抓分练6 分式及分式的运算-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（人教版 安徽专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 6　 分式及分式的运算 一、选择题(每题 4 分,共 28 分) 1. 下列代数式中,属于分式的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. x 2 B. 1 x+2 C. 1 2 (x+y) D. 1 2 x2 + 1 2 x 2. 石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性, 在多个领域具有重要的应用前景. 石墨烯 中 每 两 个 相 邻 碳 原 子 间 的 键 长 为 0. 000 000 000 142 米,此键长用科学记数 法表示为(　 　 ) A. 1. 42×10-9 B. 1. 42×10-10 C. 0. 142×10-9 D. 1. 42×10-11 3. 若把分式3x +y xy 中的 x 和 y 都扩大 2 倍,那么 分式的值(　 　 ) A. 扩大 2 倍 B. 不变 C. 缩小 2 倍 D. 缩小 4 倍 4. 下列计算正确的是(　 　 ) A. 2 x - 1 y = 1 xy B. 1 x + 1 x = 1 2x C. x y -x+1 y = 1 3y D. 1 x-y + 1 y-x = 0 5. 生活情境·试验田 如图,“丰收 1 号” 小麦 的试验田是边长为 m(m>1)的正方形去掉 一个边长为 1 m 的正方形蓄水池后余下的 部分,“丰收 2 号”小麦的试验田是边长为 (m- 1)的正方形,两块试验田的小麦都收 获了 n kg. 设“丰收 1 号” 小麦和“丰收 2 号” 小麦的单位面积产量分别为 P kg / m2 和 Q kg / m2 . 则下列说法正确的是(　 　 ) A. P>Q B. P=Q C. P<Q D. P 是 Q 的m +1 m-1 6. 已知 abc = 1,a + b + c = 2,a2 + b2 + c2 = 3,则 1 ab+c-1 + 1 bc+a-1 + 1 ca+b-1 的值为(　 　 ) A. -1 B. - 1 2 C. 2 D. - 2 3 7. 设 P= x-1,Q= 1 x-1 ,x≠1,有以下 2 个结论: ①当 x>1 时,P>Q;②当 x<0 时,P<Q. 下列 判断正确的是(　 　 ) A. ①错②对 B. ①对②错 C. ①②都错 D. ①②都对 二、填空题(每题 5 分,共 15 分) 8. 结论开放 写出一个 x 取任意实数时,一定 有意义的分式　 　 　 　 　 　 . 9. 化简:a 2 +ab a-b ÷ ab a-b 的结果是　 　 　 　 . 10. 学习情境·墨迹覆盖 数学课上,老师讲了 分式的除法,放学后,小刚回到家中拿出 课堂笔记,认真复习老师课上讲的内容, 他突然发现一道题:化简 x x2 -1 ÷ x 2 △ ,其中 “△”处被墨迹盖住了,但他知道这道题化 简的结果为 1 x-1 ,则 “ △” 所表示的式子 为　 　 　 　 . 三、解答题(共 52 分) 11. (8 分)先化简,再求值:( b a - a b ) ÷a +b ab ,其 中 a= 2 024,b= 2 025. 11 安徽专版·ZBR·八年级数学上 12. (10 分)已知 P= ( a 2 -4 a2 -4a+4 - 1 a-2 ) ÷a +1 a+2 . (1)化简 P; (2) 如图,在△ABC 中,AB = 7,BC = 5,AC 的垂直平分线交 AB 于点 E,交 AC 于点 D, △BCE 的周长等于 a,求 P 的值. 13. 新定义 (10 分)定义:任意两个数 a,b,按 规则 c= a b -a+b 得到一个新数 c,称所得的 新数 c 为数 a、b 的“传承数” . (1)若 a= -3,b= 5,求 a,b 的“传承数”c; (2)若 a = 1,b = x,且 x2 + 1 x2 = 2,求 a,b 的 “传承数”c. 14. (10 分)已知:P= x+2,Q= 8x x+2 . (1)当 x= 1 时,计算 P-Q 的值; (2)当 x>0 时,判断 P 与 Q 的大小关系,并 说明理由; (3)设 y= 4 P - Q 12 ,若 x、y 均为非零整数,求 xy 的值. 15. (14 分)(1)已知 b>a>0,分式 a b 的分子分 母都加上 1,说明所得分式a +1 b+1 的值是增大 了还是减少了? (2)甲、乙两位采购员两次同去一家饲料 公司购买饲料. 两次饲料的价格有变化, 第一次的价格为 m 元 /千克,第二次的价 格为 n 元 /千克,(m、n 是正数,且 m≠n); 甲每次购买 800 千克;乙每次用去 800 元, 而不管购买多少饲料. ①甲、乙所购饲料的平均单价是多少元? ②谁的购买方式平均单价较低? 21 = 20°,∴ ∠BAC = 40°. ∵ EF 是 AB 的中垂线,∴ EF ⊥AB,∴ ∠AFE = 50°. ∵ OA = OC,∴ ∠OCA = ∠OAC = 20°,∴ ∠COF= ∠AFE-∠OCA= 50°-20° = 30°. 基础知识抓分练 5　 整式的乘法与因式分解 1. D 2. A　 【解析】x2(x-y)+y2(y-x)= x2(x-y)-y2(x-y)= (x -y)(x2 -y2)= (x-y) 2(x+y) . ∵ x>0,y>0,且 x≠y,∴ (x-y) 2(x+y)>0. 故选 A. 3. B　 【解析】设 k 是正整数. ∵ (k+1) 2 -k2 = (k+1+k)(k +1-k)= 2k+1,∴ 除 1 外,所有的奇数都是智慧数,所 以 A,C 选项都是智慧数,不符合题意;∵ (k+1) 2 -(k -1) 2 = (k+1+k-1)(k+1-k+1)= 4k,∴ 除 4 外,所有 的能被 4 整除的偶数都是智慧数,所以 D 选项是智 慧数,不符合题意,B 选项 2022 不是奇数也不是 4 的 倍数,不是智慧数,符合题意. 故选 B. 4. B　 【解析】设共用长方形纸片 C 为 m 张,则:拼成的 大正方形的面积为 a2 +mab+4b2,∴ a2 +mab+4b2 为完 全平方式,∴ m= 4 或 m= -4(舍去),∴ 共用长方形纸 片 C 为 4 张. 故选 B. 5. C　 【解析】∵ x3 -xy2 = x(x2 -y2)= x(x+y)( x-y) . ∵ x = 50,y= 20,则各个因式的值为 x= 50,x+y = 70,x-y = 30,∴ 产生的密码不可能是 307040. 故选 C. 6. C　 【解析】由平移法可得,种花土地总面积是以(a- 2b)为边长的正方形,∴ 种花土地总面积 = (a-2b) 2; ∵ 种花土地的面积等于大正方形的面积减去阴影部 分的面积,即种花土地总面积为 a2 -(4ab-4b2)= a2 - 4ab+4b2,∴ ①④正确. 故选 C. 7. ±18 8. (15a+50)m2 　 【解析】由题意得:(a+10) (a+5) -a2 = a2 +5a+10a+50-a2 = (15a+50)m2,∴ 第二块比第一 块的面积多了(15a+50)m2 . 9. 1 2 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】根据多项式乘多项式进行计算,根据题意 令 x2 项的系数为 0,且常数项为-6,得出 m,n 的值,进 而即可求解. 10. (2x+3y+3)(2x+3y-3) 11. 解:(1)54 ÷52 ×5-1 = 54-2 ×5-1 = 25× 1 5 = 5; (2)(4a3b-6a2b2 +12ab3 ) ÷(2ab) = (4a3b) ÷(2ab) - (6a2b2) ÷(2ab) +(12ab3) ÷(2ab)= 2a2 -3ab+6b2 . 12. 解:(1)4　 【解析】设 x2 -x-12 = ( x+3)( x-a),所以 x2 -x-12 = x2 +(3-a) x-3a,所以-3a = -12,解得 a = 4; (2)设另一个因式为(x+n),则 2x2 -bx-6 = (2x+3) (x+n),2x2 -bx-6 = 2x2 +(2n+3)x+3n,∴ 3n= -6,2n+ 3 = -b,解得 n = -2,b = 1,所以另一个因式为 x-2,b 的值为 1. 13. 解:(1)设 3-x= p,x-2 = q,则(3-x) (x-2)= pq = -1, (3-x) +(x-2)= p+q= 1,∴ (3-x) 2 +(x-2) 2 = p2 +q2 = (p+q) 2 -2pq= 1-2×( -1)= 3; (2) - 9 2 　 【解析】设 n-2 024 = r,2 023-n = s,则(n- 2 024) 2 +(2 023-n) 2 = r2 +s2 = 10,(n-2 024)+(2 023 -n)= r+s= -1. ∵ r2 +s2 = ( r+s) 2 -2rs,∴ (n-2 024)(2 023-n)= rs= ( r+s) 2 -( r2 +s2) 2 = 1 -10 2 = - 9 2 ; (3)由题意可知:BP = AB-AP = a-4,DR =CD-CR = a -2,∴ (a-4) -(a-2)= -2. 图中阴影部分的面积为 (a-4) (a-2) = 4,则正方形 PBEF 和正方形 DMNR 的面积和为:(a-4) 2 +(a-2) 2 = [(a-4) -(a-2)] 2 + 2(a-4)(a-2)= 4+2×4 = 12. 基础知识抓分练 6　 分式及分式的运算 1. B　 2. B 3. C　 【解析】将分式 3x+y xy 中的 x 和 y 都扩大 2 倍可得 3·2x+2y 2x·2y = 1 2 · 3x+y xy ,∴ 原分式缩小 2 倍. 故选 C. 4. D 5. C　 【解析】根据题意得 P = n m2 -1 ,Q= n (m-1) 2 ,∴ P-Q = n m2 -1 - n (m-1) 2 = n(m -1)-n(m+1) (m+1)(m-1) 2 = n · -2 (m+1)(m-1) 2 . ∵ m>1,∴ (m+1)(m-1) 2 >0,∴ P-Q< 0,即 P<Q,所以选项 C 正确;∵ P Q = n m2 -1 ÷ n (m-1) 2 = n (m+1)(m-1) · (m-1) 2 n =m -1 m+1 ,∴ P= m-1 m+1 Q,所以选项 D 错误. 故选 C. 6. D　 【解析】由 a+b+c = 2,两边平方,得 a2 +b2 +c2 +2ab +2bc+2ac= 4,将已知代入,得 ab+bc+ac= 1 2 ;由 a+b+c = 2 得 c-1 = 1-a-b,∴ ab+c-1 = ab+1-a-b = (a-1)(b -1),同理,得 bc+a-1 = (b-1)(c-1),ca+b-1 = (c-1) (a - 1 ), ∴ 原 式 = 1 (a-1)(b-1) + 1 (b-1)(c-1) + 1 (c-1)(a-1) = c -1+a-1+b-1 (a-1)(b-1)(c-1) = -1 (ab-a-b+1)(c-1) = -1 abc-ac-bc+c-ab+a+b-1 = -1 1- 1 2 +2-1 = - 2 3 . 故选 D. 7. A　 【解析】 ∵ P - Q = ( x - 1) - 1 x-1 = (x -1) 2 -1 x-1 = x2 -2x+1-1 x-1 = x 2 -2x x-1 = x(x -2) x-1 ,∴ 当 2>x>1 时,x-1>0, x>0,x-2<0,则 x(x-2) x-1 <0,即 P<Q,∴ 结论①不对;当 x<0 时,x-1<0,x-2<0,则 x(x-2) x-1 <0,即 P<Q,∴ 结论 ②对. 故选 A. 8. x x2 +1 (答案不唯一) 9. a+b b 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】根据分式的除法法则:分式除以分式,把 除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘进行计 算即可,注意结果要化到最简. 10. x2 +x　 【解析】由题意得 x2 △ = x x2 -1 ÷ 1 x-1 = x x2 -1 ·( x- 1)= x x+1 ,∴ △ = x2(x+1) x = x2 +x. 11. 解:( b a - a b ) ÷ a+b ab = b 2 -a2 ab · ab a+b = (b +a)(b-a) ab · 追梦之旅·初中期末真题篇·安徽专版 ZBR·八年级数学上　 第 4 页 ab a+b = b-a,当 a= 2024,b= 2025 时,原式 = 2025-2024 =1. 12. 解: ( 1) P = [ (a+2)(a-2) (a-2) 2 - 1 a-2 ] · a+2 a+1 = ( a+2 a-2 - 1 a-2 )· a+2 a+1 = a +1 a-2 · a+2 a+1 = a +2 a-2 ; (2)∵ DE 垂直平分线段 AC,∴ EA =EC,∴ △ECB 的 周长=EC+EB+BC=EA+EB+BC = AB+BC = 7+5 = 12, ∴ a= 12,∴ P= 12+2 12-2 = 7 5 . 13. 解:(1)c= a b -a+b,∴ c = -3 5 -( -3) +5 = - 3 5 +3+5 = 7 2 5 ,∴ a,b 的“传承数”c 的值为 7 2 5 ; (2)∵ x2 + 1 x2 = 2,即(x+ 1 x ) 2 -2x· 1 x = 2,∴ (x+ 1 x ) 2 = 4,x+ 1 x = ±2. ∵ c 是 a,b 的“传承数”,∴ c = a b -a+ b= 1 x -1+x= x+ 1 x -1. ∵ x+ 1 x = 2 或-2,∴ x+ 1 x -1 = 1 或-3,∴ a,b 的“传承数”为 1 或-3. 14. 解:(1)当 x= 1 时,P-Q= x+2- 8x x+2 = 1+2- 8 3 = 1 3 ; (2)∵ P-Q = x+2- 8x x+2 = (x +2) 2 -8x x+2 = (x -2) 2 x+2 . ∵ x> 0,∴ (x-2) 2 x+2 >0,当 x= 2 时, (x-2) 2 x+2 = 0,∴ 当 x>0 且 x≠2 时,P>Q;当 x= 2 时,P=Q; (3)∵ y= 4 P - Q 12 ,P= x+2,Q = 8x x+2 ,∴ y = 4 P - Q 12 = 4 x+2 - 8x 12(x+2) = 12 -2x 3(x+2) = -2(x+2) +16 3(x+2) = - 2 3 + 16 3(x+2) . ∵ x、y 均为非零整数,∴ x= -3 时,y = -6,xy = 18;x = -6 时,y= -2,xy= 12;x= -18 时,y = -1,xy = 18;综上 所述:xy 的值为 18 或 12. 15. 解:(1) a b -a +1 b+1 = a(b +1) b(b+1) -b(a +1) b(b+1) = a -b b2 +b . ∵ b>a>0, ∴ b2 +b>0,a-b<0,∴ a-b b2 +b <0,∴ 说明所得分式 a+1 b+1 的 值是增大了; (2)①甲所购饲料的平均单价是: 800m+800n 800×2 = m +n 2 (元 /千克);乙所购饲料的平均单价是: 800×2 800 m +800 n = 2mn m+n (元 /千克); ② m+n 2 - 2mn m+n = (m +n) 2 2(m+n) - 4mn 2(m+n) = (m -n) 2 2(m+n) . ∵ m,n 是正数,且 m≠n,∴ (m-n) 2 2(m+n) >0,∴ m+n 2 > 2mn m+n ,∴ 乙 所购饲料的平均单价低. 基础知识抓分练 7　 分式方程 1. D　 【解析】∵ x 2x-1 + 2 1-2x = 3,∴ x 2x-1 - 2 2x-1 = 3,方程 两边同时乘(2x-1),可得:x-2 = 3(2x-1) . 故选 D. 2. C　 【解析】去分母,得:3x-2 = m+x+1,移项,合并同 类项,得:2x= 3+m,系数化 1,得:x= 3+m 2 . ∵ 该分式方 程的解为负数,且分式方程有意义,∴ 3+m 2 <0 3+m 2 ≠-1 ì î í ï ï ï ï ,∴ m<-3 且 m≠-5,故选 C. 3. A　 4. C 5. D　 【解析】设特快列车的平均行驶速度为 x km / h, 由题意得: 1400 x - 1400 2. 8x = 9. 解得:x = 100,经检验 x = 100 是原分式方程的解,设高铁列车从甲地到乙地的 时间为 y h,由题意得: 1400 y = 2. 8× 1400 y+9 ,解得:y = 5, 经检验 y = 5 是原分式方程的解,则特快列车从甲地 到乙地的时间是 5+9 = 14(h),故选项 A、B、C 错误. 故选 D. 6. 一项工作,甲乙合作需 6 天完成,甲独做比乙独做多 用 5 天,乙独做需几天? (答案不唯一) 7. x(x+2)(x-2) 8. 0. 2　 【解析】设 A 款电动汽车平均每公里充电费用 为 x 元,则 B 款燃油车平均每公里燃油费用为( x+ 0. 6)元,根据题意得: 200 x = 200 x+0. 6 ×4,解得 x = 0. 2,经 检验,x= 0. 2 是所列方程的解,且符合题意,∴ A 款电 动汽车平均每公里充电费用为 0. 2 元. 9. 2　 【解析】 x-2 3 <x+1① x+a≤3② { ,解不等式①得:x>- 52 ,解不 等式②得:x≤3-a,则根据题意可知,不等式组的解 集为:- 5 2 <x≤3 -a. ∵ 关于 x 的一元一次不等式组 x-3 3 <x+1 x+a≤3 { 至少有 2 个整数解,则该不等式的整数解 至少包含:-2,-1,∴ 3-a≥-1,解得:a≤4,分式方程 y-a y-2 + 1 2-y = -1 去分母得:y-a-1 = 2-y,解得:y = a+3 2 . ∵ a≤4,∴ y= a+3 2 ≤ 7 2 . ∵ y 是正整数,且 y≠2,∴ y = 1 或 y= 3,∴ a = -1 或 a = 3,∴ 满足条件的整数 a 的 和为-1+3 = 2. 10. 解:(1)原方程化为 x 2x-5 - 5 2x-5 = 1. 方程两边同时乘 上(2x-5)得:x-5 = 2x-5. 解得:x = 0. 检验:将 x = 0 代入 2x-5≠0,∴ x= 0 是原方程的解; (2)两边同时乘以(x+3) (x-3)得:x-3+2( x+3) = 12,解得 x = 3,检验:把 x = 3 代入得(x+3) (x-3) = 0,所以分式方程无解. 11. 解:(1)设第二次购进衬衫 x 件,则第一次购进衬衫 2x 件,依题意,得 4 500 2x -2 100 x = 10,解得 x = 15. 经检 验,x= 15 是所列分式方程的解,且符合题意,∴ 2x = 30. 故第一次购进衬衫 30 件,第二次购进衬衫 15 件; (2)第一次购进衬衫的单价为 4 500÷30 = 150(元 / 件),第二次购进衬衫的单价为 150 - 10 = 140(元 / 件) . 设第二批衬衫每件售价为 y 元 /件,依题意,得 追梦之旅·初中期末真题篇·安徽专版 ZBR·八年级数学上　 第 5 页