抓分练10二次函数的图象与性质-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年九年级数学上册（北师大版 河南专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 10　 二次函数的图象与性质 一、选择题(每小题 3 分,共 21 分) 1. 在平面直角坐标系中,将抛物线 y = x2 -2x- 3 向左平移 2 个单位,再向上平移 3 个单 位,得到的抛物线顶点坐标是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. ( -1,-1) B. (3,-1) C. ( -1,-7) D. ( -3,-1) 2. 已知二次函数 y=ax2 +bx+c(a≠0)的图象如 图所示,则点 A(ac,bc)所在象限是(　 　 ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 第 2 题图 　 　 　 第 4 题图 3. 已知二次函数 y=ax2 +4x+1(a 为常数,且 a >0),下列结论正确的是(　 　 ) A. 函数图象一定经过第一、二、三象限 B. 函数图象可能经过第四象限 C. 当 x<0 时,y 随 x 的增大而减小 D. 当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大 4. 学习情境·课堂讨论 在“探索函数 y = ax2 + bx+c 的系数 a,b,c 与图象的关系”活动中, 老师给出了直角坐标系中的四个点: M ( -3,1),N( -2,3),P( -1,0),Q(0,2) . 同 学们探索了经过这四个点中的三个点的二 次函数图象,发现这些图象对应的函数解 析式各不相同,其中组成的二次函数图象 a 值最小的三点为(　 　 ) A. M,P,Q B. M,N,P C. N,P,Q D. M,N,Q 5. 学习情境·过程性学习 (河北三模)老师设 计了接力游戏,用合作的方式完成“求抛物 线 y= 2x2 +4x-4 的顶点坐标”,规则如下:每 人只能看到前一人给的式子,并进行一步 计算,再将结果传递给下一人,最后完成解 答. 过程如图所示: 接力 中, 自 己 负 责 的 一 步 出 现 错 误 的 是(　 　 ) A. 只有丁 B. 乙和丁 C. 乙和丙 D. 甲和丁 6. 如图,平面直角坐标系中有两条抛物线,它 们的顶点 P,Q 都在 x 轴上,平行于 x 轴的 直线与两条抛物线相交于 A,B,C,D 四点, 若 AB = 10,BC = 5,CD = 6,则 PQ 的长度 为(　 　 ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 第 6 题图 　 　 　 第 7 题图 7. 如图,抛物线 y=ax2 +c 经过正方形 OABC 的 三个顶点 A,B,C,点 B 在 y 轴上,则 ac 的值 为(　 　 ) A. -1 B. -2 C. -3 D. -4 二、填空题(每小题 3 分,共 6 分) 8. 新趋势·结论开放 若二次函数的图象同时 满足下列条件:①开口向下;②对称轴是 y 轴;③与 y 轴交于正半轴. 这样的二次函数 的解析式可以是　 　 　 　 　 　 　 　 . (写出 一个即可) 9. (威海三模)在平面直角坐标系 xOy 中,点 (1,m)和点(3,n)在抛物线 y = ax2 +bx(a> 0)上,已知点( -1,y1),(2,y2),(4,y3 )在该 抛物线上. 若 mn< 0,则 y1,y2,y3 的大小关 系为　 　 　 　 . 71 情境期末·ZBB·九年级数学 三、解答题(共 28 分) 10. (9 分)已知:二次函数 y= -x2 +2x+3. (1)将函数关系式化为 y = a( x-h) 2 +k 的 形式,并指出函数图象的对称轴和顶点坐 标; (2)利用描点法画出所给函数的图象; x … -1 0 1 2 3 … y … … (3)当-1<x<2 时,观察图象,直接写出函 数值 y 的取值范围. 11. (9 分)如图,抛物线 y = -x2 +2x+c 经过坐 标原点 O 和点 A,点 A 在 x 轴上. (1)求此抛物线的解析式,并求出顶点 B 的坐标; (2)连接 OB,AB,求 S△OAB; (3)若点 C 在抛物线上,且 S△OAC = 8,求点 C 的坐标. 12. (10 分)已知抛物线 y = ax2 + 9 4 x+c 与 x 轴 交于 A(1,0) 和 B 两点,与 y 轴交于点 C (0,-3) . (1)求此抛物线的函数表达式; (2)点 P 是抛物线在第三象限的一动点, 作 PD⊥x 轴,垂足为 D,连接 PC; ①如图 1,若∠CPD= 45°,求点 P 的坐标; ②如图 2,直线 PD 交直线 BC 于点 E,当点 E 关于直线 PC 的对称点 E′落在 y 轴上 时,直接写出四边形 PECE′的周长. 图 1 　 　 图 2 81 6. B　 【解析】由题意得:DC⊥AC,在 Rt△DBC 中,∠DBC = 45°,DC= x 米,∴ BC= DC tan45° = x. ∵ AB= 30 米,∴ AC= (x+ 30)m,在 Rt△ACD 中,∠DAC = 28°,∴ CD = AC·tan28°, ∴ x=(30+x) tan28°. 故选 B. 7. 75°　 【解析】由题意,得 sinA- 3 2 = 0,1-tanB= 0,∴ sinA= 3 2 ,tanB= 1,∴ ∠A = 60°,∠B = 45°,∴ ∠C = 180°-∠A- ∠B= 75°. 8. 5 -1 2 　 【解析】 ∵ a2 = bc,即 b = a 2 c ,∴ sinB = b c = a 2 c2 = ( a c ) 2,∵ a2 = c2 -b2,∴ c2 -b2 = bc,∴ 1-( b c ) 2 = b c ,令 b c = t,则 1-t2 = t,解得 t = 5 -1 2 (负值舍去),即 b c = sinB,∴ sinB= 5 -1 2 (取正值) . 9. 80 3米　 【解析】过点 A 作 AD⊥CB,垂足为 D,由题意, 得∠ABD= 60°,∠ACD = 30°,∴ ∠CAB = ∠ABD-∠ACD = 30°,∴ ∠CAB = ∠ACD = 30°, ∴ BA = BC = 160 米, 在 Rt△ABD 中,AD=AB·sin60° = 80 3 米,∴ 该主塔的高度 是 80 3米. 10. 解:(1)原式 = ( 1 2 )2 +( 2 2 )2 + 2 × 1 2 × 2 2 = 1 4 + 1 2 + 1 2 = 5 4 ; (2) 原式 = (sin60°-sin30°) 2 = | sin60° - sin30° | = sin60°-sin30° = 3 -1 2 . 11. 解:(1)tanD= AC CD = 2- 3 ,即 tan15° = 2- 3 ; (2)延长 CB 到点 D,使 BD =BA,因为∠ABC = 45°,AB = DB,所以∠D= ∠DAB= 22. 5°. 令 AC = x,则 BC = x,AB = 2 x,所以 BD = AB = 2 x,则 CD = CB+DB = x+ 2 x. 在 Rt△ACD 中,tanD= AC CD = 2 -1,即 tan22. 5° = 2 -1. 12. 解:过点 C 作 CH⊥AB 于点 H,交 DE 于点 G,由题意得: AD =GH =EB = 1. 5 米,AB =DE = 347 米,设 DG = x 米,在 Rt△CDG 中,∠CDG = 37°,∴ CG = DG·tan37°≈0. 75x 米,在 Rt△CGE 中,∠CEG = 45°,∴ △CGE 是等腰直角 三角形,∴ EG = CG = 0. 75x 米. ∵ DG +GE = DE, ∴ x + 0. 75x= 347,解得:x≈198. 3,∴ CH = CG+GH = 0. 75x+ 1. 5≈150(米),答:郑北大桥某组斜拉索最高点 C 到桥 面 AB 的距离约为 150 米. 基础知识抓分练 10 二次函数的图象与性质 1. A 2. A　 【解析】∵ 抛物线开口方向向下,∴ a<0. ∵ 抛物线与 y 轴交于负半轴,∴ c<0,∴ ac>0. ∵ 对称轴 x= - b 2a <0,∴ b <0,∴ bc>0,∴ A(ac,bc)在第一象限. 故选 A. 3. D　 【解析】∵ a>0,∴ 抛物线开口向上,对称轴为直线 x = - 2 a <0,与 y 轴的交点坐标为(0,1),∴ 当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大,当 x<- 2 a 时,y 随 x 的增大而减小,函数图 象一定不经过第四象限,不一定经过第三象限,故只有 D 选项符合题意. 故选 D. 4. B　 5. D 6. B　 【解析】分别作出两条抛物线的对称轴 PM,QN,交 AD 于点 M,N,∴ 四边形 PMNQ 是矩形,∴ MN=PQ. ∵ AB = 10,BC = 5,CD = 6,∴ MA = MC = 1 2 AC = 1 2 (AB+BC)= 15 2 ,BN=ND= 1 2 BD= 1 2 (CD+BC)= 11 2 ,∴ MN = AD-AM- ND=(AB+BC+CD)-AM-ND= 8,∴ PQ= 8. 故选 B. 7. B　 【解析】过 A 作 AH⊥x 轴于 H,∵ 四边形 ABCO 是正 方形,∴ ∠AOB = 45°,∴ ∠AOH = 45°,∴ AH = OH,设 A (m,m),则 B(0,2m),∴ m=am 2 +c 2m= c{ ,解得 am = - 1,m = c 2 ,∴ ac 的值为-2. 故选 B. 8. y= -x2 +1(答案不唯一) 9. y3 >y1 >y2 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【解题技巧】根据点(1,m)和点(3,n)在抛物线 y = ax2 +bx (a>0)上,得出 a+b< 0,3a+b> 0,再根据点(- 1,y1),(2, y2),(4,y3)在该抛物线上,求出 y1 = a-b,y2 = 4a+2b,y3 = 16a+4b,利用作差法比较大小即可. 10. 解:(1)y= -x2 +2x+3 = -(x-1) 2 +4,∴ 二次函数对称轴 为直线 x= 1,顶点坐标为(1,4); (2)列表如下: x … -1 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 函数图象如图所示: (3)由函数图象可知,当-1<x<2 时,0<y≤4. 11. 解:(1)把(0,0)代入 y = -x2 +2x+c 得 c = 0,∴ 抛物线解 析式为 y= -x2 +2x. ∵ y= -x2 +2x= -(x-1) 2 +1,∴ 顶点 B 的坐标为(1,1); (2)当 y= 0 时,-x2 +2x= 0,解得 x1 = 0,x2 = 2,∴ A(2,0), ∴ S△OAB = 1 2 ×2×1 = 1; (3)设 C 点坐标为( t,- t2 + 2t) . ∵ S△OAC = 8,∴ 1 2 × 2 × | -t2 +2t | = 8,即-t2 +2t= 8 或-t2 +2t= -8,解方程-t2 +2t = -8 得 t1 = -2,t2 = 4,∴ C 点坐标为( -2,-8)或(4,-8), 方程-t2 +2t = 8 无实数解,综上所述,C 点坐标为( - 2, -8)或(4,-8) . 12. 解:(1)由题得 c=-3 a+ 9 4 +c=0{ ,∴ a= 3 4 c=-3 { ,∴ y= 34 x2+ 94 x-3; (2)①设直线 PC 交 x 轴于点 E,∵ PD⊥x 轴,∴ PD∥ OC,∴ ∠OCE= ∠CPD= 45°. ∵ ∠COE = 90°,∴ ∠CEO = 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBB·九年级数学　 第 6 页 45°,∴ OE=OC= 3,点 E (3,0) . ∴ 直线 PC 的解析式为 y= x-3. ∵ 3 4 x2 + 9 4 x-3 = x-3,∴ x1 = - 5 3 ,x2 = 0(舍去), 当 x= - 5 3 时,y= -14 3 ,∴ P(- 5 3 ,-14 3 ); ②35 3 　 【解析】 设点 P (m, 3 4 m2 + 9 4 m - 3),四边形 PECE′的周长记作 l,过点 E 作 EF⊥y 轴于点 F. ∵ 点 E 与 E′关于 PC 对称,∴ ∠ECP = ∠PCE′,CE = CE′. ∵ PE ∥y 轴,∴ ∠EPC = ∠PCE′,∴ ∠ECP = ∠EPC,∴ PE = CE,∴ PE = CE′, ∴ 四边形 PECE′为平行四边形, ∴ ▱PECE′为菱形. 当 y= 0 时, 3 4 x2 + 9 4 x-3 = 0,解得 x1 = 1,x2 = -4,∴ B(-4,0) . 又∵ C(0,-3),∴ 直线 BC 的解 析式为 y= - 3 4 x-3,BC = OB2 +OC2 = 5. ∴ E(m,- 3 4 m -3) . ∵ CE=PE,EF∥OB,∴ CE BC = EF OB ,∴ CE 5 = -m 4 ,∴ CE = - 5 4 m. ∵ PE= - 3 4 m-3-( 3 4 m2 + 9 4 m-3)= - 3 4 m2 -3m, ∴ - 5 4 m= - 3 4 m2 -3m,∴ m1 = 0(舍去),m2 = - 7 3 ,∴ CE = 35 12 ,∴ l= 4CE= 35 3 ,即四边形 PECE′的周长为35 3 . 基础知识抓分练 11 二次函数的实际应用 1. A　 2. B 3. D　 【解析】设 y = kx+ b,由图象可知, 20k +b= 20 30k+b= 0{ ,解得 k= -2 b= 60{ ,∴ y= -2x+60;设销售利润为 p,根据题意得,p = (x-10)(-2x+60)= -2x2 +80x-600. ∵ a= -2<0,∴ p 有最 大值,当 x= - 80-2×2 = 20 时,p最大值 = 200. 即当销售单价为 20 元 / 千克时,每天可获得最大利润 200 元. 故选 D. 4. A　 【解析】由题意,∵ 点 A 到 x 轴的距离是 0. 6dm,∴ 令 y= 0. 6,则 y= -0. 1x2 +1 = 0. 6. ∴ x= 2 或 x= -2(舍去) . ∴ A 到 y 轴的距离为 2dm. 又点 A,B 在抛物线上,OA,OB 关 于 y 轴对称,∴ AB= 2×2 = 4(dm) . 故选 A. 5. C　 【解析】令 h= 0,则 20t-5t2 = 0,解得 t1 = 0,t2 = 4,∴ 小 球从飞出到落地用时为 4s,故①正确;h= 20t-5t2 = -5( t2 -4t)= -5( t-2) 2 +20. ∵ -5<0,∴ h 的最大高度为 20m,故 ②正确;令 h= 15,则 20t-5t2 = 15,解得 t1 = 1,t2 = 3,∴ 小 球的飞行高度是 15m 时,小球的飞行时间是 1s 或 3s,故 ③错误. 故选 C. 6. 7　 【解析】∵ OD = 13,∴ 点 D 的坐标为 D(0,13),当 y = 13 时, 4 7 x2 +6 = 13,解得 x = ± 7 2 ,∴ A(- 7 2 ,13),C( 7 2 , 13),∴ AC= 7 2 -(- 7 2 )= 7. 7. ② 8. 40 米 9. 5 16 ≤a≤ 4 5 　 【解析】∵ EM= 21 2 m,EN= 27 2 m,点 E 的坐标 为(- 3 2 ,-10) . ∴ 点 M,N 的坐标分别为(9,-10),(12,- 10) . ∵ A(1, 5 4 ),∴ 可设运动员在空中运动时对应抛物 线的函数解析式为 y=m(x-1) 2 + 5 4 . 又∵ 此时抛物线过 (0,0),∴ m+ 5 4 = 0. ∴ m = - 5 4 . ∴ 运动员在空中运动时 对应抛物线的函数解析式为 y = - 5 4 (x-1) 2 + 5 4 . 令 y = - 10,∴ -10 = - 5 4 ( x- 1) 2 + 5 4 . ∴ x = 4 或- 2(舍去) . ∴ B (4,-10) . ∵ 该运动员入水后运动路线对应的抛物线解 析式为 y=a(x-h) 2 +k,∴ 当抛物线过点 M(9,-10)时,顶 点为(6. 5,- 15) . ∴ 此时 y = a( x- 6. 5) 2 - 15,把 M(9, -10)代入,得 a= 4 5 . 同理,当抛物线过点 N(12,-10)时,a = 5 16 ,由点 D 在 MN 之间得 a 的取值范围为 5 16 ≤a≤ 4 5 . 10. 解:(1)由题意,得该抛物线经过点 A(0,5)和点 B(5, 0),∴ c= 5 -52 +5b+c= 0{ . 解得 b= 4 c= 5{ . ∴ 该抛物线的函数表 达式为 y= -x2 +4x+5. (2)由题意,在 y= -x2 +4x+5 中,令 y = 2,∴ -x2 +4x+5 = 2. ∴ x1 = 2- 　 7 ( 不符合题意,舍去),x2 = 2+ 　 7 . ∴ 小明 走了 (2+　 7 )m 时,头顶刚好碰到这枝垂柳. 11. 解:(1)设 y= kx+b,由表格信息可得 1200 = 12k+b 1000 = 14k+b{ ,解得 k= -100 b= 2400{ ,∴ y 与 x 的函数关系式为 y= -100x+2400; (2)设线下利润为 w1 元,线上利润为 w2 元,根据题意, 得 w1 = y( x- 10) = ( - 100x+ 2400) ( x- 10) = - 100x 2 + 3400x-24000,w2 = 400(x-2-10)= 400x-4800. ①设线上和线下月利润总和为 w 元,根据题意,得 w = w1 + w2 = ( - 100x 2 + 3400x - 24000) + ( 400x - 4800) = -100x2 +3800x-28800 = -100(x-19) 2 +7300,∵ -100<0, 12≤x<24,∴ 当 x= 19 时,w 最大,最大值为 7300 元,答: 当 x 为 19 时,线上和线下月利润总和达到最大,最大利 润为 7300 元; ②12≤x≤20　 　 【解析】线下月利润与线上月利润的 差为 W 元,W = (-100x2 +3400x-24000) -(400x- 4800) = -100( x- 15) 2 + 3300,令 W = 800,则 800 = - 100( x- 15) 2 +3300,解得 x1 = 10,x2 = 20,∴ 当 10≤x≤20 时,W 的值不小于 800,又∵ 12≤x< 24,∴ 线下月利润与线上 月利润的差不低于 800 元时,x 的取值范围是 12 ≤ x ≤20. 追梦专项一　 大题抢分练 1. 解:(1)因式分解,得(x-3)(x+1)= 0,∴ x-3 = 0 或 x+1 = 0,解得 x1 = 3,x2 = -1; (2)∵ a= 2,b= 3,c= -1,b2 -4ac= 32 -4×2×( -1)= 17,∴ x = -3± 17 2×2 ,∴ x1 = -3+ 17 4 ,x2 = -3- 17 4 . 2. (1)证明:∵ Δ=a2 -4(a-1)= a2 -4a+4 = (a-2) 2 ≥0,∴ 该 方程总有两个实数根; (2)解:∵ x2 +ax+a-1 = 0,∴ (x+1)[x+(a-1)] = 0,∴ x+1 = 0 或 x+(a-1)= 0,解得 x1 = -1,x2 = -a+1,∵ 方程的根 都是整数,且其中一个根是另一个根的 3 倍,∴ a 为整 数,-a+1 = 3×(-1)或 3( -a+1) = -1,解得 a1 = 4 或 a2 = 4 3 (舍去),∴ a 的值为 4. 3. 解:(1)y= (200-x)(60+ 4× x 10 ) = - 0. 4(x- 25) 2 + 12250. 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBB·九年级数学　 第 7 页