抓分练3 轴对称与画轴对称图形-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（人教版 安徽专用）

+2n)°. 9. 6　 【解析】连接 BE,GE,FG,设 AF、BG 的交点为 J,AF、DG 的交点为 H. ∵ ∠1 是△ADH 的外角,∴ ∠1 = ∠A+∠D,∵ ∠2 是△JHG 的外角,∴ ∠1+∠BGD = ∠2,∴ 在四边形 BEFJ 中,∠EBJ + ∠BJF + ∠EFJ + ∠BEF = 360°,在 △BCE 中,∠EBC + ∠C + ∠BEC = 180°,∴ ∠CBG+∠C+∠CEF+∠EFA+∠BJF = 360°+ 180° = 540°,即∠A+∠CBG+∠C+∠D+∠CEF+∠AFE +∠DGB= 540°,∴ 90°·n= 540°. ∴ n= 6. 10. ①③ 11. 12　 100　 【解析】由题知,当 k = 1 时,m = 1;当 k = 2 时,m= 2;当 k= 3 时,m= 4;当 k = 4 时,有如下情况: {1,4,4},{2,3,4},{2,4,4},{3,3,4},{3,4,4}, {4,4,4},所以 m= 6,以此类推,当 k = 5 时,m= 9;当 k= 6 时,m= 12;…因为 1 = 1,2 = 1+1,4 = 1+2+1,6 = 1+2+2+1,9 = 1+2+3+2+1,12 = 1+2+3+3+2+1,…, 所以当 k= 19 时,m= 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+ 8+7+6+5+4+3+2+1 = 100. 12. 解:(1)360°×3-180° = 1080°-180° = 900°,故这个多 边形的内角和是 900°;设这个多边形的边数是 n,依 题意得(n-2) ×180° = 900°,解得 n = 7. ∴ 这个多边 形的边数为 7; (2)剪掉一个角以后,多边形的边数可能减少了 1, 也可能不变,或者增加了 1. 截完后所形成的新多边 形的边数可能是 6 或 7 或 8. ①当多边形为六边形 时,其内角和为(6-2) ×180° = 720°;②当多边形为 七边形时,其内角和为(7-2) ×180° = 900°;③当多 边形为八边形时,其内角和为(8-2) ×180° = 1080°. 综上所述,截完后所形成的新多边形的内角和为 720°或 900°或 1080°. 13. 解: ( 1) ∵ AD 是 △ABC 的高, ∴ ∠ADB = 90°. ∵ ∠BAD = 65°, ∴ ∠ABD = 90° - 65° = 25°. ∵ CE 是 △ACB 的角平分线, ∠ACB = 50°, ∴ ∠ECB = 1 2 ∠ACB= 25°,∴ ∠AEC = ∠ABD+∠ECB = 25°+25° = 50°; (2)F 是 AC 中点,∴ AF = FC,∵ △BCF 与△BAF 的 周长差为 3,∴ (BC+CF+BF) -(AB+AF+BF)= 3,∴ BC-AB= 3,∵ AB= 9,∴ BC= 12. 14. 解:(1)270°　 (2)240° (3) ∠1 + ∠2 = 180° + ∠A. 证 明: ∵ ∠1 = ∠A + ∠ANM,∠2 = ∠A+∠AMN,∴ ∠1+∠2 = ∠A+∠ANM +∠AMN+∠A= 180°+∠A; (4) ∠1 + ∠2 = 2 ∠BAC. 理由: 连接 AP. ∵ ∠1 = ∠FAP+∠FPA,∠2 = ∠EAP + ∠EPA,∴ ∠1 + ∠2 = ∠FAP+∠FPA+∠EAP+∠EPA = ∠BAC+∠EPF. ∵ ∠BAC= ∠EPF,∴ ∠1+∠2 = 2∠BAC. 基础知识抓分练 2　 全等三角形 1. A 2. C　 【解析】过点 D 作 DE⊥AB,垂足为 E. ∵ AD 平分 ∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC,∴ DE = DC = 3. ∵ AB = 10, ∴ △ABD 的面积 = 1 2 AB·DE = 1 2 × 10 × 3 = 15. 故选 C. 3. A 　 【解析】 在 △BCD 和 △DEF 中, BC=DE ∠C= ∠E CD=EF{ , ∴ △BCD≌△DEF( SAS),∴ BD = DF. 同理可得:BD = AG. ∴ BD=DF= AG. ∵ 四边形 ABFG 的周长 = AG+AB +FG+BF= b,AB =FG =DE =EF,∴ 四边形 ABFG 的周 长=BD+DE+EF+BF = b. 又△BDF 的周长 = BD+DF+ BF= a,DE+EF>DF,∴ a<b. 故选 A. 4. D　 【解析】过点 D 作 DE⊥AB 于点 E. ∵ AD 为∠CAB 的平分线,∠C= 90°,∴ DE=CD=BC-BD= 800-500 = 300(m) . 故选 D. 5. A 6. 75°　 【解析】∵ △ABC≌△DBE,∴ ∠CBE = ∠ABC = 30°,BC = BE,∴ ∠BCE = ∠BEC = 1 2 ×(180° - 30°) = 75°. 7. 4 8. 解:(1)如图所示: (2)①8 ②理由:如图,由题意可知,AC = CD = 20 米,DE = 8 米, ∠A = 90°, ∠D = 90°, ∴ ∠A = ∠D,在△ABC 和 △DEC 中, ∠A= ∠D AC=DC ∠ACB= ∠DCE{ , ∴ △ABC ≌ △DEC (ASA),∴ AB=DE= 8 米,∴ 小明的方案是正确的. 9. 解:(1)BD 垂直平分线段 AC(答案不唯一) (2)四边形 ADCF(答案不唯一) (3) 证明:由轴对称的性质可知, ∠CAD = ∠CAF, ∠BAD= ∠BAE,∠ADB = ∠AEB = 90°,AD = AF = AE, ∴ ∠EAF = 2∠BAC, ∠AEF = ∠AFE, ∴ ∠EAF + 2 ∠AEF= 180°,∴ 2∠BAC+ 2∠AEF = 180°,∴ ∠BAC+ ∠AEF = 90°. ∵ ∠FEG + ∠AEF = 90°, ∴ ∠BAC = ∠FEG. 基础知识抓分练 3　 轴对称与画轴对称图形 1. B 2. A　 【解析】由题意可得,1+m= -3,1-n = 2,∴ m= -4, n= -1,∴ m+n= -4+(-1)= -5. 故选 A. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【概念回顾】点(x,y)关于 x 轴对称的点的坐标为(x, -y);点(x,y)关于 y 轴对称的点的坐标为(-x,y) . 3. D　 【解析】 ∵ 点 M 为△ABC 三边垂直平分线的交 点,∴ MA = MB = MC, ∴ ∠MCA = ∠MAC, ∠MBC = ∠MCB,∠MAB = ∠MBA. ∵ ∠MBC+∠ACM = 75°,∴ ∠MAC+∠MCA+∠MCB+ ∠MBC = 150°,∴ ∠MAB = ∠MBA= 1 2 ×(180°-150°)= 15°. 故选 D. 4. C 5. C　 【解析】连接 CE. ∵ 线段 AB,DE 的垂直平分线交 于点 C,∴ CA=CB,CE=CD. ∵ ∠ABC = ∠EDC = 72° = ∠DEC,∴ ∠ACB= ∠ECD= 36°,∴ ∠ACE= ∠BCD,在 △ACE 和 △BCD 中, CA=CB ∠ACE= ∠BCD CE=CD{ , ∴ △ACE ≌ △BCD(SAS),∴ ∠AEC= ∠BDC,设∠AEC = ∠BDC = α,则 ∠BDE = 72° - α, ∠CEB = 92° - α, ∴ ∠BED = ∠DEC-∠CEB = 72°-(92°-α)= α-20°,∴ 在△BDE 中,∠EBD = 180° -(72° -α) -(α- 20°) = 128°. 故选 C. 6. C　 【解析】①∵ EF 是 AD 的垂直平分线,∴ EA =ED, ∴ ∠EAD = ∠EDA. ②∵ EF 是 AD 的垂直平分线,∴ FA = FD, ∴ ∠FDA = ∠FAD. ∵ AD 平 分 ∠BAC, ∴ ∠FAD= ∠CAD,∴ ∠FDA = ∠CAD,∴ DF∥AC. ③ ∵ FD 与 BE 不一定互相垂直,∴ ③不一定成立. ④由① 追梦之旅·初中期末真题篇·安徽专版 ZBR·八年级数学上　 第 2 页 ②得∠EAD = ∠EDA,∠FAD = ∠CAD,又∵ ∠EDA = ∠B+∠FAD,∠EAD= ∠CAD+∠CAE,∴ ∠B = ∠CAE. 故选 C. 7. 100°　 8. 360 7 9. ( -1,1)　 【解析】如图,由题意 P( -1,1),P1(1,3), P2(-1,-3),P3(5,3),P4(-1,1),∴ P4 与 P 重合,四 次一个循环. ∵ 2024 ÷ 4 = 506,∴ P2024 与 P4 重合,∴ P2024(-1,1) . 10. 解:(1)△A1B1C1 如图所示; (2)由图可知,A1( -1,2),B1( -3,1),C1(2,-1); (3)S△ABC = 3×5- 1 2 ×2×1- 1 2 ×3×3- 1 2 ×2×5 = 9 2 . 11. (1)证明:∵ AC 是 BD 的垂直平分线,∴ AB = AD,CB =CD,在△ABC 和△ADC 中, AB=AD CB=CD AC=AC{ ,∴ △ABC≌ △ADC(SSS),∴ ∠ABC= ∠ADC; (2)解:由(1)得 AB = AD = 13. ∵ DF = 6,∴ AF = AD- DF = 7. ∵ △ABC≌△ADC,∴ ∠BAC = ∠DAC. ∵ OE ⊥AB,OF⊥AD,∴ ∠AEO= ∠AFO= 90°,在△AEO 和 △AFO 中, ∠AEO= ∠AFO ∠EAO= ∠FAO AO=AO{ , ∴ △AEO ≌ △AFO (AAS),∴ AE=AF= 7. 12. 解:(1) ∵ DM,EN 分别垂直平分边 AC 和边 BC,∴ MC=MA,NC=NB,∴ △CMN 的周长=CM+CN+MN= MA+NB+MN=AB= 7; (2) ∵ DM,EN 分别垂直平分边 AC 和边 BC, ∴ ∠CDF = ∠CEF = 90°. ∵ ∠MFN = 72°, ∴ ∠ACB = 360°-90°-90°-72° = 108°,∴ ∠A+∠B = 180°-108° = 72°. ∵ MC = MA,NC = NB,∴ ∠MCA = ∠A,∠NCB = ∠B,∴ ∠ACM+∠BCN = ∠A+∠B = 72°,∴ ∠MCN = 108°-72° = 36°. 13. 证明:(1)∵ l 是 AB 的垂直平分线,∴ DA =DB. ∵ DB =DC,∴ DA=DC,∴ ∠CAD= ∠ACD; (2)延长 AD,与 BC 交于点 F. ∵ AC = AB,∴ ∠ABC = ∠ACB. ∵ DB = DC, ∴ ∠DBC = ∠DCB, ∴ ∠ACD = ∠ABD,在△ACD 和△ABD 中, DC=DB ∠ACD= ∠ABD AC=AB{ ,∴ △ACD≌ △ABD( SAS), ∴ ∠CAD = ∠BAD. ∵ AC = AB,∴ F 是 BC 的中点. 基础知识抓分练 4　 等腰三角形与最短路径问题 1. C　 2. B　 3. D 4. B　 【解析】连接 CE. ∵ △ABC 是等边三角形,AD 是 中线,∴ AD 垂直平分 BC,∴ BE =EC,∴ BE+EF =EC+ EF,∴ 当点 C,点 E,点 F 三点共线,且 CF⊥AB 时,EC +EF 值最小,即 BE+EF 的值最小. ∵ △ABC 是等边 三角形,AD⊥BC,CF⊥AB,∴ AD = CF = 6,即 BE+EF 的最小值是 6. 故选 B. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【方法点拨】最小值问题一般需要考虑两点之间线段 最短或垂线段最短等结论. 连接 CE,由题意可得 BE = EC,将 FE+EB 转化为 FE+CE,当点 C,点 E,点 F 三点 共线,且 CF⊥AB 时,EC+EF 值最小,即 BE+EF 的值 最小,此时 CF 的长度为 BE+EF 的最小值. 5. C　 【解析】∵ ∠B = 30°,∠C = 40°,∴ ∠BAC = 180°- 30°-40° = 110°. ∵ DA=DB,EA =EC,∴ ∠B = ∠DAB = 30°,∠C = ∠EAC = 40°,∴ ∠DAE = ∠BAC - ∠BAD - ∠CAE= 110°-30°-40° = 40°. 故选 C. 6. D　 【解析】∵ 在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线 相交于点 O,∴ ∠OBC = 1 2 ABC,∠OCB = 1 2 ∠ACB, ∠A+∠ABC+∠ACB = 180°,∴ ∠OBC+∠OCB = 90°- 1 2 ∠A,∴ ∠BOC = 180°-(∠OBC+∠OCB)= 90°+ 1 2 ∠A,故②正确;∵ 在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平 分线相交于点 O,∴ ∠OBC= ∠OBE,∠OCB= ∠OCF. ∵ EF∥BC, ∴ ∠OBC = ∠EOB, ∠OCB = ∠FOC, ∴ ∠EOB = ∠OBE,∠FOC = ∠OCF,∴ BE = OE,CF = OF,∴ EF=OE+OF=BE+CF,故①正确;过点 O 作 OM ⊥AB 于 M,作 ON⊥BC 于 N,连接 OA. ∵ 在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O,∴ ON=OD =OM=m,∴ S△AEF = S△AOE+S△AOF = 1 2 AE·OM+ 1 2 AF· OD= 1 2 OD·(AE+AF)= 1 2 mn,故④正确;∵ 在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O,∴ 点 O 到 △ABC 各边的距离相等,故③正确. 故选 D. 7. 21 或 24　 8. 6 9. 45°或 0°或 90°　 【解析】∵ ∠ACB = 120°,∠PCB = α, ∴ ∠ACP = 120° -α,①当 PC = PD 时,此时∠PCD = ∠PDC= 120°-α. ∵ ∠CPD+∠PCD+∠PDC = 180°,∴ 30°+(120°-α)+(120°-α)= 180°,∴ α = 45°;②当 CD =CP 时,此时∠CDP= ∠CPD= 30°. ∵ ∠CPD+∠PCD +∠PDC= 180°,∴ 30°+(120°-α) +30° = 180°,∴ α = 0°,此时点 P 与点 B 重合;③ 当 CD = PD 时,此时 ∠PCD= ∠CPD = 30°,∴ 120°-α = 30°,∴ α = 90°;综 上可知,点 P 在滑动时,α = 45°或 0°或 90°时,△PCD 的形状是等腰三角形. 10. 证明: ∵ ABCDE 是正五边形, ∴ ∠E = ∠EDC = (5-2) ×180° 5 = 108°, ∴ ∠EDA = 180°-∠E 2 = 36°, ∠FDC= ∠EDC-∠EDA = 72°. ∵ BF∥ED,∴ ∠DFG = ∠EDA = 36°, ∠FGD = 180° - 36° - 72° = 72°, ∴ ∠FDC= ∠FGD,∴ FD = FG,∴ △DFG 是等腰三角 形. 11. 解:(1)△DEF 是等边三角形,理由如下:∵ AB = AD, ∠A = 60°, ∴ △ABD 为等边三角形, ∴ ∠ADB = ∠ABD = 60°. ∵ CE ∥AB, ∴ ∠DEF = ∠A = 60°, ∠EFD= ∠ABD= 60°,∴ △DEF 是等边三角形; (2)连接 AC 交 BD 于点 O. ∵ AB=AD,CB=CD,∴ AC 垂直平分 BD,∴ AO⊥BD,∴ ∠BAO = ∠DAO = 30°. ∵ CE∥AB,∴ ∠ACE = ∠BAO = ∠DAO,∴ AE = CE = 7,∴ DE = AD-AE = 12-7 = 5. ∵ △DEF 是等边三角 形,∴ EF=DE= 5,∴ CF=CE-EF= 2. 12. (1)证明:∵ EF 是 AB 的中垂线,∴ OA = OB. ∵ AB = AC,D 为 BC 中点,∴ AD⊥BC,∴ AD 是 BC 的中垂 线,∴ OB=OC,∴ OA=OC,∴ △OAC 是等腰三角形; (2)解:∵ AB = AC,D 为 BC 中点,∴ ∠DAC = ∠BAD 追梦之旅·初中期末真题篇·安徽专版 ZBR·八年级数学上　 第 3 页 追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 3　 轴对称与画轴对称图形 一、选择题(每题 4 分,共 24 分) 1. 随着科技的进步,我国新能源汽车发展迅 猛. 下列新能源汽车品牌图标是轴对称图 形的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. B. C. D. 2. 若点 A(1+m,1-n)与点 B(3,2)关于 y 轴对 称,则 m+n 的值是(　 　 ) A. -5 B. -3 C. 3 D. 1 3. 点 M 是△ABC 三边垂直平分线的交点,连 接 MA、MB、MC,若∠MBC+∠ACM = 75°,则 ∠BAM 的值是(　 　 ) A. 45° B. 30° C. 25° D. 15° 第 3 题图 　 　 第 4 题图 4. 如图,在 2×2 的方格纸中有一个以格点为 顶点的△ABC,则与△ABC 成轴对称且以格 点为顶点三角形共有(　 　 ) A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 5. 如图,线段 AB、DE 的垂直平分线交于点 C, 且∠ABC = ∠EDC = 72°, ∠AEB = 92°, 则 ∠EBD 的度数为(　 　 ) A. 168° B. 158° C. 128° D. 118° 第 5 题图 　 　 第 6 题图 6. 如图,已知 AD 是△ABC 的角平分线,AD 的 中垂线交 AB 于点 F,交 BC 的延长线于点 E. 以下四个结论:①∠EAD = ∠EDA;②DF ∥AC;③∠FDE = 90°;④∠B = ∠CAE. 恒成 立的结论有(　 　 ) A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题(每题 5 分,共 15 分) 7. 如图,△ABC 和△DEC 关于直线 l 对称,若 ∠A= 60°,∠E= 20°,则∠ACB= 　 　 　 　 . 第 7 题图 　 第 8 题图 　 第 9 题图 8. 文化情境·传统文化 折纸是一门古老而有 趣的艺术,如图,已知长方形纸带 ABCD,将 纸带沿 EF 折叠后,点 B,C 分别落在点 B′, C′的位置,C′在 AD 上,再沿 AB 折叠,点 B′ 落在点 B″位置,点 B″在 C′E 上,若∠1 = ∠2,则∠1 = 　 　 　 　 °. 9. 如图,在平面直角坐标系中,四边形 AOCB 是边长为 2 的正方形,A、C 分别在 y 轴正半 轴与 x 轴正半轴上,P 点坐标为( -1,1),将 P 点关于 A 对称得到 P1,将 P1 关于 O 点对 称得到 P2,将 P2 关于 C 点对称得到 P3,将 P3 关于 B 点对称得到 P4,将 P4 关于 A 点对 称得到 P5, ……,按照顺序以此类推,则 P2 024 的坐标为　 　 　 　 . 三、解答题(共 36 分) 10. (8 分)如图,在平面直角坐标系中,A(1, 2),B(3,1),C( -2,-1) . (1)在图中画出△ABC 关于 y 轴对称的 △A1B1C1; (2)分别写出 A1、B1、C1 三点的坐标; 5 安徽专版·ZBR·八年级数学上 (3)求 S△ABC . 11. (8 分)如图,AC 与 BD 相交于点 O,且 AC 是 BD 的垂直平分线,OE⊥AB 于点 E,OF ⊥AD 于点 F. (1)求证:∠ABC= ∠ADC; (2)若 AB= 13,DF= 6,求 AE 的长. 12. (10 分)如图,在△ABC 中,DM、EN 分别垂 直平分边 AC 和边 BC,交边 AB 于 M、N 两 点,DM 与 EN 所在直线相交于点 F. (1)若 AB= 7,求△CMN 的周长; (2)若∠MFN= 72°,求∠MCN 的度数. 13. (10 分)如图,在△ABC 中,l 是 AB 的垂直 平分线,与边 AC 交于点 E,点 D 在 l 上,且 DB=DC,连接 AD. (1)求证:∠CAD= ∠ACD; (2)延长 AD,与 BC 交于点 F,若 AC=AB, 求证:F 是 BC 的中点. 6