抓分练2 一元二次方程-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年九年级数学上册（北师大版 河南专用）

∴ x - 1 = 1 2 x, 解 得 x = 2, ∴ BC = AD = 2, ∴ OA = AB2 -OB2 = 3,∴ D(-2, 3) . 故选 B. 4. B　 【解析】∵ PE⊥AB,PF⊥AC,∠BAC = 90°,∴ ∠EAF = ∠AEP= ∠AFP= 90°,∴ 四边形 AEPF 是矩形,∴ EF,AP 互相平分. 且 EF=AP,∴ EF,AP 的交点就是 M 点,∵ 当 AP 的值最小时,AM 的值就最小,∴ 当 AP⊥BC 时,AP 的 值最小,即 AM 的值最小. ∵ 1 2 AP·BC = 1 2 AB·AC,∴ AP×BC= AB×AC,在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得 BC = AB2 +AC2 = 10,∵ AB = 6,AC = 8,∴ 10AP = 6× 8,∴ AP = 4. 8,∴ AM= 2. 4. 故选 B. 5. C　 【解析】延长 AE 交 BC 的延长线于点 N,∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AD∥BC. ∴ ∠DAE = ∠CNE. ∵ AE 平 分∠DAM,∴ ∠DAE = ∠MAE. ∴ ∠CNE = ∠MAE. ∴ AM = MN. ∵ E 是 CD 边的中点,∴ DE =CE,在△ADE 和△NCE 中, ∠DAE= ∠CNE ∠AED= ∠NEC DE=CE { ,∴ △ADE≌△NCE,∴ AD =NC,AE = EN,∴ AM = MN = NC+MC = AD+MC,故④正确,∵ AM = MN,AE=EN,∴ EM⊥AE,ME 平分∠AMC,故①②正确, 若∠DAE= 30°,则∠MAE = 30°,∴ ∠BAM = 30°,∵ ∠B = ∠AEM= 90°,AM = AM,∴ △ABM≌△AEM,∴ AB = AE,与 AE>AD=AB 互相矛盾,故③错误. 故选 C. 6. AC=BD(答案不唯一) 7. 14　 【解析】∵ 菱形 ABCD,∴ AC⊥BD,OB =OD,OA=OC, ∵ AB= 5,AC= 6,∴ OA= 3,∴ OB= AB2 -OA2 = 4,∴ OC = 3,OD= 4,∵ CE∥BD,DE∥AC,∴ 四边形 CODE 为平行四 边形,∵ AC⊥BD,∴ ∠COD = 90°,∴ 平行四边形 CODE 为矩形,∴ 四边形 CODE 的周长为 2×(4+3)= 14. 8. 24 5 　 【解析】连接 BP,由题意,得 BA = BC = 5,S△ABC = 1 2 S菱形ABCD = 12,∵ S△ABC =S△PAB+S△PBC,∴ 1 2 ×5×PE+ 1 2 ×5 ×PF= 12,∴ PE+PF= 24 5 . 9. 5 2 或 5 　 【解析】 ∵ ∠C = 90°,AC = 6,BC = 8,∴ AB = 62 +82 = 10,∵ 点 D 为 AB 的中点,∴ AD =BD = 1 2 AB = 5,如图 1,DB′⊥BC,垂足为点 E,则∠DEB = ∠PEB′ = 90°,∵ ∠DEB = ∠C = 90°,∴ DE∥AC,∴ CE BE = AD BD = 1,∴ CE=BE= 1 2 BC= 4,∴ DE = 1 2 AC = 3,由折叠得 B′D = BD = 5,∴ EB′ = B′D-DE = 5- 3 = 2,∵ EB′2 +PE2 = B′P2,且 PB′=PB,PE= 4-PB,∴ 22 +(4-PB) 2 =PB2,解得 PB= 5 2 ; 如图 2,DB′⊥AC,∵ BC⊥AC,∴ DB′∥BC,∴ ∠ADB′ = ∠B,由折叠得∠B′ = ∠B,∴ ∠B′ = ∠ADB′,∴ PB′∥BD, ∴ 四边形 PBDB′是平行四边形,∵ B′D = BD,∴ 四边形 PBDB′是菱形,∴ PB = BD = 5,综上所述,PB 的长为 5 2 或 5. 图 1 　 图 2 10. 解:( 1) 四边形 ADCE 为矩形. 理由如下: ∵ 四边形 ABDE 为平行四边形,∴ AE∥BD 且 AE = BD. ∵ D 为 BC 的中点,∴ BD=CD,∴ AE=CD. 由题意,得 AE∥BD,∴ 四 边形 ADCE 为平行四边形. ∵ AB = AC,D 为 BC 的中点, ∴ AD⊥BC,∴ ∠ADC= 90°. ∵ 四边形 ADCE 为平行四边 形,∴ 四边形 ADCE 为矩形. (2)①4+4 3 　 【解析】∵ ∠DAB= 30°且 AB= 4,∠ADB = ADC= 90°,∴ BD= 2 =CD,AD= 42 -22 = 2 3,∵ 四边形 ADCE 为矩形,∴ 四边形 ADCE 的周长为 2×(2+2 3)= 4 +4 3; ②正方形 11. 解:(1)矩形的四个角都是直角　 　 矩形的对边平行 剩余过程如下:∴ ∠DAF= ∠DFA,∴ AD =FD,∴ AD = AE =FD=FE,∴ 四边形 AEFD 是菱形. 又∵ ∠D = 90°,∴ 四 边形 AEFD 是正方形; (2)NF = ND′,证明如下:连接 HN. 由 ( 1) 得:四边形 AEFD 是正方形,∴ ∠EFD = 90°,由折叠的性质得:HD′ =HD = HF, ∠AD′ H = ∠D = 90°, ∴ ∠HD′N = 90°, 在 Rt△HNF 和 Rt △HND′中, HN =HN HF=HD′{ , ∴ Rt △HNF ≌ Rt△HND′(HL),∴ NF=ND′; (3)由(2)得:FN=ND′,设 FN=ND′= x cm,由(1)得:四 边形 AEFD 是正方形,∴ AE=EF=AD= 8cm,由折叠性质 得:AD′=AD= 8cm,∴ NE =EF-FN = (8-x) cm,AN = (8+ x)cm,在 Rt△AEN 中,由勾股定理得:AE2 +NE2 =AN2 ,即 82 +(8-x) 2 = (8+x) 2 ,解得 x= 2,∴ NE= 8-x= 6. 基础知识抓分练 2 一元二次方程 1. D 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】一元二次方程定义:含有一个未知数、未知数 的最高次数是 2 的整式方程,根据定义逐项判定即可得 到答案. 2. C 3. D　 【解析】根据题意得 16 -4(m-2)×2≥0 m-2≠0{ ,解得 m≤4 且 m≠2. 故选 D. 【变式】A　 【解析】根据题意得 Δ= b2 -4ac= (-2) 2 -4(k+ 1)>0,解得 k<0,∴ 一次函数 y = kx+k 的图象经过第二、 三、四象限,不经过第一象限. 故选 A. 4. D　 【解析】由题意,得 x-3 = 0,解得 x = 3,把 x = 3 代入方 程得 9-3p-6 = 0,解得 p= 1. 故选 D. 5. C 6. x2 -4 = 0(答案不唯一) 　 7. -3 8. -11　 【解析】根据题意得 b = -3 1-a+b= 0{ ,解得 a= -2 b= -3{ ,所以 方程为 x2 -2x-3 = 0,所以 4a+b= -11. 9. 5 10. 解:(1)因式分解,得(x+3)(x+5)= 0,则 x+3 = 0 或 x+5 = 0,所以 x1 = -3,x2 = -5; (2)两边同除以 2,得 x2 -2x- 3 2 = 0. 移项,得 x2 -2x= 3 2 , 配方,得(x-1) 2 = 5 2 ,两边开平方,得 x-1 = ± 10 2 ,所以 x1 = 1+ 10 2 ,x2 = 1- 10 2 ; 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBB·九年级数学　 第 2 页 (3)移项,得 x2 - 3x- 1 = 0,a = 1,b = - 3,c = - 1,则 Δ = (-3) 2 -4×1×( - 1) = 13> 0,所以 x = 3± 13 2 ,所以 x1 = 3+ 13 2 ,x2 = 3- 13 2 . 11. (1)证明:∵ Δ= [-(m+1)] 2 -4×2(m-1)= (m-3) 2 ≥0, ∴ 无论 m 取何值,这个方程总有实数根; (2)解:∵ 等腰△ABC 的一腰长 a = 6,∴ 方程有一个根 为 6. 将 x= 6 代入原方程,得 36-6(m+1)+2(m-1)= 0. 解得 m= 7. ∴ 原方程为 x2 -8x+12 = 0. 解得 x1 = 2,x2 = 6. ∵ 2、6、6 能组成三角形,∴ 该三角形的周长为 2+ 6+ 6 = 14. 12. 解:(1)设每次下降的百分率为 a,根据题意,得 64(1- a) 2 = 49,解得 a1 = 1. 875(舍去),a2 = 0. 125 = 12. 5%,即 每次下降的百分率为 12. 5%; (2)设每千克应涨价 x 元,由题意得:(10+x)(500-40x) = 4 500,整理,得 2x2 - 5x- 25 = 0,解得 x1 = 5,x2 = -2. 5 (不合题意,舍去). ∴ 该商场要保证每天盈利 4 500 元, 那么每千克应涨价 5 元. 13. 解:(1)设点 P,Q 运动的时间为 t s,则 AP = tcm,BP = (6 -t)cm,BQ= 2tcm,在 Rt△BPQ 中,根据勾股定理得 BP2 +BQ2 =PQ2 = (3 5 ) 2 = 45,即(6-t) 2 +(2t) 2 = 45,解得 t = 3 或 t= - 3 5 (舍去) . 故 3s 后,PQ 的长度为 3 5 cm; (2)由 S△PBQ = 1 2 BP×BQ= 8,得 1 2 (6-t)·2t= 8,解得 t= 2 或 t= 4. 故 2s 或 4s 后,△PBQ 的面积等于 8cm2 ; (3)不能. 理由如下:当 S△PBQ = 14 时,即 1 2 BP×BQ = 14, ∴ 1 2 (6-t)·2t= 14,整理,得 t2 -6t+14 = 0,∵ Δ = ( -6) 2 -4×14 = -20<0,∴ 方程没有实数根,∴ △PBQ 的面积不 可能等于 14 cm2 . 基础知识抓分练 3 概率的进一步认识 1. C　 2. A　 3. B 4. D　 【解析】画树状图可知,共有 12 种等可能的结果,其 中两人恰好介绍“红旗渠”和“清明上河园”的结果有 2 种,∴ 两人恰好介绍“红旗渠”和“清明上河园”的概率为 2 12 = 1 6 . 故选 D. 5. C　 【解析】∵ 通过大量重复试验后发现,蓝球出现的频 率稳定于 0. 6,∴ n 2+1+1+n = 0. 6. 解得 n = 6. 经检验是原 方程的解. 故选 C. 6. 1 2 7. 15　 【解析】由题意,得白球的个数为 50×0. 3 = 15(个) . 【变式】 6　 【解析】设木箱中蓝球有 x 个,根据题意得: 9 9+x = 0. 6,解得 x= 6,经检验 x = 6 是原方程的解,则估计 木箱中蓝球有 6 个. 8. 7 12 9. 解:(1)画树状图如下: 一共有 6 种等可能的结果,组成的两位数是奇数的有 13,23,21,31 共 4 种情况,组成的两位数是奇数的概率为 4 6 = 2 3 ; (2)不公平. 理由如下:∵ 组成的两位数是 4 的倍数的有 2 种情况,∴ P(小明得 3 分)= 2 6 = 1 3 ,P(小华得 3 分)= 4 6 = 2 3 ,∴ 该游戏不公平. 可改游戏规则为:组成的两位 数是 4 的倍数,小明得 2 分,否则小华得 1 分. 10. 解:(1)列表如下: A B C D A (A,A) (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,B) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,C) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) (D,D) (2)由表知,共有 16 种等可能结果,其中两个国家选到 同一个领域的有 4 种等可能结果,所以两个国家选到同 一个领域的概率为 4 16 = 1 4 . 基础知识抓分练 4 成比例线段、平行线分线段成比例、相似多边形 1. B 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】相似多边形就是形状相同的两个图形,即对 应边的比相等,对应角相等的两个图形,依据定义即可进 行判断. 2. D　 【解析】∵ a 4 = b 3 ,∴ a b = 4 3 ,∴ a -b b = a b - 1 = 1 3 . 故 选 D. 3. A 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【解题技巧】相似多边形对应边之比、周长之比等于相似 比,而面积之比等于相似比的平方. 4. C　 【解析】设 P 点表示的数为 x,则根据平行线分线段成 比例可得 x 10-x = 2-1 4-2 ,解得 x= 10 3 ,经检验,x= 10 3 是分式方 程的解且符合实际意义,即 P 点表示的数为10 3 . 故选 C. 5. D　 【解析】由图形知,扩张后的长方形宽为 4cm,设长为 x cm,∵ 矩形 A′B′C′D′∽矩形 ABCD,∴ 2 3 = 4 x ,∴ x = 6, ∴ 扩张后的长方形长为 6cm,原长方形的周长为 2×(2+ 3)= 10( cm),扩张后长方形的周长为 2 × ( 4 + 6) = 20 (cm),20 - 10 = 10 ( cm),∴ 这根铁丝需增加 10cm. 故 选 D. 6. 2 3 7. 1 3 　 【解析】∵ l1∥l2∥l3,AB = 2BC,∴ BC AB = EF DE = 1 2 ,∴ EF DF 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBB·九年级数学　 第 3 页 追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 2　 一元二次方程 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 下列方程是一元二次方程的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. x+5 = 3x-1 B. ax2 +x+1 = 0 C. 2x+3y= 7 D. 3x2 -1 = 2x 2. 一元二次方程 5x2 - 18 = 9x 化成一般形式 后,一次项系数是(　 　 ) A. 5 B. 9 C. -9 D. 1 3. 关于 x 的一元二次方程(m-2) x2 +4x+2 = 0 有两个实数根,则 m 的取值范围是(　 　 ) A. m≤4 B. m≥4 C. m≥-4 且 m≠2 D. m≤4 且 m≠2 【变式】 学科内融合 若关于 x 的一元二次 方程 x2 -2x+k+1 = 0 有两个不相等的实数 根,那么直线 y= kx+k 一定不经过(　 　 ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 用分解因式法解方程 x2 -px- 6 = 0,将左边 分解后有一个因式是 ( x - 3),则 p 的值 是(　 　 ) A. -5 B. 5 C. -1 D. 1 5. 文化情境·传统文化 “指尖上的非遗———麻 柳刺绣”,针线勾勒之间,绣出世间百态. 如 图是在一幅长 80 cm,宽 60 cm 的麻柳刺绣 的四周镶嵌宽度相同的边框,制成的一幅矩 形挂图,且整个挂图的面积是 6 300 cm2. 设 边框的宽度为 x cm,则列出的方程为(　 　 ) A. (60+x)(80+x)= 6 300 B. (60-x)(80-x)= 6 300 C. (60+2x)(80+2x)= 6 300 D. (60-2x)(80-2x)= 6 300 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 6. 新趋势·结论开放 写出一个关于 x 的一元 二次方程,使其二次项系数为 1,有一根为 2,则这个方程可以是 　 . 7. 若 x= -1 是方程 x2 -mx+2 = 0 的一个根,则 m= 　 　 　 　 . 8. 如表是学生小明探究关于 x 的一元二次方 程 x2 +ax+b = 0 的根的情况,则 4a+b 的值 是　 　 　 　 . x -2 -1 0 1 2 3 x2 +ax+b 5 0 -3 -4 -3 0 9. 已知方程 x2 -5x+2 = 0 的两个解分别为 x1、 x2,则 x1 +x2 的值为　 　 　 　 . 三、解答题(共 40 分) 10. (12 分)按要求解方程: (1)x2 +8x+15 = 0(用因式分解法); (2)2x2 -4x-3 = 0(用配方法); (3) -3x= 1-x2(用公式法). 3 情境期末·ZBB·九年级数学 11. (8 分)已知关于 x 的方程 x2 -(m+ 1) x+ 2(m-1) = 0. (1)求证:无论 m 取何值,这个方程总有实 数根; (2)若等腰△ABC 的一腰长 a = 6,另两边 b、c 恰好是这个方程的两个根,求△ABC 的周长. 12. (10 分)某大型果品批发商场经销一种高 档坚果, 原价每千克 64 元,连续两次降价 后每千克 49 元. (1)若每次下降的百分率相同,求每次下 降的百分率; (2)若该坚果每千克盈利 10 元,每天可售 出 500 千克. 经市场调查发现,在进货价不 变的情况下,商场决定采取适当的涨价措 施且要减少库存,若每千克涨价 1 元,日销 售量将减少 40 千克. 现该商场要保证销售 该坚果每天盈利 4 500 元,那么每千克应 涨价多少元? 13. [教材 P53 习题 2 题变式] (10 分)如图, 在 Rt△ABC 中,∠B = 90°,AB = 6 cm,BC = 10 cm,点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 移 动,速度为 1 cm / s;点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 移动,速度为 2 cm / s,点 P,Q 分 别从点 A,B 同时出发,当其中一点到达终 点后,另一点也随之停止运动. (1)几秒后,PQ 的长度为 3 5 cm; (2)几秒后,△PBQ 的面积为 8 cm2; (3)△PBQ 的面积能否为 14 cm2? 请说明 理由. 4