抓分练1 分式及其运算-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（冀教版 河北专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 1　 分式及其运算 一、选择题(每小题 3 分,共 27 分) 1. 如图,甲、乙、丙、丁四人手中各有一个圆形 卡片,则卡片中的式子是分式的有(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2. 下列分式 a ab , 4 2m+4 ,x +π x ,b 2 -4 b-2 ,a +b b-a 中,最简 分式的个数是(　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 3. 若把分式3x +y xy 中的 x 和 y 都扩大 2 倍,那么 分式的值(　 　 ) A. 扩大 2 倍 B. 不变 C. 缩小 2 倍 D. 缩小 4 倍 4. 要使分式 x x-1 的值为 0, 则 x 的值应 满 足(　 　 ) A. x≠1 B. x= 1 C. x≠0 D. x= 0 5. 下列计算正确的是(　 　 ) A. 1 x - 1 y = 1 x-y B. 1 x + 1 y = 1 xy C. x 3y -x+1 3y = 1 3y D. 1 x-y + 1 y-x = 0 6. 一辆货车送货上山,并按原路下山. 上山速 度为 a 千米 /时,下山速度为 b 千米 /时,则货 车上、下山的平均速度为(　 　 )千米 / 时. A. 1 2 (a+b) B. ab a+b C. a +b 2ab D. 2ab a+b 7. 若 x 为正整数,则表示( x+ 2x x-1 ) ÷x 2 +2x+1 x-1 的值的点落在如图所示的区域(　 　 ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 8. 学习情境·接力游戏 某数学老师在课堂上 设计了一个接力游戏,用合作的方式完成 分式化简,规则是:每人只能看到前一人给 的式子,并进行一步计算,再将计算结果传 递给下一人,最后完成化简,过程如图所 示. 对于三个人的接力过程判断正确的 是(　 　 ) A. 三个人都正确 B. 甲有错误 C. 乙有错误 D. 丙有错误 9. 设 P= x-1,Q= 1 x-1 ,x≠1,有以下 2 个结论: ①当 x>1 时,P>Q;②当 x<0 时,P<Q. 下列 判断正确的是(　 　 ) A. ①错②对 B. ①对②错 C. ①②都错 D. ①②都对 二、填空题(每小题 3 分,共 9 分) 10. 新趋势·结论开放 写出一个 x 取任意实数 时,一定有意义的分式　 　 　 　 . 11. 学习情境·墨迹覆盖 数学课上,老师讲了 分式的除法,放学后,小刚回到家中拿出课 堂笔记,认真复习老师课上讲的内容,他突 然发现一道题:化简 x x2-1 ÷x 2 Δ ,其中“Δ”处被 墨迹盖住了,但他知道这道题化简的结果 为 1 x-1 ,则“Δ”所表示的式子为　 　 　 　 . 12. 观察分式变形过程:a +1 a-1 = a-1+○ a-1 = a-1 a-1 + □ a-1 = 1+ ◇ a-1 ,其中“ ○” “ □” “ ◇”分别盖 住了一个整数. (1)“○”“□”“◇”表示的整数　 　 　 　 ; (填“相同”或“不相同”) (2)当 a≥0 时,2a -8 a+2 的最小值为　 　 　 　 . 1 河北专版·ZBJ·八年级数学上 三、解答题(共 29 分) 13. (本小题满分 8 分) ( 1) 先化简,再求值: ( b a - a b ) ÷a +b ab ,其中 a= 2 024,b= 2 025; (2)化简:( a 2 -2a a2 -4a+4 + 1) ÷a 2 -1 a2 +a ,并在- 2, -1,0,1,2 中选取一个合适的数作为 a 的 值代入求值. 14. 学习情境·过程性学习 (本小题满分 10 分) 化简( x x+1 + x x-1 ) ·x 2 -1 x . 下面是淇淇和嘉 嘉两位同学的部分运算过程: (1)淇淇同学解法的依据是 　 　 　 　 ;嘉 嘉同学解法的依据是　 　 　 　 ;(填序号) ①等式的基本性质 ②分式的基本性质 ③乘法对加法的分配律 ④乘法交换律 (2)请选择一种解法,写出完整的解答过 程. 15. 新定义 (本小题满分 11 分)定义:如果一 个分式能化成一个整式与一个分子为常 数的分式的和的形式,则称这个分式为 “和谐分式”. 如:x +1 x-1 = x-1+2 x-1 = x-1 x-1 + 2 x-1 = 1+ 2 x-1 ,2x -3 x+1 = 2x+2-5 x+1 = 2x+2 x+1 - 5 x+1 = 2 - 5 x+1 ,则x +1 x-1 和 2x-3 x+1 都是“和谐分式” . (1) 下列式子中,属于“和谐分式” 的是 　 　 　 　 (填序号); ①x +1 x 　 　 ②2 +x 2 　 　 ③x +2 x+1 　 　 ④y 2 +1 y2 (2)将“和谐分式” a 2 -2a+3 a-1 化成一个整式 与一个分子为常数的分式的和的形式为: a2 -2a+3 a-1 = 　 　 　 　 +　 　 　 　 ; (3)应用:先化简3x +6 x+1 -x-1 x ÷ x 2 -1 x2 +2x ,并求 x 取什么整数时,该式的值为整数. 2 CF,∵ ∠AED = ∠AFD, DA = DA, ∴ Rt △AED ≌ Rt△AFD(HL),∴ AE=AF,∴ AB-AC = (BE+AE) - (CF-AF)= AE+AF= 2AE= 6,∴ AE= 3. 5. 解:(1)连接 BD,在 Rt△ABD 中,BD2 = AB2 +AD2 = 32 +42 = 25,即 BD = 5,∵ BD2 +BC2 = 52 +122 = 169, CD2 = 169,∴ CD2 = BD2 +BC2,∴ △BCD 是直角三 角形, ∠CBD = 90°, ∴ S四边形ABCD = S△ABD + S△BCD = 1 2 AB·AD+ 1 2 BC·BD= 36(m2); (2)由题意可得:43. 2÷36 = 1. 2(kg). 答:每平方米 可以收割水稻 1. 2kg. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂《课本回头练》答案 基础知识抓分练 1　 分式及其运算 1. B　 2. B　 3. C 4. D 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】此题主要考查了分式的值为零的条件, 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零, 可得 x= 0 且 x-1≠0,再解关于 x 的方程即可. 5. D　 【解析】A. 1 x - 1 y = y xy - x xy = y-x xy ,错误;B. 1 x + 1 y = y xy + x xy = x+y xy ,错误;C. x 3y -x+1 3y = x-x-1 3y = - 1 3y ,错 误. 故选 D. 6. D 7. B　 【解析】(x+ 2x x-1 )÷x 2 +2x+1 x-1 = x 2 -x+2x x-1 ÷(x+1) 2 x-1 = x 2 +x x-1 · x -1 (x+1) 2 = x(x+1) x-1 · x -1 (x+1) 2 = x x+1 ,∵ x 为 正整数,∴ x≥1,∴ x+x≥x+1,即 2x≥x+1,∴ 1 2 ≤ x x+1 <1,∴ 表示(x+ 2x x-1 )÷x 2 +2x+1 x-1 的值的点落在如 图所示的区域②. 故选 B. 8. D 9. A　 【解析】 ∵ P-Q = ( x - 1) - 1 x-1 = (x-1) 2 -1 x-1 = x2 -2x+1-1 x-1 = x 2 -2x x-1 = x(x-2) x-1 ,∴ 当 2>x>1 时,x-1 >0,x>0,x-2<0,则x(x -2) x-1 <0,即 P<Q,∴ 结论① 不对;当 x<0 时,x-1<0,x-2<0,则x(x -2) x-1 <0,即 P <Q,∴ 结论②对. 故选 A. 10. x x2 +1 (答案不唯一) 　 11. x(x+1) 12. (1)相同 　 (2) - 4 　 【解析】 (1) a +1 a-1 = a-1+2 a-1 = a-1 a-1 + 2 a-1 = 1+ 2 a-1 ,∴ ○ = □ = ◇ = 2;(2)2a -8 a+2 = 2(a+2)-12 a+2 = 2- 12 a+2 ,∵ a≥0,∴ 当 a = 0 时, 12 a+2 = 6 取得最大值,∴ 2a -8 a+2 = 2- 12 a+2 的最小值为 2-6 = -4. 13. 解:(1)原式= b 2 -a2 ab · ab a+b = (b+a)(b-a) ab · ab a+b = b-a,当 a= 2024,b = 2025 时,原式 = 2025-2024 = 1; (2)原式= [a(a -2) (a-2) 2 +1] · a(a +1) (a+1)(a-1) = ( a a-2 + a-2 a-2 )· a a-1 = 2(a-1) a-2 · a a-1 = 2a a-2 ,当 a = -1,0, 1,2 时,原分式无意义,∴ a = -2,原式 = 2 ×(-2) -2-2 = 1. 14. 解:(1)②　 ③ (2)例:选择淇淇同学解法:原式 = [ x(x -1) (x+1)(x-1) + x(x+1) (x+1)(x-1) ] · x 2 -1 x = x 2 -x+x2 +x (x+1)(x-1) · (x+1)(x-1) x = 2x 2 x = 2x. 15. 解:(1)①③④　 (2)a-1　 2 a-1 (3)原式= 3x +6 x+1 -x-1 x · x(x +2) (x+1)(x-1) = 3x+6 x+1 -x+2 x+1 = 2x+4 x+1 = 2(x+1) +2 x+1 = 2+ 2 x+1 ,∴ 当 x+1 = ±1 或 x+ 1 = ±2 时,分式的值为整数,此时 x = 0 或-2 或 1 或-3,又∵ 分式有意义时 x≠0、1、-1、-2,∴ x = -3. 基础知识抓分练 2　 分式方程及其应用 1. A 2. C　 【解析】把 x= 4 代入分式方程得: 2 4 - a 6 = 0,解 得 a= 3. 故选 C. 3. A　 【解析】根据题意得 2 3-x = 1 2x ,解得 x = 3 5 ,检验: 当 x= 3 5 时,2x(3-x)≠0,故 x 的值为 3 5 . 故选 A. 4. D　 5. A　 6. D 7. a≥1 且 a≠2　 【解析】解分式方程得 x = 2a-2,∵ 关于 x 的分式方程x -a x-2 = 1 2 的解为非负数,x-2≠ 0,∴ 2a -2≥0 2a-2-2≠0{ ,解得 a≥1 且 a≠2. 8. 1　 【解析】方程两边同时乘( x-3),得 x-2 = △+ 2(x-3),由分式方程无解,得到 x-3 = 0,即 x = 3, 把 x= 3 代入整式方程得△ = 1. 9. x = 5　 【解析】根据题中的新定义化简得: 1 x-4 = 追梦之旅·初中期末真题篇·河北专版 ZBJ·八年级数学　 第 2 页