 　 一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0,b2 -4ac≥0)有实数根 x1,x2,那么 x1 +x2 = - b a ,x1x2 = c a . 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【点拨】(1)设一元二次方程 x2 +px+q= 0 的两根为 x1,x2,那么 x1 +x2 = -p,x1x2 = q. (2)使用条件:①方程必须是一元二次方程,即二次项系数 a≠0;②方程有实数根,即 b2 - 4ac≥0. 　 一元二次方程的实际应用 几何图形 面积问题 常见图形的面积公式:S长方形 =ab,S正方形 =a2,S圆 = πr2,S三角形 = 1 2 ah,S梯形 = 1 2 (a+b)h 平均增长(降 低)率问题 若起始值是 a,终止值是 b,平均增长(降低)的百分率为 x,增长(降低)次数为 n, (1)平均增长率:a(1+x) n = b;　 　 　 (2)平均降低率:a(1-x) n = b 3 情境期末·ZBH·九年级数学 传染问题 若 a 表示传染之前的人数,x 表示每轮每人传染的人数,n 表示传播的轮数,b 表示最 终的总人数,则有 a(1+x) n = b 利润问题 利润=售价-进价;　 　 售价=进价×(1+利润率); 　 　 利润率= 利润 进价 ×100% 总利润=单个利润×销售总量=总售价-总成本 数字问题 若一个两位数的十位上的数字是 a,个位上的数字是 b,则这个数可以表示为 10a+b; 若一个三位数的百位上的数字是 a,十位上的数字是 b,个位上的数字是 c,则这个数 可以表示为 100a+10b+c 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 1. 如果方程(p-3)xp 2-7 -x+3 = 0 是关于 x 的一元二次方程,则 p 的值是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 2 B. -3 C. 3 D. ±3 2. 把一元二次方程 1 = 2x-3x2 化成 ax2 +bx+c = 0(a>0)的形式,则转化后的二次项系数、一 次项系数、常数项分别为(　 　 ) A. 3,-2,1 B. -3,2,-1 C. 3,-2,-1 D. 3,2,-1 3. 用配方法解一元二次方程 x2 -8x+9 = 0,变形后的结果正确的是(　 　 ) A. (x-4) 2 = -7 B. (x-4) 2 = 25 C. (x+4) 2 = 7 D. (x-4) 2 = 7 4. 若关于 x 的一元二次方程的根为 x= -2± 22 -4×1×( -4) 2×1 ,则这个方程是(　 　 ) A. x2 +2x+4 = 0 B. x2 -2x+4 = 0 C. x2 +2x-4 = 0 D. x2 -2x-4 = 0 5. 关于 x 的一元二次方程 x2 -4x+k-1 = 0 有两个相等的实数根,则关于 x 的一元二次方程 x2 -4x+k= 0 根的情况是(　 　 ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 6. 公安交警部门提醒市民,骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定. 某头盔经销商统计 了某品牌头盔 4 月份到 6 月份的销量,该品牌头盔 4 月份销售 150 个,6 月份销售 216 个,且从 4 月份到 6 月份销售量的月增长率相同. (1)求该品牌头盔销售量的月增长率; (2)若此种头盔的进价为 30 元 / 个,测算在市场中,当售价为 40 元 / 个时,月销售量为 600 个,若在此基础上售价每上涨 1 元 / 个,则月销售量将减少 10 个,为使月销售利润达到 10 000 元,而且尽可能让顾客得到实惠,则该品牌头盔的实际售价应定为多少元 / 个? 4 追梦之旅·初中期末真题篇·课本知识集锦 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈第 23 章　 图形的相似 　 成比例线段 1.成比例线段:对于给定的四条线段 a、b、c、d,如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线 段的长度之比,如 a b = c d (或 a ∶b= c ∶d),那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段. 此 时也称这四条线段成比例. 2.比例的基本性质 (1)如果 a b = c d ,那么 ad= bc. 　 　 　 　 (2)如果 ad= bc,那么 a b = c d . 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【补充延伸】(1)比例式的变形:① d b = c a ;② a c = b d ;③ d c = b a . (2)合比性质:如果 a b = c d ,那么a±b b = c±d d . (3)等比性质:如果 a b = c d = e f =…= m n ,那么a +c+e+…+m b+d+f+…+n = a b (其中 b+d+f+…+n≠0) . 3.平行线分线段成比例 (1)基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例. (简称“平行线分线段成 比例”) 【注意】所有的成比例线段都是指被截直线上的线段,与这组平行线上的线段无关. (2)推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例. 4. 黄 金 分 割 ( 拓 展 ): 如 图, 将 一 条 线 段 AB 分 割 成 长、 短 两 条 线 段 AP、 PB, 若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比,即PB AP = AP AB (此时线段 AP 叫做线段 PB、AB 的比例中项),则可得出这一比值等于 0. 618…,这种分割称为黄金分割,这个比值称 为黄金比,点 P 叫做线段 AB 的黄金分割点. 　 相似三角形 1.相似多边形(1)相似多边形:对应边成比例,对应角相等的两个多边形叫做相似多边形. (2)相似多边形的性质:相似多边形的对应边成比例,对应角相等. 2.相似三角形 (1)对应边成比例、对应角相等的三角形叫做相似三角形. 相似用符号“ ∽”来表示,读作“相 似于” . (2)两个相似三角形对应边的比叫做这两个相似三角形的相似比,通常用字母 k 表示. 3.相似三角形的判定定理: 定理 1:两角分别相等的两个三角形相似　 定理 2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 定理 3:三边成比例的两个三角形相似 4.相似三角形的性质 (1)相似三角形对应边上的高的比、对应角的平分线之比、对应边上的中线之比、周长之比都 等于相似比. (2)相似三角形面积的比等于相似比的平方. 5 情境期末·ZBH·九年级数学 　 中位线 1.三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半. 2.三角形的重心 (1)三角形三条边上的中线交于一点,这个点就是三角形的重心. (2)三角形的重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 1 3 . 　 位似图形 1.定义:两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线都相交于一点,像这样的两个图形叫做位似图 形,这个点叫做位似中心. 2.性质:(1)位似图形每组对应顶点的连线所在直线必过位似中心;(2)位似图形任意一组对应 点到位似中心的距离之比等于相似比;(3)位似图形的对应线段平行(或在一条直线上),且 对应线段之比相等;(4)两个图形位似,则两个图形必相似. 　 图形与坐标 1.用坐标确定位置:(1)用坐标确定物体的位置;(2)用角度(方向)与距离确定物体的位置. 2.图形的变换与坐标 图形变换 变换后点的坐标变换前点的坐标 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称 关于原 点对称 沿 x 轴向右平 移 a 个单位 沿 y 轴向上平 移 b 个单位 图形以原点为位 似中心缩放 k 倍 (x,y) (x,-y) (-x,y) (-x,-y) (x+a,y) (x,y+a) (kx,ky)或(-kx,-ky) 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 1. 在平面直角坐标系中,把点(2,3)向上平移 1 个单位,再向左平移 2 个单位,得到的点的坐标是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. (3,1) B. (0,4) C. (4,4) D. (1,1) 2. 如图,平行四边形 ABCD 中,E,F 分别为 AB,BC 的中点,AF 与 DE 相交于点 G,则AG FG 的值是(　 　 ) A. 2 3 B. 3 2 C. 3 4 D. 3 5 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 3. 如图,在四边形 ABCD 中,E、F 分别是边 AB、AD 的中点,且 EF = 2,CD = 3,BC = 5,若∠AFE = 65°, 则∠ADC 的度数是(　 　 ) A. 145° B. 150° C. 155° D. 165° 4. 如图,△ABC 与△DEF 关于点 O 位似,位似比为 3 ∶4,已知 AC= 3,则 DF 的长等(　 　 ) A. 3 B. 16 3 C. 28 3 D. 4 6 追梦之旅·初中期末真题篇·课本知识集锦 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈第 24 章　 解直角三角形 　 直角三角形的性质 性质 几何表示 图示 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 等 于 斜边的一半 在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,若点 D 是 AB 的中点,则 CD= 1 2 AB=AD=BD. 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°, 那 么 它 所 对 的 直 角 边 等 于 斜边的一半 在 Rt△ABC 中,∵ ∠C = 90°,∠A = 30°, ∴ BC= 1 2 AB. 　 锐角三角函数 1.锐角三角函数 (1)正弦:sinA= ∠A 的对边 斜边 = a c 　 　 　 (2)余弦:cosA= ∠A 的邻边 斜边 = b c (3)正切:tanA= ∠A 的对边 ∠A 的邻边 = a b 2.同一锐角的三角函数间的关系:sin2A+cos2A= 1 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【补充延伸】同一锐角的三角函数间的关系: sinA cosA = tanA;互余两角的三角函数间的关系: sinA= cos(90°-∠A),cosA= sin(90°-∠A) . 3.特殊角的三角函数值 sinA cosA tanA 30° 1 2 3 2 3 3 45° 2 2 2 2 1 60° 3 2 1 2 3 　 解直角三角形 1.仰角和俯角:从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角;从上往下看,视线与 水平线的夹角叫做俯角. 2.坡度和坡角:坡面的铅垂高度(h)和水平长度( l)的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作 i,即 i = h l . 坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作 α,有 i = h l = tanα. 显然,坡度越大,坡角 α 就越大, 坡面就越陡. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 1. 董铺水库位于合肥市西北近郊,是一座以合肥城市防洪为主,结合城市 供水、郊区农菜灌溉及发展水产养殖等综合利用的大型水库. 如图,水库 某段横截面迎水坡 AB 的坡度 i = 1 ∶2,若坡高 BC = 20m,则坡面 AB 的长 度为(　 　 ) A. 20 3 m　 　 　 　 B. 40 3 m　 　 　 　 C. 20 5 m　 　 　 　 D. 40 5 m 7 情境期末·ZBH·九年级数学 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈第 25 章　 随机事件的概率 　 必然事件、不可能事件和随机事件 必然事件 无需通过试验就能够预先确定它们在每次试验中都一定会发生的事件 不可能事件 在每次试验中都一定不会发生的事件为不可能事件 确定事件 必然事件和不可能事件在试验中是否发生都是我们能够预先确定的,所以统称为确定事件 随机事件 无法预先确定在一次试验中会不会发生的事件,我们称它们为随机事件 　 随机事件的概率 1.概率及其意义 (1)概率:一个事件发生的可能性. (2)概率的计算公式:一般地,在一次试验中,如果有 n 种可能出现的结果,并且它们发生的 可能性都相等,事件 A 包含其中的 m 种结果,那么事件 A 发生的概率 P(A)= m n . 2.用频率估计概率:当试验次数很大时,事件 A 发生的频率具有一定的稳定性,其数值将会在某 个确定的数值附近摆动,并且试验次数越多,事件 A 发生的频率越接近这个数值,这个确定的 数值就是事件 A 发生的概率. 3.用画树状图法或列表法求概率 方法 列表法 画树状图法 适用条件 当一次试验涉及两个因素,并且可能出现的等 可能结果数目较多 当一次试验涉及 2 个或更多的因素 联系 ①适用的前提都是各种情况出现的可能性是相等的 ②某事件 A 发生的概率公式为:P(A)= 某事件包含的结果数 所有可能出现的结果数 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 1. 下列事件中,是必然事件的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 某篮球队员在罚球线投篮一次投中 B. 任意画一个三角形,其内角和是 180° C. 打开的电脑上正在播放“校园零距离” D. 抛掷一枚正方体骰子,出现点数 7 朝上 2. 在一个不透明的袋子里有红球、黄球共 15 个,这些球除颜色外都相同,小明通过多次试 验发现,摸到红球的频率稳定在 0. 4 左右,则袋子中黄球的个数可能是(　 　 ) A. 4 B. 6 C. 9 D. 10 3. 临近暑假,小磊打算利用假期阅读中国古典名著《红楼梦》. 这套《红楼梦》分上、中、下三 册,小磊随机将它们叠放在一起,从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册” 的概率是 (　 　 ) A. 1 2 B. 1 3 C. 2 3 D. 1 6 8 追梦之旅·初中期末真题篇·课本知识集锦 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈第 26 章　 二次函数 　 二次函数的图象与性质　 1.二次函数的概念:形如 y=ax2 +bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)的函数叫做二次函数. 2.二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象和性质 a 的符号 a>0 a<0 开口方向 向上 向下 对称轴 x= - b 2a x= - b 2a 顶点坐标 (- b 2a ,4ac -b2 4a ) (- b 2a ,4ac -b2 4a ) 增减性 当 x<- b 2a 时,y 随 x 的增大而减小;当 x>- b 2a 时,y 随 x 的增大而增大 当 x<- b 2a 时,y 随 x 的增大而增大;当 x>- b 2a 时,y 随 x 的增大而减小 最值 当 x= - b 2a 时,y最小值 = 4ac-b2 4a 当 x= - b 2a 时,y最大值 = 4ac-b2 4a 3.二次函数图象的平移规律:二次函数 y=a(x-h) 2 +k 的图象可由二次函数 y = ax2 的图象向右 (或左)平移 | h |个单位长度,再向上(或下)平移 | k | 个单位长度得到;简记为“上加下减常数 项,左加右减自变量” . 4.二次函数表达式常见的三种形式 形式 内容 适用条件 一般式 y=ax2 +bx+c(a、b、c 为常数,a≠0) 已知抛物线上任意三点坐标 顶点式 y=a(x-h) 2 +k(a、h、k 为常数,a≠0),抛物线的顶 点坐标为(h,k) 已知抛物线的顶点坐标、对称轴或最 值 交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a、x1、x2 为常数,a≠0),其中 x1、x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标 已知抛物线与 x 轴的两交点坐标 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【注意】二次函数表达式的三种形式互相联系,可以互相转化. 如果求二次函数的表达式时 设的是交点式或顶点式,最后的结果一般化为一般式. 5.用待定系数法求二次函数表达式的一般步骤: (1)设:根据已知条件的特征,设出适当形式的函数表达式,其中含有待定系数; (2)列:根据已知点的坐标列方程或方程组; (3)解:解方程或方程组,求出未知字母的值; (4)答:写出函数表达式,注意最后结果通常化为一般式 y=ax2 +bx+c(a,b,c 是常数,a≠0) . 　 二次函数的应用 1.二次函数与一元二次方程的关系 判别式 b2 -4ac>0 b2 -4ac= 0 b2 -4ac<0 9 情境期末·ZBH·九年级数学 二次函数 y = ax2 + bx+c 的图象 a>0 a<0 二次函数 y = ax2 +bx+c 的 图象与 x 轴三种位置关系 有两个公共点( x1,0),( x2, 0) 有一个公共点(- b 2a ,0) 没有公共点 一元二次方程 ax2 +bx+c = 0 的根的情况 有两个不相等的实数根 x1, x2,且 x= -b± b2 -4ac 2a 有两个相等的实数根 x1 = x2 = - b 2a 没有实数根 2.利用二次函数解决实际生活问题的常见类型:(1)抛物线形问题:喷泉问题、桥(涵)洞问题、 球的运动路线问题等;(2)最值问题:图形面积、最大利润、费用等问题. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 1. 在同一平面直角坐标系中,一次函数 y=ax+c 和二次函数 y= -ax2-c 的图象大致为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线的顶点是(1,3),当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大,则抛 物线表达式可以是(　 　 ) A. y= -2(x+1) 2 +3 B. y= 2(x+1) 2 +3 C. y= -2(x-1) 2 +3 D. y= 2(x-1) 2 +3 3. 关于二次函数 y= 2(x-3) 2 +1,下列说法正确的是(　 　 ) A. 图象的开口向下 B. 图象的对称轴为直线 x= -3 C. 图象顶点坐标为(3,-1) D. 当 x<3 时,y 随 x 的增大而减小 4. 如图,以(1,-4)为顶点的二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象与 x 轴负半轴交于 A 点,则一元二 次方程 ax2 +bx+c= 0 的正数解的范围是(　 　 ) A. 2<x<3 B. 3<x<4 C. 4<x<5 D. 5<x<6 第 4 题图 　 　 　 　 　 　 图 1 　 　 　 　 　 图 2 第 5 题图 5. 数学来源于生活,伞是生活中常见的一种工具,撑开后如图 1 所示,由此发现数学知识——— 抛物线.如图 2,以伞柄所在的直线为 y 轴,以伞骨 OA,OB 的交点 O 为坐标原点建立平面直 角坐标系.点 C 为抛物线的顶点,点 A,B 在抛物线上,OA,OB 关于 y 轴对称. 抛物线的表达 式为 y= -0. 1x2+1,若点 A 到 x 轴的距离是 0. 6 dm,则 A,B 两点之间的距离是(　 　 ) A. 4 dm B. 6 dm C. 8 dm D. 10 dm 01 追梦之旅·初中期末真题篇·课本知识集锦 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈第 27 章　 圆 　 圆的认识 1.弧、弦、圆心角之间的关系 (1)在同一个圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的弧相等,所对的弦相等. (2)在同一个圆中,如果弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等. (3)在同一个圆中,如果弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧相等. 2. 圆是轴对称图形,它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴. 3. 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧 推论 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧 ②平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【提示】在垂径定理及其推论的运用中,常涉及弦长 a,弦心距 d(圆心到圆的一条弦的距 离),半径 r 及弓形高 h(弦所对的弧的中点到弦中点的距离),这四者之间的关系为 r2 =d2 + ( a 2 ) 2,r=d+h. 4.圆周角定理 (1)性质:半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于 90°(直角) . (2)圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角 的一半;相等的圆周角所对的弧相等. 推论:90°的圆周角所对的弦是直径. 5. 如果一个圆经过一个多边形的各个顶点,这个圆就叫做这个多边形的外接圆,这个多边形叫 做这个圆的内接多边形. 圆内接四边形的对角互补. 　 与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系:设☉O 的半径为 r,点 P 到圆心的距离 OP=d. 点 P 在圆外⇔d>r　 点 P 在圆上⇔d= r　 点 P 在圆内⇔d<r 2.三角形的外心:三角形外接圆的圆心. 三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点. 3.直线与圆的位置关系:设☉O 的半径为 r,圆心 O 到直线 l 的距离为 d. 直线 l 与☉O 相离⇔d>r　 直线 l 与☉O 相切⇔d= r　 直线 l 与☉O 相交⇔d<r 4.切线 (1)切线的判定定理:经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径. (3)切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线,它们的切线长相等. 这一点和圆心的连线 平分这两条切线的夹角. 　 圆中的计算问题 1.在半径为 r 的圆中,n°的圆心角所对的弧长 l:l=nπr 180 . 2.扇形的面积公式:S扇形 = nπr2 360 = 1 2 lr(其中 l 为弧长,r 为半径) 3.圆锥:设母线长为 l,底面圆的半径为 r,则侧面积:S侧 = 1 2 l·2πr = πrl,全面积:S全 = S侧 +S底 = πrl+πr2 = πr( l+r) . 11 情境期末·ZBH·九年级数学 　 正多边形和圆 名称 公式 图示 中心 正多边形的外接圆的圆心 中心角 正 n 边形的每个中心角为 360° n 内角 正 n 边形的每个内角为 (n-2)·180° n = 180°-360° n 周长 正 n 边形的周长 ln =nan(an 为边长) 面积 正 n 边形的面积 Sn = 1 2 rln( r 为边心距,ln 为周长) 例:正六边形　 　 　 　 　 　 内角 α= (6 -2)×180° 6 = 120° 中心角 β= 360° 6 = 60°　 　 　 外角 γ= 360° 6 = 60°　 　 　 　 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【点拨】任意多边形不一定有外接圆和内切圆;任意正多边形都有一个外接圆和一个内切 圆,它们是同心圆. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 1. 如图,四边形 ABCD 是☉O 的内接四边形,BC =CD,∠C = 120°,∠D = 80°,则∠AOB 的度 数为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 100° B. 115° C. 120° D. 135° 第 1 题图 　 　 　 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 2. 如图,☉O 的直径 DE 垂直于弦 AB,垂足为 C,∠BDE= 30°,OA= 4,则 AB 的长为(　 　 ) A. 4 3 B. 2 3 C. 4 2 D. 2 2 3. 如图所示,弦 AB,CD 所对的圆心角分别是∠AOB,∠COD,若∠AOB 与∠COD 互补,AB = 8,CD= 6,那么☉O 的半径为(　 　 ) A. 5 B. 10 C. 5 2 D. 5 3 4. 如图,若干个全等的正五边形排成环状,图中所示的是前 3 个正五边形,要完成这一圆环 还需正五边形的个数为(　 　 ) A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 5. 如图,《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前 450 年雕刻的青铜雕塑,掷铁饼者张开 的双臂与肩宽可以近似看作一张拉满弦的弓. 若“弓”所对的圆心角 α 的度数为 100°, “弓”所在圆的半径为 1. 2 米,则“弓”所对的弧长为(　 　 ) A. 2 3 π 米 B. 3 2 π 米 C. 1 2 π 米 D. 2 5 π 米 21 　 　 答案详解详析·易错剖析　 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋 􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋 􀦋 􀦋 􀦋􀦋《课本知识集锦》答案 第 21 章　 二次根式 1. C　 【解析】A. 1 2 = 2 2 ,被开方数含分母,不是最简 二次根式;B. 18 = 3 2 ,被开方数中含能开得尽方 的因数,不是最简二次根式;D. 0. 4 = 10 5 ,被开方 数含分母,不是最简二次根式. 故选 C. 2. B 3. D　 【解析】根据题意得 x+3≥0 且 x-2≠0,解得 x≥- 3 且 x≠2. 故选 D. 4. A　 【解析】由图知:1<a<2,∴ a-1>0,a-2<0,∴ 原式 = a-1+(a-2)= 2a-3. 故选 A. 5. B　 【解析】A. 5 与 3 不是同类二次根式,不能合并; C. 3 × 2 = 6 ;D. 8 - 2 = 2 2 - 2 = 2 . 故选 B. 6. 解: ∵ AC = 6m, BC = 3 2 m, ∴ AB = AC2 -BC2 = 62 -(3 2 ) 2 = 3 2 ( m). ∵ AC′ = 6m,B′C′ = 34 m, ∴ AB′ = 62 -( 34 ) 2 = 2 ( m),∴ BB′ = AB-AB′ = 2 2 (m). 第 22 章　 一元二次方程 1. B　 【解析】由题意,得 p2 -7 = 2 且 p-3≠0,∴ p= ±3 且 p≠3,即 p= -3. 故选 B. 2. A　 3. D　 4. C 5. C　 【解析】由题意,得 Δ = 42 -4( k-1)= 0,∴ k = 5,∴ 关于 x 的一元二次方程 x2 -4x+k = 0 中,Δ = 16-4k = - 4<0,∴ 该方程没有实数根. 故选 C. 6. 解:(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为 x,依题 意,得 150(1+x) 2 = 216,解得 x1 = 0. 2 = 20%,x2 = -2. 2 (不合题意,舍去) . 答:该品牌头盔销售量的月增长 率为 20%; (2)设该品牌头盔的实际售价为 y 元,依题意,得(y- 30) [ 600 - 10 ( y - 40)] = 10000,整理,得 y2 - 130y + 4000 = 0,解得 y1 = 80,y2 = 50,因为尽可能让顾客得到 实惠,∴ 售价应定为 50 元. 答:该品牌头盔的实际售 价应定为 50 元. 第 23 章　 　 图形的相似 1. B 2. A　 【解析】延长 DE,CB 交于点 H. ∵ 四边形 ABCD 是 平行四边形,∴ AD∥BC,AD=BC,∴ ∠ADE = ∠H,且 AE =BE,∠AED=∠BEH,∴ △ADE≌△BHE(A. A. S. ),∴ BH=AD. ∵ F 是 BC 中点,∴ BF = 1 2 BC,∴ HF = BH+ BF= 3 2 BC = 3 2 AD. ∵ AD∥HF,∴ △ADG∽△FHG,∴ AG FG = AD HF = AD 3 2 AD = 2 3 . 故选 A. 3. C　 【解析】连结 BD. ∵ E、F 分别是边 AB、AD 的中点, ∴ EF∥BD,BD = 2EF = 4,∴ ∠ADB = ∠AFE = 65°. ∵ BD2 +CD2 = 25,BC2 = 25,∴ BD2 +CD2 =BC2,∴ ∠BDC = 90°,∴ ∠ADC= ∠ADB+∠BDC= 155°. 故选 C. 4. D 第 24 章　 　 解直角三角形 1. C 第 25 章　 　 随机事件的概率 1. B 2. C　 【解析】设袋中红球有 x 个,根据题意,可得: x 15 = 0. 4,解得 x = 6,则黄球的个数为 15 - 6 = 9(个) . 故 选 C. 3. D 第 26 章　 　 二次函数 1. A　 2. D 3. D　 【解析】关于二次函数 y = 2(x-3) 2 +1,a = 2>0,开 口向上;对称轴为直线 x = 3;顶点坐标为(3,1) . 故 选 D. 4. C　 【解析】 ∵ 二次函数 y = ax2 +bx+ c 的顶点为(1, -4),∴ 对称轴为 x = 1,而对称轴左侧图象与 x 轴交 点横坐标的取值范围是-3<x<-2,∴ 右侧交点横坐标 的取值范围是 4<x<5. 故选 C. 5. A　 【解析】∵ 点 A 到 x 轴的距离是 0. 6dm,∴ 令 y = 0. 6,则 y= -0. 1x2 +1 = 0. 6. ∴ x = 2 或 x = -2(舍去) . ∴ A 到 y 轴的距离为 2dm. 又∵ 点 A,B 在抛物线上, OA,OB 关于 y 轴对称,∴ AB= 2×2 = 4(dm) . 故选 A. 第 27 章　 　 圆 1. A　 【解析】连结 BD. ∵ ∠C = 120°,BC =DC,∴ ∠CDB = ∠CBD= 1 2 (180°-∠C)= 30°. ∵ ∠ADC= 80°,∴ ∠ADB= ∠ADC-∠CDB=50°,∴ ∠AOB=2∠ADB=100°. 故选 A. 2. A　 【解析】∵ ☉O 的直径 DE 垂直于弦 AB,∴ AE ( = BE ( ,AC= 1 2 AB,∴ ∠AOE = 2∠BDE = 60°,∴ sin∠AOE = AC OA = 3 2 . ∵ OA= 4,∴ AC= 2 3 ,∴ AB= 4 3 . 故选 A. 3. A　 【解析】延长 CO,交☉O 于 E,连结 DE. ∵ CE 是 ☉O 的直径,∴ ∠CDE = 90°. ∵ ∠AOB 和 ∠COD 互 补,∠COD+∠DOE = 180°,∴ ∠DOE = ∠AOB. ∵ AB = 8,∴ DE = AB = 8. ∵ CD = 6,由 勾 股 定 理 得: CE = 62 +82 = 10,∴ ☉O 的半径是 5. 故选 A. 4. D 5. A　 【解析】“弓”所对的弧长为 100π×1. 2 180 = 2 3 π(米) . 故选 A. 􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋 􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋 􀦋 􀦋 􀦋􀦋《课本回头练》答案 基础知识抓分练 1 二次根式 一、选择题 1. B　 【解析】A. 原式= 2 3;C. 原式 = 2 2;D. 原式 = 2 2 . 故 选 B. 2. C 3. A　 【解析】∵ P(a,b)是平面直角坐标系中第二象限的 点,∴ a<0,b>0,∴ 原式= -a-b-(b-a)= -2b. 故选 A. 4. B　 【解析】A. 12 ÷ 6 = 2;C. 8 + 2 = 2 2 + 2 = 3 2; D. 2 6和 5不是同类项,不能进行减法运算. 故选 B. 5. D　 6. D 7. D　 【解析】设圆的半径为 rcm,根据题意得, 140π × 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBH·九年级数学　 第 1 页