试卷4 承德2023-2024学年上学期期末学业质量监测-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（冀教版 河北专用）

方程的解. 答:这所希望学校有 17 个教学班. 22. 解:设 BD = x 米,则 CD = (21-x)米,∵ AD⊥BC, ∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°. 在 Rt △ABD 中,AD2 = AB2 -BD2,在 Rt△ACD 中,AD2 =AC2 -CD2,∴ AB2 - BD2 =AC2 -CD2 . ∵ AB = 13 米,AC = 20 米,∴ 132 - x2 = 202 -(21-x) 2,解得 x= 5,即 BD= 5 米,∴ AD= 132 -52 = 12(米). 23. (1)证明:连接 AD,∵ 点 A 关于射线 BN 对称点为 D,∴ BN 垂直平分 AD, ∴ BA = BD,CA = CD,在 △BAC 和△BDC 中,BA = BD,BC = BC,CA = CD, ∴ △BAC≌△BDC(SSS),∴ ∠BAC= ∠BDC; (2)解:连接 PD,PE,PA. ∵ △BAC≌△BDC,∴ ∠DBN= ∠ABN= 60°,∵ BE=BA,BA=BD,∴ BE = BD,∴ ∠E= ∠BDE= ∠EBD= 60°,∴ △BDE 为等 边三角形,∴ DE=BE = 12,∵ BN 垂直平分 AD,∴ PA=PD,∴ PE+PD = PE+PA,∵ PE+PA≥AE,当 A、P、E 三点共线,即点 P 运动到 B 点时,PE+PA 的最小值为 24,此时△PDE 周长的最小值为 PE +PD+DE=AE+DE= 24+12 = 36. 24. 【模型呈现】证明:∵ BE∥AC,∴ ∠ACD = ∠DBE, ∠CAD= ∠BED. ∵ AD 为△ABC 的中线,∴ CD = BD. 在△ACD 和△EBD 中, ∠ACD= ∠EBD ∠CAD= ∠E CD=BD { . ∴ △ACD≌△EBD(AAS),∴ AD=DE; 【应用 1】解:如图 1,过点 B 作 BM∥AC 交 AD 延 长线于 M 点,∴ ∠CAD= ∠M,∠ACD= ∠MBD. ∵ AD 是 △ABC 中 线, ∴ CD = BD, 在 △ADC 和 △MDB 中, ∠CAD= ∠M ∠ACD= ∠MBD CD=BD { . ∴ △ADC≌△MDB (AAS),∴ BM = AC,∵ ∠EAF = ∠EFA. ∴ AE = EF = 4. ∴ AC = AE +EC = 4 + 3 = 7. ∵ ∠EAF = ∠M, ∠EFA= ∠BFM. ∴ ∠M = ∠BFM. ∴ BF =BM = AC = 7; 【应用 2】解:如图 2,线段 BE、CF、EF 之间的数量 关系为:BE2 +CF2 =EF2 . 理由如下:过点 C 作 CG ∥AB 交 ED 延长线于 G 点,连接 FG. 由【应用 1】 可知,△DBE≌△DCG,∴ DE =DG,BE =CG. ∵ DF ⊥DE,∴ EF = FG,∵ CG∥AB,∴ ∠GCF = 180° - ∠A= 90°,∴ 在 Rt△CFG 中,由勾股定理得:CF2 + GC2 =GF2,∴ CF2 +BE2 =EF2 . 图 1 　 　 　 图 2 承德第一学期期末学业质量监测 一、选择题 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B A C D A A C D A 11 12 13 14 15 16 C B D D D C 1. A　 2. B　 3. A 4. C　 【解析】-π 是无限不循环小数,它是无理数. 故 选 C. 5. D　 【解析】A. (-3) 2 = | - 3 | = 3;B. 3 2 - 2 = 2 2 ;C. 3 -8 = -2. 故选 D. 6. A　 7. A　 8. C 9. D　 【解析】∵ m+4 与 m-2 是同一个正数的两个平 方根,∴ m+4+m-2 = 0,解得 m= -1. 故选 D. 10. A　 11. C 12. B　 【解析】方程两边同乘以(x-5),得 x= 3x-15+ m,∵ 分式方程有增根,∴ x-5 = 0,即 x= 5,把 x = 5 代入整式方程得 m= 5. 故选 B. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【归纳总结】已知分式方程有增根,可令最简公分母 为 0,得到增根,增根确定后可按如下步骤进行:① 化分式方程为整式方程;②把增根代入整式方程即 可求得相关字母的值. 13. D　 【解析】连接 CM,CN,∵ △ABC 是等边三角 形,点 D 是 BC 的中点,N 是 AB 的中点,∴ ∠ABC = 60°,AD⊥BC,CN⊥AB,∴ BM=CM,BC=AB = 4, BN= 1 2 AB= 2,CN = BC2 -BN2 = 2 3 ,∵ BM+MN =CM+MN≥CN,∴ 当点 C、M、N 共线时,BM+MN 最小,最小值是 CN 的长,为 2 3 . 故选 D. 14. D 15. D 　 【解析】 过点 D 作 DF⊥AC 于 F,∵ AD 是 ∠BAC 的平分线,DE⊥AB,∴ DE=DF,∵ DE= 2,∴ DF=DE= 2,∵ S△ABC = S△ACD +S△ABD,AC = 4,S△ABC = 9,∴ 1 2 ×4×2+ 1 2 ×AB×2= 9,解得 AB= 5. 故选 D. 16. C　 【解析】由题意,得 BD= 1 2 AB= 6 厘米. ∵ AB= AC,∴ ∠B = ∠C. 分两 种 情 况: ① 当 △BPD ≌ △CPQ 时,BD = CQ = 6,BP = CP = 4,∴ 点 P 运动 的时间为 4÷4 = 1,∴ 点 Q 的运动速度为 a= 6÷1 = 6(厘米 / 秒);②当△BPD≌△CQP 时,CP = BD = 6,CQ=BP= 8-6 = 2,∴ 点 P 运动的时间为 2÷4 = 1 2 ,∴ 点 Q 的运动速度为 2÷ 1 2 = 4(厘米 / 秒);综 上所述,点 Q 的运动速度为 4 或 6 厘米 / 秒. 故选 C. 二、填空题 17. 5(答案不唯一) 18. (1)90°　 (2)60°　 【解析】(1)∵ BC= 2AC= 2 5 , AB= 15 ,∴ AC= 5 ,∴ AC2 +AB2 = 5+15 = 20,BC2 =(2 5 ) 2 = 20,∴ AC2 +AB2 = BC2,∴ △ACB 是直 角三角形,且∠BAC = 90°;(2)由作图可知 EF 垂 直平分线段 BC,在 Rt△ACB 中,∵ D 是 BC 的中 点,∴ AD = 1 2 BC = CD,∵ BC = 2AC,∴ AC = CD = AD,∴ △ACD 是等边三角形,∴ ∠ADC= 60°. 19. 14 　 28350　 【解析】∵ 第一个正方形的边长为 a,∴ 第一个正方形的面积为 a2,由勾股定理得, a2 = 8+6 = 14,即 a= 14 ,∴ “生长”第 1 次后所有 正方形的面积和为 2a2,同理:“生长”第 2 次后所 有正方形的面积和为 3a2,……,则 “生长” 第 追梦之旅·初中期末真题篇·河北专版 ZBJ·八年级数学　 第 14 页 2024 次后所有正方形的面积和为 2025a2 = 2025× 14 = 28350. 三、解答题 20. 解:(1)原式= 2 3 +2; (2)方程两边同乘(x+2)(x-2),得 2(x-2)= 3(x +2),解得 x= -10. 经检验,x= -10 是原分式方程 的解. 21. 解:原式 = x -1 x-2 ·(x +2)(x-2) (x-1) 2 = x+2 x-1 ,其中 x-2≠ 0,x-1≠0,(x+2)(x-2)≠0,∴ x≠2,x≠1 且 x≠ -2,∴ x= 0,原式= -2. 22. (1)证明:∵ BE =CF,∴ BE+CE =CF+CE,∴ BC = EF, 在 △ABC 和 △DEF 中, ∠A= ∠D ∠B= ∠DEF BC=EF { , ∴ △ABC≌△DEF(AAS); (2) 解:∵ △ABC≌ △DEF,∴ BC = EF,∠ACB = ∠F= 65°,∵ AB=EF,∴ AB=BC,∴ ∠A= ∠ACB = 65°,∴ ∠B= 180°-∠A-∠ACB= 50°. 23. 解:(1)设长方形信封的长为 3xcm,宽为 2xcm,由 题意得 3x·2x= 420,∴ x = 70 ,∴ 3x = 3 70 ,2x = 2 70 ,答:长方形信封的长为 3 70 cm,宽为 2 70 cm; (2) 面积为 256cm2 的正方形贺卡的边长是 16cm,∵ 70>64,∴ 70 >8,∴ 2 70 >16,∴ 小明 能将这张贺卡不折叠就放入此信封. 24. (1)证明:∵ PD = PA,∴ ∠PDA = ∠A,∵ EF 垂直 平分 BD,∴ ED=EB,∴ ∠EDB = ∠B,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°, ∴ ∠A + ∠B = 90°, ∴ ∠PDA + ∠EDB= 90°,∴ ∠PDE= 90°,∴ DE⊥PD; (2)解:∵ AC = 10,BC = 12,PA = 3,∴ CP = AC-PA = 7,PD=PA = 3,设 DE = BE = x,则 CE = 12-x,在 Rt△PEC 中,根据勾股定理,得 PE2 = 72 + ( 12 - x) 2,在 Rt△PDE 中,根据勾股定理,得 PE2 = 32 + x2,∴ 72 +(12-x) 2 = 32 +x2,解得 x= 23 3 ,∴ DE= 23 3 . 25. 解:(1)设 A 种饰品每件的进价为 x 元,则 B 种饰 品每件的进价为(x-1)元,由题意得:1400 x = 630 x-1 × 2,解得:x = 10,经检验,x = 10 是原分式方程的 解,且符合题意,∴ x-1 = 10-1 = 9,答:A 种饰品每 件的进价为 10 元,B 种饰品每件的进价为 9 元; (2)设 A 种饰品购进 m 件,则 B 种饰品购进(600 -m)件,由题意得:(15-10)m+(15-9) (600-m) ≥3400,解得:m≤200,答:A 种饰品最多购进 200 件. 26. (1)证明:∵ BD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB, ∠ACB= 90°,∴ CD=DE,在 Rt△BCD 与 Rt△BED 中, BD=BDCD=ED{ , ∴ △BCD≌ △BED ( HL), ∴ BC = BE, ∴ △BCE 是等腰三角形, ∵ ∠A = 30°, ∴ ∠ABC= 90°-30° = 60°,∴ △BCE 是等边三角形. (2)①证明:由(1)可知,∵ △BCE 和△BMN 是等 边三角形, ∴ BC = BE, BM = BN, ∵ ∠CBE = ∠MBN = 60°, ∴ ∠MBC + ∠MBE = ∠MBE + ∠NBE,∴ ∠MBC = ∠NBE,在 △CBM 和 △EBN 中, BC=BE ∠MBC= ∠NBE BM=BN { ,∴ △CBM≌△EBN( SAS), ∴ ∠NEB= ∠BCE= 60°,∴ ∠NEB = ∠EBC = 60°, ∴ EN∥BC; ②解:BC= 2EN. 　 【解析】由(1)可知△BCE 是等 边三角形,∵ △BMN 是等边三角形,∴ ∠ECB = ∠MBN = 60°, ∠CBN = 90°, ∴ ∠MBC = 90° - ∠MBN = 30°,∠CMB = 180° - ∠MCB - ∠MBC = 90°,在 Rt△CBM 中,∠MBC = 30°,∴ BC = 2CM, ∵ △CBM≌△EBN,∴ EN=CM,∴ BC= 2EN. 秦皇岛第一学期期末质量检测试题 一、选择题 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A D B C D C D D C 11 12 C B 1. C 2. A　 【解析】解x -3 x-1 = m x-1 得 x =m+3. ∵ 关于 x 的分 式方程 x-3 x-1 = m x-1 有增根,∴ x-1 = 0,解得 x= 1,∴ m +3 = 1,∴ m= -2. 故选 A. 3. D 4. B　 【解析】由图可知,a<0<b,且 | a | > | b | ,∴ a<-b, A 错误;b-a>0,C 错误;a+b<0,D 错误. 故选 B. 5. C　 【解析】∵ 12 = 2 3 , 22 = 4 = 2, 2 3 = 6 3 , 27 = 3 3 ,∴ 与 3 是同类二次根式的是①和④. 故选 C. 6. D　 【解析】D. 因为∠A ∶∠B ∶∠C= 3 ∶4 ∶5,所以∠A = 3 12 × 180° = 45°,∠B = 4 12 × 180° = 60°,∠C = 5 12 × 180° = 75°,所以△ABC 不是直角三角形. 故选 D. 7. C　 【解析】M-N = 10 -3 4 ,∵ 10>9,∴ 10 >3,∴ 10 -3>0,∴ 10 -3 4 >0,∴ M>N. 故选 C. 8. D　 【解析】∵ △ABC≌△DEC,CE = 1,CD = 3,∴ BC=CE= 1,∴ BD=BC+CD= 3+1 = 4. 故选 D. 9. D　 【解析】由题意得:∠DCE = ∠CDE = 60°,BC = CD= 4. ∴ ∠BDC = ∠CBD = 30°,BE = BC+CE = 8, ∴ ∠BDE = ∠BDC + ∠CDE = 90°, ∴ BD = BE2 -DE2 = 4 3 . 故选 D. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【方法点拨】此题综合运用了等边三角形的性质、等 腰三角形的性质、三角形的外角的性质和勾股定 理. 据此可以发现∠BDE = 90°,再进一步根据勾股 定理进行求解. 10. C 　 【解析】 ∵ CE 垂直平分 AD,∴ AC = CD,∴ ∠CAD= ∠D= 20°,∴ ∠ACB = ∠CAD+∠D = 40°, ∵ AB=AC,∴ ∠B= ∠ACB= 40°,∴ ∠BAD= 180°- 追梦之旅·初中期末真题篇·河北专版 ZBJ·八年级数学　 第 15 页 河北专版·八年级数学　 第 1 页 河北专版·八年级数学　 第 2 页 河北专版·八年级数学　 第 3 页 　 　 　 　 试卷 4 承德第一学期期末学业质量监测 测试时间:120 分钟　 　 测试分数:120 分 (已根据最新中考信息修订) 一、选择题(本大题共 16 个小题,每小题 3 分,共 48 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1. 3的相反数是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. - 3 B. 3 C. - 3 3 D. 3 3 2. 若使分式 x x-1 有意义,则 x 的取值范围是(　 　 ) A. x≠-1 B. x≠1 C. x= 1 D. x= -1 3. 下列图形具有稳定性的是(　 　 ) A. B. C. D. 4. 下列实数中,是无理数是(　 　 ) A. 0. 505 005 000 5 B. 1 7 C. -π D. 49 5. 下列各式运算正确的是(　 　 ) A. ( -3) 2 = -3 B. 3 2 - 2 = 3 C. 3 -8 = 2 D. 5 × 3 = 15 6. 下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　 　 ) A. B. C. D. 7. 如图,已知 AB⊥BD,CD⊥BD,若用“ HL” 判定 Rt △ABD 和 Rt △CDB 全等,则需要添加的条件 是(　 　 ) A. AD=CB B. ∠A= ∠C C. ∠ADB= ∠CBD D. AB=CD 8. 下列尺规作图,能确定∠BAD= ∠CAD 的是(　 　 ) A. B. C. D. 9. 若 m+4 与 m-2 是同一个正数的两个平方根,则 m 的值为(　 　 ) A. 3 B. -3 C. 1 D. -1 10. 已知实数 a 在数轴上的对应点的位置如图所示,则化简 | a-1 | - (a-2) 2 的结果是(　 　 ) A. 2a-3 B. -1 C. 1 D. 3-2a 第 10 题图 　 　 　 　 　 第 11 题图 11. 如图,在高为 3 m,斜坡长为 5 m 的楼梯台阶上铺地毯,则地毯的长度至少要(　 　 ) A. 5 m B. 6 m C. 7 m D. 8 m 12. 若关于 x 的分式方程 x x-5 = 3- m 5-x 有增根,则 m 的值为(　 　 ) A. -5 B. 5 C. 2 D. 不存在 13. 如图,△ABC 是等边三角形,N 是 AB 的中点,AB= 4,D 是 BC 的中点,M 是 AD 上的一个动点,连接 BM,MN,则 BM+MN 的最小值为(　 　 ) A. 2 B. 3 C. 2 2 D. 2 3 第 13 题图 　 　 　 　 　 第 15 题图 　 　 　 　 　 第 16 题图 14. 老师设计了接力游戏,用合作的方式完成分式化简,规则是:每人只能看到前一人给的式子,并进 行一步计算,再将结果传递给下一人,最后完成化简. 过程如图所示: 接力中,自己负责的一步出现错误的是(　 　 ) A. 只有乙 B. 甲和丁 C. 乙和丙 D. 乙和丁 15. 如图,AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB 于点 E,S△ABC = 9,DE= 2,AC= 4,则 AB 的长是(　 　 ) A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 16. 如图,在△ABC 中,AB=AC= 12 厘米,BC = 8 厘米,点 D 为 AB 的中点. 如果点 P 在线段 BC 上以 4 厘米 /秒的速度由 B 点向 C 点运动,同时,点 Q 在线段 CA 上以 a 厘米 /秒的速度由 C 点向 A 点运 动. 当△BPD 与△CQP 全等时,a 的值为(　 　 ) A. 3 B. 4 C. 4 或 6 D. 2 或 3 二、填空题(本大题共 3 个小题,每小题 3 分,共 9 分) 17. 已知 m-2是最简二次根式,请写出一个满足条件的 m 的整数值:　 　 　 　 . 18. 如图,在△ABC 中,BC= 2AC= 2 5 ,AB= 15 . (1)∠BAC 的度数为　 　 　 　 ; (2)分别以 B,C 为圆心,大于 1 2 BC 的长为半径画弧,两弧交于点 E,F,作直线 EF,交 BC 于点 D,连 接 AD,则∠ADC 的度数为　 　 　 　 . 第 18 题图 　 　 　 　 　 图 1 　 图 2 第 19 题图 19. 如图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程:如图 1,一个边长为 a 的正方形,经过第一次“生长”后在 它的上侧长出两个小正方形,面积分别为 6 和 8,且三个正方形所围成的三角形是直角三角形,则 a 的值为　 　 　 　 ;再经过一次“生长”后变成了图 2. 如此继续“生长”下去,第 2 024 次“生长” 后,这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积之和为　 　 　 　 　 　 　 (填数字). 三、解答题(本大题共 7 个小题,共 63 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20. (8 分)(1)计算:4 6 ÷2 2 +( - 2 ) 2; (2)解方程: 2 x+2 = 3 x-2 . 21. (8 分)先化简(1+ 1 x-2 ) ÷x 2 -2x+1 x2 -4 ,然后在 0,1,2 中选一个合适的 x 值,代入求值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 试卷 4 　 　 　 　 　 河北专版·八年级数学　 第 4 页 河北专版·八年级数学　 第 5 页 河北专版·八年级数学　 第 6 页 22. (8 分)如图,点 B,E,C,F 在一条直线上,∠B= ∠DEF,∠A= ∠D,BE=CF. (1)求证:△ABC≌△DEF; (2)若 AB=EF,∠F= 65°,求∠B 的度数. 23. (9 分)小明制作了一张面积为 256 cm2 的正方形贺卡想寄给朋友. 现有一个长方形信封如图所 示,其长、宽之比为 3 ∶2,面积为 420 cm2 . (1)求长方形信封的长和宽; (2)小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗? 请通过计算给出判断. 24. (9 分)如图,在△ABC 中,∠C= 90°,点 P,D 分别在 AC,AB 上,且 PD=PA,BD 的垂直平分线交 BC 于点 E,交 BD 于点 F,连接 PE,DE. (1)求证:DE⊥PD; (2)若 AC= 10,BC= 12,PA= 3,求线段 DE 的长. 25. (10 分)某商铺打算购进 A,B 两种饰品进行销售. 已知用 1 400 元采购 A 种饰品的件数是用 630 元采购 B 种饰品件数的 2 倍,A 种饰品每件的进价比 B 种饰品多 1 元. (1)求 A,B 两种饰品每件的进价分别为多少元; (2)计划采购这两种饰品共 600 件,两种饰品的售价均为每件 15 元,若使总利润不低于 3 400 元, A 种饰品最多购进多少件? 26. (11 分)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,∠A= 30°,BD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB 于点 E, 连接 CE. (1)求证:△BCE 是等边三角形. (2)如图 2,点M 为线段 CE 上一点(点M 不与点 C,E 重合),连接 BM,向右侧作等边△BMN,连接 EN. ①求证:EN∥BC; ②若∠CBN= 90°,请直接写出 EN 与 BC 的数量关系. 图 1 　 　 图 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋