抓分练1 勾股定理-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（北师大版 河南专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 1　 勾股定理 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 三角形的三边为 a、b、c,下列条件不能判断 它是直角三角形的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. a ∶b ∶c= 8 ∶16 ∶17 B. a2 -b2 = c2 C. a2 = (b+c)(b-c) D. a ∶b ∶c= 13 ∶5 ∶12 2. 下列各组数据的三个数, 是 勾 股 数 的 有(　 　 ) ①32,42,52;②6,8,10;③7,24,25;④ 1 3 , 1 4 , 1 5 ;⑤1. 5,2,2. 5 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 3. 如图,一木杆在离地面 8 m 的 A 处折断,木 杆顶端落在离木杆底端 6 m 的 B 处,则木 杆折断之前的长度为(　 　 ) A. 10 m B. 14 m C. 18 m D. 22 m 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 4. 如图,已知网格中每个小正方形的边长均 为 1,以点 A 为圆心,AB 为半径画弧交网格 线于点 D,则 ED 的长为(　 　 ) A. 5 B. 3 C. 2 D. 13 5. 在△ABC 中,AD 是 BC 边上的高,AD= 4,AB = 4 10 ,AC= 5,则△ABC 的面积为(　 　 ) A. 18 B. 24 C. 18 或 24 D. 18 或 30 6. 生活情境·荡秋千 荡秋千是中国古代北方 少数民族创造的一种运动,小亮想利用所 学的勾股定理知识测算公园里一架秋千立 柱 AB 的高度. 如图,他发现秋千静止时,秋 千踏板离地面的垂直高度 DB 为 0. 4 米,将 踏板往前推送,使秋千绳索 AD 到达 AE 的 位置,测得推送的水平距离 CE 为 3 米,此 时秋千踏板离地面的垂直高度 EF 为 1. 4 米,则立柱 AB 的高度为(　 　 ) A. 3 米 B. 4 米 C. 4. 4 米 D. 5. 4 米 二、填空题(每小题 3 分,共 9 分) 7. 如图,是我国汉代的赵爽在注解《周髀算 经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”,它 是由四个全等的直角三角形和一个小正方 形组成的一个大正方形,若图中大正方形 ABCD 的面积为 34,直角三角形较短的直角 边长 AH 为 3,则中间小正方形 EFGH 的面 积为　 　 　 　 . 第 7 题图 第 8 题图 8. 如图,直角△ABC 中,AC = 7,AB = 25,则内 部五个小直角三角形的周长为　 　 　 　 . 9. 如图,小红想用一条彩带缠绕易 拉罐,正好从 A 点绕到正上方 B 点共四圈,已知易拉罐的底面周 长是 24 cm,高是 28 cm,那么所需彩带最短 的长度是　 　 　 　 . 三、解答题(共 28 分) 10. (8 分)一个梯子 AB 长为 5 米,顶端 A 靠 在墙 AC 上,这时梯子下端 B 与墙角 C 之 间的距离是 4 米,将梯子的底端 B 向 C 方 向挪动 1 米(BB′ = 1),求梯子的顶端向上 1 情境期末·ZBB·八年级数学上 移动了多少米(即求 AA′的长)? 11. (9 分)“中华人民共和国道路交通管理条 例”规定:小汽车在城街路上行驶速度不 得超过 70 km / h. 如图,一辆小汽车在一条 城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶 到路对面车速检测仪 A 处的正前方 30 m 的 C 处,过了 2 s 后,测得 B 处小汽车与车 速检测仪间距离为 50 m,这辆小汽车超速 了吗? (参考数据转换:1 m / s = 3. 6 km / h) 12. 学习情境·过程性学习 (11 分) 著名的赵 爽弦图(如图①,其中四个直角三角形较 大的直角边长都为 a,较小的直角边长都 为 b,斜边长都为 c),大正方形的面积可以 表示为 c2,也可以表示为 4× 1 2 ab+(a-b) 2, 由此推导出重要的勾股定理:如果直角三 角形两条直角边长为 a,b,斜边长为 c,则 a2 +b2 = c2 . 图① 　 　 图② 　 　 图③ (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的 “总统证法”,请你利用图②推导勾股定 理; (2)如图③,在一条东西走向河流的一侧 有一村庄 C,河边原有两个取水点 A、B,AB =AC,由于某种原因,由 C 到 A 的路现在 已经不通,该村为方便村民取水决定在河 边新建一个取水点 H(A、H、B 在同一条直 线上),并新修一条路 CH,且 CH⊥AB. 测 得 CH = 0. 8 千米,HB = 0. 6 千米,求新路 CH 比原路 CA 少多少千米? (3)小明继续思考研究,发现了三角形已 知三边的长,可求高的一种方法. 他是这 样思考的,在第(2)问中若 AB≠AC 时,CH ⊥AB,AC= 10,BC = 17,AB = 21,设 AH = x, 可以求 CH 的值,请帮小明写出求 CH 的 过程. 2 分∠ACB,∴ ∠1 = 1 2 ∠ACB = 52°, ∴ ∠2 = 180° - 40°-52° = 88°. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂《课本回头练》答案 基础知识抓分练 1　 勾股定理 一、选择题 1. A　 2. B　 3. C 4. A　 【解析】 连接 AD,则 AD = AB = 3,AE = 2,在 Rt△AED 中,AE2 +DE2 = AD2,所以 DE = 5 . 故选 A. 5. D　 【解析】在 Rt△ABD 中,由勾股定理得 BD = AB2 -AD2 = 12. 在 Rt△ACD 中,由勾股定理得 CD = 52 -42 = 3,分两种情况:①当 AD 在△ABC 的内 部时,BC= 12+3 = 15,则 S△ABC = 1 2 BC×AD= 1 2 ×15× 4 = 30;②当 AD 在△ABC 的外部时,BC = 12-3 = 9, 则 S△ABC = 1 2 BC × AD = 1 2 × 9 × 4 = 18. 综上所述, △ABC 的面积为 30 或 18. 故选 D. 6. D　 【解析】设绳索 AD 的长度为 x m,则 AE = x m, AB=AD+BD=(x+0. 4)m,∵ CD =BC-BD =EF-BD = 1. 4-0. 4 = 1(m),∴ AC =AD-CD= (x-1)m,由题 意得:∠ACE= 90°,在 Rt△AEC 中,由勾股定理得: CE2 +AC2 =AE2,即 32 +(x-1) 2 = x2,解得:x = 5,∴ x +0. 4 = 5 + 0. 4 = 5. 4(米),即立柱 AB 的高度为 5. 4m. 故选 D. 二、填空题 7. 4　 【解析】∵ 图中大正方形 ABCD 的面积为 34,直 角三角形较短的直角边长 AH 为 3,由勾股定理 得,AH2 +DH2 =AD2,即 32 +DH2 = AD2 = 34,∴ DH2 = 25,∴ DH = 5(负值舍弃),∴ 中间小正方形 EFGH 的面积为(5-3) 2 = 4. 8. 56　 【解析】 BC = AB2 -AC2 = 24,由图形可以看 出,五个小直角三角形的直角边经过平移可以得 到大直角三角形的直角边,∴ 五个小直角三角形 的周长=大直角三角形的周长= 24+25+7 = 56. 9. 100cm　 【解析】由图可知,彩带 从易拉罐底端的 A 处绕易拉罐 4 圈后到达顶端的 B 处,将易拉罐 表面切开展开呈长方形,则螺旋 线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长, AD= 24cm,JD = 7cm,∴ AJ2 = 242 +72 = 252,25×4 = 100(cm),所以彩带最短是 100cm. 三、解答题 10. 解:由题意可得,AC = AB2 -BC2 = 3 米,B′C = BC -BB′= 4-1 = 3(米),A′B′ = AB = 5 米,设 A′C = x 米,在 Rt△A′CB′中,A′C2 +B′C2 = A′B′2,∴ x = 4, ∴ AA′= A′C-AC = 1 米,答:梯子的顶端向上移动 了 1 米. 11. 解:在 Rt△ABC 中,AC = 30m,AB = 50m;根据勾股 定理可得:BC= AB2 -AC2 = 40 米,∴ 小汽车的速 度为 v= 40 2 = 20( m / s) = 72( km / h). ∵ 72>70,∴ 这辆小汽车超速行驶. 答:这辆小汽车超速了. 12. 解:(1)梯形 ABCD 的面积为 1 2 ( a+b) ( a+b) = 1 2 a2 +ab+ 1 2 b2,也可以表示为 1 2 ab+ 1 2 ab+ 1 2 c2,∴ 1 2 ab+ 1 2 ab+ 1 2 c2 = 1 2 a2 +ab+ 1 2 b2,即 a2 +b2 = c2; (2)设 AB=AC= x 千米,∴ AH=AB-BH= (x-0. 6) 千米,∵ CH⊥AB,∴ ∠CHA= 90°,在 Rt△ACH 中, 根据勾股定理得:CA2 =CH2 +AH2,∴ x2 = 0. 82 +(x -0. 6) 2,解得 x = 5 6 ,即 CA = 5 6 千米,∴ CA-CH = 5 6 -0. 8 = 1 30 (千米),答:新路 CH 比原路 CA 少 1 30 千米; (3)∵ AH = x,∴ BH = AB-AH = 21-x,∵ CH⊥AB, AC = 10, BC = 17, AB = 21, 根据勾股定理: 在 Rt△ACH 中,CH2 =CA2 -AH2,在 Rt△BCH 中,CH2 =CB2 -BH2,∴ CA2 -AH2 = CB2 -BH2,即 102 -x2 = 172 -( 21 - x) 2, 解得: x = 6, ∴ AH = 6, ∴ CH = CA2 -AH2 = 102 -62 = 8. 基础知识抓分练 2　 实数 一、选择题 1. A　 2. C　 3. B　 4. C　 5. A 6. C　 【解析】3. 14159 是有限小数,故它是有理数, 故①错误;平方根等于自身的数是 0,故②正确;∵ 9<10<16,∴ 3< 10 <4,∴ a = 3,b = 4,∴ a+b = 3+4 = 7,故③正确;∵ 3 2x+1 与 3 3y-1 互为相反数,∴ 2x+1 与 3y-1 互为相反数,∴ 2x+1+3y-1 = 0,∴ 2x +3y= 0,故④正确. 故选 C. 7. D 二、填空题 8. 12　 9. > 10. - 2 (答案不唯一) 11. -1　 12. (1)3　 (2)255 三、解答题 13. 解:(1)原式= 3- 20 +2 5 = 3-2 5 +2 5 = 3; (2)原式= 3 2 + 2 -1-2 2 +6 = 2 2 +5; (3)原式= 18-3-(1+5-2 5 )= 15-(6-2 5 )= 9+ 2 5 . 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBB·八年级数学上　 第 2 页