抓分练9 解直角三角形-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年九年级数学上册（北师大版 河南专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 9　 解直角三角形 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 在 Rt △ABC 中,∠C = 90°,若 sinA = 3 5 ,则 cosB 的值是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 3 4 B. 4 3 C. 3 5 D. 4 5 2. (安徽中考)点( -sin60°,cos60°)关于 y 轴 对称的点的坐标是(　 　 ) A. ( 3 2 , 1 2 ) B. ( - 3 2 , 1 2 ) C. ( - 3 2 ,- 1 2 ) D. ( - 1 2 ,- 3 2 ) 3. 已知在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,tanA = 1 2 ,BC = 8,则 AC 等于(　 　 ) A. 6 B. 16 C. 12 D. 4 4. 生活情境·梯子斜靠 (张家口中考) 如图, 梯子跟地面的夹角为∠α,关于∠α 的三角 函数值与梯子的倾斜程度之间,叙述正确 的是(　 　 ) A. sinα 的值越小,梯子越陡 B. cosα 的值越小,梯子越陡 C. tanα 的值越小,梯子越陡 D. 陡缓程度与∠α 的函数值无关 第 4 题图 　 　 　 第 5 题图 5. 文化情境·数学文化 我国汉代数学家赵爽 在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”如图 所示,它是由四个全等的直角三角形与中间 的小正方形拼成的一个大正方形. 如果大正 方形面积为 25,小正方形面积为 1,则 sinθ= (　 　 ) A. 4 5 B. 3 5 C. 2 5 D. 1 5 6. (佛山模拟)如表是小亮填写的实践活动报 告的部分内容:设树顶到地面的高度 DC = x 米,根据以下条件,可以列出求树高的方程 为(　 　 ) 题目 测量树顶到地面的距离 测量目标 示意图 相关数据 AB = 30 米,∠α = 28°,∠β = 45° A. x= (x-30)tan28° B. x= (30+x)tan28° C. x+30 = xtan28° D. x-30 = xtan28° 二、填空题(每小题 3 分,共 9 分) 7. (威海期末)在△ABC 中,若∠A、∠B 满足 | sinA- 3 2 | + ( 1 - tanB) 2 = 0,则∠C 的度数 为　 　 　 　 . 8. 在△ABC 中,∠C = 90°,a、b、c 分别为∠A、 ∠B、∠C 的对边,若 a2 = bc,则 sinB 的值 为　 　 　 　 . 9. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥,被 誉为“现代世界七大奇迹” 之一的超级工 程,它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的 里程碑之作. 港珠澳大桥主桥为三座大跨 度钢结构斜拉桥,其中九洲航道桥主塔造 型取自“风帆”,寓意“扬帆起航”,某校九年 级学生为了测量该主塔的高度,站在 B 处 看塔顶 A,仰角为 60°,然后向后走 160 米 (BC= 160 米),到达 C 处,此时看塔顶 A,仰 角为 30°,则该主塔的高度是　 　 　 　 . 51 情境期末·ZBB·九年级数学 三、解答题(共 28 分) 10. (8 分)计算: (1)cos260°+cos245°+ 2 sin30°sin45°; (2) sin230°+sin260°-2sin60°sin30° . 11. 数学思想·数形结合 (10 分) (衡阳期末) 阅读以下材料,并按要求完成相应的任 务. 构建几何图形解决代数问题是“数形结 合”思想的重要应用,例如:在计算 tan15° 时,可构造如图 1 所示的图形. 在 Rt△ACB 中,∠C = 90°,∠ABC = 30°,设 AC = x( x> 0),延长 CB 至点 D,使得 BD = AB,连接 AD,易知∠D= 15°,CD=BD+BC=AB+BC= 2x+ 3 x,所以 tan15° = tanD= … 图 1 图 2 任务: (1)请根据上面的步骤,完成 tan15°的计 算; (2)请类比这种方法,计算图 2 中 tan22. 5° 的值. 12. 热点情境·郑北大桥 (10 分) (郑州期末) 郑北大桥横跨亚洲最大铁路编组站,该桥 为独塔双索面钢混凝土结合梁斜拉桥,是 国内同类型桥中桥面最宽的结合梁斜拉 桥. 某数学“综合与实践” 小组的同学把 “测量郑北大桥的某组斜拉索最高点到桥 面的距离作为一项课题活动,进行了探 究,具体过程如下: 【方案设计】如图,分别在 A,B 两点放置测 角仪,测得∠CDE 和∠CED 的度数,并量 出 AB 的距离,即可解决问题; 【数据收集】∠CDE = 37°,∠CED = 45°,AB = 347 米,测角仪 AD 和 BE 的高度为 1. 5 米; 【问题解决】求郑北大桥某组斜拉索最高 点 C 到桥面 AB 的距离. (结果保留整数, 参考数据: sin37° ≈ 0. 6, cos37° ≈ 0. 8, tan37°≈0. 75) 　 　 61 11. 1. 44π　 【解析】如图,由题意得,QB = 0. 8m,OQ = OP- PQ = 3 - 1 = 2 ( m), BQ∥AP, ∴ △OBQ ∽ △OAP,∴ BQ AP = OQ OP ,即0. 8 AP = 2 3 ,解得,AP = 1. 2(m),则地面上阴影部分的面积 = π × 1. 22 = 1. 44π(m) 2 . 12. 解:(1)1　 1　 2　 (2)8　 10 (3)如图所示: 13. 解:(1)点 O、OP 即为所作. (2)由于 BF = DB = 2 米,即∠D = 45°,所以,DP = OP, △COP 中,AE⊥CP,OP⊥CP, ∴ AE∥OP, ∴ △CEA∽ △COP,即CA CP = AE OP ,设 AP= x,OP= h 则 1 1+x = 2 h ,又∵ DP =OP,∴ 2+4+x=h,∴ x= 4,h= 10,∴ 路灯有 10 米高. 基础知识抓分练 8 反比例函数 1. B 2. B　 【解析】由题意,得 k-1>0,则 k>1,∵ 整式 x2 -kx+4 可 以用完全平方公式进行因式分解. ∴ -k = 2×1×2 = ±4,则 k= ±4,故 k= 4,∴ 该反比例函数的表达式为 y = k -1 x = 3 x . 故选 B. 3. A 4. B　 【解析】∵ 反比例函数 y = k x 的图象经过点 A(1,n), ∴ k= 1×n=n,∴ 反比例函数的解析式为 y= n x ,设 B 点的 坐标为(m,m),∵ 反比例函数 y= n x 的图象经过 B 点,∴ m2 =n,∴ 小正方形的面积为 4m2 = 4n,由题意,得 A(1, n),∴ 大正方形在第一象限的顶点坐标为(n,n),∴ 大正 方形的面积为 4n2,∴ S阴影 = S大正方形 -S小正方形 = 4n 2 - 4n = 4(n2 -n) . 故选 B. 5. D　 【解析】D. 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一 个不等于 0 的常数,那么就说这两个变量成反比例,从图 象中得到当水分含量为 0 时,R1 的阻值为 40Ω,此时水 分含量×R1 的阻值为 0,不符合成反比例关系的定义. 故 选 D. 6. 二 7. (8,4)　 【解析】设 OC = a,∵ BC = 2OC = 2CD,∴ BC = 2a, CD=a,∵ 四边形 CDEF 为正方形,∴ CF =EF =CD = a,∴ OF=OC+CF= 2a,∴ 点 E 的坐标为(2a,a),∵ 点 E 在反 比例函数 y= 32 x 的图象上,∴ 2a×a = 32,∴ a1 = 4,a2 = - 4 (不合题意,舍去),∴ 点 E 的坐标为(8,4) . 8. 80 3 　 【解析】根据题意得:10A = 20(A- 20),解得 A = 40, ∴ U2 = 10×40 = 400,∴ P= 400 R ,当 R= 15Ω 时,P= 80 3 ,即当 R= 15Ω 时,P 的值为80 3 W. 9. 解:(1)把点 A(3,2)代入反比例函数 y= k x ,得 2 = k 3 ,解 得 k= 6,∴ 这个反比例函数的表达式为 y= 6 x ; (2)如图: (3)由图知 E(6,4),令 6 x = 4 得,x = 3 2 ,∵ 6- 3 2 = 9 2 ,∴ 矩形 ABCD 向左平移 9 2 个单位时,点 E 落在反比例函数 图象上. 10. 解:(1)设当 20≤x≤45 时,反比例函数的解析式为 y = k x ,将 C(20,45)代入得 45 = k 20 ,解得 k = 900,∴ 反比例 函数的解析式为 y = 900 x . 当 x = 45 时,y = 20,∴ D( 45, 20) . ∵ AD∥x 轴, ∴ A ( 0,20),即点 A 对应的指标值 为 20; (2)能. 理由:当 0≤x≤10 时,设线段 AB 的解析式为 y= mx+n,将 A(0,20)、B(10,45)代入得 20 =n 45 = 10m+n{ ,解得 m= 5 2 n= 20 { ,∴ 线段 AB 的解析式为 y = 52 x+ 20. 当 y≥36 时,解得 x≥ 32 5 . 由( 1) 得反比例函数的解析式为 y = 900 x ,当 y≥36 时,解得 x≤25. ∴ 当32 5 ≤x≤25 时,注意 力指标都不低于 36,而 25- 32 5 = 93 5 > 18,∴ 张老师能确 保学生在听这道综合题的讲解时,注意力指标都不低 于 36. 基础知识抓分练 9 解直角三角形 1. C　 【解析】Rt△ABC 中,∠C = 90°,∴ ∠A+∠B = 90°,∴ cosB= sinA= 3 5 . 故选 C. 2. A　 3. B　 4. B 5. B　 【解析】如图所示. ∵ 大正方形的面积是 25,小正方形面积是 1,∴ 大正方形的边长 AB= 5,小正方形的边长 CD = 1. ∵ AC =BD, ∴ AD=AC+ 1 = BD+ 1,在 Rt△ABD 中,由勾 股定理得 AD2 +BD2 =AB2,∴ (BD+1) 2 +BD2 = 52,解得 BD =AC= 3(负值舍去) . ∴ sinθ=BD AB = 3 5 . 故选 B. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【解后反思】本题考查了三角函数,利用数形结合的思想, 结合勾股定理来解决问题. 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBB·九年级数学　 第 5 页 6. B　 【解析】由题意得:DC⊥AC,在 Rt△DBC 中,∠DBC = 45°,DC= x 米,∴ BC= DC tan45° = x. ∵ AB= 30 米,∴ AC= (x+ 30)m,在 Rt△ACD 中,∠DAC = 28°,∴ CD = AC·tan28°, ∴ x=(30+x) tan28°. 故选 B. 7. 75°　 【解析】由题意,得 sinA- 3 2 = 0,1-tanB= 0,∴ sinA= 3 2 ,tanB= 1,∴ ∠A = 60°,∠B = 45°,∴ ∠C = 180°-∠A- ∠B= 75°. 8. 5 -1 2 　 【解析】 ∵ a2 = bc,即 b = a 2 c ,∴ sinB = b c = a 2 c2 = ( a c ) 2,∵ a2 = c2 -b2,∴ c2 -b2 = bc,∴ 1-( b c ) 2 = b c ,令 b c = t,则 1-t2 = t,解得 t = 5 -1 2 (负值舍去),即 b c = sinB,∴ sinB= 5 -1 2 (取正值) . 9. 80 3米　 【解析】过点 A 作 AD⊥CB,垂足为 D,由题意, 得∠ABD= 60°,∠ACD = 30°,∴ ∠CAB = ∠ABD-∠ACD = 30°,∴ ∠CAB = ∠ACD = 30°, ∴ BA = BC = 160 米, 在 Rt△ABD 中,AD=AB·sin60° = 80 3 米,∴ 该主塔的高度 是 80 3米. 10. 解:(1)原式 = ( 1 2 )2 +( 2 2 )2 + 2 × 1 2 × 2 2 = 1 4 + 1 2 + 1 2 = 5 4 ; (2) 原式 = (sin60°-sin30°) 2 = | sin60° - sin30° | = sin60°-sin30° = 3 -1 2 . 11. 解:(1)tanD= AC CD = 2- 3 ,即 tan15° = 2- 3 ; (2)延长 CB 到点 D,使 BD =BA,因为∠ABC = 45°,AB = DB,所以∠D= ∠DAB= 22. 5°. 令 AC = x,则 BC = x,AB = 2 x,所以 BD = AB = 2 x,则 CD = CB+DB = x+ 2 x. 在 Rt△ACD 中,tanD= AC CD = 2 -1,即 tan22. 5° = 2 -1. 12. 解:过点 C 作 CH⊥AB 于点 H,交 DE 于点 G,由题意得: AD =GH =EB = 1. 5 米,AB =DE = 347 米,设 DG = x 米,在 Rt△CDG 中,∠CDG = 37°,∴ CG = DG·tan37°≈0. 75x 米,在 Rt△CGE 中,∠CEG = 45°,∴ △CGE 是等腰直角 三角形,∴ EG = CG = 0. 75x 米. ∵ DG +GE = DE, ∴ x + 0. 75x= 347,解得:x≈198. 3,∴ CH = CG+GH = 0. 75x+ 1. 5≈150(米),答:郑北大桥某组斜拉索最高点 C 到桥 面 AB 的距离约为 150 米. 基础知识抓分练 10 二次函数的图象与性质 1. A 2. A　 【解析】∵ 抛物线开口方向向下,∴ a<0. ∵ 抛物线与 y 轴交于负半轴,∴ c<0,∴ ac>0. ∵ 对称轴 x= - b 2a <0,∴ b <0,∴ bc>0,∴ A(ac,bc)在第一象限. 故选 A. 3. D　 【解析】∵ a>0,∴ 抛物线开口向上,对称轴为直线 x = - 2 a <0,与 y 轴的交点坐标为(0,1),∴ 当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大,当 x<- 2 a 时,y 随 x 的增大而减小,函数图 象一定不经过第四象限,不一定经过第三象限,故只有 D 选项符合题意. 故选 D. 4. B　 5. D 6. B　 【解析】分别作出两条抛物线的对称轴 PM,QN,交 AD 于点 M,N,∴ 四边形 PMNQ 是矩形,∴ MN=PQ. ∵ AB = 10,BC = 5,CD = 6,∴ MA = MC = 1 2 AC = 1 2 (AB+BC)= 15 2 ,BN=ND= 1 2 BD= 1 2 (CD+BC)= 11 2 ,∴ MN = AD-AM- ND=(AB+BC+CD)-AM-ND= 8,∴ PQ= 8. 故选 B. 7. B　 【解析】过 A 作 AH⊥x 轴于 H,∵ 四边形 ABCO 是正 方形,∴ ∠AOB = 45°,∴ ∠AOH = 45°,∴ AH = OH,设 A (m,m),则 B(0,2m),∴ m=am 2 +c 2m= c{ ,解得 am = - 1,m = c 2 ,∴ ac 的值为-2. 故选 B. 8. y= -x2 +1(答案不唯一) 9. y3 >y1 >y2 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【解题技巧】根据点(1,m)和点(3,n)在抛物线 y = ax2 +bx (a>0)上,得出 a+b< 0,3a+b> 0,再根据点(- 1,y1),(2, y2),(4,y3)在该抛物线上,求出 y1 = a-b,y2 = 4a+2b,y3 = 16a+4b,利用作差法比较大小即可. 10. 解:(1)y= -x2 +2x+3 = -(x-1) 2 +4,∴ 二次函数对称轴 为直线 x= 1,顶点坐标为(1,4); (2)列表如下: x … -1 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 函数图象如图所示: (3)由函数图象可知,当-1<x<2 时,0<y≤4. 11. 解:(1)把(0,0)代入 y = -x2 +2x+c 得 c = 0,∴ 抛物线解 析式为 y= -x2 +2x. ∵ y= -x2 +2x= -(x-1) 2 +1,∴ 顶点 B 的坐标为(1,1); (2)当 y= 0 时,-x2 +2x= 0,解得 x1 = 0,x2 = 2,∴ A(2,0), ∴ S△OAB = 1 2 ×2×1 = 1; (3)设 C 点坐标为( t,- t2 + 2t) . ∵ S△OAC = 8,∴ 1 2 × 2 × | -t2 +2t | = 8,即-t2 +2t= 8 或-t2 +2t= -8,解方程-t2 +2t = -8 得 t1 = -2,t2 = 4,∴ C 点坐标为( -2,-8)或(4,-8), 方程-t2 +2t = 8 无实数解,综上所述,C 点坐标为( - 2, -8)或(4,-8) . 12. 解:(1)由题得 c=-3 a+ 9 4 +c=0{ ,∴ a= 3 4 c=-3 { ,∴ y= 34 x2+ 94 x-3; (2)①设直线 PC 交 x 轴于点 E,∵ PD⊥x 轴,∴ PD∥ OC,∴ ∠OCE= ∠CPD= 45°. ∵ ∠COE = 90°,∴ ∠CEO = 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBB·九年级数学　 第 6 页