抓分练2 分式方程及其应用-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（冀教版 河北专用）

CF,∵ ∠AED = ∠AFD, DA = DA, ∴ Rt △AED ≌ Rt△AFD(HL),∴ AE=AF,∴ AB-AC = (BE+AE) - (CF-AF)= AE+AF= 2AE= 6,∴ AE= 3. 5. 解:(1)连接 BD,在 Rt△ABD 中,BD2 = AB2 +AD2 = 32 +42 = 25,即 BD = 5,∵ BD2 +BC2 = 52 +122 = 169, CD2 = 169,∴ CD2 = BD2 +BC2,∴ △BCD 是直角三 角形, ∠CBD = 90°, ∴ S四边形ABCD = S△ABD + S△BCD = 1 2 AB·AD+ 1 2 BC·BD= 36(m2); (2)由题意可得:43. 2÷36 = 1. 2(kg). 答:每平方米 可以收割水稻 1. 2kg. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂《课本回头练》答案 基础知识抓分练 1　 分式及其运算 1. B　 2. B　 3. C 4. D 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】此题主要考查了分式的值为零的条件, 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零, 可得 x= 0 且 x-1≠0,再解关于 x 的方程即可. 5. D　 【解析】A. 1 x - 1 y = y xy - x xy = y-x xy ,错误;B. 1 x + 1 y = y xy + x xy = x+y xy ,错误;C. x 3y -x+1 3y = x-x-1 3y = - 1 3y ,错 误. 故选 D. 6. D 7. B　 【解析】(x+ 2x x-1 )÷x 2 +2x+1 x-1 = x 2 -x+2x x-1 ÷(x+1) 2 x-1 = x 2 +x x-1 · x -1 (x+1) 2 = x(x+1) x-1 · x -1 (x+1) 2 = x x+1 ,∵ x 为 正整数,∴ x≥1,∴ x+x≥x+1,即 2x≥x+1,∴ 1 2 ≤ x x+1 <1,∴ 表示(x+ 2x x-1 )÷x 2 +2x+1 x-1 的值的点落在如 图所示的区域②. 故选 B. 8. D 9. A　 【解析】 ∵ P-Q = ( x - 1) - 1 x-1 = (x-1) 2 -1 x-1 = x2 -2x+1-1 x-1 = x 2 -2x x-1 = x(x-2) x-1 ,∴ 当 2>x>1 时,x-1 >0,x>0,x-2<0,则x(x -2) x-1 <0,即 P<Q,∴ 结论① 不对;当 x<0 时,x-1<0,x-2<0,则x(x -2) x-1 <0,即 P <Q,∴ 结论②对. 故选 A. 10. x x2 +1 (答案不唯一) 　 11. x(x+1) 12. (1)相同 　 (2) - 4 　 【解析】 (1) a +1 a-1 = a-1+2 a-1 = a-1 a-1 + 2 a-1 = 1+ 2 a-1 ,∴ ○ = □ = ◇ = 2;(2)2a -8 a+2 = 2(a+2)-12 a+2 = 2- 12 a+2 ,∵ a≥0,∴ 当 a = 0 时, 12 a+2 = 6 取得最大值,∴ 2a -8 a+2 = 2- 12 a+2 的最小值为 2-6 = -4. 13. 解:(1)原式= b 2 -a2 ab · ab a+b = (b+a)(b-a) ab · ab a+b = b-a,当 a= 2024,b = 2025 时,原式 = 2025-2024 = 1; (2)原式= [a(a -2) (a-2) 2 +1] · a(a +1) (a+1)(a-1) = ( a a-2 + a-2 a-2 )· a a-1 = 2(a-1) a-2 · a a-1 = 2a a-2 ,当 a = -1,0, 1,2 时,原分式无意义,∴ a = -2,原式 = 2 ×(-2) -2-2 = 1. 14. 解:(1)②　 ③ (2)例:选择淇淇同学解法:原式 = [ x(x -1) (x+1)(x-1) + x(x+1) (x+1)(x-1) ] · x 2 -1 x = x 2 -x+x2 +x (x+1)(x-1) · (x+1)(x-1) x = 2x 2 x = 2x. 15. 解:(1)①③④　 (2)a-1　 2 a-1 (3)原式= 3x +6 x+1 -x-1 x · x(x +2) (x+1)(x-1) = 3x+6 x+1 -x+2 x+1 = 2x+4 x+1 = 2(x+1) +2 x+1 = 2+ 2 x+1 ,∴ 当 x+1 = ±1 或 x+ 1 = ±2 时,分式的值为整数,此时 x = 0 或-2 或 1 或-3,又∵ 分式有意义时 x≠0、1、-1、-2,∴ x = -3. 基础知识抓分练 2　 分式方程及其应用 1. A 2. C　 【解析】把 x= 4 代入分式方程得: 2 4 - a 6 = 0,解 得 a= 3. 故选 C. 3. A　 【解析】根据题意得 2 3-x = 1 2x ,解得 x = 3 5 ,检验: 当 x= 3 5 时,2x(3-x)≠0,故 x 的值为 3 5 . 故选 A. 4. D　 5. A　 6. D 7. a≥1 且 a≠2　 【解析】解分式方程得 x = 2a-2,∵ 关于 x 的分式方程x -a x-2 = 1 2 的解为非负数,x-2≠ 0,∴ 2a -2≥0 2a-2-2≠0{ ,解得 a≥1 且 a≠2. 8. 1　 【解析】方程两边同时乘( x-3),得 x-2 = △+ 2(x-3),由分式方程无解,得到 x-3 = 0,即 x = 3, 把 x= 3 代入整式方程得△ = 1. 9. x = 5　 【解析】根据题中的新定义化简得: 1 x-4 = 追梦之旅·初中期末真题篇·河北专版 ZBJ·八年级数学　 第 2 页 2 x-4 -1,解得 x = 5,经检验 x = 5 是原分式方程的 解. 10. (1)x= 2　 (2)3　 【解析】(1)当 m = 4 时,原方程 即为: 3x x-1 = 4 x-1 +2,解得 x = 2,检验:当 x = 2 时,x -1≠0,∴ x= 2 是原分式方程的解;(2)方程两边 同乘(x-1),得 3x =m+2x-2,解得 x =m-2. ∵ 分 式方程无解,∴ x-1 = 0,即 x = 1,∴ m-2 = 1,解得 m= 3,∴ m= 3 时,分式方程无解. 11. 解:(1)原方程化为 x 2x-5 - 5 2x-5 = 1. 方程两边同时 乘上(2x-5)得:x-5 = 2x-5. 解得 x = 0. 经检验,x = 0 是原分式方程的解; (2)方程两边同时乘上(x2 -1)得:(x+1) 2 -(x2 - 1)= 4,解得 x= 1. 经检验,x = 1 时,x2 -1 = 0. ∴ 原 分式方程无解. 12. 解:(1)12 (2)设升级后每小时配送物品的数量为 x 万件, 则升级前每小时配送物品的数量为( x- 0. 5) 万 件,依题意得: 8 x-0. 5 = 12 x ,解得 x = 1. 5. 经检验,x = 1. 5 是方程的解,且符合题意. 答:升级后每小 时配送物品的数量是 1. 5 万件. 13. 解:(1)4x　 10 4x (2)由题意得:10 4x - 6 3x = 20 60 ,解得 x = 1. 5,经检验,x = 1. 5 是原方程的解,且符合题意,∴ 3x= 3×1. 5 = 4. 5,4x= 4×1. 5 = 6,答:甲的速度为 4. 5km / h,乙 的速度为 6km / h. 14. 解:(1)设甲种分类垃圾桶的单价是 x 元 /个,则 乙种分类垃圾桶的单价是(x+40)元 /个,根据题 意得 4800 x = 6000 x+40 ,解得 x = 160. 经检验,x = 160 是 原方程的解,且符合题意, ∴ x + 40 = 160 + 40 = 200. 答:甲种分类垃圾桶的单价是 160 元 /个,乙 种分类垃圾桶的单价是 200 元 /个; (2)设购买甲种分类垃圾桶 y 个,则购买乙种分 类垃圾桶(20-y)个,依题意得 200(20-y) +160y ≤3600,解得 y≥10. ∵ y 为正整数,∴ y 的最小值 为 10. 答:最少需要购买甲种分类垃圾桶 10 个. 基础知识抓分练 3　 全等三角形 1. C　 2. A　 3. C　 4. D　 5. D 6. D　 【解析】设 AC 与 DE 相交于点 O,A. ∵ △ABC ≌△ADE,∴ ∠BAC = ∠DAE,∴ ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE-∠DAC,∴ ∠BAD = ∠CAE;B. ∵ △ABC≌ △ADE,∴ ∠C = ∠E, ∵ ∠AOE = ∠DOC, ∠E + ∠CAE+∠AOE= 180°,∠C+∠COD+∠CDE= 180°, ∴ ∠CAE = ∠CDE,∵ ∠BAD = ∠CAE,∴ ∠BAD = ∠CDE;C. ∵ △ABC≌△ADE,∴ ∠B= ∠ADE,AB = AD,∴ ∠B = ∠BDA,∴ ∠BDA = ∠ADE,∴ DA 平分 ∠BDE. 故选 D. 7. A　 【解析】分两种情况:当△APC≌△BQP 时,AP =BQ,即 20-x = 3x,解得 x = 5;当△APC≌△BPQ 时,AP=BP = 1 2 AB = 10 米,此时所用时间 x 为 10 秒,AC=BQ= 30 米,不合题意,舍去. 故选 A. 8. 三条边分别对应相等的两个三角形全等 9. 一定　 10. AC=FD(答案不唯一) 11. (1)9　 (2)18　 【解析】 (1)∵ CM 和 DM 的夹角 为 90°,∴ ∠CMA+∠BMD = 90°,∵ ∠DBA = 90°, ∴ ∠BMD+∠D = 90°,∴ ∠CMA = ∠D,在△CAM 和△MBD 中, ∠A= ∠B ∠CMA= ∠D CM=MD { ,∴ △CAM≌ △MBD (AAS),∴ AM =DB,AC =MB,∵ MB = AC = 3m,∴ DB=AM=AB-BM= 12-3 = 9(m);(2)9÷0. 5 = 18 (s) . 12. 证明:∵ AB∥FC,∴ ∠ADE = ∠CFE,在△AED 和 △CEF 中, ∠ADE = ∠CFE, DE = FE, ∠AED = ∠CEF,∴ △AED≌△CEF(ASA),∴ AE=CE. 13. (1)证明:∵ AD 是 BC 边上的中线,∴ BD=CD,在 △BDF 和△CDE 中, BD=CD ∠BDF= ∠CDE DF=DE { , ∴ △BDF ≌△CDE(SAS); (2)解:∵ AD⊥BC,BD =CD,∴ AC = AB,∵ ∠BAC = 130°,∴ ∠ABC= ∠C = 1 2 (180°-∠BAC) = 25°. ∵ △BDF≌△CDE,∴ ∠DBF= ∠C= 25°. 14. 解:(1)该项目学习小组能知道该片水域的宽度 AB,理由:∵ BA⊥AD,ED⊥AD,∴ ∠BAC = ∠EDC = 90°,在△ABC 和△DEC 中, ∠BAC= ∠CDE AC=CD ∠ACB= ∠DCE { , ∴ △ABC≌△DEC( ASA),∴ DE = AB = 5m,∴ 水 域的宽度为 5m; (2)我认为在实地测量时,水域两岸可能不是规 则的直线,所以测量时垂直不易把握,测量数据 有误差. (言之有理即可) 基础知识抓分练 4　 实数与二次根式 1. A　 2. D　 3. D　 4. B 5. D　 【解析】根据题意得 m +1≥0 m-2≠0{ ,解得 m≥-1 且 m≠2. 故选 D. 6. C　 【解析】 12 = 2 3 ,∵ 最简二次根式 a+1 可 以与 12 合并,∴ a+1 = 3,解得 a= 2. 故选 C. 7. B　 8. B 9. C　 【解析】由图可知,阴影部分的长为 32 - 2 = 3 2 (cm),宽为 2 cm,∴ 阴影部分的面积为 3 2 × 2 = 6(cm2) . 故选 C. 追梦之旅·初中期末真题篇·河北专版 ZBJ·八年级数学　 第 3 页 追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 2　 分式方程及其应用 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 下列方程中,是分式方程是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 3x +5 4x = 2 B. x2 -2x= 1 C. x +1 2 = 1 D. x-2 = 3y 2. 已知关于 x 的分式方程 2 x + a x-10 = 0 的解为 x= 4,则常数 a 的值为(　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知代数式 2 3-x 和 1 2x 的值相等,则 x 的值 为(　 　 ) A. 3 5 B. 1 C. 2 D. -2 4. 若关于 x 的方程 3 x-4 = 2- 3 -a x-4 有增根,则 a 的值是(　 　 ) A. 3 B. -4 C. 4 D. 6 5. “孔子周游列国”是流传很广的故事. 有一 次孔子和学生们到距离他们住的驿站 15 公 里的书院参观,学生们步行出发,1 小时后, 孔子乘牛车出发,牛车的速度是学生们步 行的速度的 1. 5 倍,且孔子和学生们同时到 达该书院. 设学生们步行的速度为 x 公里 / 时,则可列方程(　 　 ) A. 15 x = 15 1. 5x +1 B. 15 x +1 = 15 1. 5x C. 15 x-1 = 15 1. 5x D. 15 x+1 = 15 1. 5x 6. 为了美化环境,某地政府计划对辖区内 60 km2 的土地进行绿化,为了尽快完成任 务,实际平均每月的绿化面积是原计划的 1. 5 倍,结果提前 2 个月完成任务,求原计 划平均每月的绿化面积. 根据题意,甲、乙 两名同学分别列出了尚不完整的方程如 下:甲:60 x - 60 □ = 2;乙:60 y = 1. 5× 60 ◇ ,则下列 说法不正确的是(　 　 ) A. x 表示原计划平均每月的绿化面积 B. y 表示实际完成这项工程需要的月数 C. □表示 1. 5x D. ◇表示 y-2 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 7. 若关于 x 的分式方程x -a x-2 = 1 2 的解为非负 数,则 a 的取值范围是　 　 　 　 . 8. 学习情境·墨迹覆盖 小颖在解分式方程x -2 x-3 = △ x-3 +2 时,△处被污染看不清,但正确答 案是:此方程无解. 请你帮小颖猜测一下△ 处的数应是　 　 　 　 . 9. 新定义 对于实数 a、 b,定义一种新运算 “⊗”为:a⊗b = 1 a-b2 ,这里等式右边是实数 运算. 例如:1⊗3 = 1 1-32 = - 1 8 . 则方程 x⊗( - 2)= 2 x-4 -1 的解是　 　 　 　 . 10. 已知关于 x 的分式方程 3x x-1 = m x-1 +2. (1)若 m= 4,分式方程的解为　 　 　 　 ; (2)若分式方程无解,则m的值为　 　 　 　 . 3 河北专版·ZBJ·八年级数学上 三、解答题(共 35 分) 11. (本小题满分 8 分)解分式方程: (1) x 2x-5 + 5 5-2x = 1; (2)x +1 x-1 -1 = 4 x2 -1 . 12. (本小题满分 9 分)随着数字化时代的到 来,人工智能被广泛应用,包括无人便利 店、智慧供应链、客流统计无人车和无人 仓等. 某物流公司利用人工智能进行升 级,在升级前可配送 8 万件物品,在相同的 时间内,现在可配送的物品数量是原来的 1. 5 倍. (1)现在可配送的物品数量是　 　 　 　 万 件; (2)若升级后每小时比升级前多配送 0. 5 万件物品,求升级后每小时配送物品的数 量. 13. (本小题满分 9 分)如图,已知点 A、B、C 在 同一直线上,AB = 6 km,AC = 10 km,甲、乙 两人同时从 A 地出发,同向而行,分别前 往 B 地和 C 地,甲、乙的速度比是 3 ∶4,结 果甲比乙提前 20 min 到达目的地. (1)设甲的速度为 3x km / h,完成下表: 路程 速度 时间 甲 6 3x 6 3x 乙 10 (2)求甲、乙的速度. 14. (本小题满分 9 分)加强生活垃圾分类处 理,维护公共环境和节约资源是全社会共 同的责任. 某社区为了增强社区居民的文 明意识和环境意识,营造干净、整洁、舒适 的人居环境,准备购买甲、乙两种分类垃 圾桶. 通过市场调研得知:乙种分类垃圾 桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多 40 元,且用 4 800 元购买甲种分类垃圾桶的 数量与用 6 000 元购买乙种分类垃圾桶的 数量相同. (1)求甲、乙两种分类垃圾桶的单价; (2)该社区计划用不超过 3 600 元的资金 购买甲、乙两种分类垃圾桶共 20 个,则最 少需要购买甲种分类垃圾桶多少个? 4