抓分练1 特殊平行四边形-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年九年级数学上册（北师大版 河南专用）

　 　 答案详解详析·易错剖析　 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋 􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋 􀦋 􀦋 􀦋􀦋《课本知识集锦》答案 九年级上册 第一章　 特殊平行四边形 1. A　 2. B 3. A　 【解析】由题意,得 OA= 1 2 AC= 4,AC⊥BD,BD = 2OB, 在 Rt△ABO 中,由勾股定理得 OB= AB2 -OA2 = 3,∴ BD = 6,∴ S菱形ABCD = 1 2 AC·BD= 24. 故选 A. 4. C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AB = BC. ∵ ∠B = 60°,∴ △ABC 是等边三角形,∴ AB = AC = 8,则正方形的 边长为 8. 故选 C. 5. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠ABC = 90°,AD = BC = 3, 在 Rt △ABD 中, AB = 7, AD = 3, ∴ BD = AB2 +AD2 = 4. 故选 B. 6. B　 【解析】连接 CM、CN. ∵ DE = 4,点 M、N 分别是 DE、 AB 的中点,∴ CN= 1 2 AB= 5,CM= 1 2 DE= 2,当 C、M、N 在 同一直线上时,MN 取最小值,∴ MN 的最小值为:5- 2 = 3. 故选 B. 第二章　 一元二次方程 1. D　 2. C 3. C　 【解析】由题意,得 Δ= 42 -4(k-1)= 0,∴ k = 5,∴ 关于 x 的一元二次方程 x2 -4x+k = 0 中,Δ = 16- 4k = - 4< 0,∴ 该方程没有实数根. 故选 C. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【点拨】掌握一元二次方程 ax2 +bx+c = 0(a≠0)的根与 Δ = b2 -4ac 有如下关系:当 Δ>0 时,方程有两个不相等的实 数根;当 Δ= 0 时,方程有两个相等的实数根;当 Δ<0 时, 方程无实数根. 4. 解:(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为 x,根据题意 得:500(1+x) 2 = 720,解得:x1 = 0. 2 = 20%,x2 = - 2. 2(不 符合题意,舍去) . 答:该品牌头盔销售量的月增长率 为 20%; (2)设该品牌头盔的实际售价应定为 y 元 /个,则每个的 销售利润为( y- 30) 元,月销售量为 600 - 10 ( y- 40) = (1000- 10y) 个, 根据题意得: ( y - 30) ( 1000 - 10y) = 10000,整理得:y2 - 130y+ 4000 = 0,解得:y1 = 50,y2 = 80, 又∵ 要尽可能让市民得到实惠,∴ y = 50. 答:该品牌头盔 的实际售价应定为 50 元 /个. 第三章　 概率的进一步认识 1. C　 【解析】设袋中红球有 x 个,根据题意,可得: x 15 = 0. 4,解得 x= 6,则黄球的个数为 15-6 = 9(个) . 故选 C. 2. C　 3. 1 6 第四章　 图形的相似 1. A 2. C　 【解析】∵ AB= 3,BC = 2,∴ AC = AB+BC = 5. ∵ l1∥l2∥ l3,∴ DE DF =AB AC = 3 5 . 故选 C. 3. D 4. B　 【解析】∵ B,B′的坐标分别为(1,2),(2,4),则 OB = 12 +22 = 5,OB′= 22 +42 = 2 5 . ∴ OB ∶ OB′ = 1 ∶ 2. ∴ △ABC 与△A′B′C′的相似比为 1 ∶ 2. 故选 B. 5. C　 【解析】由题意得:∠AGC= ∠FGE,AC⊥CE,FE⊥CE, ∴ ∠ACG= ∠FEG= 90°,∴ △ACG∽△FEG,∴ AC FE =CG EG ,∴ AC 1. 7 = 10 2 ,解得 AC= 8. 5. ∵ BC =DE = 1m,∴ AB = AC+BC = 9. 5m,∴ 凉亭的高度为 9. 5m. 故选 C. 第五章　 投影与视图 1. D 2. B　 【解析】延长 PA、PB 分别交 x 轴于 A′、B′,作 PE⊥x 轴于 E,交 AB 于 D. ∵ P(2,2),A(0,1),AB∥x 轴,∴ PD= 1,PE= 2,A′B′ = 6. ∵ AB∥A′B′,∴ △PAB∽△PA′B′,∴ AB A′B′ =PD PE ,即AB 6 = 1 2 ,∴ AB = 3. ∵ 点 A 的坐标为(0,1), ∴ B(3,1) . 故选 B. 3. C 第六章　 反比例函数 1. D　 2. B　 3. R≥1 九年级下册 第一章　 直角三角形的边角关系 1. A　 【解析】∵ 在 Rt△ABC 中,∠B = 90°,AB = 12,AC = 13, ∴ BC= 132 -122 = 5,∴ sinA= BC AC = 5 13 . 故选 A. 2. C　 【解析】∵ sinA= 2 2 ,cosB= 1 2 ,∴ ∠A= 45°,∠B= 60°, ∴ ∠C= 75°,∴ △ABC 的形状是锐角三角形. 故选 C. 3. C　 【解析】连接 EF,过点 A 作 AC⊥ BF,垂足为 C,由题意得:EF⊥BF,AC =EF,在 Rt△ACB 中,∠ABC= 50°,AB = 32cm,∴ AC=AB·sin50°≈32×0. 77 = 24. 64( cm),∴ AC = EF = 24. 64cm, ∴ 这个篮球的直径约为 24. 64cm. 故选 C. 第二章　 二次函数 1. A　 2. D　 【解析】关于二次函数 y = 2(x- 3) 2 + 1,a = 2> 0,开口 向上;对称轴为直线 x= 3;顶点坐标为(3,1) . 故选 D. 3. C　 【解析】∵ 二次函数 y = ax2 +bx+c 的顶点为(1,- 4), ∴ 对称轴为 x= 1,而对称轴左侧图象与 x 轴交点横坐标 的取值范围是-3<x<-2,∴ 右侧交点横坐标的取值范围 是 4<x<5. 故选 C. 4. D　 【解析】由题意,当 y = 0 时,则- 1 12 x2 + 2 3 x+ 5 3 = 0,解 得 x= -2(舍去)或 x= 10. 故选 D. 􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋 􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋 􀦋 􀦋 􀦋􀦋《课本回头练》答案 基础知识抓分练 1 特殊平行四边形 1. B 2. D　 【解析】∵ M,N 分别为 BC,OC 的中点,MN = 3,∴ BO = 2MN= 6. 在矩形 ABCD 中,∠BAD = 90°,OB =OD,∴ BD = 12. ∵ AB= 6,∴ AD= BD2 -AB2 = 6 3 . 故选 D. 3. B 　 【解析】 由题意,得 ∠ABC = 60°,AD∥BC,∴ OB = 1 2 AB,∵ C(-1,0),∴ OC = 1,设 BC = AB = x,∴ OB = x-1, 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBB·九年级数学　 第 1 页 ∴ x - 1 = 1 2 x, 解 得 x = 2, ∴ BC = AD = 2, ∴ OA = AB2 -OB2 = 3,∴ D(-2, 3) . 故选 B. 4. B　 【解析】∵ PE⊥AB,PF⊥AC,∠BAC = 90°,∴ ∠EAF = ∠AEP= ∠AFP= 90°,∴ 四边形 AEPF 是矩形,∴ EF,AP 互相平分. 且 EF=AP,∴ EF,AP 的交点就是 M 点,∵ 当 AP 的值最小时,AM 的值就最小,∴ 当 AP⊥BC 时,AP 的 值最小,即 AM 的值最小. ∵ 1 2 AP·BC = 1 2 AB·AC,∴ AP×BC= AB×AC,在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得 BC = AB2 +AC2 = 10,∵ AB = 6,AC = 8,∴ 10AP = 6× 8,∴ AP = 4. 8,∴ AM= 2. 4. 故选 B. 5. C　 【解析】延长 AE 交 BC 的延长线于点 N,∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AD∥BC. ∴ ∠DAE = ∠CNE. ∵ AE 平 分∠DAM,∴ ∠DAE = ∠MAE. ∴ ∠CNE = ∠MAE. ∴ AM = MN. ∵ E 是 CD 边的中点,∴ DE =CE,在△ADE 和△NCE 中, ∠DAE= ∠CNE ∠AED= ∠NEC DE=CE { ,∴ △ADE≌△NCE,∴ AD =NC,AE = EN,∴ AM = MN = NC+MC = AD+MC,故④正确,∵ AM = MN,AE=EN,∴ EM⊥AE,ME 平分∠AMC,故①②正确, 若∠DAE= 30°,则∠MAE = 30°,∴ ∠BAM = 30°,∵ ∠B = ∠AEM= 90°,AM = AM,∴ △ABM≌△AEM,∴ AB = AE,与 AE>AD=AB 互相矛盾,故③错误. 故选 C. 6. AC=BD(答案不唯一) 7. 14　 【解析】∵ 菱形 ABCD,∴ AC⊥BD,OB =OD,OA=OC, ∵ AB= 5,AC= 6,∴ OA= 3,∴ OB= AB2 -OA2 = 4,∴ OC = 3,OD= 4,∵ CE∥BD,DE∥AC,∴ 四边形 CODE 为平行四 边形,∵ AC⊥BD,∴ ∠COD = 90°,∴ 平行四边形 CODE 为矩形,∴ 四边形 CODE 的周长为 2×(4+3)= 14. 8. 24 5 　 【解析】连接 BP,由题意,得 BA = BC = 5,S△ABC = 1 2 S菱形ABCD = 12,∵ S△ABC =S△PAB+S△PBC,∴ 1 2 ×5×PE+ 1 2 ×5 ×PF= 12,∴ PE+PF= 24 5 . 9. 5 2 或 5 　 【解析】 ∵ ∠C = 90°,AC = 6,BC = 8,∴ AB = 62 +82 = 10,∵ 点 D 为 AB 的中点,∴ AD =BD = 1 2 AB = 5,如图 1,DB′⊥BC,垂足为点 E,则∠DEB = ∠PEB′ = 90°,∵ ∠DEB = ∠C = 90°,∴ DE∥AC,∴ CE BE = AD BD = 1,∴ CE=BE= 1 2 BC= 4,∴ DE = 1 2 AC = 3,由折叠得 B′D = BD = 5,∴ EB′ = B′D-DE = 5- 3 = 2,∵ EB′2 +PE2 = B′P2,且 PB′=PB,PE= 4-PB,∴ 22 +(4-PB) 2 =PB2,解得 PB= 5 2 ; 如图 2,DB′⊥AC,∵ BC⊥AC,∴ DB′∥BC,∴ ∠ADB′ = ∠B,由折叠得∠B′ = ∠B,∴ ∠B′ = ∠ADB′,∴ PB′∥BD, ∴ 四边形 PBDB′是平行四边形,∵ B′D = BD,∴ 四边形 PBDB′是菱形,∴ PB = BD = 5,综上所述,PB 的长为 5 2 或 5. 图 1 　 图 2 10. 解:( 1) 四边形 ADCE 为矩形. 理由如下: ∵ 四边形 ABDE 为平行四边形,∴ AE∥BD 且 AE = BD. ∵ D 为 BC 的中点,∴ BD=CD,∴ AE=CD. 由题意,得 AE∥BD,∴ 四 边形 ADCE 为平行四边形. ∵ AB = AC,D 为 BC 的中点, ∴ AD⊥BC,∴ ∠ADC= 90°. ∵ 四边形 ADCE 为平行四边 形,∴ 四边形 ADCE 为矩形. (2)①4+4 3 　 【解析】∵ ∠DAB= 30°且 AB= 4,∠ADB = ADC= 90°,∴ BD= 2 =CD,AD= 42 -22 = 2 3,∵ 四边形 ADCE 为矩形,∴ 四边形 ADCE 的周长为 2×(2+2 3)= 4 +4 3; ②正方形 11. 解:(1)矩形的四个角都是直角　 　 矩形的对边平行 剩余过程如下:∴ ∠DAF= ∠DFA,∴ AD =FD,∴ AD = AE =FD=FE,∴ 四边形 AEFD 是菱形. 又∵ ∠D = 90°,∴ 四 边形 AEFD 是正方形; (2)NF = ND′,证明如下:连接 HN. 由 ( 1) 得:四边形 AEFD 是正方形,∴ ∠EFD = 90°,由折叠的性质得:HD′ =HD = HF, ∠AD′ H = ∠D = 90°, ∴ ∠HD′N = 90°, 在 Rt△HNF 和 Rt △HND′中, HN =HN HF=HD′{ , ∴ Rt △HNF ≌ Rt△HND′(HL),∴ NF=ND′; (3)由(2)得:FN=ND′,设 FN=ND′= x cm,由(1)得:四 边形 AEFD 是正方形,∴ AE=EF=AD= 8cm,由折叠性质 得:AD′=AD= 8cm,∴ NE =EF-FN = (8-x) cm,AN = (8+ x)cm,在 Rt△AEN 中,由勾股定理得:AE2 +NE2 =AN2 ,即 82 +(8-x) 2 = (8+x) 2 ,解得 x= 2,∴ NE= 8-x= 6. 基础知识抓分练 2 一元二次方程 1. D 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】一元二次方程定义:含有一个未知数、未知数 的最高次数是 2 的整式方程,根据定义逐项判定即可得 到答案. 2. C 3. D　 【解析】根据题意得 16 -4(m-2)×2≥0 m-2≠0{ ,解得 m≤4 且 m≠2. 故选 D. 【变式】A　 【解析】根据题意得 Δ= b2 -4ac= (-2) 2 -4(k+ 1)>0,解得 k<0,∴ 一次函数 y = kx+k 的图象经过第二、 三、四象限,不经过第一象限. 故选 A. 4. D　 【解析】由题意,得 x-3 = 0,解得 x = 3,把 x = 3 代入方 程得 9-3p-6 = 0,解得 p= 1. 故选 D. 5. C 6. x2 -4 = 0(答案不唯一) 　 7. -3 8. -11　 【解析】根据题意得 b = -3 1-a+b= 0{ ,解得 a= -2 b= -3{ ,所以 方程为 x2 -2x-3 = 0,所以 4a+b= -11. 9. 5 10. 解:(1)因式分解,得(x+3)(x+5)= 0,则 x+3 = 0 或 x+5 = 0,所以 x1 = -3,x2 = -5; (2)两边同除以 2,得 x2 -2x- 3 2 = 0. 移项,得 x2 -2x= 3 2 , 配方,得(x-1) 2 = 5 2 ,两边开平方,得 x-1 = ± 10 2 ,所以 x1 = 1+ 10 2 ,x2 = 1- 10 2 ; 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBB·九年级数学　 第 2 页 追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 1　 特殊平行四边形 一、选择题(每小题 3 分,共 15 分) 1. 下列说法中正确的有(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　①四边相等的四边形一定是菱形; ②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一 定是正方形; ③对角线相等的四边形一定是矩形; ④经过平行四边形对角线交点的直线,一 定能把平行四边形分成面积相等的两部 分. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2. 如图,矩形 ABCD 中,AC,BD 交于点 O,M,N 分别为 BC,OC 的中点. 若MN= 3,AB= 6,则 AD 的长为(　 　 ) A. 8 B. 10 C. 6 2 D. 6 3 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 3. 学科内融合 (湖北模拟)如图,在平面直角 坐标系中,菱形 ABCD 的顶点 A,B,C 在坐 标轴上,若点 C 的坐标为( -1,0),∠BCD = 120°,则点 D 的坐标为(　 　 ) A. ( -2,2) B. ( -2, 3 ) C. ( 3 ,2) D. ( -3, 3 ) 4. 如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC = 90°,AB = 6, AC= 8,P 为边 BC 上一动点,PE⊥AB 于 E, PF⊥AC 于 F,M 为 EF 的中点,则 AM 的最 小值是(　 　 ) A. 2. 5 B. 2. 4 C. 2 D. 3 第 4 题图 　 　 　 第 5 题图 5. (济宁期末)如图,在正方形 ABCD 中,M 是 边 BC 上一点,E 是 CD 的中点,AE 平分 ∠DAM,下列结论:①ME⊥AE,②ME 平分 ∠AMC,③∠DAE = 30°,④AM = AD+CM,正 确的个数是(　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 6. 新趋势·条件开放 在平行四边形 ABCD 中, 对角线 AC 与 BD 交于点 O. 添加一个条件: 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ,则可判定四边 形 ABCD 是矩形. 7. 如图,已知菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相 交于点 O,过点 C 作 CE∥BD,过点 D 作 DE ∥AC,CE 与 DE 相交于点 E. 若 AB = 5,AC = 6,则四边形 CODE 的周长为　 　 　 　 . 第 7 题图 　 　 　 第 8 题图 8. 如图,在菱形 ABCD 中,P 是对角线 AC 上一 动点,过点 P 作 PE⊥BC 于点 E,PF⊥AB 于 点 F. 若菱形 ABCD 的周长为 20,面积为 24,则 PE+PF 的值为　 　 　 　 . 9. 数学思想·分类讨论 如 图,在 Rt △ABC 中,∠C = 90°,AC = 6,BC = 8,点 D 为斜边 AB 的中点,点 P 为 BC 边上的一 动点,沿着 PD 所在直线折叠△PBD,得到 △PB′D,当 DB′垂直于 Rt△ABC 的直角边 时,PB 的长度为　 　 　 　 . 三、解答题(共 18 分) 10. (8 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中点,四边形 ABDE 是平行四边形. 1 情境期末·ZBB·九年级数学 (1)判断四边形 ADCE 的形状,并说明理由. (2)填空: ①当 ∠DAB = 30° 且 AB = 4 时, 四边形 ADCE 的周长等于　 　 　 　 ; ②当∠DAB = 45°时,四边形 ADCE 的形状 为　 　 　 　 . 11. (10 分) 【实践操作】如图①,在矩形纸片 ABCD 中,AD= 8 cm,AB= 12 cm. 第一步:如图②,将图①中的矩形纸片 AB- CD 沿过点 A 的直线折叠,使点 D 落在 AB 上的点 E 处,折痕为 AF,然后把纸片展平; 第二步:如图③,将图②中的矩形纸片再 次折叠,使点 D 与点 F 重合,折痕为 GH, 然后展平,隐去 AF; 第三步:如图④,将图③中的矩形纸片沿 AH 折叠,得到△AD′H,延长 AD′与 EF 交 于点 N,与 DC 交于点 M. 【问题解决】 请在图②中证明四边形 AEFD 是正方形. 证明:∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠D= 90° (依据 1),AB∥CD(依据 2) . ∴ ∠FAE= ∠DFA. 由第一步折叠可知∠FAE = ∠DAF,AD = AE,FD=FE,∴ …… (1)填写证明过程中的依据 1:　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ,依据 2:　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ,并完成剩余证明过程; (2)请在图④中判断 NF 与 ND′的数量关 系,并加以证明; (3)请在图④中求 NE 的长度. 图① 　 　 图② 图③ 　 　 图④ 2