抓分练4 等腰三角形与最短路径问题-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（人教版 安徽专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 4　 等腰三角形与最短路径问题 一、选择题(每题 4 分,共 24 分) 1. 如图,在△ABC 中,∠C = 90°,∠B = 30°,AC = 3,则 AB 的长为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 1. 5 B. 3 C. 6 D. 9 第 1 题图 　 　 第 2 题图 2. 如图,在△ABC 中,AB = AC,尺规作图:(1) 分别以 B、C 为圆心,BC 长为半径作弧,两 弧交于点 D;(2)连接 DB、DA、DC,DA 交 BC 于点 E,则下列结论中错误的是(　 　 ) A. AD 垂直平分 BC B. 点 D 不一定在∠BAC 的角平分线上 C. S四边形ABDC = 1 2 AD·BC D. 若∠BAC= 60°,则 BC 垂直平分 AD 3. 如图,在△ABC 中,∠C = 90°,AC = 6,∠B = 30°,点 P 是 BC 边上的动点,则 AP 的长不 可能是(　 　 ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 13 第 3 题图 　 　 第 4 题图 4. 如图,在等边三角形 ABC 中,AD 是边 BC 上 的中线,且 AD= 6,E 是 AD 上的一个动点,F 是边 AB 的中点,在点 E 运动的过程中,BE +EF 的最小值为(　 　 ) A. 5 B. 6 C. 17 D. 18 5. 如图,点 D,E 为△ABC 的边 BC 上的点,且 满足 DA = DB,EA = EC,若∠B = 30°,∠C = 40°,则∠DAE 的度数为(　 　 ) A. 36° B. 38° C. 40° D. 42° 第 5 题图 　 　 第 6 题图 6. 如图,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分 线相交于点 O,过 O 点作 EF∥BC 交 AB 于 点 E,交 AC 于点 F,过点 O 作 OD⊥AC 于 D,下列四个结论:①EF =BE+CF;②∠BOC = 90°+ 1 2 ∠A;③点 O 到△ABC 各边的距离 相等;④设 OD = m,AE+AF = n,则 S△ AEF = 1 2 mn,正确的结论有(　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题(每题 5 分,共 15 分) 7. 数学思想·分类讨论 等腰三角形两边长分 别为 6,9,则其周长为　 　 　 　 . 8. 如图,在由边长为 1 的小正方形组成的 5×5 的网格中,点 A,B 在小方格的顶点上,要在 小方格的顶点确定一点 C,连接 AC 和 BC, 使△ABC 是等腰三角形. 则方格图中满足 条件的点 C 的个数有　 　 　 　 个. 第 8 题图 　 　 第 9 题图 9. 如图,已知在△ABC 中,AC = BC = 8,∠ACB = 120°,将一块足够大的直角三角尺 PMN (∠M = 90°,∠MPN = 30°) 按如图放置,顶 点 P 在线段 AB 上滑动,三角尺的直角边 PM 始终经过点 C,并且与 CB 的夹角∠PCB =α,斜边 PN 交 AC 于点 D. 点 P 在滑动时, α= 　 　 　 　 时,△PCD 的形状是等腰三角 形. 7 安徽专版·ZBR·八年级数学上 三、解答题(共 31 分) 10. (9 分)如图,过正五边形 ABCDE 的顶点 B,作 BF∥ED 交 DC 的延长线于点 G,交 DA 的延长线于点 F,求证:△DFG 是等腰 三角形. 11. (10 分) 如图,在四边形 ABCD 中,AB = AD,CB = CD,∠A = 60°,点 E 为 AD 上一 点,连接 BD、CE 交于点 F,CE∥AB. (1)判断△DEF 的形状,并说明理由; (2)若 AD= 12,CE= 7,求 CF 的长. 12. (12 分)如图,在△ABC 中,AB = AC,点 D 为 BC 的中点,连接 AD,AB 的垂直平分线 EF 交 AB 于点 E,交 AD 于点 O,交 AC 于 点 F,连接 OB,OC. (1)求证:△AOC 为等腰三角形; (2)若∠BAD= 20°,求∠COF 的度数. 8 ②得∠EAD = ∠EDA,∠FAD = ∠CAD,又∵ ∠EDA = ∠B+∠FAD,∠EAD= ∠CAD+∠CAE,∴ ∠B = ∠CAE. 故选 C. 7. 100°　 8. 360 7 9. ( -1,1)　 【解析】如图,由题意 P( -1,1),P1(1,3), P2(-1,-3),P3(5,3),P4(-1,1),∴ P4 与 P 重合,四 次一个循环. ∵ 2024 ÷ 4 = 506,∴ P2024 与 P4 重合,∴ P2024(-1,1) . 10. 解:(1)△A1B1C1 如图所示; (2)由图可知,A1( -1,2),B1( -3,1),C1(2,-1); (3)S△ABC = 3×5- 1 2 ×2×1- 1 2 ×3×3- 1 2 ×2×5 = 9 2 . 11. (1)证明:∵ AC 是 BD 的垂直平分线,∴ AB = AD,CB =CD,在△ABC 和△ADC 中, AB=AD CB=CD AC=AC{ ,∴ △ABC≌ △ADC(SSS),∴ ∠ABC= ∠ADC; (2)解:由(1)得 AB = AD = 13. ∵ DF = 6,∴ AF = AD- DF = 7. ∵ △ABC≌△ADC,∴ ∠BAC = ∠DAC. ∵ OE ⊥AB,OF⊥AD,∴ ∠AEO= ∠AFO= 90°,在△AEO 和 △AFO 中, ∠AEO= ∠AFO ∠EAO= ∠FAO AO=AO{ , ∴ △AEO ≌ △AFO (AAS),∴ AE=AF= 7. 12. 解:(1) ∵ DM,EN 分别垂直平分边 AC 和边 BC,∴ MC=MA,NC=NB,∴ △CMN 的周长=CM+CN+MN= MA+NB+MN=AB= 7; (2) ∵ DM,EN 分别垂直平分边 AC 和边 BC, ∴ ∠CDF = ∠CEF = 90°. ∵ ∠MFN = 72°, ∴ ∠ACB = 360°-90°-90°-72° = 108°,∴ ∠A+∠B = 180°-108° = 72°. ∵ MC = MA,NC = NB,∴ ∠MCA = ∠A,∠NCB = ∠B,∴ ∠ACM+∠BCN = ∠A+∠B = 72°,∴ ∠MCN = 108°-72° = 36°. 13. 证明:(1)∵ l 是 AB 的垂直平分线,∴ DA =DB. ∵ DB =DC,∴ DA=DC,∴ ∠CAD= ∠ACD; (2)延长 AD,与 BC 交于点 F. ∵ AC = AB,∴ ∠ABC = ∠ACB. ∵ DB = DC, ∴ ∠DBC = ∠DCB, ∴ ∠ACD = ∠ABD,在△ACD 和△ABD 中, DC=DB ∠ACD= ∠ABD AC=AB{ ,∴ △ACD≌ △ABD( SAS), ∴ ∠CAD = ∠BAD. ∵ AC = AB,∴ F 是 BC 的中点. 基础知识抓分练 4　 等腰三角形与最短路径问题 1. C　 2. B　 3. D 4. B　 【解析】连接 CE. ∵ △ABC 是等边三角形,AD 是 中线,∴ AD 垂直平分 BC,∴ BE =EC,∴ BE+EF =EC+ EF,∴ 当点 C,点 E,点 F 三点共线,且 CF⊥AB 时,EC +EF 值最小,即 BE+EF 的值最小. ∵ △ABC 是等边 三角形,AD⊥BC,CF⊥AB,∴ AD = CF = 6,即 BE+EF 的最小值是 6. 故选 B. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【方法点拨】最小值问题一般需要考虑两点之间线段 最短或垂线段最短等结论. 连接 CE,由题意可得 BE = EC,将 FE+EB 转化为 FE+CE,当点 C,点 E,点 F 三点 共线,且 CF⊥AB 时,EC+EF 值最小,即 BE+EF 的值 最小,此时 CF 的长度为 BE+EF 的最小值. 5. C　 【解析】∵ ∠B = 30°,∠C = 40°,∴ ∠BAC = 180°- 30°-40° = 110°. ∵ DA=DB,EA =EC,∴ ∠B = ∠DAB = 30°,∠C = ∠EAC = 40°,∴ ∠DAE = ∠BAC - ∠BAD - ∠CAE= 110°-30°-40° = 40°. 故选 C. 6. D　 【解析】∵ 在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线 相交于点 O,∴ ∠OBC = 1 2 ABC,∠OCB = 1 2 ∠ACB, ∠A+∠ABC+∠ACB = 180°,∴ ∠OBC+∠OCB = 90°- 1 2 ∠A,∴ ∠BOC = 180°-(∠OBC+∠OCB)= 90°+ 1 2 ∠A,故②正确;∵ 在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平 分线相交于点 O,∴ ∠OBC= ∠OBE,∠OCB= ∠OCF. ∵ EF∥BC, ∴ ∠OBC = ∠EOB, ∠OCB = ∠FOC, ∴ ∠EOB = ∠OBE,∠FOC = ∠OCF,∴ BE = OE,CF = OF,∴ EF=OE+OF=BE+CF,故①正确;过点 O 作 OM ⊥AB 于 M,作 ON⊥BC 于 N,连接 OA. ∵ 在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O,∴ ON=OD =OM=m,∴ S△AEF = S△AOE+S△AOF = 1 2 AE·OM+ 1 2 AF· OD= 1 2 OD·(AE+AF)= 1 2 mn,故④正确;∵ 在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O,∴ 点 O 到 △ABC 各边的距离相等,故③正确. 故选 D. 7. 21 或 24　 8. 6 9. 45°或 0°或 90°　 【解析】∵ ∠ACB = 120°,∠PCB = α, ∴ ∠ACP = 120° -α,①当 PC = PD 时,此时∠PCD = ∠PDC= 120°-α. ∵ ∠CPD+∠PCD+∠PDC = 180°,∴ 30°+(120°-α)+(120°-α)= 180°,∴ α = 45°;②当 CD =CP 时,此时∠CDP= ∠CPD= 30°. ∵ ∠CPD+∠PCD +∠PDC= 180°,∴ 30°+(120°-α) +30° = 180°,∴ α = 0°,此时点 P 与点 B 重合;③ 当 CD = PD 时,此时 ∠PCD= ∠CPD = 30°,∴ 120°-α = 30°,∴ α = 90°;综 上可知,点 P 在滑动时,α = 45°或 0°或 90°时,△PCD 的形状是等腰三角形. 10. 证明: ∵ ABCDE 是正五边形, ∴ ∠E = ∠EDC = (5-2) ×180° 5 = 108°, ∴ ∠EDA = 180°-∠E 2 = 36°, ∠FDC= ∠EDC-∠EDA = 72°. ∵ BF∥ED,∴ ∠DFG = ∠EDA = 36°, ∠FGD = 180° - 36° - 72° = 72°, ∴ ∠FDC= ∠FGD,∴ FD = FG,∴ △DFG 是等腰三角 形. 11. 解:(1)△DEF 是等边三角形,理由如下:∵ AB = AD, ∠A = 60°, ∴ △ABD 为等边三角形, ∴ ∠ADB = ∠ABD = 60°. ∵ CE ∥AB, ∴ ∠DEF = ∠A = 60°, ∠EFD= ∠ABD= 60°,∴ △DEF 是等边三角形; (2)连接 AC 交 BD 于点 O. ∵ AB=AD,CB=CD,∴ AC 垂直平分 BD,∴ AO⊥BD,∴ ∠BAO = ∠DAO = 30°. ∵ CE∥AB,∴ ∠ACE = ∠BAO = ∠DAO,∴ AE = CE = 7,∴ DE = AD-AE = 12-7 = 5. ∵ △DEF 是等边三角 形,∴ EF=DE= 5,∴ CF=CE-EF= 2. 12. (1)证明:∵ EF 是 AB 的中垂线,∴ OA = OB. ∵ AB = AC,D 为 BC 中点,∴ AD⊥BC,∴ AD 是 BC 的中垂 线,∴ OB=OC,∴ OA=OC,∴ △OAC 是等腰三角形; (2)解:∵ AB = AC,D 为 BC 中点,∴ ∠DAC = ∠BAD 追梦之旅·初中期末真题篇·安徽专版 ZBR·八年级数学上　 第 3 页 = 20°,∴ ∠BAC = 40°. ∵ EF 是 AB 的中垂线,∴ EF ⊥AB,∴ ∠AFE = 50°. ∵ OA = OC,∴ ∠OCA = ∠OAC = 20°,∴ ∠COF= ∠AFE-∠OCA= 50°-20° = 30°. 基础知识抓分练 5　 整式的乘法与因式分解 1. D 2. A　 【解析】x2(x-y)+y2(y-x)= x2(x-y)-y2(x-y)= (x -y)(x2 -y2)= (x-y) 2(x+y) . ∵ x>0,y>0,且 x≠y,∴ (x-y) 2(x+y)>0. 故选 A. 3. B　 【解析】设 k 是正整数. ∵ (k+1) 2 -k2 = (k+1+k)(k +1-k)= 2k+1,∴ 除 1 外,所有的奇数都是智慧数,所 以 A,C 选项都是智慧数,不符合题意;∵ (k+1) 2 -(k -1) 2 = (k+1+k-1)(k+1-k+1)= 4k,∴ 除 4 外,所有 的能被 4 整除的偶数都是智慧数,所以 D 选项是智 慧数,不符合题意,B 选项 2022 不是奇数也不是 4 的 倍数,不是智慧数,符合题意. 故选 B. 4. B　 【解析】设共用长方形纸片 C 为 m 张,则:拼成的 大正方形的面积为 a2 +mab+4b2,∴ a2 +mab+4b2 为完 全平方式,∴ m= 4 或 m= -4(舍去),∴ 共用长方形纸 片 C 为 4 张. 故选 B. 5. C　 【解析】∵ x3 -xy2 = x(x2 -y2)= x(x+y)( x-y) . ∵ x = 50,y= 20,则各个因式的值为 x= 50,x+y = 70,x-y = 30,∴ 产生的密码不可能是 307040. 故选 C. 6. C　 【解析】由平移法可得,种花土地总面积是以(a- 2b)为边长的正方形,∴ 种花土地总面积 = (a-2b) 2; ∵ 种花土地的面积等于大正方形的面积减去阴影部 分的面积,即种花土地总面积为 a2 -(4ab-4b2)= a2 - 4ab+4b2,∴ ①④正确. 故选 C. 7. ±18 8. (15a+50)m2 　 【解析】由题意得:(a+10) (a+5) -a2 = a2 +5a+10a+50-a2 = (15a+50)m2,∴ 第二块比第一 块的面积多了(15a+50)m2 . 9. 1 2 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】根据多项式乘多项式进行计算,根据题意 令 x2 项的系数为 0,且常数项为-6,得出 m,n 的值,进 而即可求解. 10. (2x+3y+3)(2x+3y-3) 11. 解:(1)54 ÷52 ×5-1 = 54-2 ×5-1 = 25× 1 5 = 5; (2)(4a3b-6a2b2 +12ab3 ) ÷(2ab) = (4a3b) ÷(2ab) - (6a2b2) ÷(2ab) +(12ab3) ÷(2ab)= 2a2 -3ab+6b2 . 12. 解:(1)4　 【解析】设 x2 -x-12 = ( x+3)( x-a),所以 x2 -x-12 = x2 +(3-a) x-3a,所以-3a = -12,解得 a = 4; (2)设另一个因式为(x+n),则 2x2 -bx-6 = (2x+3) (x+n),2x2 -bx-6 = 2x2 +(2n+3)x+3n,∴ 3n= -6,2n+ 3 = -b,解得 n = -2,b = 1,所以另一个因式为 x-2,b 的值为 1. 13. 解:(1)设 3-x= p,x-2 = q,则(3-x) (x-2)= pq = -1, (3-x) +(x-2)= p+q= 1,∴ (3-x) 2 +(x-2) 2 = p2 +q2 = (p+q) 2 -2pq= 1-2×( -1)= 3; (2) - 9 2 　 【解析】设 n-2 024 = r,2 023-n = s,则(n- 2 024) 2 +(2 023-n) 2 = r2 +s2 = 10,(n-2 024)+(2 023 -n)= r+s= -1. ∵ r2 +s2 = ( r+s) 2 -2rs,∴ (n-2 024)(2 023-n)= rs= ( r+s) 2 -( r2 +s2) 2 = 1 -10 2 = - 9 2 ; (3)由题意可知:BP = AB-AP = a-4,DR =CD-CR = a -2,∴ (a-4) -(a-2)= -2. 图中阴影部分的面积为 (a-4) (a-2) = 4,则正方形 PBEF 和正方形 DMNR 的面积和为:(a-4) 2 +(a-2) 2 = [(a-4) -(a-2)] 2 + 2(a-4)(a-2)= 4+2×4 = 12. 基础知识抓分练 6　 分式及分式的运算 1. B　 2. B 3. C　 【解析】将分式 3x+y xy 中的 x 和 y 都扩大 2 倍可得 3·2x+2y 2x·2y = 1 2 · 3x+y xy ,∴ 原分式缩小 2 倍. 故选 C. 4. D 5. C　 【解析】根据题意得 P = n m2 -1 ,Q= n (m-1) 2 ,∴ P-Q = n m2 -1 - n (m-1) 2 = n(m -1)-n(m+1) (m+1)(m-1) 2 = n · -2 (m+1)(m-1) 2 . ∵ m>1,∴ (m+1)(m-1) 2 >0,∴ P-Q< 0,即 P<Q,所以选项 C 正确;∵ P Q = n m2 -1 ÷ n (m-1) 2 = n (m+1)(m-1) · (m-1) 2 n =m -1 m+1 ,∴ P= m-1 m+1 Q,所以选项 D 错误. 故选 C. 6. D　 【解析】由 a+b+c = 2,两边平方,得 a2 +b2 +c2 +2ab +2bc+2ac= 4,将已知代入,得 ab+bc+ac= 1 2 ;由 a+b+c = 2 得 c-1 = 1-a-b,∴ ab+c-1 = ab+1-a-b = (a-1)(b -1),同理,得 bc+a-1 = (b-1)(c-1),ca+b-1 = (c-1) (a - 1 ), ∴ 原 式 = 1 (a-1)(b-1) + 1 (b-1)(c-1) + 1 (c-1)(a-1) = c -1+a-1+b-1 (a-1)(b-1)(c-1) = -1 (ab-a-b+1)(c-1) = -1 abc-ac-bc+c-ab+a+b-1 = -1 1- 1 2 +2-1 = - 2 3 . 故选 D. 7. A　 【解析】 ∵ P - Q = ( x - 1) - 1 x-1 = (x -1) 2 -1 x-1 = x2 -2x+1-1 x-1 = x 2 -2x x-1 = x(x -2) x-1 ,∴ 当 2>x>1 时,x-1>0, x>0,x-2<0,则 x(x-2) x-1 <0,即 P<Q,∴ 结论①不对;当 x<0 时,x-1<0,x-2<0,则 x(x-2) x-1 <0,即 P<Q,∴ 结论 ②对. 故选 A. 8. x x2 +1 (答案不唯一) 9. a+b b 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】根据分式的除法法则:分式除以分式,把 除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘进行计 算即可,注意结果要化到最简. 10. x2 +x　 【解析】由题意得 x2 △ = x x2 -1 ÷ 1 x-1 = x x2 -1 ·( x- 1)= x x+1 ,∴ △ = x2(x+1) x = x2 +x. 11. 解:( b a - a b ) ÷ a+b ab = b 2 -a2 ab · ab a+b = (b +a)(b-a) ab · 追梦之旅·初中期末真题篇·安徽专版 ZBR·八年级数学上　 第 4 页