试卷2 石家庄市裕华区2023-2024学年期末试卷-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（冀教版 河北专用）

河北专版·八年级数学　 第 1 页 河北专版·八年级数学　 第 2 页 河北专版·八年级数学　 第 3 页 　 　 　 　 试卷 2 石家庄市裕华区期末试卷 测试时间:120 分钟　 　 测试分数:120 分 (已根据最新中考信息修订) 一、选择题(本大题有 16 个小题,每小题 3 分,共 48 分) 1. 2的相反数是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. - 2 B. ± 2 C. -2 D. 2 2. 下列变形正确的是(　 　 ) A. a b =a+1 b+1 B. a b =a-2 b-2 C. a b = 3a 3b D. a b =a 2 b2 3. 如图,屋顶钢架外框是等腰三角形,其中 AB = AC,工人师傅在焊接立柱时,只用找到 BC 的中点 D. 这就可以说明竖梁 AD 垂直于横梁 BC 了,工人师傅这种操作方法的依据是(　 　 ) A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 三角形具有稳定性 D. 等腰三角形“三线合一” 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 　 　 　 第 5 题图 4. 如图,数轴上点 M 表示的数可能是(　 　 ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 10 5. 如图是一个中心对称图形,A 为对称中心,若∠C= 90°,∠B= 30°,AC= 1,则 BB′的长为(　 　 ) A. 2 B. 4 C. 2 3 D. 2 5 6. 解方程 1 x-1 +3 = 3x 1-x 去分母,两边同乘(x-1)后的式子为(　 　 ) A. 1+3(x-1)= -3x B. 1+3 = 3x(1-x) C. x-1+3 = -3x D. 1+3(x-1)= 3x 7. 如图,由图案(1)到图案(2)再到图案(3)的变化过程中,不可能用作的图形变化是(　 　 ) A. 轴对称 B. 旋转 C. 中心对称 D. 平移 8. 下列计算正确的是(　 　 ) A. 2 + 3 = 5 B. ( -2) 2 = -2 C. ( 2 +1)( 2 -1)= 1 D. ( 2 +1) 2 = 3 9. 在△ABC 中,根据下列尺规作图的痕迹,不能判断 AB 与 AC 大小关系的是(　 　 ) A. B. C. D. 10. 如果 5 a+ 5 b+ 5 c= 75 ,则 a+b+c= (　 　 ) A. 15 B. 5 C. 5 D. 15 11. 如图,在△ABC 中,AB=AC,作 AC 的垂直平分线交 AB 于点 D,交 AC 于点 E. 若 AD =BC,则∠A 的 度数为(　 　 ) A. 36° B. 35° C. 38° D. 40° 第 11 题图 　 　 　 　 　 第 12 题图 　 　 　 　 　 第 13 题图 12. 如图,已知 AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为 C,D,AC 与 BD 相交于点 O,如果 AC =BD,那么下列结 论:①AD=BC;②∠ABC= ∠BAD;③∠DAC= ∠CBD;④OC=OD 中正确的有(　 　 ) A. ①②③④ B. ①②③ C. ①② D. ②③ 13. 已知:如图,△ABC. 求证:在△ABC 中,如果它含直角,那么它只能有一个直角. 下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤: ①∴ ∠A+∠B+∠C>180°,这与“三角形内角和等于 180°”相矛盾. ②因此,三角形有两个(或三个)直角的假设不成立. ∴ 如果三角形含直角,那么它只能有一个 直角. ③假设△ABC 中有两个(或三个)直角,不妨设∠A= ∠B= 90°. ④∵ ∠A+∠B= 180°. 这四个步骤正确的顺序应是(　 　 ) A. ④③①② B. ③④②① C. ①②③④ D. ③④①② 14. (与桥西区重,已换)如图,在长方形 ABCD 中,AB= 6,BC= 8,将长方形 ABCD 沿 CE 折叠后,使点 D 恰好落在对角线 AC 上的点 F 处,则 EF 的值为(　 　 ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 第 14 题图 　 　 　 　 第 15 题图 　 　 　 　 第 16 题图 15. 下列说法,其中错误的是(　 　 ) A. -8 的立方根是-2 B. 若 x-2有意义,则 x≥2 C. 近似数 2. 1 万精确到十分位 D. 根据作图痕迹,可成功找出到三角形三边距离相等的点 16. 如图,在 Rt△ABC 中,AB= 4,点 M 是斜边 BC 的中点,以 AM 为边作正方形 AMEF,S正方形AMEF = 16, 则 S△ABC = (　 　 ) A. 4 3 B. 8 3 C. 12 D. 16 二、填空题(本大题有 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分) 17. 比较大小: 7 2 　 　 　 　 7 2 . 18. 一个正方体的表面积是 486,则这个正方体的棱长是　 　 　 　 . 19. 在 Rt△ABC,∠C= 90°,∠A= 4∠B,则∠B= 　 　 　 　 °. 20. 如图,△ABC 中,∠C= 90°,AB= 5 cm,BC = 3 cm,若动点 P 从点 C 开始. 按 C→A→B 的路径运动, 且速度为每秒 1 cm,设出发的时间为 t 秒. (1)若△BCP 为直角三角形,则 t 的取值是　 　 　 　 　 　 　 　 ; (2)若△BCP 为等腰三角形,则 t 的值是　 　 　 　 　 　 　 　 . 三、解答题(本大题有 7 个小题,共 60 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21. (12 分)计算: (1) 2a 3m2n ÷ a 6m ;　 　 　 (2)a +1 a-b ÷b+1 b-a ;　 　 　 (3) 12 -6 1 3 ÷ 8 ;　 　 　 (4)2 6 ×3 1 2 ÷ 3 . 22. (6 分)填空:如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为 E、F,且 BD=CD. 试 说明 AB=AC. 证明:∵ AD 平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴ DE= 　 　 　 　 (角平分线上的点到角两边的距离相等) . ∵ DE⊥AB,DF⊥AC, ∴ ∠BED= ∠CFD= 　 　 　 　 °. 在 Rt△BED 与 Rt△CFD 中, ∵ BD=CD DE= (　 　 　 ){ , ∴ Rt△BED≌Rt△CFD(　 　 　 　 ), ∴ ∠B= ∠　 　 　 　 , ∴ AB=AC(　 　 　 　 　 　 　 　 　 ) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 试卷 2 　 　 　 　 　 河北专版·八年级数学　 第 4 页 河北专版·八年级数学　 第 5 页 河北专版·八年级数学　 第 6 页 23. (6 分)先化简,再求值:( x x-1 -1) ÷x 2 +2x+1 x2 -1 ,其中 x= 2 -1. 24. (6 分)在正方形网格中,每个小正方形的边长为 1,网格中有一个△ABC,该三角形的三个顶点均 在格点上. (1)在图中作出△ABC 关于直线 MN 对称的△A′B′C′; (2)若 Q 是直线 MN 上一点,则 QB+QC 的最小值是　 　 　 　 ; (3)图中若有格点 P 满足 PA=PC,则这样的格点 P 有　 　 　 　 个. 25. (9 分)某社区开辟了一块四边形空地打造绿化带(阴影部分). 如图,现测得 AB =AD = 13 m,BC = 8 m,CD= 6 m,且 BD= 10 m. (1)试说明∠BCD= 90°; (2)求绿化带的面积. 26. (10 分)金师傅近期准备换车,看中了价格相同的两款国产车. 燃油车 油箱容积:40 升 油价:9 元 / 升 续航里程:a 千米 每千米行驶费用:40 ×9 a 元 新能源车 电池电量:60 千瓦时 电价:0. 6 元 / 千瓦时 续航里程:a 千米 每千米行驶费用:　 　 　 　 元 (1)用含 a 的代数式表示新能源车每千米的行驶费用; (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多 0. 54 元. ①分别求出这两款车每千米的行驶费用; ②若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为 4 800 元和 7 500 元. 问:每年行驶里程为多少千米 时,买新能源车的年费用更低? (年费用=年行驶费用+年其他费用) 27. (11 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC= 90°,D 为线段 BC 上一点,连接 AD,将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90°得到线段 AE,作射线 CE. (1)求证:△BAD≌△CAE,并求∠BCE 的度数; (2)若 F 为 DE 中点,连接 AF,连接 CF 并延长,交射线 BA 于点 G. 当 BD= 2,DC= 1 时, ①求 AF 的长; ②直接写出 CG 的长. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 = 12(舍) . 综上可知 t 的值为 4 或 7 或 9. 故选 D. 二、填空题 17. x≥1 18. 2 5 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ AB = BC,∠ABC= 90°,设 AE⊥l 于点 E,CF⊥l 于点 F, ∴ ∠AEB = ∠BFC = 90°,∴ ∠EAB+∠ABE = 90°, ∠ABE+∠FBC= 90°,∴ ∠EAB = ∠FBC,在△ABE 和△BCF 中, ∠AEB= ∠BFC ∠EAB= ∠FBC AB=BC { ,∴ △ABE≌△BCF (AAS),∴ BE=CF= 4,在 Rt△ABE 中,AE = 2,BE = 4,∴ AB= AE2 +BE2 = 2 5 . 19. (1)1　 (2) 6 　 【解析】(1)当 DN⊥AC 时,DN 最 小,∵ AB=AD= 2 ,∠BAD= 135°,∠BAC= 90°,∴ ∠DAC= 45°,∴ ∠ADN = 90° - 45° = 45°,∴ AN = DN,在 Rt△ADN 中,AN2 +DN2 = AD2 = 2,∴ DN = 1;(2)作点 A 关于 BC 的对称点 E,连接 AE 交 BC 于点 P,DE 交 BC 于点 M,此时 AM =EM,则 AM+ DM=EM+DM≥DE,∴ 当 D、M、E 三点共线时 AM +DM 最小,最小值为 DE. ∵ AB = AC,∠BAC = 90°,AB= 2 ,∴ BC = AB2 +AC2 = 2,∵ AE⊥BC, ∴ AP=PE= 1 2 BC = 1,即 AE = 2,∵ ∠BAD = 135°, ∴ ∠BAC= 90°,∴ ∠DAC= 45°,∵ ∠ACB = 45°,∴ ∠DAC = ∠ACB,∴ AD∥BC,∴ ∠DAE = ∠CPE = 90°,∵ AD=AB= 2 ,∴ DE = AD2 +AE2 = 4+2 = 6 . 三、解答题 20. 解:(1)方程两边同时乘(1-x),得 2 = 3(1-x),解 这个整式方程得 x = 1 3 . 经检验,x = 1 3 是原分式 方程的解; (2)方程两边同时乘(x-5),得 2x-8 = 3(x-5) + 2,解这个整式方程得 x = 5. 当 x = 5 时,x-5 = 0, ∴ x= 5 为增根,即不是原方程的根,∴ 原分式方 程无解. 21. 解:(1)原式= 2 3 -14 3 +12 3 = 0; (2)原式= 2 2 -(2-6 2 +9) = 2 2 -2+6 2 -9 = 8 2 -11. 22. 解:原式 = x +1+x2 -1 x2 -1 ·(x -1) 2 x = x(1+x) (x+1)(x-1) · (x-1) 2 x = x-1,当 x = 5 +1 时,原式 = 5 +1-1 = 5 . 23. (1)证明:∵ AD=EB,∴ AD+DB =EB+DB,即 AB = ED. 在△ABC 和△EDF 中, AB=ED ∠OBD= ∠ODB BC=DF { ,∴ △ABC≌△EDF(SAS); (2)解:∵ △ABC≌△EDF,∠F= 80°,∴ ∠F = ∠C = 80°,∠OBD = 180°-∠A-∠C = 60°,∴ ∠OBD = ∠ODB= 60°,∴ ∠BOD = 180°-∠OBD-∠ODB = 60°. 24. 解:(1) 6 - 5 (2) n - n-1 (3)原式= 1+ 2 -1+ 3 - 2 + 4 - 3 +…+ 99 - 98 + 100 - 99 = 100 = 10. 25. 解:(1)设第一批饮料进货单价为 x 元,则第二批 饮料进货单价为(x+2)元,根据题意得:6000 x+2 = 3× 1600 x ,解得:x= 8,经检验,x = 8 是分式方程的解. 答:第一批饮料进货单价为 8 元; (2)第一批饮料的数量为1600 x = 200,则第二批饮 料的数量为 3×200 = 600,设销售单价为 m 元,根 据题意得:200(m-8) +600(m-10) ≥1200,解得: m≥11. 答:销售单价至少为 11 元. 26. 解:(1)150　 (2)CE=AD. 理由如下:∵ △BDC 为等边三角形, ∴ BC=BD,∠DBC= 60°. ∵ ∠ABE = ∠DBC = 60°, ∴ ∠ABE- ∠DBM = ∠DBC- ∠DBM,∴ ∠ABD = ∠EBC,在△ABD 和△EBC 中, AB=EB ∠ABD= ∠EBC BD=BC { , ∴ △ABD≌△EBC(SAS),∴ AD=CE; (3)由(2)知△ABD≌△EBC,∴ ∠BCE = ∠BDA= 150°,∵ △BDC 是等边三角形,∴ ∠DCB = 60°,∴ ∠DCE= 90°,∵ ∠DEC = 60°,∴ ∠CDE = 30°,在 Rt△CDE 中,DE = 2, ∴ CE = 1 2 DE = 1, ∴ CD = DE2 -CE2 = 3 . 石家庄市裕华区期末试卷 一、选择题 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C D C B A D C D A 11 12 13 14 15 16 A A D A C B 1. A　 2. C　 3. D　 4. C　 【解析】由题可知点 M 表示的数大于 2 小于 3, 而 2< 5 <3< 10 ,点 M 表示的数可能是 5 . 故选 C. 5. B　 【解析】∵ 在 Rt△ABC 中,∠B = 30°,AC = 1,∴ AB= 2AC= 2,根据中心对称的性质得到 BB′ = 2AB = 4. 故选 B. 6. A　 7. D 8. C　 【解析】A. 2 与 3 不能合并;B. (-2) 2 = 2; D. ( 2 +1) 2 = 2+2 2 +1 = 3+2 2 . 故选 C. 9. D 10. A　 【解析】 5 a+ 5 b+ 5 c = 5 (a+b+c)= 75 , ∴ a+b+c= 15 . 故选 A. 11. A　 【解析】连接 CD,设∠A= x°,∵ DE 是 AC 的垂 直平分线, ∴ DA = DC, ∴ ∠A = ∠ACD = x°, ∴ ∠BDC= ∠A + ∠ACD = 2x°,∵ AD = BC,∴ CD = BC,∴ ∠BDC = ∠B = 2x°, ∵ AB = AC, ∴ ∠B = ∠ACB= 2x°,∵ ∠A+∠B+∠ACB = 180°,∴ x+2x+ 追梦之旅·初中期末真题篇·河北专版 ZBJ·八年级数学　 第 11 页 2x= 180,解得 x= 36,∴ ∠A= 36°. 故选 A. 12. A　 【解析】由题意得,△ABD 与△ABC 是直角三 角形. 在 Rt △ABC 与 Rt △BAD 中, AC=BDAB=BA{ ,∴ △ABC ≌ △BAD ( HL ), ∴ AD = BC, ∠ABC = ∠BAD, ∠BAC = ∠ABD, ∴ ∠BAD - ∠BAC = ∠CBA- ∠ABD,∴ ∠DAC = ∠CBD,∴ ① ② ③正 确. 在 △AOD 与 △BOC 中, ∠DOA= ∠COB ∠D= ∠C= 90° AD=BC { , ∴ △AOD≌△BOC(AAS),∴ OD = OC,∴ ④正确 . 故选 A. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【方法点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及 性质,在直角三角形中,由斜边与一直角边都相等 可得△ABC≌△BAD,得出其对应的边、角相等,进 而又得出△AOD≌△BOC,从而即可判断题中的结 论是否正确. 13. D　 14. A　 【解析】∵ 在长方形 ABCD 中,∠B = 90°,AB = 6,BC= 8,∴ AD=BC = 8,CD = AB = CF = 6,由勾股 定理得 AC= AB2 +BC2 = 10,设 EF = x,由折叠性 质可得 DE= EF = x,CF = CD,∴ AE = AD-DE = 8- x,AF= AC-CF = 10 - 6 = 4. 在 Rt△AEF 中,AF2 + EF2 =AE2,即 42 +x2 = (8-x) 2,解得 x = 3,即 EF = 3. 故选 A. 15. C　 16. B　 【解析】由题意得:AM2 = 16,∴ AM = 4,∵ 点 M 是斜边 BC 的中点,∴ BC = 2AM = 8,在 Rt△ABC 中,AB= 4,∴ AC = BC2 -AB2 = 82 -42 = 4 3 ,∴ S△ABC = 1 2 AB·AC= 1 2 ×4×4 3 = 8 3 . 故选 B. 二、填空题 17. > 18. 9　 【解析】设棱长为 x,根据题意得:6x2 = 486,即 x2 = 81,则 x= 9 或 x= -9(舍),即正方体的棱长为 9. 19. 18 20. (1)0<t≤4 或 t= 36 5 　 (2)3s 或27 5 s 或 6s 或13 2 s　 【解析】(1)∵ ∠C = 90°,AB = 5,BC = 3,∴ AC = 4. 当点 P 在 AC 上运动时△BCP 为直角三角形,∴ 0 <t≤4;当点 P 在 AB 上,CP⊥AB 时,△BCP 为直 角三角形,∵ 1 2 ×AB ×CP = 1 2 ×AC ×BC,∴ CP = AC·BC AB = 12 5 cm, ∴ 在 Rt △ACP 中, AP = AC2 -CP2 = 42 -(12 5 ) 2 = 16 5 (cm),∴ AC+AP = t = 36 5 ,即 t = 36 5 ,综上所述:当 0< t≤4 或 t = 36 5 时, △BCP 为直角三角形;(2)当 CP = CB 时,△BCP 为等腰三角形,若点 P 在 CA 上,t = 3s;若点 P 在 AB 上,CP = CB = 3,过点 C 作 CH⊥AB 于 H,由 (1 ) 可 得 CH = 12 5 , 在 Rt △BCH 中, BH = BC2 -CH2 = 32 -(12 5 ) 2 = 9 5 ,则 PB = 2BH = 18 5 , ∴ CA+AP= 4+5-18 5 = 27 5 ,此时 t = 27 5 s;当 PC = PB 时,点 P 在 AB 上, △BCP 为 等 腰 三 角 形, ∴ ∠PCB= ∠PBC. ∵ ∠ACB= 90°,∴ ∠PCB+∠ACP = 90°,∠PBC+∠A = 90°,∴ ∠A = ∠ACP,∴ PA = PC,∴ PA=PB= 5 2 ,∴ AC+AP= 4+ 5 2 = 13 2 ,此时 t = 13 2 s;当 BP = BC 时,△BCP 为等腰三角形,则 BP =BC= 3,∴ AP = AB-BP = 2,∴ AC+AP = 4+2 = 6, 此时 t= 6s;综上所述, t 为 3s 或27 5 s 或 6s 或13 2 s 时,△BCP 为等腰三角形. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【方法点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质、 角平分线的性质、勾股定理的计算以及全等三角形 的判定与性质等知识的综合应用,熟练掌握等腰三 角形的判定与性质,进行分类讨论是解决问题的关 键. 解题时注意,需要作辅助线构造直角三角形. 三、解答题 21. 解:(1)原式= 2a 3m2n ·6m a = 4 mn ; (2)原式=a +1 a-b · -(a-b) b+1 = -a+1 b+1 ; (3)原式= 2 3 -2 3 ÷2 2 = 2 3 - 6 2 ; (4)原式= 6 6× 1 2 × 1 3 = 6. 22. DF　 90　 DF　 HL　 C　 等角对等边 23. 解:原式= ( x x-1 -x-1 x-1 ) ÷ (x +1) 2 (x+1)(x-1) = 1 x-1 ·x -1 x+1 = 1 x+1 ,当 x= 2 -1 时,原式= 1 2 -1+1 = 2 2 . 24. 解:(1)如图,△A′B′C′即为所求; (2) 17 　 (3)3 25. 解:(1)由题意得:BC2 +CD2 = 82 +62 = 100,BD2 = 102 = 100,∴ BC2 +CD2 = BD2,∴ △BCD 是直角三 角形,∠BCD= 90°; (2)过点 A 作 AE⊥BD 于点 E,∴ ∠AEB = 90°,∵ AB=AD,∴ BE =DE = 1 2 BD = 5m,在 Rt△ABE 中, AB = 13m, ∴ AE = AB2 -BE2 = 132 -52 = 12 (m),∴ S△ABD = 1 2 BD·AE = 1 2 ×10×12 = 60(m2 ), 追梦之旅·初中期末真题篇·河北专版 ZBJ·八年级数学　 第 12 页 ∵ S△BCD = 1 2 BC ·CD = 1 2 × 8 × 6 = 24 ( m2 ), ∴ S阴影部分 =S△ABD-S△BCD = 60-24 = 36(m2),即绿化带 的面积为 36m2 . 26. 解:(1)60 ×0. 6 a = 36 a (元),即新能源车每千米的行 驶费用为 36 a 元; (2)①由题意,得40 ×9 a -36 a = 0. 54,解得 a= 600,经 检验,a= 600 是原分式方程的解,∴ 40 ×9 600 = 0. 6, 36 600 = 0. 06,答:燃油车每千米的行驶费用为 0. 6 元,新能源车每千米的行驶费用为 0. 06 元; ②设每年行驶里程为 xkm,由题意得:0. 6x+4800 >0. 06x+7500,解得 x>5000,答:当每年行驶里程 大于 5000km 时,买新能源车的年费用更低. 27. (1) 证明: ∵ AB = AC, ∠BAC = 90°, ∴ ∠ABC = ∠ACB= 45°,∵ ∠BAC = ∠DAE = 90°,∴ ∠BAD = ∠CAE,又∵ AB = AC,AD = AE,∴ △BAD≌△CAE (SAS),∴ ∠ABC= ∠ACE= 45°,∴ ∠BCE= ∠ACB +∠ACE= 45°+45° = 90°; (2)解:①由(1)得△BAD≌△CAE,∴ BD=CE,∵ BD= 2,∴ CE = 2. 在 Rt△DCE 中,∵ EC = 2,DC = 1,∴ DE = EC2 +DC2 = 5 ,又∵ F 为 DE 中点, ∠DAE= 90°,则 AF= 1 2 DE= 5 2 ; ②CG= 5 . 【解析】在 Rt△DCE 中,F 为 DE 的中 点,∴ CF = 1 2 DE = 5 2 , ∴ CF = AF, ∴ ∠FAC = ∠FCA,∵ ∠BAC= 90°,∴ ∠GAC = 90°,∴ ∠FAC+ ∠FAG = 90°, ∠AGC + ∠ACG = 90°, ∴ ∠FAG = ∠AGC,∴ AF=GF,∴ CG= 2AF= 5 . 邢台第一学期期末质量监测试题 一、选择题 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B D A C A C D C B 11 12 13 14 D B B D 1. A　 2. B 3. D　 【解析】∵ (a+1) 2 = -a-1 = -(a+1),∴ a+1 ≤0,则 a≤-1. 故选 D. 4. A　 5. C 6. A　 【解析】由图知,AB = 7 - 1 = 6( cm),在△ACB 中,∠ACB = 90°,点 D 为边 AB 的中点,∴ CD = 1 2 AB= 3cm. 故选 A. 7. C　 8. D　 9. C 10. B　 【解析】由题意得:(1)根据“ASA”可以画出 和原来完全一样的三角形,(2)根据“SAS”可以 画出和原来完全一样的三角形,(3)画不出和原 来完全一样的三角形. 故选 B. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】此题考查了全等三角形的应用:全等的 条件不仅能判断两个三角形全等,而且能用它来确 定三角形,还原三角形. 11. D　 12. B 13. B　 【解析】连接 AE 交 BC 于点 F,由题意得 AE = AB= 4,∴ 当 AE⊥BC 时,AF 最小,∴ EF 最大,∴ △EBC 的面积最大. 在 Rt△ABC 中,BC2 = AB2 + AC2,∴ BC = 42 +32 = 5,∵ S△ABC = 1 2 BC×AF = 1 2 AB×AC,∴ AF= 2. 4. ∴ EF=AE-AF = 4-2. 4 = 1. 6. ∴ S△EBC = 1 2 BC×EF= 4. 故选 B. 14. D 二、填空题 15. 如果这两个角相等,那么这两个角是内错角 16. (1)40°　 (2)100°或 142°　 【解析】(1)连接 AD, 由题意得:∠BAC = 180°- 50°- 50° = 80°,∵ AB = AC,D 为 BC 的中点,∴ ∠BAD= 1 2 ∠BAC= 40°; (2)如图,过 D 作 DH⊥AC,DG⊥ AB,∵ AB = AC,D 是 BC 的中点, AD 平 分 ∠BAC, ∴ DG = DH. ∵ △EDP 是 等 腰 三 角 形, ∴ DE = DP. 在 Rt△DEG 与 Rt△DP2H 中,DE =DP2,DG = DH,∴ Rt△DEG≌Rt△DP2H(HL),∴ ∠CP2D = ∠AED= 69°,∴ ∠AP2D = 111°. ∵ ∠BAD = ∠CAD = 40°,∴ ∠ADP2 = 180°-40°-111° = 29°,∠ADE = 180°-40°-69° = 71°,∴ ∠EDP2 = 71°+29° = 100°; 同理 可 得 Rt △DEG ≌ Rt △DP1H, ∴ ∠AED = ∠AP1D,∠ADP1 = ∠ADE= 71°,∠EDP1 = 142°.　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】本题考查了等腰三角形的性质,全等三 角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关 键. 17. (1)a2 +a-1 = 0　 (2)2023 三、解答题 18. 解:(1)由题意得:3+2a+7 = 0,解得 a= -5; (2)由题意得:x= 32 = 9,∴ 36-x= 27,∴ 36-x 的立 方根为 3. 19. 解:(1) ∵ 两个正方形的面积分别为 18 dm2 和 32dm2,∴ 这两个正方形的边长分别为 3 2 dm 和 4 2 dm,∴ 剩余木料的面积为(4 2 -3 2 ) ×3 2 = 6(dm2). (2)2　 【解析】4<3 2 <4. 5,1< 2 <1. 5,∴ 从剩余 的木料中截出长为 1. 5dm、宽为 1dm 的长方形木 条,最多能截出 2 块这样的木条. 20. 解:(1)一　 二 ( 2 ) 原 式 = 2(x -1) (x+1)(x-1) + x+5 (x+1)(x-1) = 2x-2+x+5 (x+1)(x-1) = 3 x-1 . 21. 解:设希望学校有 x 个教学班,根据题意得:65 +3 x = 65-14 x +1,解得 x = 17. 经检验 x = 17 是原分式 追梦之旅·初中期末真题篇·河北专版 ZBJ·八年级数学　 第 13 页