抓分练5 整式的乘法与因式分解-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（人教版 安徽专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 5　 整式的乘法与因式分解 一、选择题(每题 4 分,共 24 分) 1. 下列运算正确的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 4m-m= 4 B. (a2) 3 =a5 C. (x+y) 2 = x2 +y2 D. a2·a3 =a5 2. 当 x>0,y>0,且 x≠y 时,x2(x-y) +y2(y-x) 的值(　 　 ) A. 总是为正 B. 总是为负 C. 可能为正,也可能为负 D. 不能确定正负 3. 新定义 如果一个正整数能表示为两个正 整数的平方差,那么称这个正整数为“智慧 数”,如:因为 16 = 52 -32,所以 16 就是一个 “智慧数”,下面 4 个数中不是“智慧数”的 是(　 　 ) A. 2 021 B. 2 022 C. 2 023 D. 2 024 4. 在一次数学活动课中,小林用如图所示的 1 张小正方形纸片 A,4 张大正方形纸片 B 和 若干张长方形纸片 C 恰好拼成一个新的正 方形(将纸片进行无空隙,无重叠拼接),则 小林共用长方形纸片 C 为(　 　 ) A. 2 张 B. 4 张 C. 6 张 D. 8 张 5. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码, 有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方 便. 原理是:如对于多项式 x4 -y4,因式分解 的结果是(x-y)(x+y)(x2 +y2),若取 x= 9,y = 9,则各个因式的值是:x-y= 0,x+y= 18,x2 +y2 = 162,于是就可以把“018162”作为一个 六位数的密码. 对于多项式 x3 -xy2,取 x = 50,y = 20,用上述方法产生的密码不可能 是(　 　 ) A. 503070 B. 507030 C. 307040 D. 703050 6. 如图,在一块边长为 a 的正方形花圃中,两 纵两横的 4 条宽度为 b 的人行道把花圃分 成 9 块,下面是四种计算种花部分土地总面 积的代数式:①(a- 2b) 2;②a2 - 4ab;③a2 - 4ab+b2;④a2-4ab+4b2.其中正确的有(　 　 ) A. ② B. ①③ C. ①④ D. ④ 二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 7. 若 x2 +kx+ 81 是完全平方式,则 k 的值应 是　 　 　 　 . 8. 生活情境·土地租赁 某农户租两块土地种植 沃柑. 第一块是边长为 a m 的正方形,第二块 是长为(a+10)m,宽为(a+5)m 的长方形,则 第二块比第一块的面积多了　 　 　 　 . 9. 已知关于 x 的多项式 mx-n 与 2x2 -3x+4 的 乘积结果中不含 x 的二次项,且常数项为 -6,则 m+n 的值为　 　 　 　 . 10. 常用的分解因式的方法有提取公因式法、 公式法,但有一部分多项式只用上述方法 就无法分解,如 x2 -2xy+y2 -16. 通过观察, 前三项符合完全平方公式,进行变形后可 以与第四项结合,再应用平方差公式进行 分解:x2 -2xy+y2 -16 = (x2 -2xy+y2 ) -16 = (x-y) 2 -42 = (x-y+4) (x-y-4),这种分解 因式的方法叫分组分解法. 利用上述方法 分解因式:4x2 +12xy+9y2 -9 = 　 　 　 　 　 . 9 安徽专版·ZBR·八年级数学上 三、解答题(共 26 分) 11. (8 分)计算: (1)54 ÷52 ×5-1; (2)(4a3b-6a2b2 +12ab3) ÷2ab. 12. (8 分)仔细阅读下面例题: 已知二次三项式 x2 +7x+m 有一个因式是 x +3,求另一个因式以及 m 的值. 解:设另一个因式为 x+n,得 x2 +7x+m= (x +3)(x+n),则 x2 +7x+m= x2 +(n+3)x+3n, 则 n+3 = 7,3n=m,解得:n= 4,m= 12. ∴ 另一个因式为 x+4,m= 12. 类比上面方法解答: (1)若二次三项式 x2 -x-12 可分解为( x+ 3)(x-a),则 a= 　 　 　 　 ; (2)若二次三项式 2x2 -bx- 6 有一个因式 是(2x+3),求另一个因式以及 b 的值. 13. (10 分)阅读材料: 若 x 满足(9-x)(x-4)= 4,求(9-x) 2 +(x- 4) 2 的值. 解:设 9-x=a,x-4 = b,则(9-x) (x-4)= ab = 4,a+b= (9-x) +(x-4)= 5, ∴ (9-x) 2 +(x-4) 2 = a2 +b2 = (a+b) 2 - 2ab= 52 -2×4 = 17. 类比应用: (1)若(3-x) (x-2) = -1,求(3-x) 2 +( x- 2) 2 的值; (2)若(n-2 024) 2 +(2 023-n) 2 = 10,则(n -2 024)(2 023-n)的值为　 　 　 　 　 　 ; (3)已知正方形 ABCD 的边长为 a,点 P 和 点 R 分别是边 AB 和 CD 上的点,且 AP = 4,CR= 2,分别以 BP 和 DR 为边长作正方 形 PBEF 和正方形 DMNR. 若图中阴影部 分长方形的面积是 4,请求出正方形 PBEF 和正方形 DMNR 的面积和. 01 = 20°,∴ ∠BAC = 40°. ∵ EF 是 AB 的中垂线,∴ EF ⊥AB,∴ ∠AFE = 50°. ∵ OA = OC,∴ ∠OCA = ∠OAC = 20°,∴ ∠COF= ∠AFE-∠OCA= 50°-20° = 30°. 基础知识抓分练 5　 整式的乘法与因式分解 1. D 2. A　 【解析】x2(x-y)+y2(y-x)= x2(x-y)-y2(x-y)= (x -y)(x2 -y2)= (x-y) 2(x+y) . ∵ x>0,y>0,且 x≠y,∴ (x-y) 2(x+y)>0. 故选 A. 3. B　 【解析】设 k 是正整数. ∵ (k+1) 2 -k2 = (k+1+k)(k +1-k)= 2k+1,∴ 除 1 外,所有的奇数都是智慧数,所 以 A,C 选项都是智慧数,不符合题意;∵ (k+1) 2 -(k -1) 2 = (k+1+k-1)(k+1-k+1)= 4k,∴ 除 4 外,所有 的能被 4 整除的偶数都是智慧数,所以 D 选项是智 慧数,不符合题意,B 选项 2022 不是奇数也不是 4 的 倍数,不是智慧数,符合题意. 故选 B. 4. B　 【解析】设共用长方形纸片 C 为 m 张,则:拼成的 大正方形的面积为 a2 +mab+4b2,∴ a2 +mab+4b2 为完 全平方式,∴ m= 4 或 m= -4(舍去),∴ 共用长方形纸 片 C 为 4 张. 故选 B. 5. C　 【解析】∵ x3 -xy2 = x(x2 -y2)= x(x+y)( x-y) . ∵ x = 50,y= 20,则各个因式的值为 x= 50,x+y = 70,x-y = 30,∴ 产生的密码不可能是 307040. 故选 C. 6. C　 【解析】由平移法可得,种花土地总面积是以(a- 2b)为边长的正方形,∴ 种花土地总面积 = (a-2b) 2; ∵ 种花土地的面积等于大正方形的面积减去阴影部 分的面积,即种花土地总面积为 a2 -(4ab-4b2)= a2 - 4ab+4b2,∴ ①④正确. 故选 C. 7. ±18 8. (15a+50)m2 　 【解析】由题意得:(a+10) (a+5) -a2 = a2 +5a+10a+50-a2 = (15a+50)m2,∴ 第二块比第一 块的面积多了(15a+50)m2 . 9. 1 2 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】根据多项式乘多项式进行计算,根据题意 令 x2 项的系数为 0,且常数项为-6,得出 m,n 的值,进 而即可求解. 10. (2x+3y+3)(2x+3y-3) 11. 解:(1)54 ÷52 ×5-1 = 54-2 ×5-1 = 25× 1 5 = 5; (2)(4a3b-6a2b2 +12ab3 ) ÷(2ab) = (4a3b) ÷(2ab) - (6a2b2) ÷(2ab) +(12ab3) ÷(2ab)= 2a2 -3ab+6b2 . 12. 解:(1)4　 【解析】设 x2 -x-12 = ( x+3)( x-a),所以 x2 -x-12 = x2 +(3-a) x-3a,所以-3a = -12,解得 a = 4; (2)设另一个因式为(x+n),则 2x2 -bx-6 = (2x+3) (x+n),2x2 -bx-6 = 2x2 +(2n+3)x+3n,∴ 3n= -6,2n+ 3 = -b,解得 n = -2,b = 1,所以另一个因式为 x-2,b 的值为 1. 13. 解:(1)设 3-x= p,x-2 = q,则(3-x) (x-2)= pq = -1, (3-x) +(x-2)= p+q= 1,∴ (3-x) 2 +(x-2) 2 = p2 +q2 = (p+q) 2 -2pq= 1-2×( -1)= 3; (2) - 9 2 　 【解析】设 n-2 024 = r,2 023-n = s,则(n- 2 024) 2 +(2 023-n) 2 = r2 +s2 = 10,(n-2 024)+(2 023 -n)= r+s= -1. ∵ r2 +s2 = ( r+s) 2 -2rs,∴ (n-2 024)(2 023-n)= rs= ( r+s) 2 -( r2 +s2) 2 = 1 -10 2 = - 9 2 ; (3)由题意可知:BP = AB-AP = a-4,DR =CD-CR = a -2,∴ (a-4) -(a-2)= -2. 图中阴影部分的面积为 (a-4) (a-2) = 4,则正方形 PBEF 和正方形 DMNR 的面积和为:(a-4) 2 +(a-2) 2 = [(a-4) -(a-2)] 2 + 2(a-4)(a-2)= 4+2×4 = 12. 基础知识抓分练 6　 分式及分式的运算 1. B　 2. B 3. C　 【解析】将分式 3x+y xy 中的 x 和 y 都扩大 2 倍可得 3·2x+2y 2x·2y = 1 2 · 3x+y xy ,∴ 原分式缩小 2 倍. 故选 C. 4. D 5. C　 【解析】根据题意得 P = n m2 -1 ,Q= n (m-1) 2 ,∴ P-Q = n m2 -1 - n (m-1) 2 = n(m -1)-n(m+1) (m+1)(m-1) 2 = n · -2 (m+1)(m-1) 2 . ∵ m>1,∴ (m+1)(m-1) 2 >0,∴ P-Q< 0,即 P<Q,所以选项 C 正确;∵ P Q = n m2 -1 ÷ n (m-1) 2 = n (m+1)(m-1) · (m-1) 2 n =m -1 m+1 ,∴ P= m-1 m+1 Q,所以选项 D 错误. 故选 C. 6. D　 【解析】由 a+b+c = 2,两边平方,得 a2 +b2 +c2 +2ab +2bc+2ac= 4,将已知代入,得 ab+bc+ac= 1 2 ;由 a+b+c = 2 得 c-1 = 1-a-b,∴ ab+c-1 = ab+1-a-b = (a-1)(b -1),同理,得 bc+a-1 = (b-1)(c-1),ca+b-1 = (c-1) (a - 1 ), ∴ 原 式 = 1 (a-1)(b-1) + 1 (b-1)(c-1) + 1 (c-1)(a-1) = c -1+a-1+b-1 (a-1)(b-1)(c-1) = -1 (ab-a-b+1)(c-1) = -1 abc-ac-bc+c-ab+a+b-1 = -1 1- 1 2 +2-1 = - 2 3 . 故选 D. 7. A　 【解析】 ∵ P - Q = ( x - 1) - 1 x-1 = (x -1) 2 -1 x-1 = x2 -2x+1-1 x-1 = x 2 -2x x-1 = x(x -2) x-1 ,∴ 当 2>x>1 时,x-1>0, x>0,x-2<0,则 x(x-2) x-1 <0,即 P<Q,∴ 结论①不对;当 x<0 时,x-1<0,x-2<0,则 x(x-2) x-1 <0,即 P<Q,∴ 结论 ②对. 故选 A. 8. x x2 +1 (答案不唯一) 9. a+b b 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】根据分式的除法法则:分式除以分式,把 除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘进行计 算即可,注意结果要化到最简. 10. x2 +x　 【解析】由题意得 x2 △ = x x2 -1 ÷ 1 x-1 = x x2 -1 ·( x- 1)= x x+1 ,∴ △ = x2(x+1) x = x2 +x. 11. 解:( b a - a b ) ÷ a+b ab = b 2 -a2 ab · ab a+b = (b +a)(b-a) ab · 追梦之旅·初中期末真题篇·安徽专版 ZBR·八年级数学上　 第 4 页