2 矩形的性质与判定(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

九年级上册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 如图， 矩形 EFGH 的顶点 E ， G 分别在菱形 ABCD 的边 AD ， BC 上， 顶点 F ， H 在菱形 ABCD 的对角线 BD 上 . （ 1 ） 求证： BG=DE. （ 2 ） 若 E 为 AD 的中点， FH=2 ， 求菱形 ABCD 的周长 . 【分析】 （ 1 ） 只需证 △BGF≌△DEH. 由矩形和菱形的性质， 得 EH=FG ， EH∥FG ， AD∥ BC ， 由此得 ∠GFH=∠EHF ， ∠BFG=∠DHE ， ∠GBF=∠EDH ， 则两三角形全等得证 . （ 2 ） 连接 EG ， 只需证明四边形 ABGE 是平行四边形即可， 进而得 AB=EG=HF ， 于是菱 形 ABCD 的周长可求 . 【解答】 （ 1 ） ∵ 四边形 EFGH 是矩形， ∴ EH=FG ， EH∥FG. ∴∠GFH=∠EHF. ∵∠BFG=180°-∠GFH ， ∠DHE=180°-∠EHF ， ∴∠BFG=∠DHE. ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴AD∥BC. ∴∠GBF=∠EDH. ∴△BGF≌△DEH （ AAS ） . ∴ BG=DE. （ 2 ） 连接 EG ， ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴AD=BC ， AD∥BC. ∵E 为 AD 的中点， ∴AE=ED. 由 （ 1 ） 知 BG=DE ， ∴AE=BG. 又 ∵AE∥BG ， ∴ 四边形 ABGE 是平行四边形 . ∴AB=EG. ∵ 四边形 EFGH 是矩形， ∴ AB=EG=FH=2. ∴ 菱形 ABCD 的周长 =4AB=8. 基础巩固 达标闯关 1. 矩形一条长边的中点与另一条长边两端点连线互相垂直， 若矩形周 长为 36 ， 则它的长和宽各是 . 2. 直角三角形一条直角边长为 8 cm ， 它所对的角为 30° ， 则斜边上的 中线长为 . 3. 如图， 矩形纸片 ABCD 的边长为 8 、 宽为 7 ， 将其纸片沿 EF 折叠， 则图中 ①②③④ 四个三角形的周长之和为 ． 4. 如图， 在矩形 ABCD 中， AB＜BC ， AC ， BD 相交于点 O ， 则图中等 腰三角形的个数为 （ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 5. 如图， 在矩形 ABCD 中， AB=5 ， BC=6 ， 点 M ， N 分别在 AD ， BC 上， 且 AM= 1 3 AD ， BN= 1 3 BC ， E 为直线 BC 上一动点 ， 连接 DE ， 将 G H E F A B C D 例题答图 ① ② ③ ④ E F AB C D C′ B′ O A B C D 第 4 题图 第 3 题图 2 矩形的性质与判定 （第 1课时） G H E F A B C D 例题图 第 5 题图 M N C′ E A B C D 10 特殊平行四边形 第一章 △DCE 沿 DE 所在直线对折得到 △DC′E ， 当点 C′ 恰好落在直线 MN 上时， CE 的长为 （ ） A. 5 2 B. 3 C. 5 2 或 3 D. 5 2 或 10 6． 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 （ ） A. 对角相等 B. 对边相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 7． 如图， 在矩形 ABCD 中， P 为矩形内一点， 若 PA=PD ， 求证： PB=PC. 8. 如图， 在矩形 ABCD 中， 过点 C 作 CE∥DB ， 交 AB 的延长线于点 E． 求证： △ACE 是等腰三角形 . 能力提升 综合拓展 9. 如图， 矩形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线 EF 分别与 AB ， AC ， DC 交于点 E ， O ， F ， 连接 CE ， AF. 求证： 四边形 AECF 是菱形 . 10. 在矩形 ABCD 中， E ， F 分别是边 BC ， AB 上的点， 且 EF=ED ， EF⊥ED. 求证： AE 平分 ∠BAD. E A B C D 第 8 题图 B D F C A O E 第 9 题图 第 10 题图 B E C F A D 第 7 题图 A D P B C 11 九年级上册 （北师大版）数学 11. 如图， 在矩形 ABCD 中， 对角线 AC 的垂直平分线分别与边 AB 和边 CD 的延长线交 于点 M ， N ， 与边 AD 交于点 E ， 垂足为点 O. （ 1 ） 求证： △AOM≌△CON. （ 2 ） 若 AB＝3 ， AD＝6 ， 请直接写出 AE 的长为 . 中考链接 真题演练 12. （ 2023 ·湘西） 如图， 在矩形 ABCD 中， 点 E 在边 BC 上， 点 F 是 AE 的中点， AB=8 ， AD=DE=10 ， 则 BF 的长为 . 13. （ 2023 ·哈尔滨） 矩形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ， 点 F 在矩形 ABCD 的边上 ， 连接 OF． 若 ∠ADB=38° ， ∠BOF=30° ， 则 ∠AOF= . 14. （ 2023 ·随州） 如图， 矩形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ， DE∥AC ， CE∥BD． （ 1 ） 求证： 四边形 OCED 是菱形 . （ 2 ） 若 BC=3 ， DC=2 ， 求四边形 OCED 的面积 ． 15. （ 2023 ·兰州） 如图， 矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， CD∥OE ， 直线 CE 是线段 OD 的垂直平分线， CE 分别交 OD ， AD 于点 F ， G ， 连接 DE． （ 1 ） 判断四边形 OCDE 的形状， 并说明理由 . （ 2 ） 当 CD=4 时， 求 EG 的长 ． 第 12 题图 第 14 题图 F A B D C E O A B D C F G E A D B C E O 第 15 题图 O M N A B C D E 第 11 题图 12 九年级上册 （北师大版）数学 ∴△AEF≌△DEF. ∴∠EDF=∠EAF=45°. ∴∠FDB=180°-∠CDE-∠EDF=90°. ∴AE∥DF. ∴ 四边形 AEDF 是菱形 . 12. 证明 ： ∵AB=AC ， AD 是 BC 边上的中线 ， ∴AD 垂直平分 BC. ∴EB=EC ， FB=FC. ∵CF∥BE ， ∴∠BED= ∠CFD ， ∠EBD=∠FCD. ∵DB=CD ， ∴△EBD≌△FCD （ AAS ） . ∴BE=FC. ∴EB=BF=FC=EC. ∴ 四边形 EBFC 是菱形 . 13. 证明： （ 1 ） ∵AD=BC ， ∴AD+CD=BC+CD. ∴AC=BD. ∵AE=BF ， CE=DF ， ∴△AEC≌△BFD （ SSS ） . ∴∠A= ∠B. ∴AE∥BF. （ 2 ） ∵△AEC≌△BFD ， ∴∠ECA=∠FDB. ∴EC∥DF. ∵EC=DF ， ∴ 四边形 DECF 是平行四边形 . ∵DF=FC ， ∴ 四边形 DECF 是菱形 . 1 菱形的性质与判定 （第 3 课时） 1. 5 2. 54 cm 3. 3 3 姨 4. D 5. B 6. A 7． （ 1 ） 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠B=∠D. ∵AE⊥BC ， AF⊥CD ， ∴∠AEB= ∠AFD=90°. ∵BE=DF ， ∴△AEB≌△AFD. ∴AB=AD. ∴荀ABCD 是菱形 ． （ 2 ） 解： 如图， 连接 BD 交 AC 于点 O． ∵ 四边形 ABCD 是菱形， AC=6 ， ∴AC⊥BD. AO=OC= 1 2 AC= 1 2 ×6=3. ∵AB= 5 ， AO=3 ， ∴BO= AB 2 -AO 2 姨 = 5 2 -3 2 姨 =4. ∴BD=2BO=8. ∴S 荀ABCD = 1 2 AC · BD=24． 8. （ 1 ） 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC. ∴∠2=∠ACB. 又 ∵∠1=∠2 ， ∴∠1=∠ACB. ∴AB= BC. ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . （ 2 ） 解 ： ∵AD∥BC ， ∴∠AFE=∠EBC. 又 ∵AF=AE ， ∴∠AFE=∠AEF=∠BEC. ∴∠EBC=∠BEC. ∴BC=CE. ∵AC=2OA=AE+CE ， ∴2OA=AF+BC. ∴OA= 1 2 （ AF+BC ） . 又 ∵AB=BC ， ∴AO= 1 2 （ AF+AB ） . 9. （ 1 ） 证明 ： ∵OA＝OC ， OB＝OD ， ∴ 四边形 ABCD 为平行四边形 . ∴AB∥CD. ∴∠ABD＝∠CDB. ∵∠BOE= ∠DOF ， OB=OD ， ∴△BOE≌△DOF （ ASA ） . ∴BE＝DF. ∵BE∥DF ， ∴ 四边形 DEBF 是平行四边形 . ∵EF⊥BD ， ∴ 四 边形 DEBF 是菱形 . （ 2 ） 解： 如图， 过点 F 作 FG⊥AB 于点 G. ∵AD∥EF ， EF⊥ BD ， ∴∠ADB＝∠BOE=90° . ∴ 在 Rt△ABD 中 ， 由勾股定理 ， 得 AD 2 +BD 2 ＝AB 2 . ∵AD+AB＝12 ， BD＝4 3 姨 ， ∴AD 2 + （ 4 3 姨 ） 2 ＝ （ 12-AD ） 2 . 解得 AD＝4 ， AB＝8. ∵ 四边 形 DEBF 是菱形， ∴DE∥BF ， DE=BE=BF=DF. ∵BE∥DF ， AD∥EF ， ∴ 四边形 AEFD 是平行四边形 . ∴DF=AE=BE=BF= 1 2 AB=4. ∴AE=DE=AD＝4. ∴△AED 是等边三角形 . ∴∠AED＝60°. ∵DE∥BF ， ∠ABF＝∠AED＝60° ， ∴△EBF 是等边三角形 . ∵FG⊥BE ， ∴EG＝BG＝2. 在 Rt△BGF 中， BF＝4 ， BG＝2 ， 由勾股定理， 得 FG＝ 4 2 -2 2 姨 =2 3 姨 . 在 Rt△AGF 中， AG＝6 ， 由勾股定理， 得 AF＝ AG 2 +FG 2 姨 ＝ 6 2 + （ 2 3 姨 ） 2 姨 ＝4 3 姨 . 10. （ 1 ） 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠BAD＝∠BCD ， AD∥BC. ∵AE ， CF 分别是 ∠BAD ， ∠BCD 的平分线， ∴∠BAE＝∠DAE= 1 2 ∠BAD ， ∠BCF＝∠DCF= 1 2 ∠BCD ， ∴∠DAE＝∠BCF. ∵AD∥BC ， ∴∠DAE＝∠AEB. ∴∠BCF＝∠AEB. ∴AE∥FC. ∴ 四边形 AECF 是平行四边形 . ∵AE＝AF ， ∴ 四边形 AECF 是 菱形 . （ 2 ） 解 ： 如图 ， 连接 AC ， ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴AD∥BC ， ∴ ∠DAE ＝∠AEB. ∵AE 平 分 ∠BAD ， ∴∠BAE ＝∠DAE. ∴∠BAE ＝∠AEB. ∴AB ＝EB. ∵ ∠ABC＝60° ， ∴△ABE 是等边三角形 . ∴∠BAE＝∠AEB＝∠ABE＝60°. ∵△ABE 的面积等于 4 3 姨 ， ∴ 3 姨 4 AB 2 =4 3 姨 . ∴AB＝4. ∴AE＝EB＝AB＝4. 由 （ 1 ） 知， 四边形 AECF 是菱形， ∴AE＝CE＝4. ∴∠EAC＝∠ECA. ∵∠AEB 是 △AEC 的一个外角， ∴∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝60°. ∴∠EAC＝∠ECA＝30°. ∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90° ， 即 AC⊥AB. 由勾股定理， 得 AC= BC 2 -AB 2 姨 = （ 4+4 ） 2 -4 2 姨 =4 3 姨 . ∴ 平行线 AB 与 DC 间的距离是 4 3 姨 . 2 矩形的性质与判定 （第 1 课时） 1. 12 ， 6 2. 8 cm 3. 30 4. C 5. D 6. C 7. 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是矩形 ， ∴AB=DC ， ∠BAD=∠ADC=90° . ∵PA=PD ， ∴∠PAD=∠PDA. ∴∠PAB= ∠PDC. ∴△PAB≌△PDC （ SAS ） . ∴ PB=PC. 8. 证明： ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴AC=BD ， AB∥DC. ∴BE∥DC. ∵CE∥DB ， ∴ 四边形 BDCE 是平行四边形 . ∴BD=CE. ∴AC=CE. ∴△ACE 是等腰三角形 . 9. 证明： ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴AB∥DC. ∴∠BAC=∠DCA ， ∠AEO=∠CFO. ∵EF 垂直平分 AC ， ∴AO=CO. 第 7 题答图 O E F A B C D 第 9 题答图 E F O A B C D G A F D CEB 第 10 题答图 212 参考答案与提示 ∴△AEO≌△CFO. ∴EO=FO. ∴ 四边形 AECF 是平行四边形 . ∵AC⊥EF ， ∴ 四边形 AECF 是菱形 . 10. 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 为矩形， ∴BC∥AD ， AB=DC ， ∠B=∠C=90°. 又 ∵EF⊥ED ， ∴∠BEF+∠CED=90° ， ∠BEF+∠BFE=90°. ∴∠BFE=∠CED. ∵EF=ED. ∴△BEF≌△CDE. ∴BE=CD. ∴AB=BE. ∴∠BAE=∠BEA. ∵BC∥AD ， ∴∠DAE=∠BEA. ∴∠DAE=∠BAE ， ∴AE 平分 ∠BAD. 11. （ 1 ） 证明 ： ∵MN 是 AC 的垂直平分线 ， ∴AO＝CO ， ∠AOM＝∠CON＝90° . ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴AB∥CD. ∴∠M＝∠N. ∴△AOM≌△CON （ AAS ） . （ 2 ） 15 4 提示： 如图， 连 接 CE ， ∵MN 是 AC 的垂直平分线， ∴CE＝AE. 设 AE＝CE＝x ， 则 DE＝6-x. ∵ 四边形 ABCD 是矩 形， ∴∠CDE＝90° ， CD＝AB＝3. 在 Rt△CDE 中， ∵CD 2 +DE 2 ＝CE 2 ， 即 3 2 + （ 6-x ） 2 ＝x 2 . 解得 x＝ 15 4 . ∴AE 的长为 15 4 ． 12. 2 5 姨 13. 46° 或 106° 提示： 点 F 分别在 AB ， BC 边上 . 14. （ 1 ） 证明： ∵DE∥AC ， CE∥BD ， ∴ 四边形 OCED 是平行四边形 . ∵ 矩形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于 点 O ， ∴AC=BD ， OC= 1 2 AC ， OD= 1 2 BD. ∴OC=OD. ∴ 四边形 OCED 是菱形 . （ 2 ） 解： ∵ 四边形 ABCD 是矩形， BC=3 ， DC=2 ， ∴OA=OB=OC=OD ， S 矩形 ABCD =3×2=6. ∴S △OCD = 1 4 S 矩形 ABCD = 1 4 ×6=1.5. ∵ 四边形 OCED 是菱形， ∴ 菱形 OCED 的面积 =2S △OCD =2×1.5=3. 15. 解 ： （ 1 ） 四边形 OCDE 是菱形 . 理由 ： ∵CD∥OE ， ∴∠FDC=∠FOE. ∵CE 是线段 OD 的垂直平分线 ， ∴FD=FO ， ED=OE ， CD=CO. ∵∠DFC＝∠OFE ， ∴△FDC≌△FOE （ ASA ） . ∴CD=OE. ∴ED=OE=CD=CO. ∴ 四边形 OCDE 是菱形 . （ 2 ） ∵ 四边形 ABCD 为矩形， ∴∠BCD=∠CDA=90° ， AC=BD ， AO=CO= 1 2 AC ， DO=BO= 1 2 BD. ∴DO=CO. ∵CE 是线段 OD 的垂直平分线， ∴CD=CO. ∴CD=CO=DO. ∴△ODC 为等边三角形 . ∴DO=CD=4 ， ∠ODC= 60°. ∴DF＝ 1 2 DO＝2. 在 Rt△CDF 中， CD=4 ， DF=2 ， 由勾股定理， 得 CF＝ DC 2 -DF 2 姨 = 4 2 -2 2 姨 =2 3 姨 . 由 （ 1 ） 可 知， 四边形 OCDE 是菱形， ∴EF＝CF＝2 3 姨 . 在 Rt△CDF 中， ∵∠GDF=∠CDA-∠ODC=30° ， ∴GD=2GF. ∴GD 2 =GF 2 + DF 2 ， 即 4GF 2 =GF 2 +2 2 . ∴GF＝ 2 3 姨 3 . ∴EG＝EF-GF＝ 4 3 姨 3 . 2 矩形的性质与判定 （第 2 课时） 1. ∠BAD=90° 或 AC=BD 2. AC⊥BD 3. D 4. C 5. 证明： ∵MN∥PQ ， ∴∠MAC=∠ACQ. ∵AB ， CD 分别平分 ∠MAC ， ∠ACQ ， ∴∠BAC= 1 2 ∠MAC ， ∠ACD= 1 2 ∠ACQ. ∴∠BAC=∠ACD. ∴AB∥CD. 同理 BC∥AD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . 又 ∵∠BCA= 1 2 ∠PCA ， ∴∠BCA+∠ACD= 1 2 （ ∠PCA+∠ACQ ） = 1 2 ×180°=90°. ∴ 四边形 ABCD 是矩形 . 6. 证明 ： 如图 ， 连接 OP. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴AO=CO ， BO=DO. ∵ ∠APC=∠BPD=90° ， ∴△APC 和 △BPD 是直角三角形 . ∴PO= 1 2 AC ， PO= 1 2 BD. ∴AC=BD. ∴ 四边形 ABCD 是矩形 . 7. （ 1 ） 证明： ∵△BOC≌△CEB ， ∴OB＝EC ， OC＝EB. ∴ 四边形 OBEC 是平行四边形 . ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD. ∴∠BOC＝90°. ∴ 四边形 OBEC 是矩形 . （ 2 ） 解： ∵ 四 边形 ABCD 是菱形 ， AB＝6 ， ∴AC⊥BD ， BC＝AB＝6. ∵∠ABC＝120° ， ∴∠DBC＝ 1 2 ∠ABC＝60° . ∵∠BOC＝90° ， ∴ ∠OCB＝30°. ∴OB＝ 1 2 BC＝3. ∴OC＝ BC 2 -OB 2 姨 ＝ 6 2 -3 2 姨 ＝3 3 姨 . ∴ 矩形 OBEC 的周长 ＝2× （ 3 3 姨 +3 ） ＝6 3 姨 +6. 8. （ 1 ） 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD ， AB∥CD ， OB=OD ， OA=OC. ∴∠ABE=∠CDF.∵ 点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点， ∴BE= 1 2 OB ， DF= 1 2 OD. ∴BE=DF. ∴△ABE≌△CDF （ SAS ） . （ 2 ） 解： 当 AC=2AB 时， 四边形 EGCF 是矩形 . 理由如下： ∵AC=2OA ， AC=2AB ， ∴AB=OA. ∵E 是 OB 的中点， ∴AG⊥OB.∴∠OEG=90°. 同理 CF⊥OD. ∴AG∥CF. ∴EG∥CF. ∵EG=AE ， OA=OC ， ∴OE 是 △ACG 的中位线 . ∴OE∥CG. ∴EF∥CG. ∴ 四边形 O M N A B C D E 第 11 题答图 第 6 题答图 P A D O B C 213