5.1.1 任意角（5大题型）-2024-2025学年高一数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第一册）

5.1.1 任意角 知识点 1 角的概念 1、角的概念：角可以看成平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形． 2、角的表示： （1）始边：射线的起始位置． （2）终边：射线的终止位置． （3）顶点：射线的端点O． （4）记法：图中的角可记为“角”或“”或“”． 3、角的分类 （1）正角：按逆时针方向旋转形成的角； （2）负角：按顺时针方向旋转形成的角； （3）零角：一条射线没有作任何旋转形成的角． 知识点 2 相等角与角的加减 1、相等角：设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成，如果他们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称． 2、相反角：把射线绕端点按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角的相反角记为． 3、角的加减：记，是任意两个角，我们规定：把角的终边按逆时针旋转角，这时终边所对应的角是；按顺时针旋转角，这时终边所对应的角是． 知识点 3 终边相同的角 1、终边相同的角的表示：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，它们彼此相差，即. 【要点辨析】相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍，要注意角的集合的表示形式不是唯一的． 2、象限角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限； 象限角 集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 3、轴线角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，并且角的终边落在坐标轴上时，称这个角为轴线角，这时，这个角不属于任何象限． 角的终边位置 集合表示 轴的非负半轴 轴的非正半轴 轴上 轴非负半轴 轴非正半轴 轴上 1、求终边相同的角 （1）当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等，终边不同的角一定不相等．终边相同的角有无数个，它们相差360°(或2π)的整数倍． （2）求在某范围内与已知角的终边相同的角时，先将这样的角表示成或的形式，然后采用赋值法或解不等式，确定的值，求出满足条件的角． 2、判断角的终边所在象限的方法 （1）分类讨论法：利用已知条件写出的范围（用含有的式子表示），由此确定角的范围，然后对进行分类讨论，从而确定角的终边所在的象限． （2）几何法：先把各象限分为等份，再从轴的非负半轴的上方起，按逆时针方向依次将各区域表上一、二、三、四，一、二、三、四……则原来是第几象限角，标号为几的区域为角的终边所在的区域． 3、用集合表示终边落在某区域内的角的步骤 （1）确定终边在限定范围的边界上的角的表示； （2）按逆时针方向从小到大写出角满足的范围（注意边界的虚实）． 4、锐角、的角、小于的角、第一象限角四者的区别 类型 角的集合表示 锐角 的角 小于的角 第一象限角 题型一 任意角的概念辨析 【例1】（23-24高一上·山东枣庄·期末）已知集合钝角，第二象限角，小于的角，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知集合A={| 为锐角}，B={|为小于的角}，C={|为第一象限角}，D={|为小于的正角}，则下列等式中成立的是（    ） A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D 【变式1-2】（24-25高三上·重庆·月考）下列说法中正确的个数是（    ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于的角都是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（22-23高一下·新疆塔城·月考）下列说法中正确的是（    ） A．锐角是第一象限角 B．终边相等的角必相等 C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角 题型二 求终边相同的角 【例2】（23-24高一下·河南南阳·期中）与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一下·山东日照·期中）在内，与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一上·江苏徐州·月考）下列各角，与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）下列各角中与终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 题型三 根据图形写出角的范围 【例3】（22-23高一下·广西钦州·月考）集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一上·湖北孝感·期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一下·江西南昌·月考）已知，则角的终边落在的阴影部分是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高一下·陕西渭南·月考）如图所示，终边落在阴影部分的角的取值集合为 ． 题型四 确定已知角的象限 【例4】（24-25高一上·河北邢台·月考）是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式4-1】（23-24高一下·陕西·月考）是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式4-2】（23-24高一上·河北唐山·期末）已知，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式4-3】（23-24高三上·海南·月考）若是第一象限角，则下列各角为第四象限角的是（    ） A． B． C． D． 题型五 确定n倍角与n分角的象限 【例5】（23-24高一上·江苏连云港·月考）如果是第三象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第一或第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【变式5-1】（22-23高一下·上海黄浦·期中）已知是第一象限角，那么（    ） A．是第一、二象限角 B．是第一、三象限角 C．是第三、四象限角 D．是第二、四象限角 【变式5-2】（22-23高一上·湖南湘潭·期末）若角是第一象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【变式5-3】（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）（多选）已知是第二象限角，则可以是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1.1 任意角 知识点 1 角的概念 1、角的概念：角可以看成平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形． 2、角的表示： （1）始边：射线的起始位置． （2）终边：射线的终止位置． （3）顶点：射线的端点O． （4）记法：图中的角可记为“角”或“”或“”． 3、角的分类 （1）正角：按逆时针方向旋转形成的角； （2）负角：按顺时针方向旋转形成的角； （3）零角：一条射线没有作任何旋转形成的角． 知识点 2 相等角与角的加减 1、相等角：设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成，如果他们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称． 2、相反角：把射线绕端点按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角的相反角记为． 3、角的加减：记，是任意两个角，我们规定：把角的终边按逆时针旋转角，这时终边所对应的角是；按顺时针旋转角，这时终边所对应的角是． 知识点 3 终边相同的角 1、终边相同的角的表示：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，它们彼此相差，即. 【要点辨析】相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍，要注意角的集合的表示形式不是唯一的． 2、象限角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限； 象限角 集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 3、轴线角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，并且角的终边落在坐标轴上时，称这个角为轴线角，这时，这个角不属于任何象限． 角的终边位置 集合表示 轴的非负半轴 轴的非正半轴 轴上 轴非负半轴 轴非正半轴 轴上 1、求终边相同的角 （1）当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等，终边不同的角一定不相等．终边相同的角有无数个，它们相差360°(或2π)的整数倍． （2）求在某范围内与已知角的终边相同的角时，先将这样的角表示成或的形式，然后采用赋值法或解不等式，确定的值，求出满足条件的角． 2、判断角的终边所在象限的方法 （1）分类讨论法：利用已知条件写出的范围（用含有的式子表示），由此确定角的范围，然后对进行分类讨论，从而确定角的终边所在的象限． （2）几何法：先把各象限分为等份，再从轴的非负半轴的上方起，按逆时针方向依次将各区域表上一、二、三、四，一、二、三、四……则原来是第几象限角，标号为几的区域为角的终边所在的区域． 3、用集合表示终边落在某区域内的角的步骤 （1）确定终边在限定范围的边界上的角的表示； （2）按逆时针方向从小到大写出角满足的范围（注意边界的虚实）． 4、锐角、的角、小于的角、第一象限角四者的区别 类型 角的集合表示 锐角 的角 小于的角 第一象限角 题型一 任意角的概念辨析 【例1】（23-24高一上·山东枣庄·期末）已知集合钝角，第二象限角，小于的角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为钝角大于，且小于的角，一定是第二象限角，所以，故选项C正确， 又第二象限角的范围为， 不妨取，此时是第二象限角，但，所以选项ABD均错误，故选：C. 【变式1-1】已知集合A={| 为锐角}，B={|为小于的角}，C={|为第一象限角}，D={|为小于的正角}，则下列等式中成立的是（    ） A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D 【答案】D 【解析】因为A={| 为锐角}， D={|为小于的正角}， 对于集合，小于的角包括零角与负角， 对于集合，C={|为第一象限角}，所以A=D，故选：D 【变式1-2】（24-25高三上·重庆·月考）下列说法中正确的个数是（    ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于的角都是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①，终边相同的角可以相差360°的整数倍，不一定相等，①错误； 对于②，钝角是大于90°且小于180°的角，一定是第二象限角，②正确； 对于③，第一象限角可以是正角，也可以是负角，③正确； 对于④，小于90°的角可以是锐角，也可以是负角，④错误． 综上，正确的个数是2.故选：B． 【变式1-3】（22-23高一下·新疆塔城·月考）下列说法中正确的是（    ） A．锐角是第一象限角 B．终边相等的角必相等 C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角 【答案】A 【解析】锐角是指大于小于的角，故其在第一象限，即A正确； 选项B．终边相等的角必相等，两角可以相差整数倍，故错误； 选项C．小于的角不一定在第一象限，也可以为负角，故错误； 选项D．根据任意角的定义，第二象限角可以为负角，第一象限角可以为正角， 此时第二象限角小于第一象限角，故错误.故选：A 题型二 求终边相同的角 【例2】（23-24高一下·河南南阳·期中）与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 与角终边相同的角是．故选：B. 【变式2-1】（23-24高一下·山东日照·期中）在内，与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，而其它项对应角都不满足.故选：B. 【变式2-2】（23-24高一上·江苏徐州·月考）下列各角，与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，， 角与角终边相同，A是； 对于C，角是第二象限角，角是第四象限角，C不是； 对于B，，即角与角终边相同，B不是； 对于D，角是第三象限角，角是第四象限角，D不是.故选：A 【变式2-3】（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）下列各角中与终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】运用终点相同的角概念知道，与终边相同的角为 则当，.故选：B. 题型三 根据图形写出角的范围 【例3】（22-23高一下·广西钦州·月考）集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合中， 当为偶数时，此集合与表示终边相同的角，位于第一象限； 当为奇数时，此集合与表示终边相同的角，位于第三象限. 所以集合中角表示的范围为选项B中阴影所示.故选：B. 【变式3-1】（23-24高一上·湖北孝感·期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，， 当时，,所以选项C满足题意.故选：C. 【变式3-2】（23-24高一下·江西南昌·月考）已知，则角的终边落在的阴影部分是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，得，则B选项中的阴影部分区域符合题意.故选：B． 【变式3-3】（23-24高一下·陕西渭南·月考）如图所示，终边落在阴影部分的角的取值集合为 ． 【答案】 【解析】终边落在射线OA上的角的集合是， 终边落在射线OB上的角的集合是， 所以终边落在阴影部分(含射线OA， 不含射线OB)的角的集合是. 故答案为：. 题型四 确定已知角的象限 【例4】（24-25高一上·河北邢台·月考）是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【解析】因为，终边在第三象限，所以是第三象限角.故选：C. 【变式4-1】（23-24高一下·陕西·月考）是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【解析】，故其为第四象限角.故选：D. 【变式4-2】（23-24高一上·河北唐山·期末）已知，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【解析】因为，又是第三象限角， 所以是第三象限角，故选：C. 【变式4-3】（23-24高三上·海南·月考）若是第一象限角，则下列各角为第四象限角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是第一象限角，所以是第四象限角， 则是第一象限角，故A错误；是第二象限角，故B错误； 是第四象限角，故C正确；是第一象限角，故D错误.故选：C. 题型五 确定n倍角与n分角的象限 【例5】（23-24高一上·江苏连云港·月考）如果是第三象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第一或第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【答案】C 【解析】是第三象限角，则， 故， 当为偶数时，在第三象限；当为奇数时，在第一象限；故选：C. 【变式5-1】（22-23高一下·上海黄浦·期中）已知是第一象限角，那么（    ） A．是第一、二象限角 B．是第一、三象限角 C．是第三、四象限角 D．是第二、四象限角 【答案】B 【解析】因为是第一象限角， 所以，， 所以，， 当为偶数时，是第一象限角， 当为奇数时，是第三象限角， 综上所述，第一、三象限角.故选：B. 【变式5-2】（22-23高一上·湖南湘潭·期末）若角是第一象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【答案】C 【解析】因为是第三象限角，所以， 所以， 当为偶数时，是第一象限角， 当为奇数时，是第三象限角.故选：C． 【变式5-3】（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）（多选）已知是第二象限角，则可以是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】AC 【解析】因为是第二象限角，即，， 所以，， 当k为偶数时，是第一象限角， 当k为奇数时，是第三象限角．故选：AC． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$