抓分练6 特殊三角形-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（冀教版 河北专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 6　 特殊三角形 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 若等腰三角形有一个内角为 110°,则这个 等腰三角形的底角是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 70° B. 45° C. 35° D. 50° 2. 满足下列条件的三角形中,不是直角三角 形的是(　 　 ) A. 两个内角之和等于第三个角 B. 三内角之比为 2 ∶4 ∶5 C. 三内角之比为 1 ∶2 ∶3 D. 其中两个锐角之和为 90° 3. 如图,在△ABC 中,点 D 在边 BC 上,AB=AD =CD,∠BAD= 20°,则∠C 的度数是(　 　 ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 4. 如图,已知∠AOB = 60°,点 P 在边 OA 上, OP= 12,点 M,N 在边 OB 上,PM = PN,若 MN= 2,则 OM= (　 　 ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 如图,一根木棍斜靠在与地面(OM)垂直的 墙(ON)上,设木棍中点为 P,若木棍 A 端沿 墙下滑,且 B 端沿地面向右滑行. 在此滑动 过程中,点 P 到点 O 的距离(　 　 ) A. 变小 B. 不变 C. 变小 D. 无法判断 6. 如图,点 A、B 在直线 l 的同侧,点 C 在直线 l 上,且△ABC 是等腰三角形,符合条件的点 C 有(　 　 ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题(每小题 3 分,共 6 分) 7. 如图,△ABC 是等边三角形,BD⊥AC 于点 D,E 是 BC 延长线上的一点,DB = DE,则 ∠E 的度数为　 　 　 　 . 第 7 题图 　 　 　 第 8 题图 8. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,∠A = 30°, 直线 DE 是边 AB 的垂直平分线,连接 BE. (1)∠ABE= 　 　 　 　 ; (2)若 BE= 2,则 AC= 　 　 　 　 . 三、解答题(共 36 分) 9. (本小题满分 8 分) 如图,在等腰三角形 ABC 中,AB = AC,∠BAC = 120°,请按要求作 答: (1)请用尺规作 AB 边的垂直平分线交 AB 于点 D,交 BC 于点 E;(保留痕迹,不写作 法) (2)若 DE= 3,求线段 CE,BC 的长 11 河北专版·ZBJ·八年级数学上 10. (本小题满分 9 分)如图,在△ABC 中,CF ⊥AB 于点 F,BE⊥AC 于点 E,M 为 BC 的 中点. (1)求证:△MEF 是等腰三角形; (2)若∠EBC= 30°,BC= 10 cm,求 CE 的长 度. 11. (本小题满分 9 分)如图,∠A = ∠B = 50°, P 为 AB 中点,过 P 点作直线分别交射线 AC、BD 于点 M、N ( 分别不与点 A、B 重 合),设∠BPN=α. (1)求证:PM=PN; (2)当△APM 为直角三角形时,求 α 的度 数. 12. (本小题满分 10 分)如图,△ABC 是边长 为 6 cm 的等边三角形,动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发,分别沿 AB、BC 方向匀速移 动. (1)点 P 的运动速度是 1 cm / s,点 Q 的运 动速度是 2 cm / s, 当 Q 到达点 C 时, P、Q 两点 都 停 止 运 动, 设 运 动 时 间 为 t(s),当 t= 2 时,判断△BPQ 的形状,并说 明理由; (2)若它们的速度都是 1 cm / s,当点 P 到 达点 B 时,P、Q 两点停止运动,设点 P 的 运动时间为 t(s),则当 t 为何值时,△PBQ 是直角三角形? 21 ≌△CFE(ASA),∴ AG=EC= 4. 5,∵ BE = 3,∴ BC =BE+EC = 7. 5,∵ △ABF≌△CBF,∴ AB = BC = 7. 5. 基础知识抓分练 6　 特殊三角形 1. C　 2. B 　 【解析】 B. 三个角中最大的内角为 180° × 5 2+4+5 ≈82°≠90°,∴ 不是直角三角形. 故选 B. 3. B　 4. C　 5. B　 6. A 7. 30°　 【解析】∵ △ABC 是等边三角形,∴ ∠ABC = 60°,AB = BC, ∵ BD ⊥ AC, ∴ ∠DBC = ∠DBA = 1 2 ∠ABC= 30°,∵ DB=DE,∴ ∠DBC= ∠E= 30°. 8. (1)30°　 (2) 3　 【解析】 (1)∵ 直线 DE 是边 AB 的垂直平分线,∴ EB = EA,∴ ∠ABE = ∠A = 30°; (2)∵ EB=EA,BE= 2,∴ AE= 2. ∵ ∠ABE = 30°,DE ⊥AB,∴ DE = 1 2 BE = 1,∵ ∠C = 90°,∠A = 30°,∴ ∠ABC= 60°,∵ ∠ABE = 30°,∴ ∠CBE = ∠ABE = 30°. ∵ EC⊥BC,DE⊥AB,∴ CE=DE= 1,∴ AC=AE +CE= 3. 9. 解:(1)如图所示,DE 即为所求; (2)连接 AE,∵ AB=AC,∠BAC= 120°,∴ ∠B= ∠C = 30°,∵ DE 垂直平分 AB,∴ BE = AE,DE⊥AB,∴ BE=AE= 2DE= 6,∴ ∠BAE = ∠B = 30°,∴ ∠AEC = ∠B+ ∠BAE = 60°, ∴ ∠EAC = 90°, ∴ CE = 2AE = 12,∴ BC=BE+CE= 6+12 = 18. 10. (1)证明:连接 EF. ∵ CF⊥AB,BE⊥AC,∴ △BFC 与△BEC 都为直角三角形,∵ M 为 BC 的中点,∴ EM= 1 2 BC,FM = 1 2 BC,∴ EM = FM,∴ △MEF 是 等腰三角形; (2)在 Rt△EBC 中,∵ ∠EBC = 30°,∴ CE = 1 2 BC = 1 2 ×10 = 5(cm). 11. (1)证明:∵ P 是 AB 的中点,∴ PA =PB,在△APM 和△BPN 中, ∠A=∠B PA=PB ∠APM=∠BPN { ,∴ △APM≌△BPN (ASA),∴ PM=PN; (2)解:∵ ∠A = 50°,∴ 当△APM 为直角三角形 时,∠APM = 90°或∠AMP = 90° . 当∠APM = 90° 时,α = ∠APM = 90°. 当∠AMP = 90°时,∠APM = 180° - ∠AMP - ∠A = 40°, ∴ α = 40°, 综上, 当 △APM 为直角三角形时,α 的度数为 90°或 40°. 12. 解:(1)根据题意得:AP = tcm,BQ = 2tcm,当 t = 2 时,AP= 2cm,BQ = 4cm,∵ △ABC 是边长为 6cm 的等边三角形,∴ AB = 6cm,∠B = 60°,∴ BP = AB -AP= 4cm,∴ BP = BQ,∴ △BPQ 是等腰三角形, ∵ ∠B= 60°,∴ △BPQ 是等边三角形; (2)△PBQ 中,BP = 6-t,BQ = t,若△PBQ 是直角 三角形, 则 ∠BQP = 90° 或 ∠BPQ = 90°, ① 当 ∠BQP= 90°时,∠B= 60°,∴ ∠BPQ= 30°,∴ BQ= 1 2 BP,即 t = 1 2 (6 - t),解得: t = 2;②当∠BPQ = 90°时,同理得:BP= 1 2 BQ,即 6-t= 1 2 t,解得 t= 4. 综上所述,当 t = 2s 或 t = 4s 时,△PBQ 是直角三 角形. 基础知识抓分练 7 勾股定理、直角三角形全等的判定、反证法 1. B　 【解析】A. 102 +162≠252,∴ 不能组成直角三角 形;B. 12 +12 =( 2 ) 2,能组成直角三角形;C. 62 +82 ≠112,不能组成直角三角形;D. 52 +122≠232,不能 组成直角三角形. 故选 B. 2. B　 3. A　 4. A 5. D　 【解析】作 CD⊥AB 于点 D,∵ ∠C = 90°,AC = 3,BC= 4,∴ AB = AC2 +BC2 = 5,∵ S△ABC = AC·BC 2 =AB·CD 2 ,∴ 3 ×4 2 = 5CD 2 ,解得 CD= 2. 4. 故选 D. 6. A 7. 45°　 【解析】连接 AC,由勾股定理得:AC2 = 22 +12 = 5,BC2 = 22 +12 = 5,AB2 = 12 +32 = 10,∴ AC2 +BC2 = 5+5 = 10 = BA2,∴ △ABC 是直角三角形,∠ACB = 90°,∵ AC=BC,∴ ∠ABC= 45°. 8. 10km 9. (1) 17 　 (2)12 17 17 10. 解:(1)在 Rt△ACD 中,∠D = 90°,AD = 7m,DC = 24m,则由勾股定理可得 AC = AD2 +DC2 = 25m, 在 Rt△ACO 中,∠O= 90°,AC= 25m,CO= 15m,则 由勾股定理可得 AO = AC2 -OC2 = 20m,∴ 小路 AO 的长度为 20m; (2)过 O 作 OB⊥AC 于点 B,∴ 在 Rt△ACO 中, S△AOC = 1 2 AO·OC= 1 2 AC·OB,则 20×15 = 25OB, 解得 OB = 12m,在 Rt△BOC 中,∠OBC = 90°,OC = 15m, OB = 12m, 则由勾股定理 可 得 BC = OC2 -OB2 = 9m,∴ 小狗跑的路程为 OC +CB = 24m,∵ 小狗以 2m / s 的速度奔跑,∴ 小狗奔跑的 时间为 t= 24÷2 = 12( s). ∴ 淇淇与小狗的最近距 离是 12m,此时 t 的值为 12. 11. 解:(1)AB+0. 2 =AD (2)设 AB= x 米,过点 D 作 DF⊥AB 于点 F,则 BF =DE= 1. 8 米,DF = BE = 8 米,AF = AB-BF = ( x- 1. 8)米,AD= (x+0. 2)米,在 Rt△ADF 中,由勾股 定理得:(x-1. 8) 2 +82 = (x+0. 2) 2,解得 x = 16. 8. 答:学校旗杆的高为 16. 8 米. 追梦之旅·初中期末真题篇·河北专版 ZBJ·八年级数学　 第 5 页