课本知识集锦-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年九年级数学上册（北师大版 河南专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本知识集锦 􀤚􀤚􀤚􀤚􀤚􀤚􀤚 􀤚􀤚􀤚􀤚􀤚􀤚􀤚 􀦚 􀦚 􀦚􀦚九年级上册 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈第一章　 特殊平行四边形 　 菱形的性质与判定 1. 菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2. 菱形的性质: (1)菱形的四条边相等 (2)菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角 (3)菱形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质 ì î í ï ï ï ï 3. 菱形的判定: (1)定义法:有一组邻边相等的平行四边形是菱形 (2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形 (3)四边相等的四边形是菱形 ì î í ï ï ï ï 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【拓展延伸】①对角线互相垂直平分的四边形是菱形;②菱形的对角线将菱形分成 4 个全 等的直角三角形;③菱形的面积=对角线长的乘积 2 ;④菱形既是轴对称图形,又是中心对称 图形,对称轴是它的对角线所在的直线. 　 矩形的性质与判定 1. 矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2. 矩形的性质: (1)矩形的对角线相等 (2)矩形的四个角都是直角 (3)矩形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质 ì î í ï ï ï ï 3. 矩形的判定: (1)定义法:有一个角是直角的平行四边形是矩形 (2)对角线相等的平行四边形是矩形 (3)有三个角是直角的四边形是矩形 ì î í ï ï ï ï 【注意】①若易证一个四边形是平行四边形,则再证一角为直角或对角线相等,即可证得该四 边形是矩形;②对角线相等的四边形不一定是矩形(如等腰梯形),对角线相等且互相平分的 四边形才是矩形. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【拓展延伸】①矩形既是中心对称图形又是轴对称图形,有 2 条对称轴;②矩形的对角线将 矩形分成 4 个面积相等的等腰三角形. 4. 直角三角形斜边上的中线的性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【拓展延伸】“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三 角形”是真命题. 　 正方形的性质与判定 1. 正方形的定义:有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 2. 正方形的性质: (1)正方形的四个角都是直角,四条边相等 (2)正方形的对角线相等且互相垂直平分 (3)正方形既是矩形,又是菱形,它具有矩形与菱形的所有性质 ì î í ï ï ï ï 1 情境期末·ZBB·九年级数学 3. 正方形的判定: (1)定义法:一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形是正方形 (2)有一组邻边相等的矩形是正方形 (3)对角线互相垂直的矩形是正方形 (4)有一个角是直角的菱形是正方形 (5)对角线相等的菱形是正方形 ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【拓展延伸】①正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形;②正方形的对角线将正方形分 成 4 个全等的等腰直角三角形. 4. 中点四边形: (1)定义:顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫做中点四边形. (2)常见的中点四边形:①平行四边形的中点四边形是平行四边形;②矩形的中点四边形是 菱形;③菱形的中点四边形是矩形;④正方形的中点四边形是正方形;⑤任意四边形的中点四 边形是平行四边形. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 1. (重庆期末)矩形和正方形都具有的性质是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 对角线互相平分且相等 B. 对角线互相垂直平分 C. 对角线互相垂直平分且相等 D. 对角线平分一组对角 2. 顺次连接四边形 ABCD 各边中点,得到四边形 EFGH,要使四边形 EFGH 是菱形,应添加 的条件是(　 　 ) A. AD∥BC B. AC=BD C. AC⊥BD D. AD=AB 3. 如图,菱形 ABCD 的两条对角线相交于点 O,若 AB=5,AC=8,则菱形 ABCD 的面积是(　 　 ) A. 24 B. 48 C. 40 D. 20 第 3 题图 　 　 　 　 图 1　 　 　 　 　 　 　 图 2 第 4 题图 　 　 第 5 题图 　 　 第 6 题图 4. 用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图 1 所示的菱形教具,此时测得∠B= 60°,对 角线 AC 长为 8,改变教具的形状成为如图 2 所示的正方形,则正方形的边长为(　 　 ) A. 4 B. 4 3 C. 8 D. 8 3 5. 如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,若 AB= 7 ,BC= 3,则 BD 的长是(　 　 ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. (合肥一模)如图,△ABC 中∠C= 90°,AB= 10,AC= 8,BC= 6,线段 DE 的两个端点 D、E 分别 在边 AC,BC 上滑动,且 DE= 4,若点M、N 分别是 DE、AB 的中点,则MN 的最小值为(　 　 ) A. 2 B. 3 C. 3. 5 D. 4 2 追梦之旅·初中期末真题篇·课本知识集锦 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈第二章　 一元二次方程 　 认识一元二次方程 1.定义:只含有一个未知数 x 的整式方程,并且都可以化成 ax2 +bx+c = 0(a,b,c 为常数,a≠0) 的形式,这样的方程叫做一元二次方程. 2.一般形式:ax2 +bx+c= 0(a,b,c 为常数,a≠0),其中 ax2,bx,c 分别称为二次项、一次项、常数 项,a、b 分别为二次项系数和一次项系数. 　 解一元二次方程 1.直接开平方法:利用平方根的意义,直接开平方求一元二次方程的解的方法. 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤:一化:化二次项系数为 1;二移,将常数项移到方程的 右边;三配:配方并化成(x+m) 2 =n 的形式;四开:若 n≥0,则左右两边同时开平方得 x+m= ± n ;五解:方程的根为 x= -m± n . 3.用公式法解一元二次方程 (1)求根公式:一般地,对于一元二次方程 ax2 +bx+c = 0(a≠0),当b2 -4ac≥0时,它的根是 x= -b± b2 -4ac 2a ,这个式子称为一元二次方程的求根公式. 【注意】公式法适用于所有一般形式的一元二次方程. (2)根的情况与根的判别式之间的关系:当 Δ= b2 -4ac>0,方程有两个不相等的实数根;当 Δ= b2 -4ac= 0,方程有两个相等的实数根;当 Δ= b2 -4ac<0,方程没有实数根. 4.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤:(1)移项:将方程的右边化为 0;(2)化积:将方程 的左边分解为两个一次因式的乘积;(3)转化:令每个一次因式都为 0,转化为两个一元一次 方程;(4)求解:解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【拓展】①因式分解法的理论依据为:如果两个因式的积为 0,那么至少有一个因式等于 0 (若 ab= 0,则 a= 0 或 b= 0 或 a= b= 0);②十字相乘法:x2 +(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) . 　 一元二次方程的根与系数的关系 如果方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0)有两个实数根 x1,x2,那么x1 +x2 = - b a ,x1x2 = c a . 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【拓展】与两根有关的几个代数式的变形:①平方和:x21 +x22 = (x1 +x2) 2 -2x1x2;②倒数和: 1 x1 + 1 x2 = x1 +x2 x1x2 ;③两根差的绝对值: | x1 -x2 | = (x1 -x2) 2 = x( 1 +x2) 2 -4x1x2 . 　 应用一元二次方程 实际问题的常见类型 几何图形 面积问题 应用面积公式将几何图形的面积表示出来,若是不规则图形,则割补法将其转化为规 则图形再用面积公式求其面积 3 情境期末·ZBB·九年级数学 平均增长(降 低)率问题 若起始值是 a,终止值是 b,平均增长(降低)的百分率为 x,增长(降低)次数为 n,可得 (1)平均增长率:a(1+x) n = b;　 　 　 (2)平均降低率:a(1-x) n = b 动点问题 根据题目中的等量关系(图形的面积、勾股定理等)列出方程 利润问题 利润=售价-进价;　 　 售价=进价×(1+利润率); 　 　 利润率= 利润 进价 ×100% 总利润=单个利润×销售总量=总售价-总成本 数字问题 若一个两位数的十位上的数字是 a,个位上的数字是 b,则这个数可以表示为 10a+b; 若一个三位数的百位上的数字是 m,十位上的数字是 n,个位上的数字是 c,则这个数 可以表示为 100m+10n+c 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 用配方法解一元二次方程 x2 -8x+9 = 0,变形后的结果正确的是(　 　 ) A. (x-4) 2 = -7 B. (x-4) 2 = 25 C. (x+4) 2 = 7 D. (x-4) 2 = 7 2. 若关于 x 的一元二次方程的根为 x= -2± 22 -4×1×( -4) 2×1 ,则这个方程是(　 　 ) A. x2 +2x+4 = 0 B. x2 -2x+4 = 0 C. x2 +2x-4 = 0 D. x2 -2x-4 = 0 3. 关于 x 的一元二次方程 x2 -4x+k-1 = 0 有两个相等的实数根,则关于 x 的一元二次方程 x2 -4x+k= 0 的根的情况是(　 　 ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 4. 生活情境·一盔一带 公安交警部门提醒市民,骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规 定. 某头盔经销商统计了某品牌头盔 7 月份到 9 月份的销量,该品牌头盔 7 月份销售 500 个,9 月份销售 720 个,且从 7 月份到 9 月份销售量的月增长率相同. (1)求该品牌头盔销售量的月增长率; (2)若此种头盔的进价为 30 元 / 个,经市场预测,当售价为 40 元 / 个时,月销售量为 600 个,若在此基础上售价每上涨 1 元 / 个,则月销售量将减少 10 个,为使月销售利润达到 10 000 元,而且尽可能让顾客得到实惠,则该品牌头盔的实际售价应定为多少元 / 个? 4 追梦之旅·初中期末真题篇·课本知识集锦 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈第三章　 概率的进一步认识 　 用树状图或表格求概率 1.画树状图法与列表法的区别联系 画树状图法 列表法 区别 涉及两个或更多个因素 只涉及两个因素 联系 ①两种方法求概率的前提都是所有结果出现的可能性相等且结果数目为有限个; ②事件 A 出现的概率的计算公式 P(A)= 事件 A 发生的结果数 所有等可能出现的结果数 . 2.判断游戏公平性的两种类型 (1)用双方获胜的概率判断是否公平,若概率相同,则游戏公平;若概率不相同,则游戏不公平. (2)若游戏中涉及得分情况,先计算出概率后,再根据游戏规则中规定的得分方法,分别计算 出双方得分. 若得分相同,则游戏公平;若得分不同,则游戏不公平. 3.把不公平的游戏变公平的方法:(1)改变游戏规则,使双方获胜的概率相等;(2)根据游戏规 则改变游戏得分,使双方平均每次游戏所得的分数相等. 　 用频率估计概率 用频率估计概率:当试验次数 n 很大时,事件 A 发生的频率具有一定的稳定性,它会在某个数值 附近摆动,并且试验次数越多,事件 A 发生的频率越接近这个数值,所以通过大量重复试验可以 用频率来估计概率. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 1. 在一个不透明的袋子里有红球、黄球共 15 个,这些球除颜色外都相同,小明通过多次试 验发现,摸到红球的频率稳定在 0. 4 左右,则袋子中黄球的个数可能是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 4 B. 6 C. 9 D. 10 2. 生活情境·旅游 丽丽和圆圆两人暑期想去大理、桂林、厦门、杭州四地中的两个地方旅 游,她们准备了四张完全相同的不透明卡片,卡片正面分别写有这四个地方,两人将卡片 背面朝上洗匀后,丽丽先抽一张(看完后不放回),洗匀后圆圆再抽一张. 则她们选到的卡 片恰好是“大理”和“桂林”的概率为(　 　 ) A. 1 4 B. 1 12 C. 1 6 D. 1 3 3. 文化情境·传统文化 文房四宝是我国传统文化中的文书工具,即笔、墨、纸、砚. 某礼品店 将传统与现代相结合,推出文房四宝盲盒,盲盒外观和重量完全相同,内含对应文房四宝 之一的卡片,若从一套四个盲盒(笔墨纸砚盲盒各一个)中随机选两个,则恰好抽中墨和 砚的概率是　 　 　 　 . 5 情境期末·ZBB·九年级数学 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈第四章　 图形的相似 　 比例线段和相似多边形 1.成比例线段:四条线段 a,b,c,d 中,如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比,即 a b = c d ,那么这四条线 段 a,b,c,d 叫做成比例线段,简称比例线段. 2.比例的性质:(1)基本性质:①如果 a b = c d ,那么 ad = bc;②如果 ad = bc(a,b,c,d 都不等于 0), 那么 a b = c d ;(2)等比性质:如果 a b = c d = … = m n (b+d+…+n≠0),那么a +c+…+m b+d+…+n = a b . 3.平行线分线段成比例:(1)基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例. (2)推论:平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例. 4.相似多边形:各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形. 　 相似三角形的判定与性质 1.相似三角形的判定:(1)两角分别相等的两个三角形相似;(2)两边成比例且夹角相等的两个 三角形相似;(3)三边成比例的两个三角形相似. 2.相似三角形的性质:(1)对应角相等,对应边成比例;(2)相似三角形对应高的比、对应角平分 线的比、对应中线的比都等于相似比;(3)相似三角形周长比等于相似比,面积比等于相似比 的平方. 3.黄金分割:一般地,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC(如图),如果AC AB =BC AC ,那么称线段 AB 被点 C 黄金分割, 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点, AC 与 AB 的比叫做黄金比. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【拓展延伸】(1)每条线段都有两个黄金分割点,在涉及此类问题时要注意分类讨论;(2) 黄金比为 AC AB = 5-1 2 ≈0. 618;(3)出现黄金分割,可得到的比例式为较长线段 总线段 =较短线段 较长线段 = 5-1 2 . 　 利用相似三角形测高 方法 利用阳光下的影子测高 利用标杆测高 利用镜子的反射测高 原理 同时同地物高与影长成比 例,构造相似三角形. 通过从人眼处向物体作垂线,利 用标杆顶端、人眼、旗杆构造相 似三角形. 利用人与旗杆都垂直于地面 和镜子的反射原理构造相似 三角形. 图示 【注意】(1)利用阳光下的影子测高时:①被测物体与地面垂直;②测量影长时,必须是同一时刻 的影长;(2)利用标杆测高时:①观测者的眼睛、标杆的顶端与被测物体的顶端“三点共线”;② 标杆垂直于地面;(3)利用镜子的反射测高时:①测量时,被测物体与观测者之间不能有障碍 物;②镜子必须水平放置,否则两个三角形不相似. 6 追梦之旅·初中期末真题篇·课本知识集锦 　 图形的位似 1.位似多边形的性质:具有相似三角形的所有性质;位似多边形上任意一组对应点到位似中心 的距离(不等于 0)之比等于相似比;任意一组对应点所在的直线都相交于同一点,该点即为 位似中心;位似多边形的对应边互相平行或在同一直线上. 2.画位似图形的一般步骤:(1)确定位似中心;(2)确定原图形的关键点(通常是多边形的顶 点)和已确定的位似中心,连接并延长(或截取);(3)根据已知的相似比,确定所画新图形中 关键点的位置;(4)顺次连接各关键点,即可得到所求作的图形. 3.位似多边形对应点的坐标的变化规律:在平面直角坐标系中,将一个多边形每个顶点的横坐 标、纵坐标都乘同一个数 k(k≠0),则所对应的图形与原图形位似,位似中心是坐标原点,它 们的相似比为 | k | . 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 若△ABC∽△DEF,△ABC 与△DEF 的面积比为 25 ∶36,则△ABC 与△DEF 的对应边的比 是(　 　 ) A. 5 ∶6 B. 6 ∶5 C. 25 ∶36 D. 36 ∶25 2. (安徽模拟)如图,已知直线 m,n 被一组平行线所截,交点分别为 A、B、C 和 D、E、F,若 AB = 3,BC= 2,则DE DF 等于(　 　 ) A. 2 3 B. 2 5 C. 3 5 D. 3 2 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 　 　 　 第 5 题图 　 　 　 3. (贵州一模)如图,△ABC 中,点 D、E 分别在 AB、AC 边上,则下列条件中,不一定能使 △AED∽△ABC 的是(　 　 ) A. ∠2 = ∠B B. ∠1 = ∠C C. AE AB =AD AC D. AD AB =DE BC 4. 在平面直角坐标系中,△ABC 与△A′B′C′位似,位似中心是原点 O,点 B 与点 B′是对应顶 点,B,B′的坐标分别为(1,2),(2,4),则△ABC 与△A′B′C′的相似比为(　 　 ) A. 2 ∶1 B. 1 ∶2 C. 3 ∶2 D. 2 ∶3 5. 如图,小明为了测量一凉亭的高度 AB(顶端 A 到水平地面 BD 的距离),在凉亭的旁边放 置一个与凉亭台阶 BC 等高的台阶 DE(DE =BC = 1 m,A,B,C 三点共线),把一面镜子水 平放置在平台上的点 G 处,测得 CG= 10 m,然后沿直线 CG 后退到点 E 处,这时恰好在镜 子里看到凉亭的顶端 A,测得 EG= 2 m,小明身高 EF= 1. 7 m,则凉亭的高度为(　 　 ) A. 8. 5 m B. 9 m C. 9. 5 m D. 10 m 7 情境期末·ZBB·九年级数学 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈第五章　 投影与视图 　 投影 1.中心投影:从一个点发出的光线所形成的投影称为中心投影. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【拓展延伸】中心投影的特征:等高的物体垂直于地面放置时,在灯光的照射下,离点光源 近的物体的影子短,离点光源远的物体的影子长;等长的物体平行于地面放置时,在灯光的 照射下,离点光源越近,物体的影子越长,离点光源越远,物体的影子越短,但不会比物体本 身短. 2.平行投影:平行光线所形成的投影称为平行投影. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【拓展延伸】平行投影的特征:同一时刻、同一地点,不同物体的高度与它们的影长成正比, 即 甲物体的高度 甲物体的影长 =乙物体的高度 乙物体的影长 ;不同时刻、同一地点,同一物体的影子的长度与方向随时 间的变化而变化. 3.正投影:平行光线与投影面垂直,这种投影称为正投影(正投影是特殊的平行投影). 　 视图 1.三种视图:通常我们把从正面得到的视图叫做主视图,从左面得到的视图叫做 左视图,从上面得到的视图叫做俯视图. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈【点拨】主视图反映物体的长和高;左视图反映物体的宽和高;俯视图反映物体的长和宽. 2.三种视图的画法:①确定主视图的位置,画出主视图;②在主视图正下方画出俯视图,注意与 主视图 “长对正”; ③ 在主视图正右方画出左视图, 注意与左视图 “高平齐”, 与俯视图 “宽相等” . 3.画三种视图的规定:看得见的部分的轮廓线画成实线,看不见的部分的轮廓线画成虚线. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 1. 文化情境·传统文化 孟母教子是中国传统文化的重要组成部分,孟母像位于太谷区孟母 园内. 在晴天的日子里,从早到晚在太阳光下孟母像的影子长度是如何变化的(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 逐渐变长 B. 逐渐变短 C. 保持不变 D. 先逐渐变短,后逐渐变长 2. 如图,在平面直角坐标系中,点光源位于点 P(2,2)处,木杆 AB∥x 轴,点 A 的坐标为(0, 1),木杆 AB 在 x 轴上的投影长度为 6,则点 B 的坐标为(　 　 ) A. (2,1) B. (3,1) C. (4,1) D. (5,1) 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 　 　 　 3. 据说,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,来测量金字塔的高度. 如图所示为金字塔几何体的主视图、左视图和俯视图,则该几何体是(　 　 ) A. 四棱柱 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 三棱锥 8 追梦之旅·初中期末真题篇·课本知识集锦 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈第六章　 反比例函数 　 反比例函数的图象与性质 反比例函数的图象与性质 反比例函数 x,y 的取值范围 k 的符号 图象 图象位置 性质 特征 y= k x (k 为常 数,k≠0) x≠0,y≠0(与 坐 标 轴 无 交 点) k>0 第一、三象 限内 每一象限内,y 的值随 x 值的 增大而减小 k<0 第二、四象 限内 每一象限内,y 的值随 x 值的 增大而增大 既是轴对称 图形,又是中 心对称图形; 无限接近坐 标轴,但不相 交 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【拓展延伸】比例系数 k 的几何意义:①过双曲线上任意一点分别作 x 轴、y 轴的平行线,与 坐标轴围成的矩形面积等于 | k | ;②过双曲线上任意一点 M 作 x 轴(或 y 轴)的平行线,连 接 OM,与坐标轴围成的三角形面积等于 1 2 | k | . 　 实际问题与反比例函数 1. 运用反比例函数解决实际问题时常用的两种思路 (1)通过实际问题提供的信息,明确变量之间的函数关系,设出相应的函数表 达式,再根据题目条件确定函数表达式中待定系数的值; (2)已知反比例函数的表达式,运用反比例函数的图象与性质解决实际问题. 2. 反比例函数图象与一次函数图象的交点问题 求两个函数图象的交点坐标,其实质就是求这两个函数图象的公共点的坐标,即令两个 函数的函数值相等,得到关于 x 的方程,方程的解就是交点的横坐标. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 1. 反比例函数 y= k x (k≠0)的图象经过点(1,-4),则该图象一定不经过点(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. ( -1,4) B. (2,-2) C. (4,-1) D. (1,4) 2. (甘肃三模)若点 A(x1,1)、B(x2,-2)、C(x3,3)都在反比例函数 y= 8 x 的图象上,则 x1、x2、 x3 的大小关系是(　 　 ) A. x1 <x2 <x3 B. x2 <x3 <x1 C. x1 <x3 <x2 D. x2 <x1 <x3 3. (北京期末)已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流 I(单位:A) 与电阻 R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示. 如果以此蓄 电池为电源的用电器的限制电流不能超过 6A,那么用电器的可变电阻 R 应控制在　 　 　 　 Ω. 9 情境期末·ZBB·九年级数学 􀤚􀤚􀤚􀤚􀤚􀤚􀤚 􀤚􀤚􀤚􀤚􀤚􀤚􀤚 􀦚 􀦚 􀦚􀦚九年级下册 　 　 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈第一章　 直角三角形的边角关系 　 锐角三角函数及特殊角的三角函数值 1.正弦,余弦,正切 名称 表示方法 梯子倾斜程度 图示 正弦 sinA= ∠A 的对边 斜边 sinA 的值越大,梯子越陡 余弦 cosA= ∠A 的邻边 斜边 cosA 的值越小,梯子越陡 正切 tanA= ∠A 的对边 ∠A 的邻边 tanA 的值越大,梯子越陡 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【拓展延伸】(1)锐角三角函数值都是正实数,0<sinα<1,0<cosα<1,tanα>0;(2)同角三角 函数间的关系:①sin2α+cos2α= 1(平方关系);②tanα= sinα cosα (商的关系) . 2. 30°,45°,60°角的三角函数值 三 角 函 数三角函数值角 α sinα cosα tanα 30° 1 2 3 2 3 3 45° 2 2 2 2 1 60° 3 2 1 2 3 　 解直角三角形 1.解直角三角形:由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形. 2.解直角三角形的依据:(1)三边之间的关系:两直角边的平方和等于斜边的平方;(2)锐角之 间的关系:两锐角互余;(3)边角之间的关系. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 1. 在 Rt△ABC 中,∠B= 90°,AB= 12,AC= 13,则 sinA 的值为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 5 13 B. 12 13 C. 5 12 D. 12 5 2. △ABC 中,∠A,∠B 都是锐角,且 sinA= 2 2 ,cosB= 1 2 ,则△ABC 的形状是(　 　 ) A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 锐角三角形或钝角三角形 3. 如图所示,在一组平行光线与地面呈 50°角的照射下,一个篮球在地面上 的投影长度 AB= 32 cm,已知 sin50°≈0. 77,cos50°≈0. 64,tan50°≈1. 19, 则这个篮球的直径约为(　 　 ) A. 20. 48 cm B. 22. 63 cm C. 24. 64 cm D. 26. 89 cm 01 追梦之旅·初中期末真题篇·课本知识集锦 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈第二章　 二次函数 　 二次函数的图象与性质 1.二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象和性质 a 的 取值 大致图象 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 最值 a>0 向上 a<0 向下 (- b 2a ,4ac -b2 4a ) 直线 x= - b 2a x<- b 2a ,y 随 x 增大而减小, x>- b 2a ,y 随 x 增大而增大 x= - b 2a 时, y最小值 = 4ac-b2 4a x<- b 2a ,y 随 x 增大而增大, x>- b 2a ,y 随 x 增大而减小 x= - b 2a 时, y最大值 = 4ac-b2 4a 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【点拨】二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象特征与 a,b,c 的符号关系:(1)a 的正负决定开口方 向:①a>0,开口向上;②a<0,开口向下. (2)a,b 同时决定对称轴(直线 x= - b 2a )的位置:①b = 0,对称轴为 y 轴;②a,b 同号,对称轴在 y 轴左侧;③a,b 异号,对称轴在 y 轴右侧. (3) c 决定与 y 轴交点(令 x= 0 时)的位置:①c = 0,抛物线过原点;②c>0,抛物线与 y 轴交于正 半轴;③c<0,抛物线与 y 轴交于负半轴. 2.二次函数 y=ax2 +bx+c 的最大(小)值的求法:(1)自变量 x 的取值范围是全体实数,一般有两 种方法. ①公式法:当 x= - b 2a 时,y最值 = 4ac-b2 4a ;②配方法:把二次函数 y = ax2 +bx+c 配方,化为 y=a(x-h) 2 +k 的形式,当 x=h 时,y最值 = k. (2)自变量 x 的取值范围不是全体实数,而是 x1 ≤x≤x2 时,要根据图象的对称轴与 x1,x2 的 关系来讨论其最值. 其中函数图象最高点的纵坐标是其最大值,最低点的纵坐标是其最小值. 3.二次函数图象的平移规律:二次函数 y=a(x-h) 2 +k 的图象可由二次函数 y = ax2 的图象向右 (或左)平移 | h |个单位长度,再向上(或下)平移 | k | 个单位长度得到;简记为“上加下减常数 项,左加右减自变量” . 4.二次函数表达式常见的三种形式 形式 内容 适用条件 一般式 y=ax2 +bx+c(a、b、c 为常数,a≠0) 已知抛物线上任意三点坐标 顶点式 y=a(x-h) 2 +k(a、h、k 为常数,a≠0),抛物线的顶 点坐标为(h,k) 已知抛物线的顶点坐标或对称轴 交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a、x1、x2 为常数,a≠0),其中 x1、x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标 已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标 【注意】二次函数表达式的三种形式互相联系,可以互相转化. 如果求二次函数的表达式时设 的是交点式或顶点式,最后的结果一般化为一般式. 11 情境期末·ZBB·九年级数学 　 二次函数与一元二次方程 二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象与 x 轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点. 与 此相对应,一元二次方程 ax2 +bx+c= 0 的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等 的实数根、没有实数根. 二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象与 x 轴交点的横坐标就是一元二次方程 ax2 +bx+c= 0 的根. 　 二次函数的应用 用二次函数解决实际问题的一般步骤 (1)审:仔细审题,理清题意; (2)设:找出问题中的变量和常量,分析它们之间的关系,与图形相关的问题要结合图形具体分 析,设出适当的未知数; (3)列:用二次函数表示出变量和常量之间的关系,建立二次函数模型,写出二次函数的表达式; (4)解:依据已知条件,借助二次函数的表达式、图象和性质等求解实际问题; (5)检:检验结果,进行合理取舍,得出符合实际意义的结论. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 1. 在同一平面直角坐标系中,一次函数 y=ax+c 和二次函数 y= -ax2-c 的图象大致为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. B. C. D. 2. 关于二次函数 y= 2(x-3) 2 +1,下列说法正确的是(　 　 ) A. 图象的开口向下 B. 图象的对称轴为直线 x= -3 C. 图象顶点坐标为(3,-1) D. 当 x<3 时,y 随 x 的增大而减小 3. 如图,以(1,-4)为顶点的二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象与 x 轴负半轴交于 A 点,则一元二 次方程 ax2 +bx+c= 0 的正数解的范围是(　 　 ) A. 2<x<3 B. 3<x<4 C. 4<x<5 D. 5<x<6 第 3 题图 　 　 　 　 　 　 第 4 题图 4. 掷实心球是中学生体质健康检测中的一项,小明对自己某次实心球训练的录像进行分 析,发现实心球飞行路线是一条抛物线,若不考虑空气阻力,实心球的飞行高度 y(米)与 飞行的水平距离 x(米)之间具有函数关系 y= - 1 12 x2 + 2 3 x+ 5 3 ,则小明这次实心球训练的成 绩为(　 　 ) A. 5 3 B. 3 C. 8 D. 10 21 　 　 答案详解详析·易错剖析　 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋 􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋 􀦋 􀦋 􀦋􀦋《课本知识集锦》答案 九年级上册 第一章　 特殊平行四边形 1. A　 2. B 3. A　 【解析】由题意,得 OA= 1 2 AC= 4,AC⊥BD,BD = 2OB, 在 Rt△ABO 中,由勾股定理得 OB= AB2 -OA2 = 3,∴ BD = 6,∴ S菱形ABCD = 1 2 AC·BD= 24. 故选 A. 4. C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AB = BC. ∵ ∠B = 60°,∴ △ABC 是等边三角形,∴ AB = AC = 8,则正方形的 边长为 8. 故选 C. 5. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠ABC = 90°,AD = BC = 3, 在 Rt △ABD 中, AB = 7, AD = 3, ∴ BD = AB2 +AD2 = 4. 故选 B. 6. B　 【解析】连接 CM、CN. ∵ DE = 4,点 M、N 分别是 DE、 AB 的中点,∴ CN= 1 2 AB= 5,CM= 1 2 DE= 2,当 C、M、N 在 同一直线上时,MN 取最小值,∴ MN 的最小值为:5- 2 = 3. 故选 B. 第二章　 一元二次方程 1. D　 2. C 3. C　 【解析】由题意,得 Δ= 42 -4(k-1)= 0,∴ k = 5,∴ 关于 x 的一元二次方程 x2 -4x+k = 0 中,Δ = 16- 4k = - 4< 0,∴ 该方程没有实数根. 故选 C. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【点拨】掌握一元二次方程 ax2 +bx+c = 0(a≠0)的根与 Δ = b2 -4ac 有如下关系:当 Δ>0 时,方程有两个不相等的实 数根;当 Δ= 0 时,方程有两个相等的实数根;当 Δ<0 时, 方程无实数根. 4. 解:(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为 x,根据题意 得:500(1+x) 2 = 720,解得:x1 = 0. 2 = 20%,x2 = - 2. 2(不 符合题意,舍去) . 答:该品牌头盔销售量的月增长率 为 20%; (2)设该品牌头盔的实际售价应定为 y 元 /个,则每个的 销售利润为( y- 30) 元,月销售量为 600 - 10 ( y- 40) = (1000- 10y) 个, 根据题意得: ( y - 30) ( 1000 - 10y) = 10000,整理得:y2 - 130y+ 4000 = 0,解得:y1 = 50,y2 = 80, 又∵ 要尽可能让市民得到实惠,∴ y = 50. 答:该品牌头盔 的实际售价应定为 50 元 /个. 第三章　 概率的进一步认识 1. C　 【解析】设袋中红球有 x 个,根据题意,可得: x 15 = 0. 4,解得 x= 6,则黄球的个数为 15-6 = 9(个) . 故选 C. 2. C　 3. 1 6 第四章　 图形的相似 1. A 2. C　 【解析】∵ AB= 3,BC = 2,∴ AC = AB+BC = 5. ∵ l1∥l2∥ l3,∴ DE DF =AB AC = 3 5 . 故选 C. 3. D 4. B　 【解析】∵ B,B′的坐标分别为(1,2),(2,4),则 OB = 12 +22 = 5,OB′= 22 +42 = 2 5 . ∴ OB ∶ OB′ = 1 ∶ 2. ∴ △ABC 与△A′B′C′的相似比为 1 ∶ 2. 故选 B. 5. C　 【解析】由题意得:∠AGC= ∠FGE,AC⊥CE,FE⊥CE, ∴ ∠ACG= ∠FEG= 90°,∴ △ACG∽△FEG,∴ AC FE =CG EG ,∴ AC 1. 7 = 10 2 ,解得 AC= 8. 5. ∵ BC =DE = 1m,∴ AB = AC+BC = 9. 5m,∴ 凉亭的高度为 9. 5m. 故选 C. 第五章　 投影与视图 1. D 2. B　 【解析】延长 PA、PB 分别交 x 轴于 A′、B′,作 PE⊥x 轴于 E,交 AB 于 D. ∵ P(2,2),A(0,1),AB∥x 轴,∴ PD= 1,PE= 2,A′B′ = 6. ∵ AB∥A′B′,∴ △PAB∽△PA′B′,∴ AB A′B′ =PD PE ,即AB 6 = 1 2 ,∴ AB = 3. ∵ 点 A 的坐标为(0,1), ∴ B(3,1) . 故选 B. 3. C 第六章　 反比例函数 1. D　 2. B　 3. R≥1 九年级下册 第一章　 直角三角形的边角关系 1. A　 【解析】∵ 在 Rt△ABC 中,∠B = 90°,AB = 12,AC = 13, ∴ BC= 132 -122 = 5,∴ sinA= BC AC = 5 13 . 故选 A. 2. C　 【解析】∵ sinA= 2 2 ,cosB= 1 2 ,∴ ∠A= 45°,∠B= 60°, ∴ ∠C= 75°,∴ △ABC 的形状是锐角三角形. 故选 C. 3. C　 【解析】连接 EF,过点 A 作 AC⊥ BF,垂足为 C,由题意得:EF⊥BF,AC =EF,在 Rt△ACB 中,∠ABC= 50°,AB = 32cm,∴ AC=AB·sin50°≈32×0. 77 = 24. 64( cm),∴ AC = EF = 24. 64cm, ∴ 这个篮球的直径约为 24. 64cm. 故选 C. 第二章　 二次函数 1. A　 2. D　 【解析】关于二次函数 y = 2(x- 3) 2 + 1,a = 2> 0,开口 向上;对称轴为直线 x= 3;顶点坐标为(3,1) . 故选 D. 3. C　 【解析】∵ 二次函数 y = ax2 +bx+c 的顶点为(1,- 4), ∴ 对称轴为 x= 1,而对称轴左侧图象与 x 轴交点横坐标 的取值范围是-3<x<-2,∴ 右侧交点横坐标的取值范围 是 4<x<5. 故选 C. 4. D　 【解析】由题意,当 y = 0 时,则- 1 12 x2 + 2 3 x+ 5 3 = 0,解 得 x= -2(舍去)或 x= 10. 故选 D. 􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋 􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋 􀦋 􀦋 􀦋􀦋《课本回头练》答案 基础知识抓分练 1 特殊平行四边形 1. B 2. D　 【解析】∵ M,N 分别为 BC,OC 的中点,MN = 3,∴ BO = 2MN= 6. 在矩形 ABCD 中,∠BAD = 90°,OB =OD,∴ BD = 12. ∵ AB= 6,∴ AD= BD2 -AB2 = 6 3 . 故选 D. 3. B 　 【解析】 由题意,得 ∠ABC = 60°,AD∥BC,∴ OB = 1 2 AB,∵ C(-1,0),∴ OC = 1,设 BC = AB = x,∴ OB = x-1, 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBB·九年级数学　 第 1 页