抓分练4 成比例线段、平行线分线段成比例、相似多边形&抓分练5 相似三角形的性质及判定-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年九年级数学上册（北师大版 河南专用）

(3)移项,得 x2 - 3x- 1 = 0,a = 1,b = - 3,c = - 1,则 Δ = (-3) 2 -4×1×( - 1) = 13> 0,所以 x = 3± 13 2 ,所以 x1 = 3+ 13 2 ,x2 = 3- 13 2 . 11. (1)证明:∵ Δ= [-(m+1)] 2 -4×2(m-1)= (m-3) 2 ≥0, ∴ 无论 m 取何值,这个方程总有实数根; (2)解:∵ 等腰△ABC 的一腰长 a = 6,∴ 方程有一个根 为 6. 将 x= 6 代入原方程,得 36-6(m+1)+2(m-1)= 0. 解得 m= 7. ∴ 原方程为 x2 -8x+12 = 0. 解得 x1 = 2,x2 = 6. ∵ 2、6、6 能组成三角形,∴ 该三角形的周长为 2+ 6+ 6 = 14. 12. 解:(1)设每次下降的百分率为 a,根据题意,得 64(1- a) 2 = 49,解得 a1 = 1. 875(舍去),a2 = 0. 125 = 12. 5%,即 每次下降的百分率为 12. 5%; (2)设每千克应涨价 x 元,由题意得:(10+x)(500-40x) = 4 500,整理,得 2x2 - 5x- 25 = 0,解得 x1 = 5,x2 = -2. 5 (不合题意,舍去). ∴ 该商场要保证每天盈利 4 500 元, 那么每千克应涨价 5 元. 13. 解:(1)设点 P,Q 运动的时间为 t s,则 AP = tcm,BP = (6 -t)cm,BQ= 2tcm,在 Rt△BPQ 中,根据勾股定理得 BP2 +BQ2 =PQ2 = (3 5 ) 2 = 45,即(6-t) 2 +(2t) 2 = 45,解得 t = 3 或 t= - 3 5 (舍去) . 故 3s 后,PQ 的长度为 3 5 cm; (2)由 S△PBQ = 1 2 BP×BQ= 8,得 1 2 (6-t)·2t= 8,解得 t= 2 或 t= 4. 故 2s 或 4s 后,△PBQ 的面积等于 8cm2 ; (3)不能. 理由如下:当 S△PBQ = 14 时,即 1 2 BP×BQ = 14, ∴ 1 2 (6-t)·2t= 14,整理,得 t2 -6t+14 = 0,∵ Δ = ( -6) 2 -4×14 = -20<0,∴ 方程没有实数根,∴ △PBQ 的面积不 可能等于 14 cm2 . 基础知识抓分练 3 概率的进一步认识 1. C　 2. A　 3. B 4. D　 【解析】画树状图可知,共有 12 种等可能的结果,其 中两人恰好介绍“红旗渠”和“清明上河园”的结果有 2 种,∴ 两人恰好介绍“红旗渠”和“清明上河园”的概率为 2 12 = 1 6 . 故选 D. 5. C　 【解析】∵ 通过大量重复试验后发现,蓝球出现的频 率稳定于 0. 6,∴ n 2+1+1+n = 0. 6. 解得 n = 6. 经检验是原 方程的解. 故选 C. 6. 1 2 7. 15　 【解析】由题意,得白球的个数为 50×0. 3 = 15(个) . 【变式】 6　 【解析】设木箱中蓝球有 x 个,根据题意得: 9 9+x = 0. 6,解得 x= 6,经检验 x = 6 是原方程的解,则估计 木箱中蓝球有 6 个. 8. 7 12 9. 解:(1)画树状图如下: 一共有 6 种等可能的结果,组成的两位数是奇数的有 13,23,21,31 共 4 种情况,组成的两位数是奇数的概率为 4 6 = 2 3 ; (2)不公平. 理由如下:∵ 组成的两位数是 4 的倍数的有 2 种情况,∴ P(小明得 3 分)= 2 6 = 1 3 ,P(小华得 3 分)= 4 6 = 2 3 ,∴ 该游戏不公平. 可改游戏规则为:组成的两位 数是 4 的倍数,小明得 2 分,否则小华得 1 分. 10. 解:(1)列表如下: A B C D A (A,A) (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,B) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,C) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) (D,D) (2)由表知,共有 16 种等可能结果,其中两个国家选到 同一个领域的有 4 种等可能结果,所以两个国家选到同 一个领域的概率为 4 16 = 1 4 . 基础知识抓分练 4 成比例线段、平行线分线段成比例、相似多边形 1. B 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】相似多边形就是形状相同的两个图形,即对 应边的比相等,对应角相等的两个图形,依据定义即可进 行判断. 2. D　 【解析】∵ a 4 = b 3 ,∴ a b = 4 3 ,∴ a -b b = a b - 1 = 1 3 . 故 选 D. 3. A 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【解题技巧】相似多边形对应边之比、周长之比等于相似 比,而面积之比等于相似比的平方. 4. C　 【解析】设 P 点表示的数为 x,则根据平行线分线段成 比例可得 x 10-x = 2-1 4-2 ,解得 x= 10 3 ,经检验,x= 10 3 是分式方 程的解且符合实际意义,即 P 点表示的数为10 3 . 故选 C. 5. D　 【解析】由图形知,扩张后的长方形宽为 4cm,设长为 x cm,∵ 矩形 A′B′C′D′∽矩形 ABCD,∴ 2 3 = 4 x ,∴ x = 6, ∴ 扩张后的长方形长为 6cm,原长方形的周长为 2×(2+ 3)= 10( cm),扩张后长方形的周长为 2 × ( 4 + 6) = 20 (cm),20 - 10 = 10 ( cm),∴ 这根铁丝需增加 10cm. 故 选 D. 6. 2 3 7. 1 3 　 【解析】∵ l1∥l2∥l3,AB = 2BC,∴ BC AB = EF DE = 1 2 ,∴ EF DF 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBB·九年级数学　 第 3 页 = 1 3 . 8. 1 + 3 2 或 2　 【解析】∵ 四边形 ABFE 是正方形,∴ DE =AD -AB,由题意,得AB AD = DE 1 2 AB ,即AB AD = AD-AB 1 2 AB ,整理得,2AD2 -2AD·AB-AB2 = 0,解得 AD= 1 + 3 2 AB,AD = 1 - 3 2 AB(舍 去),∴ AD AB = 1+ 3 2 ,或AB AD = 1 2 AB DE ,AB AD = 1 2 AB AD-AB ,整理得 AD = 2AB,∴ AD ∶ AB= 2,综上所述,AD AB = 1+ 3 2 或 2. 9. 解:∵ 四边形 ABCD∽四边形 EFGH,∠B= 77°,∠C= 83°, ∴ ∠F = ∠B = 77°, ∠G = ∠C = 83°, AB EF = BC FG , ∵ ∠E = 117°,∴ ∠H= 360°-77°-83°-117° = 83°,∵ AB = 18,EF = 4,FG= 6,∴ 18 4 =BC 6 ,解得 BC= 27. 基础知识抓分练 5 相似三角形的性质及判定 1. C　 2. C 3. C　 【解析】∵ AB = 2AE,AC = 2AD,∴ AD AC = AE AB = 1 2 ,而∠A =∠A,∴ △ADE∽△ACB,∴ AD AC =DE BC ,∵ AC= 2AD,DE= 3, ∴ 1 2 = 3 BC ,∴ BC= 6. 故选 C. 4. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ OC= 1 2 AC, ∵ 点 E 为 OC 的中点,∴ CE= 1 2 OC= 1 4 AC,∵ EF∥AB,∴ △CEF∽△CAB,∴ EF AB =CE AC ,即EF 4 = 1 4 ,∴ EF= 1. 故选 B. 5. A 6. B 　 【解析】 ∵ ∠B = ∠CPQ, ∠C = ∠C, ∴ △CAB ∽ △CQP,∵ CP BP = 3 5 ,∴ CP CB = 3 8 ,∴ △CPQ 与△CAB 的面积 比为( 3 8 ) 2 = 9 64 ,∴ △CPQ 与四边形 ABPQ 的面积比为 9 64-9 = 9 55 . 故选 B. 7. 8 8. 10　 【解析】 ∵ DE 是△ABC 的中位线,BC = 8,∴ DE = 1 2 BC= 4,DE∥BC,∴ △FBM∽△FDE,∴ BM DE = BF DF ,即BM 4 = 1 2 ,解得 BM= 2,∴ CM=BM+BC= 10. 9. 45　 【解析】∵ AB⊥DE,BC⊥AB,∴ DE∥BC,∴ △ADE∽ △ABC,∴ AD AB = DE BC ,∵ BD = 15m,BC = 40m,DE = 30m,∴ AD AD+15 = 30 40 ,解得 AD= 45m. 10. (1)证明:∵ △ABC 是等边三角形,∴ ∠B= ∠C = 60°,∴ ∠BDP= 120°-∠BPD,∵ ∠DPE= 60°,∴ ∠CPE= 180°- ∠DPE- ∠BPD = 120° - ∠BPD, ∴ ∠BDP = ∠CPE, ∴ △BPD∽△CEP. (2)解:由题意,得 BC = AB = 10,∴ BP = 4 5 BC = 8,CP = 1 5 BC= 2,∵ △BPD∽△CEP,∴ BP CE = BD CP ,∴ CE = 8 ×2 3 = 16 3 ,∴ CE 的长是16 3 . 11. 解:连接 CD,由题意得:AB⊥BF,DO⊥BF,∴ ∠ABO = ∠DOE= 90°,∵ ∠BEA = ∠OED,∴ △ABE∽△DOE,∴ AB OD =BE OE ,即AB 1 = OB+0. 8 0. 8 ,∴ AB = 5 4 OB+ 1. ∵ ∠CFO = ∠AFB, ∴ △ABF ∽ △COF, ∴ AB CO = BF OF , 即 AB 1+1. 5 = OB+5 5 ,∴ AB= 1 2 OB+ 5 2 ,∴ 5 4 OB+ 1 = 1 2 OB+ 5 2 ,解得 OB= 2,∴ AB= 5 4 × 2+ 1 = 7 2 ( m),∴ 围墙 AB 的高度为 7 2 m. 基础知识抓分练 6 图形的位似 1. C 2. B　 【解析】由题意,得位似比为 2 ∶ 3,∴ AB A′B′ = 2 3 ,∵ AB = 6,∴ A′B′= 9. 故选 B. 3. D 4. B　 【解析】设点 B 的横坐标为 x,则 B、C 间的横坐标的 长度为-2-x,B′、C 间的横坐标的长度为 m+ 2. ∵ △ABC 放大到原来的 2 倍得到△A′B′C,∴ 2(-2-x)= m+2,解得 x= -m +6 2 . 故选 B. 5. (6,2)　 6. (2,0)　 7. 8 8. 解:(1)如图,△A1B1C1 为所作,C1 点坐标为(3,2); (2)如图,△A2B2C2 为所作,C2 点坐标为(-6,4); (3)点 D(a,b)的对应点 D2 的坐标为(2a,2b) . 基础知识抓分练 7 投影与视图 1. A　 2. C　 3. B 4. A　 【解析】∵ BE∥AD,∴ △BCE∽△ACD,∴ CB CA = CE CD ,即 BC AB+BC = EC EC+DE 且 BC = 1,DE = 1. 8,EC = 1. 2,∴ 1 AB+1 = 1. 2 1. 2+1. 8 ,∴ 1. 2AB= 1. 8,∴ AB= 1. 5m. 故选 A. 5. B 6. B　 【解析】由三视图可得,几何体是空心圆柱,其小圆半 径是 1,大圆半径是 2,则大圆面积为 π× 22 = 4π,小圆面 积为:π×12 = π,故这个几何体的体积为:6× 4π- 6×π = 24π-6π = 18π. 故选 B. 7. 中心投影　 8. 5 9. 6π　 10. 主 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBB·九年级数学　 第 4 页 追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 4　 成比例线段、平行线分线段成比例、相似多边形 一、选择题(每小题 3 分,共 15 分) 1. (焦作期末)下列结论不正确的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 所有的正方形都相似 B. 所有的菱形都相似 C. 所有的等腰直角三角形都相似 D. 所有的正五边形都相似 2. 已知 a 4 = b 3 ,则a -b b 的值是(　 　 ) A. 3 4 B. 4 3 C. 3 D. 1 3 3. (成都模拟)两个相似多边形的周长比是 2 ∶3,其中较小多边形的面积为 4 cm2,则较 大多边形的面积为(　 　 ) A. 9 cm2 B. 16 cm2 C. 56 cm2 D. 24 cm2 4. (海南一模)如图是某位同学用带有刻度的 直尺在数轴上作图的方法,若图中的虚线 相互平行,则点 P 表示的数是(　 　 ) A. 2 B. 2 C. 10 3 D. 5 第 4 题图 　 　 　 第 5 题图 5. 把一根铁丝首尾相接围成一个长为 3 cm, 宽为 2 cm 的矩形 ABCD,要将它按如图所 示的方式向外扩张得到矩形 A′B′C′D′,使 矩形 A′B′C′D′∽矩形 ABCD,则这根铁丝需 增加(　 　 ) A. 3. 5 cm B. 5 cm C. 7 cm D. 10 cm 二、填空题(每小题 3 分,共 9 分) 6. 已知 a b = c d = 2 3 ,则2a +3c 2b+3d = 　 　 　 　 . 7. (上海期末)如图,已知直线 l1、l2、l3 分别交 直线 m 于点 A、B、C、交直线 n 于点 D、E、F, 如果 l1 ∥l2 ∥l3, AB = 2BC, 那么 EF ∶ DF = 　 　 　 　 . 第 7 题图 　 　 　 第 8 题图 8. 数学思想·分类讨论 如图, 在 矩形 ABCD 中,截去一个正方形 ABFE 后,使剩下的矩 形对折后与原矩形相似,那么原矩形中AD AB = 　 　 　 　 . 三、解答题(共 6 分) 9. (6 分)如图,四边形 ABCD∽四边形 EFGH. 若 AB= 18,EF = 4,FG = 6,∠B = 77°,∠C = 83°,∠E= 117°,求线段 BC 的长和∠H 的大 小. 　 　 7 情境期末·ZBB·九年级数学 基础知识抓分练 5　 相似三角形的性质及判定 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 文化情境·数学文化 如图,比例规是伽利略 发明的一种画图工具,使用它可以把线段 按一定的比例伸长或缩短. 它是由长度相 等的两脚 AD 和 BC 交叉构成的. 如果把比 例规的两脚合上,使螺丝钉固定在刻度 3 的 地方(即同时使 OA = 3OD,OB = 3OC),然后 张开两脚,使 A,B 两个尖端分别在线段 l 的 两个端点上,若量得 CD 的长度,便可知 AB 的长度.本题依据的主要数学原理是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 三边成比例的两个三角形相似 B. 两边及其夹角分别对应相等的两个三角 形全等 C. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相 似 D. 平行线分线段成比例 第 1 题图 　 　 　 第 2 题图 2. 如图,已知∠1 = ∠2,那么添加下列的一个 条件后, 仍无法判定 △ABC ∽ △ADE 的 是(　 　 ) A. AB AD =AC AE B. ∠B= ∠D C. AB AD =BC DE D. ∠C= ∠AED 3. 如图,在△ABC 中,点 D、E 分别是 AB、AC 上的点,连接 DE,AB= 2AE,AC= 2AD,若 DE = 3,则 BC 的长为(　 　 ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 2 第 3 题图 　 　 第 4 题图 4. (河南中考) 如图,在▱ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,点 E 为 OC 的中点,EF ∥AB 交 BC 于点 F. 若 AB = 4,则 EF 的长 为(　 　 ) A. 1 2 B. 1 C. 4 3 D. 2 5. (重庆三模)如图,在平面直角坐标系中, △ABC∽△ODC,其中点 A 的坐标为( - 2, 0), 点 C 的坐标为 ( 1, 0 ), 则 △ABC 与 △ODC 的面积比是(　 　 ) A. 9 ∶1 B. 3 ∶1 C. 4 ∶1 D. 2 ∶1 第 5 题图 　 　 　 第 6 题图 6. 如图,在△ABC 中,P 是边 BC 上一点,按以 下步骤作图:①以点 B 为圆心,以适当长为 半径作弧,分别交 AB,BC 于点 E,F;②以点 P 为圆心,以 BE 长为半径作弧,交 PC 于点 F′;③以点 F′为圆心,以 EF 长为半径作弧, 在∠ACB 内部交前面的弧于点 E′;④连接 PE′交 AC 于点 Q. 若CP BP = 3 5 ,则△CPQ 与四 边形 ABPQ 的面积比为(　 　 ) A. 9 64 B. 9 55 C. 9 25 D. 9 16 二、填空题(每小题 3 分,共 9 分) 7. (上海一模)已知△ABC∽△A1B1C1,顶点 A、B、C 分别与 A1、B1、C1 对应,AC= 12,A1C1 = 9,∠A1 的平分线的长为 6,那么∠A 的平 分线的长为　 　 　 　 . 8 追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 8. 如图,DE 是△ABC 的中位线,点 F 在 DB 上,DF= 2BF,连接 EF 并延长,与 CB 的延 长线交于点 M. 若 BC = 8,则线段 CM 的长 为　 　 　 　 . 第 8 题图 　 　 　 第 9 题图 9. (吉林四模)如图,为了估算河的宽度,小明 采用的办法是:在河的对岸选取一点 A,在 近岸取点 D、B,使点 A、D、B 在一条直线上, 且与河的边沿 DE 垂直,然后又在垂直于 AB 的直线上取一点 C,测得 BD = 15 m,BC = 40 m. 如果 DE = 30 m, 则河宽 AD 为 　 　 　 　 m. 三、解答题(共 18 分) 10. (9 分)如图,在等边三角形 ABC 中,点 P 是边 BC 上一动点(P 点不与端点重合), 作∠DPE= 60°,PE 交边 AC 于点 E,PD 交 边 AB 于点 D. (1)求证:△BPD∽△CEP; (2)若 AB= 10,BD= 3,CP ∶BP= 1 ∶4,求 CE 的长. 11. (9 分)(烟台期末)根据以下材料,完成探 究任务. 利用相似三角形测高 发现、 提出 问题 　 　 周末,数学老师组织同学们 来到湿地公园开展“利用相似三 角形测高” 的综合实践活动. 如 图,在公园某处,他们发现一个简 易工具房前有一堵围墙 AB,同学 们提出问题如下:围墙 AB 的高度 是多少米? 分析 问题 　 　 结合课本上“利用相似三角 形测高”的知识,同学们进行了如 下操作:①当阳光恰从围墙最高 点 A 经窗户点 C 处射进房间地面 F 点时,测得 OF = 5 m;②当阳光 恰从围墙最高点 A 经窗户点 D 处 射进地面 E 点时,测得 OE = 0. 8 m. 此外,还测得:窗高 CD = 1. 5 m,窗户距地面的高度 OD= 1 m. 解决 问题 　 　 请利用上述数据,求出围墙 AB 的高度. 9