抓分练11二次函数的实际应用-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年九年级数学上册（北师大版 河南专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 11　 二次函数的实际应用 一、选择题(每小题 3 分,共 15 分) 1. 为方便市民进行垃圾分类投放,某环保公 司第一个月投放 a 个垃圾桶,计划第三个 月投放垃圾桶 y 个,设该公司第二、三两个 月投放垃圾桶数量的月平均增长率为 x,那 么 y 与 x 的函数关系是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. y=a(1+x) 2 B. y=a(1-x) 2 C. y= (1-x) 2 +a D. y= x2 +a 2. 使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气 量 y(单位:m3)与旋钮的旋转角度 x(单位: 度)(0<x≤90)近似满足函数关系 y = ax2 + bx+c(a≠0) . 如图记录了某种家用燃气灶 烧开同一壶水的旋钮角度 x 与燃气量 y 的 三组数据,根据上述函数模型和数据,可推 断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋 钮角度约为(　 　 ) A. 37. 5° B. 40° C. 42. 5° D. 45° 第 2 题图 　 第 3 题图 3. 某超市对进货价为 10 元 / 千克的某种苹果 的销售情况进行统计,发现每天销售量 y (千克) 与销售价 x(元 /千克) 存在一次函 数关系,如图所示. 则最大利润是(　 　 ) A. 180 B. 220 C. 190 D. 200 4. 数学来源于生活,伞是生活中常见的一种 工具,撑开后如图 1 所示,由此发现数学知 识———抛物线. 如图 2,以伞柄所在的直线 为 y 轴,以伞骨 OA,OB 的交点 O 为坐标原 点建立平面直角坐标系. 点 C 为抛物线的 顶点,点 A,B 在抛物线上,OA,OB 关于 y 轴 对称. 抛物线的表达式为 y = -0. 1x2 +1,若 点 A 到 x 轴的距离是 0. 6 dm,则 A,B 两点 之间的距离是(　 　 ) A. 4 dm B. 6 dm C. 8 dm D. 10 dm 5. 生活情境·球运动轨迹 如图,以 40 m / s 的速 度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时, 小球的飞行路线将是一条抛物线. 如果不 考虑空气阻力,小球的飞行高度 h. (单位: m)与飞行时间 t(单位:s)之间具有函数关 系 h= 20t-5t2 . 有下列结论: ①小球从飞出到落地用时为 4 s; ②小球飞行的最大高度为 20 m; ③小球的飞行高度为 15 m 时,小球飞行的 时间是 1 s. 其中,正确结论的个数是(　 　 ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 6. 生活情境·奖杯 如图,小明以抛物线为灵 感,在平面直角坐标系中设计了一款高 OD 为 13 的奖杯,杯体轴截面 ABC 是抛物线 y = 4 7 x2 + 6 的一部分,则杯口的口径 AC 长 为　 　 　 　 . 第 6 题图 　 　 　 第 7 题图 7. 如图,学校要在校园内建一个矩形的开心 农场,其中一边 AD 是围墙,且 AD 的长不能 超过 28 m,其余三边 AB,BC,CD 用 60 m 长 的铁质栅栏. 有下列结论: ①AB 的长可以为 15 m; ②当农场 ABCD 面积为 200 m2 时,满足条 件的 AB 的长只有一个值; ③农场 ABCD 面积的最大值为 450 m2; 91 情境期末·ZBB·九年级数学 ④若把农场的形状改成半圆形,且直径一 侧利用已有围墙,则农场的面积可以超过 560 m2 . 其中,正确结论的是 　 　 　 　 . (只需填序 号) 8. 如图①,“东方之门”通过简单的几何曲线 处理,将传统文化与现代建筑融为一体,最 大程度地传承了苏州的历史文化. 如图②, “门”的内侧曲线呈抛物线形,已知其底部 宽度为 80 米,高度为 200 米. 则离地面 150 米处的水平宽度(即 CD 的长)为　 　 　 　 . 图① 　 　 　 图② 9. 如图(示意图),某跳水 运动员进行 10 m 跳台 跳水训练,水面边缘点 E 的 坐 标 为 ( - 3 2 , -10) . 运动员(将运动员看成一点)在空中 运动的路线是经过原点 O 的抛物线. 运动 员在空中最高处点 A 的坐标为(1, 5 4 ) . 运 动员入水后,运动路线为另一条抛物线,在 该运动员入水点的正前方有 M,N 两点,且 EM= 21 2 m,EN= 27 2 m,该运动员入水后运动 路线对应的抛物线的函数解析式为 y = a(x -h) 2 +k,且顶点 C 距水面 5 m,若该运动员 出水点 D 在 MN 之间(包括 M,N 两点),则 a 的取值范围　 　 　 　 . 三、解答题(共 18 分) 10. (8 分)(河南中考)《三辅黄图》提到:“灞 桥在长安东,跨水作桥,汉人送客至此桥, 折柳赠别. ”如图①是灞桥旁的一棵垂柳, 这棵垂柳中某一枝的形状呈如图②所示 的抛物线形,它距离地面的高度 y( m)与 到树干的水平距离 x(m)之间满足关系式 y= -x2 +bx+c,已知这枝垂柳的始端 A 到地 面的距离 OA= 5 m,末端 B 恰好接触地面, 且到树干底部的水平距离 OB = 5 m. (注: 树干近似看作直线) (1)求该抛物线的函数表达式. (2)踩着高跷的小明头顶距离地面 2 m,他 从点 O 出发向点 B 处走去,请计算小明走 了多少米时,头顶刚好碰到这枝垂柳? ① 　 　 　 ② 11. (10 分)“大众创业、万众创新”,互联网和 大数据的时代,创新已成为提升企业竞争 力的关键. 已知商家购进一批文创产品, 成本为 10 元 /件,拟采取线上和线下两种 方式进行销售. 调查发现,线下的月销量 y (单位:件)与线下售价 x(单位:元 /件,12 ≤x<24)满足一次函数的关系,部分数据 如下表: x(元 / 件) 12 14 16 y(件) 1 200 1 000 800 (1)求 y 与 x 的函数关系式; (2) 若线上售价始终比线下每件便宜 2 元,且线上的月销售量固定为 400 件. ①当 x 为多少时,线上和线下月利润总和 达到最大? 并求出此时的最大利润; ②若线下月利润与线上月利润的差不低 于 800 元,直接写出 x 的取值范围. 02 45°,∴ OE=OC= 3,点 E (3,0) . ∴ 直线 PC 的解析式为 y= x-3. ∵ 3 4 x2 + 9 4 x-3 = x-3,∴ x1 = - 5 3 ,x2 = 0(舍去), 当 x= - 5 3 时,y= -14 3 ,∴ P(- 5 3 ,-14 3 ); ②35 3 　 【解析】 设点 P (m, 3 4 m2 + 9 4 m - 3),四边形 PECE′的周长记作 l,过点 E 作 EF⊥y 轴于点 F. ∵ 点 E 与 E′关于 PC 对称,∴ ∠ECP = ∠PCE′,CE = CE′. ∵ PE ∥y 轴,∴ ∠EPC = ∠PCE′,∴ ∠ECP = ∠EPC,∴ PE = CE,∴ PE = CE′, ∴ 四边形 PECE′为平行四边形, ∴ ▱PECE′为菱形. 当 y= 0 时, 3 4 x2 + 9 4 x-3 = 0,解得 x1 = 1,x2 = -4,∴ B(-4,0) . 又∵ C(0,-3),∴ 直线 BC 的解 析式为 y= - 3 4 x-3,BC = OB2 +OC2 = 5. ∴ E(m,- 3 4 m -3) . ∵ CE=PE,EF∥OB,∴ CE BC = EF OB ,∴ CE 5 = -m 4 ,∴ CE = - 5 4 m. ∵ PE= - 3 4 m-3-( 3 4 m2 + 9 4 m-3)= - 3 4 m2 -3m, ∴ - 5 4 m= - 3 4 m2 -3m,∴ m1 = 0(舍去),m2 = - 7 3 ,∴ CE = 35 12 ,∴ l= 4CE= 35 3 ,即四边形 PECE′的周长为35 3 . 基础知识抓分练 11 二次函数的实际应用 1. A　 2. B 3. D　 【解析】设 y = kx+ b,由图象可知, 20k +b= 20 30k+b= 0{ ,解得 k= -2 b= 60{ ,∴ y= -2x+60;设销售利润为 p,根据题意得,p = (x-10)(-2x+60)= -2x2 +80x-600. ∵ a= -2<0,∴ p 有最 大值,当 x= - 80-2×2 = 20 时,p最大值 = 200. 即当销售单价为 20 元 / 千克时,每天可获得最大利润 200 元. 故选 D. 4. A　 【解析】由题意,∵ 点 A 到 x 轴的距离是 0. 6dm,∴ 令 y= 0. 6,则 y= -0. 1x2 +1 = 0. 6. ∴ x= 2 或 x= -2(舍去) . ∴ A 到 y 轴的距离为 2dm. 又点 A,B 在抛物线上,OA,OB 关 于 y 轴对称,∴ AB= 2×2 = 4(dm) . 故选 A. 5. C　 【解析】令 h= 0,则 20t-5t2 = 0,解得 t1 = 0,t2 = 4,∴ 小 球从飞出到落地用时为 4s,故①正确;h= 20t-5t2 = -5( t2 -4t)= -5( t-2) 2 +20. ∵ -5<0,∴ h 的最大高度为 20m,故 ②正确;令 h= 15,则 20t-5t2 = 15,解得 t1 = 1,t2 = 3,∴ 小 球的飞行高度是 15m 时,小球的飞行时间是 1s 或 3s,故 ③错误. 故选 C. 6. 7　 【解析】∵ OD = 13,∴ 点 D 的坐标为 D(0,13),当 y = 13 时, 4 7 x2 +6 = 13,解得 x = ± 7 2 ,∴ A(- 7 2 ,13),C( 7 2 , 13),∴ AC= 7 2 -(- 7 2 )= 7. 7. ② 8. 40 米 9. 5 16 ≤a≤ 4 5 　 【解析】∵ EM= 21 2 m,EN= 27 2 m,点 E 的坐标 为(- 3 2 ,-10) . ∴ 点 M,N 的坐标分别为(9,-10),(12,- 10) . ∵ A(1, 5 4 ),∴ 可设运动员在空中运动时对应抛物 线的函数解析式为 y=m(x-1) 2 + 5 4 . 又∵ 此时抛物线过 (0,0),∴ m+ 5 4 = 0. ∴ m = - 5 4 . ∴ 运动员在空中运动时 对应抛物线的函数解析式为 y = - 5 4 (x-1) 2 + 5 4 . 令 y = - 10,∴ -10 = - 5 4 ( x- 1) 2 + 5 4 . ∴ x = 4 或- 2(舍去) . ∴ B (4,-10) . ∵ 该运动员入水后运动路线对应的抛物线解 析式为 y=a(x-h) 2 +k,∴ 当抛物线过点 M(9,-10)时,顶 点为(6. 5,- 15) . ∴ 此时 y = a( x- 6. 5) 2 - 15,把 M(9, -10)代入,得 a= 4 5 . 同理,当抛物线过点 N(12,-10)时,a = 5 16 ,由点 D 在 MN 之间得 a 的取值范围为 5 16 ≤a≤ 4 5 . 10. 解:(1)由题意,得该抛物线经过点 A(0,5)和点 B(5, 0),∴ c= 5 -52 +5b+c= 0{ . 解得 b= 4 c= 5{ . ∴ 该抛物线的函数表 达式为 y= -x2 +4x+5. (2)由题意,在 y= -x2 +4x+5 中,令 y = 2,∴ -x2 +4x+5 = 2. ∴ x1 = 2- 　 7 ( 不符合题意,舍去),x2 = 2+ 　 7 . ∴ 小明 走了 (2+　 7 )m 时,头顶刚好碰到这枝垂柳. 11. 解:(1)设 y= kx+b,由表格信息可得 1200 = 12k+b 1000 = 14k+b{ ,解得 k= -100 b= 2400{ ,∴ y 与 x 的函数关系式为 y= -100x+2400; (2)设线下利润为 w1 元,线上利润为 w2 元,根据题意, 得 w1 = y( x- 10) = ( - 100x+ 2400) ( x- 10) = - 100x 2 + 3400x-24000,w2 = 400(x-2-10)= 400x-4800. ①设线上和线下月利润总和为 w 元,根据题意,得 w = w1 + w2 = ( - 100x 2 + 3400x - 24000) + ( 400x - 4800) = -100x2 +3800x-28800 = -100(x-19) 2 +7300,∵ -100<0, 12≤x<24,∴ 当 x= 19 时,w 最大,最大值为 7300 元,答: 当 x 为 19 时,线上和线下月利润总和达到最大,最大利 润为 7300 元; ②12≤x≤20　 　 【解析】线下月利润与线上月利润的 差为 W 元,W = (-100x2 +3400x-24000) -(400x- 4800) = -100( x- 15) 2 + 3300,令 W = 800,则 800 = - 100( x- 15) 2 +3300,解得 x1 = 10,x2 = 20,∴ 当 10≤x≤20 时,W 的值不小于 800,又∵ 12≤x< 24,∴ 线下月利润与线上 月利润的差不低于 800 元时,x 的取值范围是 12 ≤ x ≤20. 追梦专项一　 大题抢分练 1. 解:(1)因式分解,得(x-3)(x+1)= 0,∴ x-3 = 0 或 x+1 = 0,解得 x1 = 3,x2 = -1; (2)∵ a= 2,b= 3,c= -1,b2 -4ac= 32 -4×2×( -1)= 17,∴ x = -3± 17 2×2 ,∴ x1 = -3+ 17 4 ,x2 = -3- 17 4 . 2. (1)证明:∵ Δ=a2 -4(a-1)= a2 -4a+4 = (a-2) 2 ≥0,∴ 该 方程总有两个实数根; (2)解:∵ x2 +ax+a-1 = 0,∴ (x+1)[x+(a-1)] = 0,∴ x+1 = 0 或 x+(a-1)= 0,解得 x1 = -1,x2 = -a+1,∵ 方程的根 都是整数,且其中一个根是另一个根的 3 倍,∴ a 为整 数,-a+1 = 3×(-1)或 3( -a+1) = -1,解得 a1 = 4 或 a2 = 4 3 (舍去),∴ a 的值为 4. 3. 解:(1)y= (200-x)(60+ 4× x 10 ) = - 0. 4(x- 25) 2 + 12250. 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBB·九年级数学　 第 7 页