试卷8 教育质优城市新题研习卷(北京市)-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（冀教版 河北专用）

1 2 FE= 1 2 AG,∴ S△BDE = 1 2 DE·BE = 1 2 × 1 2 AG· CF= 1 2 S△AGC,∴ S△BDE S△AGC = 1 2 . 三、解答题 20. 解:(1)原式= 2-2 6 +3+2 3 3 ×3 2 = 5-2 6 +2 6 = 5; (2)两边同乘以(x+2) ( x-2),得-( x+2) 2 +16 = -(x+2)(x-2),解得 x= 2,检验:当 x = 2 时,( x+ 2)(x-2)= 0,所以 x= 2 为原分式方程的增根,所 以原分式方程无解. 21. 解:原式 = 2(x 2 +1) (x-1) 2 ÷(x-1) 2 +x2 +2x+1 x-1 = 2(x 2 +1) (x-1) 2 ÷2x 2 +2 x-1 = 2(x 2 +1) (x-1) 2 · x -1 2(x2 +1) = 1 x-1 ,当 x = 3 时, 原式= 1 3 -1 = 3 +1 2 . 22. 解:由题意可知,AF = 1. 2 米,∵ ∠BOC = 90°,∴ ∠GOC+ ∠FOB = 90°, ∵ CG ⊥OA,BF ⊥ OA, ∴ ∠CGO= ∠OFB= 90°,∴ ∠GOC+∠GCO = 90°,∴ ∠GCO = ∠FOB, 在 △GCO 和 △FOB 中, ∠CGO= ∠OFB ∠GCO= ∠FOB OC=BO { ,∴ △GCO≌ △FOB ( AAS), ∴ CG=OF = 2. 2 米,OG = BF = 1. 8 米,∴ GF = OF- OG= 2. 2-1. 8 = 0. 4(米),∴ AG = AF+GF = 1. 2 + 0. 4 = 1. 6(米),答:爸爸接住小明的位置 C 距地 面的高度是 1. 6 米. 23. 解:∵ 四边形 ABCD 是长方形,∴ ∠A= ∠C = 90°, AB=CD,由翻折可得 DF =DC,∠F = ∠C,∴ AB = FD, ∠A = ∠F. 在 △ABE 和 △FDE 中, ∠A= ∠F ∠AEB= ∠FED AB=FD { ,∴ △ABE≌△FDE(AAS),∴ AE =FE,BE=DE,在 Rt△ABE 中,设 AE = x,则 DE = BE= 4-x,∴ (4-x) 2 = x2 +32,解得 x = 7 8 ,∴ AE = 7 8 . 24. 解:①当点 M 在 BC 上时,∵ △ABM′≌△DCE,∴ CE=BM′= 3,由题意可得:BM′= 2t-4 = 3,所以 t = 3. 5 秒; ② 当点 M 在 AD 上时, ∵ △ABM″ ≌ △CDE,∴ AM″= CE = 3,由题意得:AM″ = 16-2t = 3,解得 t= 6. 5 秒. 综上所述:当 t 的值为 3. 5 秒或 6. 5 秒时,△ABM 和△DCE 全等. 25. 解:(1)设乙队单独完成这项工程需 x 天,则甲队 单独完成这项工程所需天数是 1. 5x 天,依题意 得: 90 1. 5x + 30 1. 5x +30 x = 1,解得 x = 110,检验,当 x = 110 时,1. 5x≠0,所以原分式方程的解为 x = 110. 所以 1. 5x= 1. 5×110 = 165(天) . 答:乙队单独完 成这项工程需 110 天,甲队单独完成这项工程需 165 天; (2)设甲、乙两队合作完成这项工程需要 y 天,则 有 y 110 + y 165 = 1,解得 y = 66,需要施工的费用:66× (40+ 52) = 6072 ( 万元), ∵ 6072 > 6000, 6072 - 6000 = 72(万元),答:工程预算的费用不够用,需 要增加 72 万元. 26. (1) 证明:由旋转的性质得 CO = CD, ∠OCD = 60°,∴ △COD 是等边三角形. (2)解:∠ADC= ∠BOC = α = 150°,又∵ △COD 是 等边三角形,∴ ∠ODC = 60°,∴ ∠ADO = ∠ADC- ∠ODC= 90°,∵ α = 150°,∠AOB = 110°,∠COD = 60°,∴ ∠AOD = 360° - 150° - 110° - 60° = 40°,∴ △AOD 不是等腰直角三角形,即△AOD 是直角三 角形. (3)解:∵ ∠AOD = 360°-110°-60°-α = 190°-α, ∠ADO=α-60°,∴ ∠OAD = 180°-∠AOD-∠ADO = 50°. ①当 AO=AD 时,∠AOD= ∠ADO,即 190°- α=α-60°,∴ α = 125°;②当 OA =OD 时,∠OAD = ∠ADO,∴ α-60° = 50°,∴ α = 110°;③当 OD = AD 时,∠OAD = ∠AOD, ∴ 190° - α = 50°,解得 α = 140°. 综上所述:当 α 的度数为 125°或 110°或 140°时,△AOD 是等腰三角形. 教育质优城市新题研习卷(北京市) 一、选择题 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D C C A B C C C A 11 12 C C 1. A 2. D　 【解析】∵ 9 < 11 < 16 ,∴ 11 在 3 与 4 之 间,∴ 5- 11 在 1 与 2 之间. 故选 D. 3. C　 【解析】∵ (5-a) 2 =a-5,∴ a-5≥0,∴ a≥5. 故选 C. 4. C　 【解析】∵ ∠ABC = 90°,点 D 为 AC 的中点,∴ AC= 2BD,∵ BD= 2,∴ AC= 4. 故选 C. 5. A　 【解析】根据题意得: 5x ×5y 2·5x-3·5y = 25xy 5(2x-3y) = 5xy 2x-3y ,即分式的值扩大为原来的 5 倍. 故选 A. 6. B 7. C　 【解析】∵ △DEC 与△ABC 关于点 C 成中心对 称,∴ △ACB ≌ △DCE, ∴ AC = CD = 2, ∠BAC = ∠ADE = 90°, AB = DE = 3, ∴ AD = 4, ∴ AE = DE2 +AD2 = 32 +42 = 5. 故选 C. 8. C　 9. C　 10. A 　 【解析】 在 Rt △ABC 中,∠CAB = 90°,BC = 17m,AC = 8m,∴ AB = BC2 -AC2 = 15m,由题意, 得 CD= 17-1×7 = 10(m),在 Rt△ACD 中,由勾股 定理得:AD= CD2 -AC2 = 6m,∴ BD=AB-AD= 15 -6 = 9(m),即船向岸边移动了 9m. 故选 A. 11. C　 【解析】∵ △ABC 和△ECD 都是等腰直角三 角形,∴ CA = CB,CE = CD,∠ACB = ∠ECD = 90°, ∠E = ∠CDE = 45°, ∠CAB = ∠CBA = 45°, ∵ ∠DAB+∠CAB = ∠ACE+∠E,∴ ∠DAB = ∠ACE, 追梦之旅·初中期末真题篇·河北专版 ZBJ·八年级数学　 第 19 页 故②正确;∴ ∠ACE + ∠ACD = ∠ACD + ∠DCB = 90°,∴ ∠ACE = ∠DCB,在△ACE 和△BCD 中, CA=CB ∠ECA= ∠DCB CE=CD { ,∴ △ACE≌△BCD(SAS),故① 正确;∴ AE = BD,∠CEA = ∠CDB = 45°,∴ ∠ADB = ∠CDB+∠EDC= 90°,∴ △ADB 是直角三角形, ∴ AD2 +BD2 = AB2,∴ AD2 +AE2 = AB2,∵ △ABC 是 等腰直角三角形,∴ AB2 = AC2 +BC2 = 2AC2,∴ AE2 +AD2 = 2AC2,故④正确;在 AD 上截取 DF =AE,连 接 CF, 在 △ACE 和 △FCD 中, AE=FD ∠E= ∠CDF= 45° CE=CD { ,∴ △ACE≌△FCD(SAS),∴ AC=FC,当∠CAF= 60°时,△ACF 是等边三角形, 则 AC=AF,此时 AE+AC =DF+AF = AD,故③不正 确. 故选 C. 12. C 二、填空题 13. 3 　 14. -4 15. 52°　 【解析】∵ ∠BAC = ∠DAE = 52°,∴ ∠BAD = ∠CAE,在△ABD 和△ACE 中, AB=AC ∠BAD= ∠CAE AD=AE { , ∴ △ABD≌ △ACE( SAS),∴ ∠AEC = ∠ADB,∵ ∠ADB = ∠AED + ∠DAE, ∴ ∠AEC = ∠AED + ∠DAE= ∠AED+∠BEC,∴ ∠BEC= ∠DAE= 52°. 16. 150°或 105°或 60° 　 【解析】∵ ∠C = 90°,∠B = 60°,∴ ∠A = 30°,分三种情况讨论:①当 B′A = B′E 时,如图 1,∴ ∠B′EA= ∠A= 30°,∴ ∠BEB′= 180°-∠B′EA= 150°;②当 AB′=AE 时,如图 2,∴ ∠AEB′= ∠AB′E = 180° -∠A 2 = 75°,∴ ∠BEB′ = 180°-∠AEB′= 105°;③当 EA =EB′时,如图 3,∴ ∠A= ∠EB′A = 30°,∴ ∠BEB′ = ∠A + ∠EB′A = 60°;综上所述,∠BEB′为 150°或 105°或 60°. 图 1 图 2 图 3 三、解答题 17. 解:(1)方程两边同乘 x(x-1)得,x(x-1) -(x-1) = x(x+1),解得 x = 1 3 ,经检验,x = 1 3 是原分式方 程的解; (2)方程两边同乘 2(x+3)得,4x+2x+6 = 7,解得 x = 1 6 ,经检验,x= 1 6 是原分式方程的解. 18. 解:原式 = 2(x -3) x-2 ÷( 5 x-2 -x 2 -4 x-2 ) = 2(x -3) x-2 ÷9-x 2 x-2 = 2(x-3) x-2 · x -2 -(x+3)(x-3) = - 2 x+3 ,∵ x≠2 且 x ≠±3,∴ 在 0<x<4 的范围内符合题意的整数只有 x= 1,则原式= - 2 1+3 = - 1 2 . 19. 解:如图 1,2,△DEF 即为所求(答案不唯一) . 图 1 　 　 　 图 2 20. (1) 证明:∵ △ABC 为等边三角形, ∴ AB = AC, ∠BAC = 60°, 在 △ABP 和 △ACQ 中, AB=AC ∠ABP= ∠ACQ BP=CQ { ,∴ △ABP≌△ACQ(SAS); (2)解:△APQ 是等边三角形. ∵ △ABP≌△ACQ, ∴ ∠BAP = ∠CAQ,AP = AQ, ∵ ∠BAP + ∠CAP = 60°,∴ ∠PAQ= ∠CAQ+∠CAP = 60°,∴ △APQ 是 等边三角形. 21. 解:(1)2×(2 108 +2 98 )= 2×(12 3 +14 2 )= 24 3 +28 2 (米),∴ 长方形广场的周长为(24 3 +28 2 )米. (2) 由题意可知, 铺地砖的面积为: 2 108 × 2 98 -2×[(2 13 +2) ×(2 13 -2)] = 12 3 × 14 2 -2×[(2 13 ) 2 -22] = (168 6 -96)平方米, ∵ 铺地砖的费用为 50 元 / 平方米,50 ×(168 6 - 96)= (8400 6 -4800)元. 答:这个广场铺地砖的 费用为(8400 6 -4800)元. 22. 解:(1)设前期电话询问时自动铅笔的单价为 x 元 /支,则钢笔的单价为(1 + 60%) x 元 /支,根据 题意得:200 x = 240 (1+60%)x + 10,解得:x = 5,经检 验,x = 5 是所列方程的解,且符合题意,∴ ( 1 + 60%)x= 1. 6×5 = 8,答:前期电话询问时钢笔的单 价为 8 元 /支,自动铅笔的单价为 5 元 /支; (2)设学校购买了 y 支钢笔作为奖品,则购买了 (200-y)支自动铅笔,根据题意得:5×(1+20%) (200-y) +8×0. 9y≤1308,解得:y≤90,答:学校最 多购买了 90 支钢笔作为奖品. 23. 解:(1)1 ∶1　 (2)过 D 作 DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F,∵ AD 为 ∠BAC 的角平分线,∴ DE=DF,∵ AB =m,AC = n, ∴ S△ABD ∶S△ACD = ( 1 2 ×AB×DE) ∶( 1 2 ×AC×DF) = m ∶n; (3)9 　 【解析】 ∵ AD = DE,∴ 由(1) 知:S△ABD ∶ S△EBD = 1 ∶1,∵ S△BDE = 6,∴ S△ABD = 6,∵ AC = 2,AB = 4,AD 平分∠CAB,∴ 由(2)知:S△ABD ∶S△ACD = AB ∶AC= 4 ∶2 = 2 ∶1,∴ S△ACD = 3,∴ S△ABC = 3+6 = 9. 24. 解:(1)4. 5　 6　 (2)①作 BE⊥AC 于点 E,在 AC 的延长线上取点 D,使得 DE=AE,连接 BD,则 BE 是边 AD 的中垂 线,故 AB = BD, ∠A = ∠D. ∵ 3 ∠A + 2 ∠ABC = 180°,∠A+∠ABC+∠BCA = 180°,∴ 2∠A+∠ABC = ∠ACB,∵ ∠ACB= ∠D+∠DBC,∴ 2∠A+∠ABC = ∠D + ∠DBC, ∵ ∠A = ∠D, ∴ ∠A + ∠ABC = ∠DBC,BD = AB = c, ∵ ∠A + ∠ABC = ∠DCB, ∴ 追梦之旅·初中期末真题篇·河北专版 ZBJ·八年级数学　 第 20 页 ∠DCB = ∠DBC,∴ DB =DC = c,设 EC = x,∴ DE = AE= b +c 2 ,∴ EC = AE-AC = b +c 2 -b = c -b 2 ,∵ BE2 = BC2 - EC2,BE2 = AB2 - AE2, ∴ a2 - ( c -b 2 ) 2 = c2 - (b +c 2 ) 2,解得,b= c 2 -a2 c . ② 15 3 　 【解析】作 BE⊥AC 于点 E,在 AC 的延 长线上取点 D,使得 AB=AD,连接 BD,故 AB =AD = 3,∠ABD = ∠D. ∵ 3∠A+4∠ABC = 180°,∠A+ ∠ABC+∠BCA= 180°,∴ 2∠A+3∠ABC = ∠ACB = ∠D+∠CBD = ∠ABC+∠CBD+∠CBD,∴ 2∠A+2 ∠ABC = 2 ∠CBD, ∴ ∠A + ∠ABC = ∠CBD = ∠BCD,∴ BD= CD = AD-AC = 1,∴ 在直角△BDE 和直角△AEB 中,利用勾股定理得到:BD2 -DE2 = AB2 -AE2,即 12 -(1 -CE) 2 = 32 -(2 +CE) 2,解得 CE= 5 6 ,∴ BE= 35 6 ,∴ a= BE2 +CE2 = 15 3 . 大情境期末模拟卷 一、选择题 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D D D C C C A A C 11 12 B B 1. A　 2. D　 3. D　 4. D　 【解析】当等腰三角形的腰为 5 时,三边为 5, 5,10,5+5 = 10,三边关系不成立;当等腰三角形的 腰为 10 时,三边为 5,10,10,三边关系成立,周长 为 5+10+10 = 25. 故选 D. 5. C　 6. C 7. C 　 【解析】 过点 D 作 DF ⊥ AC 于 F, ∵ AD 是 △ABC 的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴ DF =DE = 3,∵ DE= 3,AB= 5,S△ABC =S△ABD+S△ACD,∴ 12 = 1 2 ×3×5+ 1 2 ×3AC,∴ AC= 3. 故选 C. 8. A　 【解析】连接 PC,∵ ∠BPC = 2∠A,且∠BPC = ∠A+∠ACP,∴ ∠A = ∠ACP,∴ PA = PC,∴ 点 P 是 线段 AC 中垂线上的点. 故选 A. 9. A　 【解析】在△ABC 中,∠ACB = 90°,BC = 2,AC = 1,∴ AB = AC2 +BC2 = 12 +22 = 5 ,由题意可知, BD=AB= 5 . ∵ 点 B 对应的数为 1,∴ 点 D 表示的 数是 1- 5 . 故选 A. 10. C　 【解析】方程两边同时乘 x-1,得 kx+1 = 2(x- 1),即 ( k - 2) x = - 3,当 k - 2 = 0,即 k = 2 时, (k-2)x= - 3 无解;当 k - 2 ≠0,即 k≠2 时,x = - 3 k-2 ,∵ 关于 x 的分式方程 kx x-1 - 1 1-x = 2 无解,∴ - 3 k-2 = 1,解得 k= -1;综上所述,当关于 x 的分式 方程 kx x-1 - 1 1-x = 2 无解,k 的值为-1 或 2. 故选 C. 11. B　 【解析】设 EF 交 BC 于点 D,连接 AD,CP,∵ EF 垂直平分 AC,∴ DA = DC,PA = PC,∵ △APB 的周长为 AB+AP+BP = AB+BP+PC≥AB+BC,当 P 点与 D 点重合时,△APB 的周长最小,最小值 为 AB+BC= 9. 故选 B. 12. B　 【解析】根据题意得 AC = 6cm,AP = tcm,BQ = txcm,则 BP = AB-AP = (8 - t) cm,∵ ∠A = ∠B = 60°,∴ 当 AC = BP,AP = BQ 时,△ACP≌ △BPQ (SAS),即 6 = 8-t,t = tx,解得 t = 2,x = 1;当 AC = BQ,AP=BP 时,△ACP≌△BQP(SAS),即 6 = xt,t = 8-t,解得 t = 4,x = 1. 5,综上所述,当△ACP 与 △BPQ 全等时,x 的值是 1 或 1. 5. 故选 B. 二、填空题 13. 百分　 14. - -a 　 15. 56 16. 1. 75s 或 4s　 【解析】过 A 作 AD⊥BC 于 D,∵ AB = AC = 5cm, ∴ BD = CD = 1 2 BC = 4cm, ∴ AD = AC2 -CD2 = 52 -42 = 3(cm),分两种情况:①当 点 P 运动 t 秒后,PA⊥AC 时,则 PB = t,PC = 8-t, ∵ AP2 =PC2 -AC2 =PD2 +AD2,∴ (8-t) 2 -52 = (4- t) 2 +32,解得:t = 1. 75;②当 AP⊥BC 时,∵ AB = AC,∴ PB = PC = 1 2 BC = 4cm,∴ t = 4s,综上所述, 当 P 运动 1. 75s 或 4s 时,△ACP 是直角三角形. 三、解答题 17. 解:(1)原式= 2 2 +3 2 -(2-1) = 2 2 +3 2 -1 = 5 2 -1; (2)原式= 2 6 - 6 3 + 6 3 -2 6 3 = 4 6 3 . 18. 解:(1)方程的两边同乘(x-3),得 2-x-1 = 3(x- 3),解得 x= 2. 5. 经检验,x= 2. 5 是原分式方程的 解; (2)方程两边同乘(x-2),得-x+2 = 2(x-2),解得 x= 2,检验:当 x= 2 时,x-2 = 0,所以 x= 2 是增根, 原分式方程无解. 19. 解:原式 = 2x -(x-2) (x+2)(x-2) ·x -2 x-1 = x+2 (x+2)(x-2) · x-2 x-1 = 1 x-1 ,当 x= 3 +1 时,原式= 1 3 = 3 3 . 20. 证明:(1) ∵ AB∥DE,∴ ∠A = ∠D,∵ AF = CD,∴ AF+FC= CD+FC,即 AC =DF,在△BAC 和△EDF 中, AB=DE ∠A= ∠D AC=DF { ,∴ △BAC≌△EDF(SAS); (2)∵ △BAC≌△EDF,∴ ∠ACB = ∠DFE,∴ BC∥ EF. 21. (1)解:∵ AD 是△ABC 的角平分线,DE、DF 分别 是△ABD 和△ACD 的高,∴ DE =DF,在 Rt△AED 与Rt△AFD 中, AD=ADDE=DF{ ,∴ Rt△AED≌Rt△AFD (HL),∴ AE=AF,∵ DE=DF,∴ AD 垂直平分 EF; (2) 证明: ∵ Rt △AED ≌ Rt △AFD, ∴ ∠DAE = ∠DAF,∵ ∠BAC = 60°,∴ ∠DAE = 30°,∵ DE⊥ AB,∴ ∠AED = 90°,∴ ∠ADE = 60°,∵ AD 垂直平 追梦之旅·初中期末真题篇·河北专版 ZBJ·八年级数学　 第 21 页 河北专版·八年级数学　 第 1 页 河北专版·八年级数学　 第 2 页 河北专版·八年级数学　 第 3 页 　 　 　 　 试卷 8 教育质优城市新题研习卷(北京市) 测试时间:120 分钟　 　 测试分数:120 分 (已根据最新中考信息修订) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每题 3 分,共 36 分) 1. 要使分式 1 x+5 有意义,则 x 的取值范围为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. x≠-5 B. x= -5 C. x≠5 D. x= 5 2. 如图,数轴上有 A,B,C,D 四点,则所表示的数与 5- 11最接近的是(　 　 ) A. 点 A B. 点 B C. 点 C D. 点 D 第 2 题图 　 　 　 　 第 4 题图 　 　 　 　 　 　 第 6 题图 3. 若 (5-a) 2 =a-5,则 a 的取值范围是(　 　 ) A. a= 5 B. a>5 C. a≥5 D. a≤5 4. 如图,在△ABC 中,∠ABC= 90°,D 为 AC 中点,若 BD= 2,则 AC 的长是(　 　 ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 5. 如果把分式 xy 2x-3y 中的 x 和 y 的值同时扩大为原来的 5 倍,那么分式的值(　 　 ) A. 扩大为原来的 5 倍 B. 缩小为原来的 1 5 C. 不变 D. 扩大为原来的 25 倍 6. 如图,已知图中的两个三角形全等,则∠1 的度数是(　 　 ) A. 70° B. 66° C. 60° D. 54° 7. 如图,△DEC 与△ABC 关于点 C 成中心对称,AB= 3,AC= 2,∠CAB= 90°,则 AE 的长是(　 　 ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 第 7 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 第 8 题图 8. 如图,在正方形网格内(每个小正方形的边长为 1),有一格点三角形 ABC(三个顶点分别在正方形 的格点上),现需要在网格内构造一个新的格点三角形与原三角形全等,且有一条边与原三角形的 一条边重合,这样的三角形可以构造出(　 　 ) A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 9. 等腰三角形一边上的高与一腰所夹的锐角是 50°,则该等腰三角形顶角是(　 　 ) (1)甲的结果是 100°;(2)乙的结果是 40°;(3)丙的结果是 140°. A. 甲、乙的结果合起来才对 B. 乙、丙的结果合起来才对 C. 甲、乙、丙的结果合起来才对 D. 甲、乙、丙的结果合起来也不对 10. 如图,在离水面点 A 高度为 8 m 的岸上点 C 处,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子 BC 的长为 17 m,此人以 1 m / s 的速度收绳,7 s 后船移动到点 D 的位置,则船向岸边移动了( 　 　 ) (假设绳 子是直的) A. 9 米 B. 8 米 C. 7 米 D. 6 米 第 10 题图 　 　 　 　 　 第 11 题图 　 　 　 　 　 第 12 题图 11. 如图,△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形,△ABC 的顶点 A 在△ECD 的斜边 DE 上. 下列结论: ①△ACE≌△BCD;②∠DAB= ∠ACE;③AE+AC=AD;④AE2 +AD2 = 2AC2 . 其中正确的有(　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 12. 如图,等边△ABC 的边长为 4,AD 是 BC 边上的中线,F 是 AD 边上的动点,E 是 AC 边上一点,若 AE= 2,当 EF+CF 取得最小值时,∠ECF 的度数为(　 　 ) A. 15° B. 22. 5° C. 30° D. 45° 二、填空题(本大题共 4 个小题,每题 3 分,共 12 分) 13. 3 的算术平方根是　 　 　 　 . 14. 如果分式 m -4 m-4 的值等于 0,那么 m= 　 　 　 　 . 15. 如图,已知 AB = AC, AD = AE, ∠BAC = ∠DAE = 52°, B、 D、 E 在同一直线上, 则 ∠BEC 的度 数为　 　 　 　 . 第 15 题图 　 　 　 　 　 第 16 题图 16. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,∠B = 60°,点 D,E 分别是 BC,AB 上的动点,将△BDE 沿直线 DE 翻折,点 B 的对应点 B′恰好落在 AC 上,若△AEB′是等腰三角形,那么∠BEB′的大小为　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 72 分) 17. (8 分)解分式方程:(1)1- 1 x = x+1 x-1 ;　 　 　 　 　 　 (2) 2x x+3 +1 = 7 2x+6 . 18. (8 分)先化简,再求值:2x -6 x-2 ÷( 5 x-2 -x-2),在 0<x<4 的整数中选择合适的数代入求值. 19. (8 分)在 3×3 的正方形网格中,格线的交点称为格点,以格点为顶点的三角形称为格点三角形. 图 中△ABC 是一个格点三角形. 请在图 1 和图 2 中各画出一个与△ABC 成轴对称的格点三角形,并 画出对称轴. 图 1 　 　 　 图 2 20. (8 分)在等边三角形 ABC 中,点 P 在△ABC 内,点 Q 在△ABC 外,且∠ABP= ∠ACQ,BP=CQ. (1)求证:△ABP≌△ACQ; (2)请判断△APQ 是什么形状的三角形? 试说明你的结论. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 试卷 8 　 　 　 　 　 河北专版·八年级数学　 第 4 页 河北专版·八年级数学　 第 5 页 河北专版·八年级数学　 第 6 页 21. (9 分)如图,某小区内有一块长方形广场,广场长为 2 108米,宽为 2 98米,广场中间有两块大小 相同的长方形绿地(阴影部分),每块小长方形绿地的长为(2 13 +2)米,宽为(2 13 -2)米. (1)求广场的周长; (2)除绿地部分,广场其它部分都要铺上地砖,已知铺地砖的费用为 50 元 / 平方米,求这个广场铺 地砖的费用为多少元? 22. (10 分)2024 年 3 月 14 日是第五个“国际数学日”,某校在今年“国际数学日”举行了数学“最强大 脑”竞赛活动,购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品. 在前期询价时,通过电话询问文具店了解到, 钢笔的价格比自动铅笔贵 60%,且花 200 元购买的自动铅笔比花 240 元购买的钢笔多 10 支. (1)求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少元 / 支? (2)前往文具店购买时,恰逢商家对价格进行了调整:自动铅笔比之前询问时涨价 20%,而钢笔则 按之前询问价格的 9 折出售. 若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共 200 支,且购买奖品的费用没 有超过 1 308 元,则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品? 23. (10 分)在△ABC 中,D 是 BC 边上的点(不与点 B、C 重合),连接 AD. (1)如图 1,当点 D 是 BC 边上的中点时,S△ABD ∶S△ACD = 　 　 　 　 ; (2)如图 2,当 AD 是∠BAC 的平分线时,若 AB =m,AC = n,求 S△ABD ∶S△ACD 的值(用含 m,n 的代数 式表示); (3)如图 3,AD 平分∠BAC,延长 AD 到 E,使得 AD =DE,连接 BE,如果 AC = 2,AB = 4,S△BDE = 6,那 么 S△ABC = 　 　 　 　 . 图 1 　 图 2 　 图 3 24. (11 分)阅读:如图 1,在△ABC 中,3∠A+∠B= 180°,BC= 4,AC= 5,求 AB 的长. 小明的思路: 如图 2,作 BE⊥AC 于点 E,在 AC 的延长线上取点 D,使得 DE=AE,连接 BD,易得∠A= ∠D,△ABD 为等腰三角形,由 3∠A+∠B= 180°和∠A+∠ABC+∠BCA= 180°,易得∠BCA= 2∠A,△BCD 为等腰 三角形,依据已知条件可得 AE 和 AB 的长. 解决下列问题: (1)图 2 中,AE= 　 　 　 　 ,AB= 　 　 　 　 ; (2)在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a、b、c. ①如图 3,当 3∠A+2∠B= 180°时,用含 a,c 式子表示 b;(要求写解答过程) ②当 3∠A+4∠B= 180°,b= 2,c= 3 时,可得 a= 　 　 　 　 . 图 1 　 图 2 　 图 3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋