专项1 大题抢分练(分考点针对陈习解答题)-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年九年级数学上册（北师大版 河南专用）

情境期末·九年级数学　 第 1 页 情境期末·九年级数学　 第 2 页 情境期末·九年级数学　 第 3 页　 　 　 　 专项 1 追梦专项一　 大题抢分练 　 一元二次方程的计算及应用 1. (8 分)解方程: (1)x2 -2x-3 = 0;　 　 　 　 　 (2)2x2 +3x-1 = 0. 2. (8 分)(北京模拟)已知关于 x 的一元二次方程 x2 +ax+a-1 = 0. (1)求证:该方程总有两个实数根; (2)若该方程的两个实数根都是整数,且其中一个根是另一个根 的 3 倍,求 a 的值. 3. (8 分)(烟台中考)每年 5 月的第三个星期日为全国助残日,今 年的主题是“科技助残,共享美好生活” . 康宁公司新研发了一批 便携式轮椅,计划在该月销售. 根据市场调查,每辆轮椅盈利 200 元时,每天可售出 60 辆;单价每降低 10 元,每天可多售出 4 辆. 公司决定在成本不变的情况下降价销售,但每辆轮椅的利润不 低于 180 元. 设每辆轮椅降价 x 元,每天的销售利润为 y 元. (1)求 y 与 x 的函数关系式;每辆轮椅降价多少元时,每天的销 售利润最大? 最大利润为多少元? (2)全国助残日当天,公司共获得销售利润 12 160 元,请问这天 售出了多少辆轮椅? 　 投影、视图与概率 4. (8 分)把边长为 1 的 6 个相同正方体摆成如图的形式,画出该几 何体的主视图、左视图、俯视图. 　 　 5. 生活情境·影长 (8 分)如图,身高 1. 6 米的小明从距路灯的底部 (点 O)10 米的点 A 沿 AO 方向行走 6 米到点 C 处,小明在 A 处, 头顶 B 在路灯投影下形成的影子在 M 处. (1)影子灯杆垂直于路面,试标出路灯 P 的位置和小明在 C 处, 头顶 D 在路灯投影下形成的影子 N 的位置; (2)若路灯(点 P)距地面 8 米,小明从 A 到 C 时,影子的长度是 变长了还是变短了? 变长或变短了多少米? 6. 文化情境·传统文化 (8 分)(陕西中考)王欣和张敏都是汉服妆 造爱好者,两人买了四种不同的花钿(如图所示),一时不知道该 选哪个来装扮,因此用抽卡片的方式来决定,将这四种花钿分别 画在四张背面完全相同的不透明卡片上(卡片大小、形状、质地 均相同),将背面朝上洗匀,王欣先从这四张卡片中随机选择一 张不放回. (1)王欣选中的花钿恰好是 B 的概率是　 　 　 　 ; (2)张敏将剩下的三张卡片洗匀后,再从这三张卡片中随机选择 一张,请用列表或画树状图的方法求两人选择的花钿恰好是 A 和 D 的概率. (不分先后顺序) A 　 B 　 C 　 D 　 反比例函数 7. (9 分)如图,在平面直角坐标系中,正方形 ABCD 的边 BC 在 x 轴 上,点 A 坐标为(2,4),点M 是 AB 的中点,反比例函数 y= k x 的图 象经过点 M,交 CD 于点 N. (1)求反比例函数的表达式; (2)若反比例函数图象上的一个动点 P(m,n)在正方形 ABCD 的 内部(含边界),求△POC 面积的最小值. 8. (9 分)如图,一次函数 y1 = kx+b(k≠0)与反比例函数 y2 = m x (x> 0)的图象交于 A(4,1),B( 1 2 ,a)两点. (1)求这两个函数的表达式; (2)根据图象,直接写出满足 y1 -y2 >0 时 x 的取值范围; (3)点 P 在线段 AB 上,过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M,交函数 y2 的 图象于点 Q. 若△POQ 的面积为 3,求点 P 的坐标. 专项 1 　 　 　 　 　情境期末·九年级数学　 第 4 页 情境期末·九年级数学　 第 5 页 情境期末·九年级数学　 第 6 页 　 相似与解直角三角形 9. (9 分)如图,点 C、D 在线段 AB 上,△PCD 是等腰三角形,PC = PD,∠CPD= 70°,且△ACP∽△APB. (1)求证:△ACP∽△PDB; (2)求∠APB 的度数; (3)若 AC= 4,CD= 5,BD= 9,求△PCD 的周长. 10. (9 分)(郑州期末)河南省科技馆(新馆)位于郑州市郑东新区 象湖湖畔,是河南省有史以来规模最大、投资最多的公益性投 资项目. 郑东新区某数学兴趣小组在去科技馆游玩时,尝试用 所学的知识测量圭表塔的高度,以下是他们的测量方案:先站 在地面的 A 点处用测倾器测得圭表塔的顶端 N 点的仰角为 37°,接着沿圭表塔的方向前进 33 米到达 C 处测得顶端 N 的仰 角为 45°(点 A、C、M 在同一直线上) . (1)已知测倾器的高度为 1. 3 米,请你根据以上数据求出圭表 塔的高度;(结果精确到 0. 1,参考数据:sin37°≈ 3 5 ,cos37°≈ 4 5 , tan37°≈ 3 4 , 2 ≈1. 414) (2)通过查看科技馆的介绍,发现圭表塔的高度是 100 米,则计 算结果的误差为多少? 请你说出一条可能导致计算结果产生 误差的原因. 　 　 二次函数的图象和性质及综合应用 11. (10 分)已知二次函数的表达式为 y= 1 2 x2 +2x+ 3 2 . ①利用配方,将其化成 y=a(x-h) 2 +k 的形式; ②求图象与两坐标轴交点的坐标; ③利用五点作图法,在图中画出图象; x y ④观察图象,当 x　 　 　 　 时,y 随 x 的增大而减小; ⑤观察图象,当-3<x<0 时,直接写出 y 的取值范围　 　 　 　 . 12. 热点情境·南水北调 (11 分)(石家庄模拟)如图是南水北调某 段河道的截面图. 河道轮廓为某抛物线的一部分,嘉琪在枯水 期测得河道宽度 OA = 20 米. 河水水面截痕 BC = 10 米,水面到 河岸水平线 OA 的距离为 7. 5 米. 以点 O 为坐标原点建立如图 所示的平面直角坐标系,解决如下问题: (1)求河道轮廓的函数表述式,并求此时最大水深为多少米? (2)在丰水期,测得水面到 OA 的距离为 3. 6 米. ①求此时水面截痕 DE 的长; ②嘉琪乘坐小船游弋到河道正中央时,向右侧河岸抛出一个小 球,小球恰好落在点 E 处,小球飞行过程中到水面最大距离是 8 米,若嘉琪抛球的力道和角度不改变,要想让小球飞到河岸(即 点 A 右侧)上,直接写出嘉琪的小船至少要向右划行多少米? 　 特殊平行四边形的计算与证明 13. (10 分)(四川二模)如图,在平行四边形 ABCD 中,AC⊥BC,过 点 D 作 DE∥AC 交 BC 的延长线于点 E,点 M 为 AB 的中点,连 接 CM. (1)求证:四边形 ADEC 是矩形; (2)若 CM= 5,且 AC= 8,求四边形 ADEB 的面积. 14. (10 分)(深圳二模)在四边形 ABCD 中,∠EAF = 1 2 ∠BAD(E、F 分别为边 BC、CD 上的动点),AF 的延长线交 BC 延长线于点 M,AE 的延长线交 DC 延长线于点 N. (1)如图①,若四边形 ABCD 是正方形,求证:△ACN∽△MCA; (2)如图②,若四边形 ABCD 是菱形. ①(1)中的结论是否依然成立? 请说明理由; ②若 AB= 8,AC= 4,连接 MN,当 MN=MA 时,求 CE 的长. 图① 　 　 图② 45°,∴ OE=OC= 3,点 E (3,0) . ∴ 直线 PC 的解析式为 y= x-3. ∵ 3 4 x2 + 9 4 x-3 = x-3,∴ x1 = - 5 3 ,x2 = 0(舍去), 当 x= - 5 3 时,y= -14 3 ,∴ P(- 5 3 ,-14 3 ); ②35 3 　 【解析】 设点 P (m, 3 4 m2 + 9 4 m - 3),四边形 PECE′的周长记作 l,过点 E 作 EF⊥y 轴于点 F. ∵ 点 E 与 E′关于 PC 对称,∴ ∠ECP = ∠PCE′,CE = CE′. ∵ PE ∥y 轴,∴ ∠EPC = ∠PCE′,∴ ∠ECP = ∠EPC,∴ PE = CE,∴ PE = CE′, ∴ 四边形 PECE′为平行四边形, ∴ ▱PECE′为菱形. 当 y= 0 时, 3 4 x2 + 9 4 x-3 = 0,解得 x1 = 1,x2 = -4,∴ B(-4,0) . 又∵ C(0,-3),∴ 直线 BC 的解 析式为 y= - 3 4 x-3,BC = OB2 +OC2 = 5. ∴ E(m,- 3 4 m -3) . ∵ CE=PE,EF∥OB,∴ CE BC = EF OB ,∴ CE 5 = -m 4 ,∴ CE = - 5 4 m. ∵ PE= - 3 4 m-3-( 3 4 m2 + 9 4 m-3)= - 3 4 m2 -3m, ∴ - 5 4 m= - 3 4 m2 -3m,∴ m1 = 0(舍去),m2 = - 7 3 ,∴ CE = 35 12 ,∴ l= 4CE= 35 3 ,即四边形 PECE′的周长为35 3 . 基础知识抓分练 11 二次函数的实际应用 1. A　 2. B 3. D　 【解析】设 y = kx+ b,由图象可知, 20k +b= 20 30k+b= 0{ ,解得 k= -2 b= 60{ ,∴ y= -2x+60;设销售利润为 p,根据题意得,p = (x-10)(-2x+60)= -2x2 +80x-600. ∵ a= -2<0,∴ p 有最 大值,当 x= - 80-2×2 = 20 时,p最大值 = 200. 即当销售单价为 20 元 / 千克时,每天可获得最大利润 200 元. 故选 D. 4. A　 【解析】由题意,∵ 点 A 到 x 轴的距离是 0. 6dm,∴ 令 y= 0. 6,则 y= -0. 1x2 +1 = 0. 6. ∴ x= 2 或 x= -2(舍去) . ∴ A 到 y 轴的距离为 2dm. 又点 A,B 在抛物线上,OA,OB 关 于 y 轴对称,∴ AB= 2×2 = 4(dm) . 故选 A. 5. C　 【解析】令 h= 0,则 20t-5t2 = 0,解得 t1 = 0,t2 = 4,∴ 小 球从飞出到落地用时为 4s,故①正确;h= 20t-5t2 = -5( t2 -4t)= -5( t-2) 2 +20. ∵ -5<0,∴ h 的最大高度为 20m,故 ②正确;令 h= 15,则 20t-5t2 = 15,解得 t1 = 1,t2 = 3,∴ 小 球的飞行高度是 15m 时,小球的飞行时间是 1s 或 3s,故 ③错误. 故选 C. 6. 7　 【解析】∵ OD = 13,∴ 点 D 的坐标为 D(0,13),当 y = 13 时, 4 7 x2 +6 = 13,解得 x = ± 7 2 ,∴ A(- 7 2 ,13),C( 7 2 , 13),∴ AC= 7 2 -(- 7 2 )= 7. 7. ② 8. 40 米 9. 5 16 ≤a≤ 4 5 　 【解析】∵ EM= 21 2 m,EN= 27 2 m,点 E 的坐标 为(- 3 2 ,-10) . ∴ 点 M,N 的坐标分别为(9,-10),(12,- 10) . ∵ A(1, 5 4 ),∴ 可设运动员在空中运动时对应抛物 线的函数解析式为 y=m(x-1) 2 + 5 4 . 又∵ 此时抛物线过 (0,0),∴ m+ 5 4 = 0. ∴ m = - 5 4 . ∴ 运动员在空中运动时 对应抛物线的函数解析式为 y = - 5 4 (x-1) 2 + 5 4 . 令 y = - 10,∴ -10 = - 5 4 ( x- 1) 2 + 5 4 . ∴ x = 4 或- 2(舍去) . ∴ B (4,-10) . ∵ 该运动员入水后运动路线对应的抛物线解 析式为 y=a(x-h) 2 +k,∴ 当抛物线过点 M(9,-10)时,顶 点为(6. 5,- 15) . ∴ 此时 y = a( x- 6. 5) 2 - 15,把 M(9, -10)代入,得 a= 4 5 . 同理,当抛物线过点 N(12,-10)时,a = 5 16 ,由点 D 在 MN 之间得 a 的取值范围为 5 16 ≤a≤ 4 5 . 10. 解:(1)由题意,得该抛物线经过点 A(0,5)和点 B(5, 0),∴ c= 5 -52 +5b+c= 0{ . 解得 b= 4 c= 5{ . ∴ 该抛物线的函数表 达式为 y= -x2 +4x+5. (2)由题意,在 y= -x2 +4x+5 中,令 y = 2,∴ -x2 +4x+5 = 2. ∴ x1 = 2- 　 7 ( 不符合题意,舍去),x2 = 2+ 　 7 . ∴ 小明 走了 (2+　 7 )m 时,头顶刚好碰到这枝垂柳. 11. 解:(1)设 y= kx+b,由表格信息可得 1200 = 12k+b 1000 = 14k+b{ ,解得 k= -100 b= 2400{ ,∴ y 与 x 的函数关系式为 y= -100x+2400; (2)设线下利润为 w1 元,线上利润为 w2 元,根据题意, 得 w1 = y( x- 10) = ( - 100x+ 2400) ( x- 10) = - 100x 2 + 3400x-24000,w2 = 400(x-2-10)= 400x-4800. ①设线上和线下月利润总和为 w 元,根据题意,得 w = w1 + w2 = ( - 100x 2 + 3400x - 24000) + ( 400x - 4800) = -100x2 +3800x-28800 = -100(x-19) 2 +7300,∵ -100<0, 12≤x<24,∴ 当 x= 19 时,w 最大,最大值为 7300 元,答: 当 x 为 19 时,线上和线下月利润总和达到最大,最大利 润为 7300 元; ②12≤x≤20　 　 【解析】线下月利润与线上月利润的 差为 W 元,W = (-100x2 +3400x-24000) -(400x- 4800) = -100( x- 15) 2 + 3300,令 W = 800,则 800 = - 100( x- 15) 2 +3300,解得 x1 = 10,x2 = 20,∴ 当 10≤x≤20 时,W 的值不小于 800,又∵ 12≤x< 24,∴ 线下月利润与线上 月利润的差不低于 800 元时,x 的取值范围是 12 ≤ x ≤20. 追梦专项一　 大题抢分练 1. 解:(1)因式分解,得(x-3)(x+1)= 0,∴ x-3 = 0 或 x+1 = 0,解得 x1 = 3,x2 = -1; (2)∵ a= 2,b= 3,c= -1,b2 -4ac= 32 -4×2×( -1)= 17,∴ x = -3± 17 2×2 ,∴ x1 = -3+ 17 4 ,x2 = -3- 17 4 . 2. (1)证明:∵ Δ=a2 -4(a-1)= a2 -4a+4 = (a-2) 2 ≥0,∴ 该 方程总有两个实数根; (2)解:∵ x2 +ax+a-1 = 0,∴ (x+1)[x+(a-1)] = 0,∴ x+1 = 0 或 x+(a-1)= 0,解得 x1 = -1,x2 = -a+1,∵ 方程的根 都是整数,且其中一个根是另一个根的 3 倍,∴ a 为整 数,-a+1 = 3×(-1)或 3( -a+1) = -1,解得 a1 = 4 或 a2 = 4 3 (舍去),∴ a 的值为 4. 3. 解:(1)y= (200-x)(60+ 4× x 10 ) = - 0. 4(x- 25) 2 + 12250. 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBB·九年级数学　 第 7 页 ∵ 200-x≥180,∴ x≤20. ∴ 当 x = 20 时,利润最大,最大 利润为:-0. 4(20-25) 2 +12 250 = 12240(元) . (2)把 y= 12160,代入 y = -0. 4(x-25) 2 +12250,得 12160 = -0. 4(x-25) 2 +12250,解得 x1 = 40(不合题意,舍去),x2 = 10. ∴ 售出轮椅的辆数为:60+4× 10 10 = 64(辆) . 答:这天 售出了 64 辆轮椅. 4. 解: 5. 解:(1)点 P,点 N 如图所示; (2)设在 A 处时影长 AM 为 x 米,在 C 处时影长 CN 为 y 米,BA⊥OM,DC⊥OM,PO⊥OM,∴ BA∥PO,DC∥PO,∴ △MBA∽△MPO,△NDC∽△NPO,∴ AM OM = BA PO ,NC NO = DC PO . ∵ OA= 10 米,AC= 6 米,∴ OC= 4 米,∴ x x+10 = 1. 6 8 ,解得 x = 2. 5, y y+4 = 1. 6 8 ,解得 y = 1,∴ x-y = 1. 5,∴ 影子的长度 变短了,变短了 1. 5 米. 6. 解:(1) 1 4 (2)画树状图如下: 共有 12 种等可能的结果,其中两人选择的花钿恰好是 A 和 D 的结果有 2 种,∴ 两人选择的花钿恰好是 A 和 D 的 概率是 2 12 = 1 6 . 7. 解:(1)∵ 点 A 坐标为(2,4),∴ OB= 2,AB = 4,∵ M 是 AB 的中点,∴ 点 M 的坐标是(2,2),把点 M(2,2)代入反比 例函数 y= k x 得 k = 2 × 2 = 4,∴ 反比例函数表达式为 y = 4 x ; (2)∵ 四边形 ABCD 是正方形,点 A 的坐标是(2,4),∴ 点 C 的坐标是(6,0),当 x= 6 时,y= 2 3 ,∴ 点 N 的坐标是 (6, 2 3 ),由题意,得 n 随 m 的增大而减少,且 2≤m≤6, ∴ 当 m= 6 时,n 有最小值 2 3 ,∴ △POC 面积的最小值为 1 2 ×6× 2 3 = 2. 8. 解:(1)∵ 点 A(4,1)在 y2 = m x (x>0)的图象上,∴ m = 4. ∴ 反比例函数的表达式为 y2 = 4 x (x>0) . 令 y2 = 4 x 中 x = 1 2 得 a = 8. 将 A ( 4, 1),B ( 1 2 , 8) 代入 y1 = kx + b, 得 4k+b= 1 1 2 k+b= 8{ ,解得 k= -2b= 9{ . ∴ 一次函数的表达式为 y1 = -2x+9. (2)当 y1 -y2 >0 时, 1 2 <x<4. (3)设点 P 的坐标为(a,-2a+9),其中 1 2 ≤a≤4. ∵ PM ⊥x 轴,∴ Q( a, 4 a ) . ∴ PQ = - 2a+ 9 - 4 a . ∴ S△POQ = 1 2 × (-2a+9- 4 a )×a= -a2 + 9 2 a-2. ∵ S△POQ = 3,∴ -a 2 + 9 2 a-2 = 3. 解得 a1 = 2,a2 = 5 2 . ∴ 点 P 的坐标为(2,5)或( 5 2 , 4) . 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　【解题技巧】本题主要考查一次函数与反比例函数交点问 题. (1)利用 A、B 两点求得反比例函数表达式,进而求得 一次函数表达式;(2)求满足 y1 -y2 > 0 时 x 的取值范围, 即求 y1 >y2 时 x 的取值范围,可根据图象求得;(3)设 P、 Q 两点坐标,求得 PQ 的长,再根据 S△POQ = 3 求得 P 点坐 标. 9. (1)证明:∵ △ACP∽△APB,∴ ∠APC = ∠B,∵ PC =PD, ∴ ∠PCD = ∠PDC, ∵ ∠PCD + ∠ACP = 180°, ∠PDC + ∠PDB= 180°,∴ ∠ACP= ∠PDB,∴ △ACP∽△PDB; (2)解:∵ ∠CPD = 70°,∴ ∠PCD = ∠PDC = 55°,∴ ∠A+ ∠APC= 55°,∴ ∠A+∠ABP= 55°,∴ ∠APB= 125°; (3)解:∵ △ACP∽△PDB,∴ AC PD = PC BD ,∵ PC = PD,∴ PC2 =AC·BD= 4×9 = 36,∴ PC =PD = 6,∴ PC+PD+CD = 17, ∴ △PCD 的周长为 17. 10. 解:(1)延长 BD 交 MN 于点 E,由题意得:BE⊥MN,CD =AB=EM= 1. 3 米,BD=AC= 33 米,设 DE= x 米,∴ BE = BD+DE= (x+33)米,在 Rt△BNE 中,∠NBE = 37°,∴ NE =BE·tan37°≈ 3 4 (x+33)米,在 Rt△NDE 中,∠NDE = 45°,∴ NE=DE·tan45° = x(米),∴ x = 3 4 (x+33),解得 x= 99,∴ NE= 99 米,∴ NM =NE+ME = 100. 3 米,∴ 圭表 塔的高度约为 100. 3 米; (2)由题意得:100. 3- 100 = 0. 3(米),∴ 计算结果的误 差为 0. 3 米,可能导致计算结果产生误差的原因为:卷 尺没有拉直(答案不唯一) . 11. 解:①y= 1 2 x2 +2x+ 3 2 = 1 2 (x2 +4x)+ 3 2 = 1 2 (x2 +4x+4-4) + 3 2 = 1 2 (x+2) 2 - 1 2 . ∴ 函数的顶点式为 y = 1 2 (x+2) 2 - 1 2 ; ②把 y= 0 代入 y= 1 2 x2 +2x+ 3 2 ,∴ 1 2 x2 +2x+ 3 2 = 0,解得 x1 = -1,x2 = - 3,∴ 函数与 x 轴的交点是( - 1,0),( - 3, 0),把 x= 0 代入 y = 1 2 x2 +2x+ 3 2 ,y = 3 2 ,∴ 函数与 y 轴 的交点是(0, 3 2 ); ③列表,得: 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBB·九年级数学　 第 8 页 描点,二次函数的图象如下, ④<-2 ⑤- 1 2 ≤y< 3 2 12. 解:(1)过 B 作 BG⊥x 轴于点 G,由二次函数对称性可 得 OG=OA -BC 2 = 5,∵ BG = 7. 5,∴ B(5,- 7. 5),∵ OA = 20,∴ A(20,0),设二次函数表达式为 y = ax(x- 20),将 B(5,-7. 5)代入得-7. 5 = a·5×( -15),解得 a = 1 10 ,∴ 二次函数表达式为 y= 1 10 (x-10) 2 -10,∴ 顶点纵坐标为 -10,此时水深为 10-7. 5 = 2. 5(米); (2)①令 y= -3. 6,即 1 10 x2 - 2x = - 3. 6,解得 x1 = 2,x2 = 18,∴ x2 -x1 = 16,即 DE 的长为 16 米; ②嘉琪的小船至少要向右划行 6- 2 55 5 米. 　 【解析】 由题易知小球的轨迹是抛物线,设 DE 中点为 F,小球轨 迹的顶点是点 M,∴ F(10,-3. 6),由①知 E(18,-3. 6), 由题意,得 E、F 两点关于对称轴对称,∴ M(14,4. 4) . 设小球的轨迹抛物线的表达式为 y = k(x-14) 2 +4. 4,将 F(10,-3. 6)代入得 k= - 1 2 ,∴ y= - 1 2 (x-14) 2 +4. 4,设 向右划行 n 米,小球落到 A 点,此时抛物线表达式为 y= - 1 2 (x-14-n) 2 +4. 4,将 A(20,0)代入可得- 1 2 (6-n) 2 + 4. 4 = 0,解得 n = 6+ 2 55 5 (舍)或 n = 6- 2 55 5 ,故嘉琪 的小船至少向右划行 6-2 55 5 米. 13. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,点 E 在 BC 的 延长线上,∴ DA∥CB,即 DA∥CE. ∵ DE∥AC,∴ 四边形 ADEC 是平行四边形. ∵ AC⊥BC,∴ ∠ACB = ∠ACE = 90°,∴ 四边形 ADEC 是矩形. (2)解:∵ 点 M 为斜边 AB 的中点,且 CM = 5,AC = 8,∴ AB= 2CM= 2×5 = 10,在 Rt△ABC 中,BC = AB2 -AC2 = 102 -82 = 6. 由(1)可知,四边形 ADEC 是矩形,∴ AC = DE= 8,AD = CE = BC = 6,BE = 6 + 6 = 12,∴ S四边形ADEB = (AD+BE)·AC 2 = (6+12)×8 2 = 72. 14. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠BAD = ∠BCD = 90°,∴ ∠EAF = 1 2 ∠BAD = 45°,∠BCA = ∠ACD = 45°, ∴ ∠CAN + ∠CAM = 45°, ∴ ∠ACM = ∠ACN = 135°, ∵ ∠CAM+ ∠M = ∠BCA = 45°,∴ ∠CAN = ∠M,∴ △ACN ∽△MCA; (2)解:①(1)中的结论仍然成立,理由如下:∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AB∥CD,∴ ∠BAD = ∠BCD,∴ ∠BCA = ∠ACD, ∴ 180° - ∠BCA = 180° - ∠ACD, 即 ∠ACM = ∠ACN,∵ ∠MAN = 1 2 ∠BAD, ∴ ∠CAN + ∠CAM = 1 2 ∠BAD,∵ ∠CAM+∠M = ∠ACB = 1 2 ∠BCD = 1 2 ∠BAD, ∴ ∠CAN= ∠M,∴ △ACN∽△MCA; ②∵ MA = MN, ∴ ∠MAN = ∠MNA, 由 ① 知, ∠ACB = ∠BAC= ∠MAN,∴ △MAN∽△BAC,∴ AM AN = AB AC = 8 4 = 2, 由①知,△ACN∽△MCA,∴ AC CM = CN AC = AN AM = 1 2 ,∴ CN = 1 2 AC= 2,CM = 2AC = 8,∵ AB∥CD,∴ △CEN∽△BEA, ∴ CE BE =CN AB = 2 8 = 1 4 ,∴ CE= 1 5 BC= 8 5 . 追梦专项二　 易错重难专练 类型一　 　 特殊平行四边形 1. C　 2. C 3. D　 【解析】连接 AM,∵ 由题意,得∠A= 90°,∵ ME⊥AB, MF⊥AD,∴ 四边形 AFME 是矩形,∴ AM = EF,当 AM⊥ BD 时,AM 最小,此时 EF 最小,∵ ∠AMD = 90°,∠ADM = 45°,∴ △ADM 是等腰直角三角形,∴ AM = 2 2,∴ EF 的 最小值是 2 2 . 故选 D. 4. 10　 【解析】过点 C 作 CH⊥AB,交 AB 的延长线于 H,∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AD = AB = BC. ∵ 点 E,F 分别是 菱形 ABCD 的边 AD,BC 上的两个动点,∴ 当点 E 与点 A 重合,点 F 与点 C 重合时,EF 有最大值,即 AC = EF = 8 5;当 EF⊥BC 时,EF 有最小值,即直线 AD,直线 BC 之间的距离为 8,∴ AB、CD 之间的距离也为 8,即 CH = 8. ∴ AH= AC2 -CH2 = 16. ∵ BC2 = CH2 +BH2,∴ BC2 = 64+ (16-BC) 2,∴ BC= 10. 5. 3 或 4. 5　 【解析】①点 F 恰好落在矩形 ABCD 的对角线 AC 上,在 Rt△ABC 中,AB= 6,BC= 8,∠B= 90°,由勾股定 理得:AC= AB2 +BC2 = 10. 由折叠的性质得 BE =FE,AB =AF= 6,∠B = ∠AFE = 90°,∴ FC = AC-AF = 10 - 6 = 4, ∠CFE= 90°. 设 BE = FE = x,则 CE = BC -BE = 8 - x. 在 Rt△CFE 中,由勾股定理得 CE2 = FE2 +FC2,即(8-x) 2 = x2 +42 . 解得 x= 3,∴ BE 的长为 3;②点 F 恰好落在矩形 ABCD 的对角线 BD 上,∵ 点 B 与点 F 关于 AE 对称,∴ AE⊥BF,∵ 点 F 在 BD 上,∴ AE⊥BD,∴ ∠ADB+∠EAD= 90°,∵ ∠BAE+∠EAD = 90°,∴ ∠BAE = ∠ADB. ∵ ∠BAD =∠EBA= 90°,∴ △ABD∽△BEA. ∴ AB BE = AD AB ,即 6 BE = 8 6 . 解得 BE= 4. 5. 综上所述,BE 的长为 3 或 4. 5. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【解题技巧】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾 股定理等知识. 注意分情况讨论:当点 F 在对角线 AC 上 时,利用翻折及勾股定理求得 BE 的长;当点 F 在对角线 BD 上时,利用相似可求得 BE 的长. 类型二　 一元二次方程 1. A　 【解析】由题意,得 | m | = 2,且 m-2≠0,∴ m = - 2. 故 选 A. 2. A 3. C　 【解析】由题意可知:当 k≠0 时,Δ=(-4) 2 -4k×(-4) ≥0,∴ k≥-1,当 k = 0 时,原方程是一元一次方程,有实 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBB·九年级数学　 第 9 页