抓分练7 平行线的证明-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（北师大版 河南专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 7　 平行线的证明 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 下列命题是假命题的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 同位角相等,两直线平行 B. 对顶角相等 C. 过直线外一点有且只有一条直线与已知 直线平行 D. 两直线平行,同旁内角相等 2. 如图,把一个底角为 45°的直角三角尺的直 角顶点放在刻度尺的一边上,若∠1 = 50°, 则∠2 = (　 　 ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 3. 在探究证明“三角形的内角和等于 180°” 时,飞翔班的同学作了如下四种辅助线,其 中不能证明“三角形的内角和等于 180°”的 是(　 　 ) A. 图 1,延长 BC 至 D 作 CE∥AB B. 图 2,过 A 作 DE∥BC C. 图 3,过 D 作 DE∥BC D. 图 4,过 P 作 FG∥AB,DE∥BC,HI∥AC 4. 如图,点 E 在 AD 的延长线上,下列条件中 能判断 BC∥AD 的是(　 　 ) A. ∠1 = ∠2 B. ∠A+∠ADC= 180° C. ∠3 = ∠4 D. ∠A= ∠5 第 4 题图 　 　 第 5 题图 5. 如图是一款手推车的示意图,其中 AB∥CD, ∠1 = 26°,∠2 = 79°,则∠3 的度数为(　 　 ) A. 104° B. 127° C. 137° D. 154° 6. 如图 1 的晾衣架中存在多组平行关系,将晾 衣架的侧面抽象成如图 2 的数学问题,已知 AB∥MN∥PQ,若∠2 = 100°,∠3 = 130°,则 ∠1 的度数为(　 　 ) A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 7. “对顶角相等”的逆命题是 　 . 8. 跨学科试题·物理 光线在不同介质中的传 播速度是不同的,因此光线从水中射向空 气时,要发生折射,由于折射率相同,所以 在水中平行的光线,在空气中也是平行的, 如图, ∠1 = 45°, ∠2 = 120°, 则 ∠3 + ∠4 = 　 　 　 　 . 第 8 题图 　 　 第 9 题图 9. 新趋势·结论开放 在图中若添加一个条件 可使 DE∥AC,则任意写一个符合要求的条 件:　 　 　 　 . 10. 如图 1 是长方形纸带,∠DEF = 27°,将纸 带沿 EF 折叠成图 2,再沿 BF 折叠成图 3, 则图 3 中的∠CFE= 　 　 　 　 度. 31 情境期末·ZBB·八年级数学上 三、解答题(共 30 分) 11. (9 分)如图,AB∥GD,∠1+∠2 = 180°. (1)试说明:AD∥EF; (2)若 DG 是∠ADC 的平分线,∠2 = 142°, 求∠B 的度数. 12. (10 分)【感知】 如图①,若 AB∥CD,AM 平分∠BAC,求证: ∠CAM= ∠CMA. 请将下列证明过程补充完整: 证明:∵ AM 平分∠BAC,(已知), ∴ ∠CAM= 　 　 　 　 (角平分线的定义) . ∵ AB∥CD(已知), ∴ ∠CMA= 　 　 　 　 (两直线平行,内错角相等) . ∴ ∠CAM= ∠CMA(等量代换) . 【探索】 如图②,AM 平分∠BAC,∠CAM = ∠CMA, 点 E 在射线 AB 上,点 F 在线段 CM 上,若 ∠AEF= ∠C,求证:EF∥AC. 【拓展】 如图③,将【探索】中的点 F 移动到线段 CM 的延长线上,其他条件不变,若∠CAM = 3∠MEF = 57°,请直接写出∠AME 的度 数. 13. (11 分)问题情境: “公路村村通”的政策让公路修到了山里, 蜿蜒的盘山公路连接了山里与山外的世 界. 图 1 为河南鹤壁市淇县的一段盘山公 路,数学活动课上,老师把山路抽象成数 学模型,并提出了以下问题: (1)如图 2,AB∥CD,∠B= 120°,∠C= 30°, 求∠BPC 的度数; (2)将图 2 改为图 3,其中 AB∥CD,∠B = 125°,∠PQC = 70°, ∠C = 140°,求∠BPQ 的度数; (3) 如图 4,AB∥CD,试问∠1, ∠2, ∠3, ∠4,∠5,∠6,∠7 的关系是什么? 请直接 写出你的结论. 41 2a+b= 10 a+2b= 11{ ,解得: a= 3 b= 4{ . 答:1 辆 A 型车载满蔬菜 一次可运送 3 吨,1 辆 B 型车载满蔬菜一次可运 送 4 吨; (2)依题意得:3x+4y = 31,∴ x = 31 -4y 3 . 又∵ x,y 均为正整数,∴ x= 9 y= 1{ 或 x= 5 y= 4{ 或 x= 1 y= 7{ ,∴ 该物流 公司共有 3 种租车方案,方案 1:租用 9 辆 A 型 车,1 辆 B 型车;方案 2:租用 5 辆 A 型车,4 辆 B 型车;方案 3:租用 1 辆 A 型车,7 辆 B 型车. (3)方案 1 所需租车费为 100 × 9 + 120 × 1 = 1020 (元);方案 2 所需租车费为 100×5+120×4 = 980 (元);方案 3 所需租车费为 100×1+120×7 = 940 (元) . ∵ 1020>980>940,∴ 费用最少的租车方案 为:租用 1 辆 A 型车,7 辆 B 型车,最少租车费为 940 元. 13. 解:(1) -1　 2 (2)二元一次方程 x+y = 0 的图象,如图所示. 　 直线 (3)二元一次方程 x-y= -2 的图象,如图所示: (4)二元一次方程组 x+y= 0 x-y= -2{ 的解为 x= -1 y= 1{ . 基础知识抓分练 6　 数据的分析 一、选择题 1. D　 2. A 3. C　 【解析】由图可得,这位同学的最终成绩为:92 ×40%+ 90 × 40% + 86 × 20% = 36. 8 + 36 + 17. 2 = 90 (分) . 故选 C. 4. D　 【解析】足球队队员年龄按由小到大的顺序排 列为:13、13、14、14、14、14、14、14、15、15、15、15、 15、15、15、15,16、16、16、17、17、18,A. 平均数为: 1 22 ×(2×13+6×14+8×15+3×16+2×17+18)= 15< 16,故选项表述错误,不符合题意;B. 中位数为: 15+15 2 = 15,众数为 15,故选项表述错误,不符合题 意;C. 若今年和去年的球队成员完全一样,则今年 方差与去年相等,故选项表述错误,不符合题意; D. 若年龄最大的选手离队,则方差将变小,故选项 表述正确,符合题意. 故选 D. 5. A　 6. B 二、填空题 7. 82 分 8. 乙　 【解析】由折线统计图,可知乙种植物光合作 用速率的波动幅度更小,∴ 两种植物中光合作用 速率更稳定的是乙. 9. 乙　 【解析】甲的平均成绩为:95×40%+90×60% = 92,乙的平均成绩为:90×40% +95×60% = 93,丙的 平均成绩为:93×40% +92×60% = 92. 4,92<92. 4< 93,∴ 总分最高的是乙选手. 三、解答题 10. (1)3. 1　 2　 (2)B (3)解:该树叶更有可能是枇杷树树叶,理由:这 片树叶长 13cm,宽 6cm,长宽比接近 2,和枇杷树 树叶的长宽比更相近,所以该树叶更有可能是枇 杷树树叶. 11. 解:(1)42　 66 (2)八年级学生更会积极主动做家务,理由:因为 八年级的学生做家务时长的中位数和众数都比 七年级的学生做家务时长大,所以八年级学生更 会积极主动做家务(答案不唯一,合理即可); (3)学校增设特色劳动课程,加强家校沟通,布置 合适的劳动作业(答案不唯一,合理即可) . 基础知识抓分练 7　 平行线的证明 一、选择题 1. D　 2. B　 3. C 4. A　 【解析】B. 由∠A+∠ADC = 180°可得 AB∥CD; C. 由∠3 = ∠4 可得 AB∥CD;D. 由∠A = ∠5 可得 AB∥CD. 故选 A. 5. B 6. B 　 【解析】延长 AB 到点 C,所以∠2 + ∠CBD = 180°,所以 ∠CBD = 80°. ∠CBE = ∠3 - ∠CBD = 50°. 因为 AB∥PQ,所以∠1 = ∠CBE= 50°. 故选 B. 二、填空题 7. 如果两个角相等,那么它们是对顶角 8. 105° 9. ∠1 = ∠A(答案不唯一) 10. 99 三、解答题 11. 解:(1) ∵ AB∥GD,∴ ∠1 = ∠DAB. ∴ ∠DAB+∠2 = ∠1+∠2 = 180°,∴ AD∥EF; (2)∵ ∠2 = 142°,∠1+∠2 = 180°,∴ ∠1 = 38°,由 (1) 知 ∠1 = ∠DAB, ∴ ∠DAB = 38°. ∵ DG 是 ∠ADC 的平分线,∴ ∠ADC = 2∠1 = 76°,∴ ∠B = ∠ADC-∠DAB= 38°. 12. 【感知】∠BAM　 ∠BAM 【探索】 证明: ∵ AM 平分 ∠BAC, ∴ ∠CAM = ∠BAM. 又∵ ∠CAM= ∠CMA,∴ ∠CMA = ∠BAM, ∴ AB∥CD,∴ ∠AEF = ∠EFD. 又∵ ∠AEF = ∠C, ∴ ∠EFD= ∠C,∴ EF∥AC. 【拓展】解:∠AME = 76°. 　 【解析】∵ EF∥AC,过 M 作 MG∥AC,交 AB 于点 G,∴ EF∥MG. ∴ ∠GME = ∠FEM. 又 ∵ MG∥AC,∴ ∠CAM = ∠AMG,∴ 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBB·八年级数学上　 第 5 页 ∠CAM + ∠FEM = ∠AMG + ∠GME = ∠AME. ∵ ∠CAM= 3∠MEF= 57°,∴ ∠MEF= 19°,∴ ∠AME = ∠CAM+∠FEM= 57°+19° = 76°. 13. 解:(1)如图 1,过点 P 作 PN∥AB. ∵ ∠B = 120°, ∴ ∠BPN = 180° - ∠B = 60°. ∵ AB∥CD, ∴ PN∥ CD,又 ∵ ∠C = 30°, ∴ ∠CPN = ∠C = 30°, ∴ ∠BPC= ∠BPN+∠CPN= 90°; (2)如图 2,过点 P 作 PN∥AB,过点 Q 作 QM∥ AB. ∵ AB∥CD,∴ AB∥PN∥QM∥CD,又∵ ∠B = 125°,∠C = 140°, ∴ ∠BPN = 180° - ∠B = 55°, ∠CQM = 180° - ∠C = 40°. ∵ ∠PQC = 70°, ∴ ∠PQM = ∠PQC - ∠CQM = 30°, ∴ ∠NPQ = ∠PQM= 30°,∴ ∠BPQ= ∠BPN+∠NPQ= 85°; (3)∠2+∠4+∠6 = ∠1+∠3+∠5+∠7. 　 【解析】 如图 3,作 EP∥AB 交 BP 于点 P,作 FQ∥AB 交 PQ 于点 Q,作 GM∥AB 交 MQ 于点 M,作 HN∥CD 交 MN 于点 N,作 OI∥CD 交 CO 于点 O,∴ AB∥ CD∥EP∥FQ∥GM∥HN∥OI, ∴ ∠BPE = ∠1, ∠EPQ = ∠PQF, ∠FQM = ∠QMG, ∠GMN = ∠MNH,∠HNO= ∠NOI,∠IOC= ∠7,又∵ ∠EPQ = ∠2-∠1,∠FQM = ∠3 -∠PQF,∠GMN = ∠4 - ∠QMG, ∠HNO = ∠5 - ∠MNH, ∠IOC = ∠6 - ∠NOI,∴ ∠7 = ∠IOC = ∠6-∠NOI = ∠6-∠HNO = ∠6-(∠5-∠MNH)= ∠6-∠5+∠MNH = ∠6- ∠5+∠GMN= ∠6-∠5+∠4-∠QMG = ∠6-∠5+ ∠4-∠FQM= ∠6-∠5+∠4-(∠3-∠PQF)= ∠6 -∠5 + ∠4 - ∠3 + ∠PQF = ∠6 - ∠5 + ∠4 - ∠3 + ∠EPQ= ∠6-∠5+∠4-∠3+∠2-∠1,即∠2+∠4 +∠6 = ∠1+∠3+∠5+∠7. 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 追梦专项一　 大题抢分练 考点 1　 实数及二元一次方程组的相关计算 1. 解:(1) 原式 = 3 5 + 3 2 - 2 2 + 5 5 + 2 = 8 5 + 2 2 ; (2)原式= 2-2 2 +1- 4 +2 = 2-2 2 +1-2+2 = 3- 2 2 ; 2. 解:(1) 2x-y= 3① 3x+2y= 8②{ ,①×2+②,得 7x= 14,解得 x= 2,把 x = 2 代入①,得 2 × 2 - y = 3,解得 y = 1. ∴ x= 2 y= 1{ ; (2)整理得: 4x+y= 5① 3x+2y= 15②{ ,由①得:y = 5-4x③,把 ③代入②,得:3x+2(5-4x) = 15,解得:x = -1,把 x = -1 代入③,得 y= 9,∴ x= -1 y= 9{ . 考点 2　 数据的处理与分析 3. 解:(1)补全条形统计图如图: (2)7. 6　 8 (3)八年级,理由:八年级平均数、中位数较高,成 绩更好,方差较小,成绩更稳定. (4)800×11 +11+4 50 = 416(人),答:估计八年级参加 此次测试活动成绩合格的学生人数是 416 人. 考点 3　 位置与坐标 4. 解:(1)∵ C( -1,-3),∴ | -3 | = 3,∴ 点 C 到 x 轴的 距离为 3; (2)∵ A( -2,3)、B(4,3)、C( -1,- 3),∴ AB = 4 - ( -2)= 6,点 C 到边 AB 的距离为:3-( -3) = 6,∴ △ABC 的面积为:6×6× 1 2 = 18; (3)(0,1)或(0,5) 　 【解析】设点 P 的坐标为(0, y) . ∵ △ABP 的面积为 6,A(-2,3)、B(4,3),∴ 1 2 ×6× | y-3 | = 6,∴ | y-3 | = 2,∴ y = 1 或 y = 5,∴ P 点 的坐标为(0,1)或(0,5) . 考点 4　 勾股定理及其应用 5. 解:由题意得:AC=AE+CE= 1+5 = 6,BC=BD+DC = 7+3 = 10,∵ ∠EDC = 90°,在 Rt△EDC 中,由勾股 定理得:DE = CE2 -DC2 = 52 -32 = 4. ∵ 62 +82 = 102,∴ AC2 +AB2 =BC2,∴ △ABC 是直角三角形,且 ∠BAC= 90°,∴ S四边形ABDE = S△ABC -S△EDC = 1 2 AB×AC - 1 2 DE×DC= 18. 6. 解:(1)由题意得:AG =CD = 1 米,GC = AD = 15 米. 设 BG= x 米,则 BC= (26-1-x)米. 在 Rt△BGC 中, 由勾股定理,得 BG2 +CG2 =CB2,即 x2 +152 = (26-1 -x) 2,解得 x= 8,∴ BG= 8 米,∴ AB = 8+1 = 9(米), 答:立柱 AB 长为 9 米; (2)由题意得:CF = DE = 3 米,∴ GF = 15 + 3 = 18 (米 ) . 在 Rt△BGF 中, 由 勾 股 定 理 得 BF = 82 +182 = 2 97 (米),答:要焊接的钢索 BF 的长 为 2 97米. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【方法点拨】本题考查了勾股定理的应用,熟练掌握 勾股定理,求出 BG 的长是解题的关键. 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBB·八年级数学上　 第 6 页