专项1 大题抢分练(分考点针对练习解答题)-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（冀教版 河北专用）

河北专版·八年级数学　 第 1 页 河北专版·八年级数学　 第 2 页 河北专版·八年级数学　 第 3 页 　 　 　 　 专项 1 追梦专项一　 大题抢分练 (已根据最新中考信息编写) 　 分式的化简求值、分式方程及二次根式的相关计算 1. (本小题满分 8 分)计算: (1) 18 - 8 2 +( 5 +1) ×( 5 -1);　 　 　 　 　 　 　 (2) 135 ÷ 15 - 3 2 × 12 + 72 . 2. (本小题满分 8 分)解方程: (1) 3 x +1 = 2x 2x+1 ; (2)3 -x x-2 + 1 2-x = 3. 3. (本小题满分 9 分)(1)先化简,再求值:(4x +3 x+1 -2) ÷(1+ 3x 2 x2 -1 ),其中 x= 3 +1 2 . (2)(扬州期末)先化简(3x +4 x2 -1 - 2 x-1 ) ÷x 2 +4x+4 x+1 ,然后在-2≤x≤2 的范围内选择一个合适的整数作 为 x 的值代入求值. 　 分式方程及二次根式的应用 4. (本小题满分 10 分)大家知道 2是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此 2的小数部分我们不 可能全部写出来,于是小明用 2 -1 来表示 2的小数部分,因为 2的整数部分是 1,将 2减去其整数 部分,差就是其小数部分. 请解答: (1)请写出 13的整数部分和小数部分各是多少? (2)如果 5的小数部分为 a, 17的整数部分是 b,求 ab- 5的值; (3)已知:10+ 3 = x+y,其中 x 是整数部分,y 是小数部分,且 0<y<1,求 x-y 的相反数. 5. (本小题满分 10 分)某化工厂用 A,B 两种型号的机器人搬运化工原料,已知每个 A 型机器人比每 个 B 型机器人每小时多搬运 30 kg,每个 A 型机器人搬运 900 kg 所用的时间与每个 B 型机器人搬 运 600 kg 所用的时间相等. (1)求 A,B 两种机器人每个每小时分别搬运多少化工原料? (2)某化工厂有 4 500 kg 化工原料需要搬运,要求搬运所有化工原料的时间不超过 5 小时,现计划 先由 8 个 A 型机器人搬运 2 小时,再增加若干个 B 型机器人一起搬运,问至少增加多少个 B 型机器 人才能按要求完成任务? 6. (本小题满分 10 分)某商场计划购进一批甲、乙两种玩具,已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩 具的进价的和为 40 元,用 90 元购进甲种玩具的件数与用 150 元购进的乙种玩具的件数相同. (1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元 / 件? (2)商场计划购进甲、乙两种玩具共 48 件,购进这两种玩具的总资金超过 960 元但不超过 1 000 元,求商场有哪几种具体的进货方案? 最多可以购进乙种玩具多少件? 　 全等三角形的判定与性质 7. (本小题满分 8 分)如图,在△ABC 中,点 D 在边 BC 上,CD = AB,DE∥AB,∠DCE = ∠A. 若 DE = 10, AB= 8,求 BD 的长. 8. (本小题满分 8 分)如图,在△ABC 中,AC =BC,∠ACB = 90°,点 D 是 AB 的中点,点 E 是 AB 边上一 点. BF⊥CE 于点 F,交 CD 于点 G. 求证:AE=CG. 9. (本小题满分 9 分)如图,在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于点 F,且 DE=DF. 求证:(1)△BDE≌△CDF; (2)AD⊥BC. 10. (本小题满分 10 分)如图,在△ABC 中,D 为 AB 上一点,E 为 AC 中点,连接 DE 并延长至点 F,使 得 CF∥AB. (1)求证:△AED≌△CEF; (2)连接 BE,若 BE 平分∠ABC,CA 平分∠BCF,且∠ABE= 25°,求∠A 的度数. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 专项 1 　 　 　 　 　 河北专版·八年级数学　 第 4 页 河北专版·八年级数学　 第 5 页 河北专版·八年级数学　 第 6 页 　 轴对称与中心对称 11. (本小题满分 9 分)如图,在正方形网格中,直线 l 与网格线重合,点 A,C,A′,B′均在网格点上. (1)已知△ABC 和△A′B′C′关于直线 l 对称,请在图上把△ABC 和△A′B′C′补充完整; (2)已知△ABC 和△A″B″C″关于 B 中心对称,请在图上把△A″B″C″补充完整. 12. (本小题满分 10 分)如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC = ∠ADC = 90°,AB = AD,求证:CO 垂直平 分 BD. 13. (本小题满分 11 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,AB 的垂直平分线交 AB 于 N,交 AC 于 M. (1)若∠B= 70°,则∠NMA 的度数是　 　 　 　 ; (2)连接 MB,若 AB= 8 cm,△MBC 的周长是 14 cm. ①求 BC 的长; ②在直线 MN 上是否存在点 P,使由 P,B,C 构成的△PBC 的周长值最小? 若存在,标出点 P 的位 置并求△PBC 的周长最小值;若不存在,说明理由. 　 等腰三角形的证明 14. (本小题满分 9 分)如图,已知点 D,E 分别是△ABC 的边 BA 和 BC 延长线上的点,作∠DAC 的平 分线 AF,若 AF∥BC. (1)求证:△ABC 是等腰三角形; (2)作∠ACE 的平分线交 AF 于点 G,若∠B= 40°,求∠AGC 的度数. 15. (本小题满分 10 分)如图,在△ABC 中,AB = AC,点 D 为 AC 上一点,且满足 AD =BD =BC. 点 F 在 BC 延长线上,连接 FD 并延长,交 AB 于点 E,连接 AF. (1)求∠BAC 和∠ACB 的度数; (2)若点 E 是 AB 的中点,求证:△ABF 是等腰三角形. 16. (本小题满分 11 分)问题情境:活动课上,同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活 动,如图 1,已知△ABC 中,AB =AC,∠B = 40°. 将△ABC 从图 1 的位置开始绕点 A 逆时针旋转,得 到△ADE(点 D,E 分别是点 B,C 的对应点),旋转角为 α(0°<α<100°),设线段 AD 与 BC 相交于点 M,线段 DE 分别交 BC,AC 于点 O,N. 特例分析:(1)如图 2,当旋转到 AD⊥BC 时,旋转角 α 的度数为　 　 　 　 ; 探究规律:(2)如图 3,在△ABC 绕点 A 逆时针旋转过程中,“求真”小组的同学发现线段 AM 始终 等于线段 AN,请你证明这一结论. 拓展延伸:(3)当△DOM 是等腰三角形时,请直接写出旋转角 α 的度数. 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 　 勾股定理及其应用 17. (本小题满分 9 分)如图,风筝在点 C 处,在 A,B 两处各用一根引线固定着这个风筝,其中引线 BC 与 水平地面垂直,引线 AC 的长度为 10 米,A,B 两处的水平距离为 8 米(风筝本身的长宽忽略不计) . (1)求此时风筝离地面的高度 BC; (2)现要使风筝沿竖直方向上升 9 米至 M 处,若 A,B 位置不变,引线 AC 的长度应加长多少米? 18. (本小题满分 10 分)综合与实践 主题:检测雕塑(如图),底座正面的边 AD 和边 BC 是否分别垂直于底边 AB. 素材:一个雕塑,一把卷尺 步骤 1:利用卷尺测量边 AD,边 BC 和底边 AB 的长度,并测量出点 B,D 之间的距离; 步骤 2:通过计算验证底座正面的边 AD 和边 BC 是否分别垂直于底边 AB. 解决问题: (1)通过测量得到边 AD 的长是 60 厘米,边 AB 的长是 80 厘米,BD 的长是 100 厘米,边 AD 垂直于 边 AB 吗? 为什么? (2)如果你随身只有一个长度为 30 cm 的刻度尺,你能有办法检验边 AD 是否垂直于边 AB 吗? 如 果能,请写出你的方法,并证明. 19. (本小题满分 11 分)如图,△ABC 中,∠ACB= 90°,AB= 10 cm,BC= 6 cm,若点 P 从点 A 出发,以每 秒 2 cm 的速度沿折线 A→C→B→A 运动,设运动时间为 t 秒( t>0) . (1)若点 P 在 AC 上,且满足 PA=PB 时,求出此时 t 的值; (2)若点 P 恰好在∠BAC 的平分线上,请直接写出 t 的值. 　 　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 追梦专项一　 大题抢分练 1. 解:(1)原式= 3 2 -2 2 2 +5-1 = 2 2 +4; (2)原式= 3-3 2 +6 2 = 3+3 2 . 2. 解:(1)方程两边同乘 x(2x+1),得 6x+3+2x2 +x = 2x2,解得:x= - 3 7 ;经检验,x = - 3 7 是原分式方程的 解; (2)方程两边同乘(x-2),得 3-x-1 = 3(x-2),解 得 x= 2,检验:当 x= 2 时,x-2 = 0,所以原分式方程 无解. 3. 解: ( 1) 原式 = 4x +3-2x-2 x+1 ÷ x 2 -1+3x2 x2 -1 = 2x+1 x+1 · (x+1)(x-1) (2x+1)(2x-1) = x-1 2x-1 ; 当 x = 3 +1 2 时, 原式 = ( 3 +1 2 -1) ÷ 3 = 3 - 3 6 . (2)原式= [ 3x +4 (x+1)(x-1) - 2x+2 (x+1)(x-1) ] ÷(x +2) 2 x+1 = x+2 (x+1)(x-1) · x +1 (x+2) 2 = 1 x2 +x-2 , ∵ x = ± 1, - 2 时,原分式无意义,且-2≤x≤2,∴ x 可以为 0 或 2. 当 x= 0 时,原式= - 1 2 . (答案不唯一) 4. 解:(1)∵ 9<13<16,∴ 3< 13 <4,∴ 13 的整数部 分是 3,小数部分是 13 -3; (2)∵ 2< 5 <3,∴ 5 的小数部分为:a = 5 -2,∵ 4 < 17 <5,∴ 17 的整数部分是 b = 4;∴ ab- 5 = 3 5 -8; (3)∵ 1< 3 <2,∴ 11<10+ 3 <12,∴ x = 11,y = 10+ 3 -11 = 3 -1,∴ x-y = 11-( 3 -1) = 11- 3 +1 = 12- 3 ,∴ x-y 的相反数是 3 -12. 5. 解:(1)设每个 B 型机器人每小时搬运 xkg 原料, 则每个 A 型机器人每小时搬运(x+30) kg 原料,根 据题意,得: 900 x+30 = 600 x ,解得 x = 60,经检验,x = 60 是所列方程的解,且符合题意,则每个 A 型机器人 每小时搬运原料为:x+30 = 90. 答:每个 A 型机器 人每小时搬运 90kg 原料,每个 B 型机器人每小时 搬运 60kg 原料. (2)设增加 y 个 B 型机器人,依题意,得:8×90×5+ 60×(5-2)y≥4500,解得:y≥5,∵ y 为正整数,∴ y 的最小值为 5. 答:至少要增加 5 个 B 型机器人. 6. 解:(1)设甲种玩具进价 x 元 /件,则乙种玩具进价 为(40-x) 元 /件,根据题意得90 x = 150 40-x ,解得 x = 15,经检验 x= 15 是原分式方程的解,∴ 40-x = 25. 答:甲,乙两种玩具的进价分别是 15 元 /件,25 元 / 件; (2)设购进甲种玩具 y 件,则购进乙种玩具(48-y) 件,根据题意,得 960<15y+25(48-y)≤1000,解得 20≤y<24. ∵ y 是整数,∴ y 取 20,21,22,23,共有 4 种方案. 方案一:购进甲种玩具 20 件,购进乙种玩 具 28 件,方案二:购进甲种玩具 21 件,购进乙种 玩具 27 件,方案三:购进甲种玩具 22 件,购进乙 种玩具 26 件,方案四:购进甲种玩具 23 件,购进 乙种玩具 25 件. 最多可以购进乙种玩具 28 件 . 7. 解:∵ DE∥AB,∴ ∠EDC = ∠B,在△CDE 和△ABC 中, ∠EDC= ∠B CD=AB ∠DCE= ∠A { ,∴ △CDE≌△ABC(ASA),∴ DE =BC,∴ BD=BC-DC=DE-AB= 10-8 = 2. 8. 证明:∵ 点 D 是 AB 中点,AC =BC,∠ACB = 90°,∴ CD⊥AB,∠ACD = ∠BCD = 45°,∴ ∠CAD = ∠CBD = 45°,∴ ∠CAE= ∠BCG,又∵ BF⊥CE,∴ ∠CBG+ ∠BCF= 90°,又∵ ∠ACE+∠BCF = 90°,∴ ∠ACE = ∠CBG,在△AEC 和△CGB 中, ∠CAE= ∠BCG AC=CB ∠ACE= ∠CBG { ,∴ △AEC≌△CGB(ASA),∴ AE=CG. 9. 证明:(1) ∵ AD 是 BC 边上的中线,∴ BD = CD,∵ DE⊥ AB 于点 E, DF ⊥ AC 于点 F, ∴ ∠DEB = ∠DFC = 90°, 在 Rt △BDE 和 Rt △CDF 中, BD=CD DE=DF{ ,∴ Rt△BDE≌Rt△CDF(HL); (2) ∵ Rt△BDE≌Rt△CDF,∴ ∠B = ∠C,∴ AB = AC,∵ AD 是 BC 边上的中线,∴ AD⊥BC. 10. (1)证明:∵ E 为 AC 中点,∴ AE =CE,∵ CF∥AB. ∴ ∠A = ∠ACF, 在 △AED 和 △CEF 中, ∠A= ∠ACF AE=CE ∠AED= ∠CEF { ,∴ △AED≌△CEF(ASA); (2)解:∵ BE 平分∠ABC,∠ABE = 25°,∴ ∠ABC = 2∠ABE = 50°,∵ CF∥AB. ∴ ∠ABC + ∠BCF = 180°,∠A = ∠ACF, ∴ ∠BCF = 180° - ∠ABC = 130°,∵ CA 平分∠BCF, ∴ ∠ACF = 1 2 ∠BCF = 65°,∴ ∠A= 65°. 11. 解:(1)如图,△ABC 和△A′B′C′即为所求; (2)如图,△A′′B′′C′′即为所求 . 12. 证明:在 Rt △ABC 和 Rt △ADC 中, AC =AC AB=AD{ , ∴ Rt△ABC≌Rt△ADC(HL),∴ BC =DC,∴ 点 C 在 BD 的垂直平分线上,∵ AB = AD,∴ 点 A 在 BD 的 垂直平分线上,∴ AC 是 BD 的垂直平分线,∴ CO 垂直平分 BD. 13. 解:(1)50° (2)①∵ MN 垂直平分 AB,∴ MB =MA,∴ MB+MC +BC=MA+MC+BC = AC+BC,又∵ △MBC 的周长 追梦之旅·初中期末真题篇·河北专版 ZBJ·八年级数学　 第 6 页 是 14cm,∴ AC+BC = 14cm,∵ AB = AC = 8cm,∴ BC=6cm. ②如图,当点 P 与点 M 重合时,PB+ CP 的值最小,△BPC 周长的最小值 是 14cm. 14. (1)证明:∵ AF 平分∠DAC,∴ ∠DAF = ∠CAF,∵ AF∥BC,∴ ∠DAF= ∠B,∠CAF = ∠ACB,∴ ∠B = ∠ACB,∴ △ABC 是等腰三角形; (2) 解: ∵ ∠B = 40°, ∴ ∠ACB = ∠B = 40°, ∴ ∠BAC= 100°,∴ ∠ACE = ∠BAC+ ∠B = 140°,∵ CG 平分∠ACE,∴ ∠ACG = ∠ECG = 70°,∵ AF∥ BC,∴ ∠AGC= ∠ECG= 70°. 15. (1)解:∵ AB=AC,∴ ∠ABC= ∠ACB,∵ AD=BD= BC,∴ ∠BAD= ∠ABD,∠BCD = ∠BDC,∴ ∠BDC = ∠BAC+ ∠ABD = 2 ∠BAC,∴ ∠ABC = ∠ACB = 2∠BAC, ∵ ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°, ∴ ∠BAC+2∠BAC+2∠BAC = 180°,∴ ∠BAC = 36°, ∠ACB= 2∠BAC= 72°; (2)证明:∵ AD=BD,E 是 AB 中点,∴ DE 垂直平 分 AB,∴ FA=FB,∴ △FAB 是等腰三角形. 16. (1)50° (2) 证明:∵ AB = AC,∴ ∠ABM = ∠C,由旋转得: ∠ABM=∠AEN= ∠C,∠BAM = ∠EAN =α,AC =AE = AB,在△ABM 和△AEN 中, ∠ABM=∠AEN AB=AE ∠BAM=∠EAN { ,∴ △ABM≌△AEN(ASA),∴ AM=AN; (3)解:旋转角 α 的度数为 40°或 70°. 【解析】由 题可得,∠D= ∠B = 40°,∠DMO = ∠BMA = 180°- ∠B- ∠BAM = 140° - α, ∠MOD = 180° - ∠D - ∠DMO=α. ①当 MD=MO 时,则∠D = ∠MOD,∴ α= 40°;②当 DM =DO 时,则∠DMO = ∠DOM,∴ 140°-α =α,∴ α = 70°;③当 OD =OM 时,则∠D = ∠DMO,即 140° -α = 40°,∴ α = 100°,∵ 0° <α < 100°,∴ α = 100°不合题意,舍去;综上所述:旋转 角 α 的度数为 40°或 70°. 17. 解:( 1) ∵ BC⊥AB,∴ △ABC 为直角三角形. 在 Rt△ABC 中, AB = 8 米, AC = 10 米, 则 BC = AC2 -AB2 = 6 米; (2)在 Rt△ABM 中,AB= 8 米,BM =BC+CM = 6+9 = 15(米),则 AM = BM2 +AB2 = 17 米,由(1)知, 原线长为 10 米,则引线 AC 的长度应加长 17-10 = 7(米). 18. 解:(1)AD⊥AB,理由:∵ AD= 60 厘米,AB = 80 厘 米,BD= 100 厘米,602 +802 = 1002,∴ AD2 +AB2 = BD2,∴ △ABD 是直角三角形,∴ AD⊥AB; (2)能,理由如下:在 AD 上取点 E,使 AE = 3 厘 米,在线段 AB 上取点 F,使 AF= 4 厘米,连接 EF, 测量出 EF= 5 厘米,则 AD⊥AB. 证明:∵ AE= 3 厘米,AF= 4 厘米,EF= 5 厘米,32 + 42 = 52,∴ AE2 +AF2 = EF2,∴ △AEF 是直角三角 形,∴ AD⊥AB. (答案不唯一) 19. 解:(1)连接 PB,∵ ∠ACB = 90°,AB = 10cm,BC = 6cm,∴ AC= AB2 -BC2 = 8cm,∵ CP2 +BC2 =PB2, PA=PB= 2t,∴ PC= 8-2t,∴ (8-2t) 2 +62 = (2t) 2, ∴ t= 25 8 ; (2) t= 16 3 或 12. 【解析】当点 P 在∠BAC 的平分线 上时,如图,过点 P 作 PE⊥AB 于点 E,此时 BP = (14-2t)cm,PE=PC= (2t-8)cm,由题意可证 AC = AE = 8cm,∴ BE = 10 - 8 = 2( cm),在 Rt △BEP 中,PE2 +BE2 =BP2,即(2t-8) 2 +22 = (14-2t) 2,解 得 t= 16 3 ;当点 P 与 A 重合,也符合条件,此时 t = AC+BC+AB 2 = 12,∴ 当 t= 16 3 或 12 时,点 P 恰好在 ∠BAC 的平分线上. 追梦专项二　 重难易错专练 类型一　 分式 1. C 2. C　 【解析】∵ a = 2b,∴ a 2 -b2 a2 +ab = (a+b)(a-b) a(a+b) = a-b a = 2b-b 2b = b 2b = 1 2 ,∴ 表示 a 2 -b2 a2 +ab 的点落在段③. 故选 C. 3. D　 【解析】方程两边同乘(x-3)得,5-(x-3)= m, ∵ 分式方程有增根,∴ x-3 = 0,∴ x = 3,把 x = 3 代 入方程 5-(x-3)= m 中,得 5-0 =m,解得 m = 5. 故 选 D. 4. C　 【解析】方程两边同乘(x-1),得 m = x-1,即 x =m+1,∵ 分式方程的解为非负数,得到 m+1≥0, 且 m+1≠1,解得 m≥-1 且 m≠0. 故选 C. 5. x= 5　 【解析】根据题中的新定义,化简得: 1 x-4 = 2 x-4 -1,解得 x= 5,经检验,x= 5 是分式方程的解 . 6. 解:设原计划平均每天制作 x 个摆件,根据题意, 得 3000 x -3000 1. 5x = 5,解得 x = 200,经检验,x = 200 是 原分式方程的解,且符合题意 . 答:原计划平均每 天制作 200 个摆件. 类型二　 全等三角形 1. C　 2. D　 3. D 4. A　 【解析】由题意得:AC =BC,∠ACB = 90°,AD⊥ DE,BE ⊥ DE, ∴ ∠ADC = ∠CEB = 90°, ∠ACD + ∠BCE= 90°,∴ ∠ACD+ ∠DAC = 90°,∴ ∠BCE = ∠DAC,在 △ADC 和 △CEB 中, ∠ADC= ∠CEB ∠DAC= ∠ECB AC=CB { , ∴ △ADC≌ △CEB ( AAS),∴ AD = EC = 3 × 3 = 9 (cm),DC = BE = 7×3 = 21(cm),∴ DE = DC+CE = 30cm. 故选 A. 5. B　 6. 48　 【解析】∵ AC = BD,OA = OD,∴ AC-OA = BD- 追梦之旅·初中期末真题篇·河北专版 ZBJ·八年级数学　 第 7 页