抓分练1 三角形-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（人教版 安徽专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 1　 三角形 一、选择题(每题 4 分,共 24 分) 1. 如图,人字梯的支架 AB,AC 的长度都为 2 m(连接处的长度忽略不计),则 B、C 两点 之间的距离可能是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 3 m B. 4. 2 m C. 5 m D. 6 m 第 1 题图 　 　 第 2 题图 2. 如图,木工师傅在做完门框后,为防止变形 常常像如图所示那样钉上两条斜拉的木板 条(即图中的 AB 和 CD),这样做的依据 是(　 　 ) A. 三角形的稳定性 B. 两点之间,线段最短 C. 图形的对称性 D. 垂线段最短 3. 王老汉要将一块如图所示的三角形土地平 均分配给两个儿子,则图中他所作的线段 AD 应该是△ABC 的(　 　 ) A. 角平分线　 B. 中线 C. 高线 D. 以上都不是 4. 在探究证明“三角形的内角和等于 180°” 时,飞翔班的同学作了如下四种辅助线,其 中不能证明“三角形的内角和等于 180°”的 是(　 　 ) A. B. C. D. 5. 文化情境·传统文化 泰州雕花楼是省级文 物保护单位,雕花楼的门窗全用木制雕花 格扇,图案丰富,如图 1 是一面雕花窗格,其 主体轮廓是一个正八边形,如图 2 是它的示 意图,则它的一个内角 a 的度数为(　 　 ) A. 45° B. 120° C. 135° D. 150° 图 1　 　 图 2 第 5 题图 　 　 第 6 题图 6. 如图,在四边形 ABCD 中,∠DAB 的平分线 与∠ABC 的外角平分线相交于点 P,且∠D +∠C= 210°,则∠P= (　 　 ) A. 10° B. 15° C. 30° D. 40° 二、填空题(每题 5 分,共 25 分) 7. 如图,在△ADC 中,DP,CP 分别平分∠ADC 和∠ACD,若∠A= 50°,则∠P= 　 　 　 　 . 第 7 题图 　 　 　 第 8 题图 8. 如图,CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分 线,且 CE 交 BA 的延长线于点 E. 若∠B = m°,∠E = n°,则∠BAC = 　 　 　 　 °. (用含 m 和 n 的式子表示) 9. 如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E + ∠F + ∠G = 90° · n, 则 n = 　 　 　 　 . 10. 新定义 如果三角形的两个内角 α 与 β 满 足 2α+β = 90°,那么我们称这样的三角形 为“奇妙互余三角形”,关于“奇妙互余三 角形”,有下列结论:①在△ABC 中,若∠A = 130°,∠B = 40°,∠C = 10°,则△ABC 是 1 安徽专版·ZBR·八年级数学上 “奇妙互余三角形”;②若△ABC 是“奇妙 互余三角形”,∠C> 90°,∠A = 60°,则∠B = 20°;③“奇妙互余三角形”一定是钝角三 角形. 其中,结论正确的有　 　 　 　 (填写 序号). 11. 在综合实践活动中,数学兴趣小组对各边 长度都是整数、最大边长为 k 的三角形的 个数 m 进行了探究,发现:当 k= 1 时,只有 {1,1,1}一种情况,即 m= 1;当 k= 2 时,有 {1,2,2}和{2,2,2}两种情况,即 m = 2;当 k= 3 时,有{1,3,3},{2,2,3},{2,3,3}和 {3,3,3}四种情况,即 m= 4;…,若 k= 6,则 m 的值为 　 　 　 　 ;若 k = 19,则 m 的值 为　 　 　 　 . 三、解答题(共 31 分) 12. (9 分)已知一个多边形的内角和比外角和 的 3 倍少 180°. (1)求这个多边形的边数; (2)若截去该多边形的一个角,求截完后 所形成的新多边形的内角和. 13. (10 分) 如图,AD 是△ABC 的高,CE 是 △ABC 的角平分线,BF 是△ABC 的中线 (BC>AB) . (1)若∠ACB = 50°,∠BAD = 65°,求∠AEC 的度数; (2)若 AB = 9,△BCF 与△BAF 的周长差 为 3,求 BC 的长. 14. (12 分)探索归纳: (1)如图 1,已知△ABC 为直角三角形,∠A = 90°,若沿图中虚线剪去∠A,则∠1+∠2 = 　 　 　 　 ; (2)如图 2,已知△ABC 中,∠A = 60°,剪去 ∠A 后形成四边形,则∠1+∠2=　 　 　 　 ; (3)如图 2,根据上面的求解过程,猜想∠1 +∠2 与∠A 的数量关系,并证明; (4)若∠A 没有剪掉,而是把它折成如图 3 的形状,请猜想∠1+∠2 与∠A 的数量关 系,并说明理由. 图 1 　 图 2 　 图 3 2 　 　 答案详解详析·易错剖析　 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂《课本知识集锦》答案 第十一章　 三角形 1. B　 【解析】∵ 点 E 是 BC 的中点,∴ BE = CE. ∵ AB = 7,AC= 10,∴ △ACE 的周长 = AC+CE+AE = 25 = 10 + CE+AE,∴ CE+AE= 15,∴ △ABE 的周长 = AB+BE+AE = 7+CE+AE= 7+15 = 22. 故选 B. 2. B　 【解析】∵ ∠B = 40°,∠C = 60°,∴ ∠BAC = 180°- ∠B-∠C= 180°-40°-60° = 80°. ∵ AD 是∠BAC 的平 分线,∴ ∠BAD= ∠DAC= 1 2 ∠BAC = 1 2 ×80° = 40°,∴ ∠ADC= ∠B+∠BAD = 40°+40° = 80°. ∵ AE 是 BC 边 上的高,∴ ∠AEC = 90°,∴ ∠DAE = ∠AEC-∠ADC = 90°-80° = 10°,即∠DAE 的度数是 10°. 故选 B. 3. C 第十二章　 全等三角形 1. B 2. D　 【解析】∵ △AOB≌△OCD,∴ ∠AOB = ∠C,故 A 选项正确;∵ △AOB 中,∠B = 90°,∴ ∠A + ∠AOB = 90°. ∵ ∠AOB = ∠C,∴ ∠A+∠C = 90°,故 B 选项正 确;∵ △OCD 中,∠D = 90°,∴ ∠COD+∠C = 90°. ∵ ∠AOB= ∠C,∴ ∠COD+∠AOB= 90°,∴ ∠AOC = 90°, ∴ AO⊥CO,故 C 选项正确;∵ △AOB≌△OCD,∴ AO =CO,∴ AO≠CD,故 D 选项错误. 故选 D. 3. A 　 【解析】 ∵ ∠1 = ∠2 = 110°,∴ ∠ADE = ∠AED = 70°,∴ ∠DAE= 180°-2∠ADE= 40°. ∵ BE =CD,∴ BD =CE. 在△ABD 和△ACE 中, BD=CE ∠1 = ∠2 AD=AE{ ,∴ △ABD≌ △ACE(SAS),∴ ∠BAD = ∠CAE. ∵ ∠BAE = 60°,∴ ∠BAD= ∠CAE= 20°. 故选 A. 4. D 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】作 PH⊥OA 于 H,PC⊥OB 于 C,根据角的 平分线上的点到角的两边的距离相等得到 PH = PC = 7,然后根据垂线段最短求解. 5. 9cm　 【解析】∵ DE⊥AB,∠C = 90°,∴ ∠C = ∠BDE = 90°,在 Rt△CBE 和 Rt△DBE 中, BE=BEBC=BD{ ,∴ Rt△CBE ≌Rt△DBE(HL),∴ CE=DE,∴ AE+DE=AE+CE=AC= 9cm. 6. 3　 【解析】由题意得:CD⊥DB,AB⊥DB,∠CDP = ∠ABP= 90°,∠APB= 69°,∠PAB = 90°-∠APB = 21°. ∵ ∠CPD = 21°,∴ ∠PAB = ∠CPD = 21°. ∵ DB = 30 米,PB = 12 米,∴ DP = BD-BP = 18 米,在△BAP 和 △DPC 中, ∠ABP= ∠CDP ∠PAB= ∠CPD PB=CD{ , ∴ △BAP ≌ △DPC (AAS),∴ DP = AB = 18 米,每层楼的高度 = 18 6 = 3 (米),∴ 每层楼的高度大约为 3 米. 第十三章　 轴对称 1. D 2. D　 【解析】延长 BC 至 B′,使 CB′ = BC,连接 AB′,作 B′E⊥AB 于点 E. ∵ ∠C = 90°,∴ AC⊥BB′. ∵ CB′ = BC,∴ AB′=AB= 5. ∵ S△ABB′ = 2S△ABC = 2× 1 2 ×3×4 = 12, ∴ 1 2 AB·B′E = 12,∴ B′E = 4. 8. ∵ BC = CB′,AC⊥ BB′,∴ AC 是 BB′的垂直平分线,∴ BP = B′P,∴ BP+ PD=B′P+PD≥B′E,∴ 当点 D 与点 E 重合时,BP+PD 最小,则 B′E=B′D= 4. 8,∴ BP+PD 的最小值为 4. 8. 故选 D. 第十四章　 整式的乘法与因式分解 1. D　 2. D 3. A　 【解析】∵ 一个数等于两个连续奇数的平方差,那 么我们称这个数为“完美数”,∴ 可设这两个连续奇 数分别为 2n-1 和 2n+1(n 为正整数),∴ 这个“完美 数”为(2n+1) 2 -(2n-1) 2 = 8n,∴ 这个“完美数”为 8 的倍数. 观察各选项可知只有 200 是 8 的倍数,∴ 这 4 个数中 200 是“完美数” . 故选 A. 4. 0　 【解析】(2▲1)-(6△3)= (102 ×10)-(106 ÷103)= 103 -103 = 0. 5. 解:(1)令 x-y = A,则原式 = 1-2A+A2 = (1-A) 2,再将 “A”还原,得:原式= (1-x+y) 2 . (2)令 n2 -2n=A,原式= (A-3) (A+5) +16 = A2 +2A+1 = (A+1) 2,将“A”还原,原式= (n2 -2n+1) 2 = (n-1) 4 . 第十五章　 分式 1. A　 2. B　 3. D　 4. D 5. 3x x-y 　 【解析】 ∵ 3x x2 -y2 ÷A = 1 x+y ,∴ A = 3x x2 -y2 ÷ 1 x+y = 3x (x+y)(x-y) ·(x+y)= 3x x-y . 6. m>-2　 【解析】解方程得:x= -m-2. ∵ 关于 x 的分式 方程 3x x-1 = m 1-x +2 的解为负数,∴ -m-2<0,又∵ x-1 ≠0,∴ x≠1,∴ -m-2≠1,∴ -m-2<0-m-2≠1{ ,解得:m>-2. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂《课本回头练》答案 基础知识抓分练 1　 三角形 1. A　 2. A　 3. B　 4. C　 5. C 6. B　 【解析】∵ ∠D+∠C = 210°,∠DAB+∠ABC+∠C+ ∠D= 360°,∴ ∠DAB+∠ABC= 150°. 又∵ ∠DAB 的平 分线与∠ABC 的外角平分线相交于点 P,∴ ∠PAB+ ∠ABP= 1 2 ∠DAB+∠ABC+ 1 2 (180°-∠ABC)= 90°+ 1 2 ∠DAB + 1 2 ∠ABC = 90° + 1 2 ( ∠DAB + ∠ABC) = 165°,∴ ∠P= 180°-(∠PAB+∠ABP)= 15°. 故选 B. 7. 115° 　 【解析】∵ DP、CP 分别平分∠ADC 和∠ACD, ∴ ∠PDC = 1 2 ∠ADC,∠PCD = 1 2 ∠ACD,∴ ∠DPC = 180° -∠PDC-∠PCD = 180° - 1 2 ∠ADC- 1 2 ∠ACD = 180°- 1 2 (∠ADC+∠ACD) = 180° - 1 2 (180° - 50°) = 115°. 8. (m+2n) 　 【解析】∵ ∠B = m°,∠E = n°,∴ ∠ECD = ∠B+ ∠E = m° + n°. ∵ CE 为 ∠ACD 的 平 分 线, ∴ ∠ACD= 2∠ECD = 2 (m° + n°) . 又 ∵ ∠ACD = ∠B + ∠BAC,∴ ∠BAC= ∠ACD-∠B = 2(m°+n°) -m° = (m 追梦之旅·初中期末真题篇·安徽专版 ZBR·八年级数学上　 第 1 页 +2n)°. 9. 6　 【解析】连接 BE,GE,FG,设 AF、BG 的交点为 J,AF、DG 的交点为 H. ∵ ∠1 是△ADH 的外角,∴ ∠1 = ∠A+∠D,∵ ∠2 是△JHG 的外角,∴ ∠1+∠BGD = ∠2,∴ 在四边形 BEFJ 中,∠EBJ + ∠BJF + ∠EFJ + ∠BEF = 360°,在 △BCE 中,∠EBC + ∠C + ∠BEC = 180°,∴ ∠CBG+∠C+∠CEF+∠EFA+∠BJF = 360°+ 180° = 540°,即∠A+∠CBG+∠C+∠D+∠CEF+∠AFE +∠DGB= 540°,∴ 90°·n= 540°. ∴ n= 6. 10. ①③ 11. 12　 100　 【解析】由题知,当 k = 1 时,m = 1;当 k = 2 时,m= 2;当 k= 3 时,m= 4;当 k = 4 时,有如下情况: {1,4,4},{2,3,4},{2,4,4},{3,3,4},{3,4,4}, {4,4,4},所以 m= 6,以此类推,当 k = 5 时,m= 9;当 k= 6 时,m= 12;…因为 1 = 1,2 = 1+1,4 = 1+2+1,6 = 1+2+2+1,9 = 1+2+3+2+1,12 = 1+2+3+3+2+1,…, 所以当 k= 19 时,m= 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+ 8+7+6+5+4+3+2+1 = 100. 12. 解:(1)360°×3-180° = 1080°-180° = 900°,故这个多 边形的内角和是 900°;设这个多边形的边数是 n,依 题意得(n-2) ×180° = 900°,解得 n = 7. ∴ 这个多边 形的边数为 7; (2)剪掉一个角以后,多边形的边数可能减少了 1, 也可能不变,或者增加了 1. 截完后所形成的新多边 形的边数可能是 6 或 7 或 8. ①当多边形为六边形 时,其内角和为(6-2) ×180° = 720°;②当多边形为 七边形时,其内角和为(7-2) ×180° = 900°;③当多 边形为八边形时,其内角和为(8-2) ×180° = 1080°. 综上所述,截完后所形成的新多边形的内角和为 720°或 900°或 1080°. 13. 解: ( 1) ∵ AD 是 △ABC 的高, ∴ ∠ADB = 90°. ∵ ∠BAD = 65°, ∴ ∠ABD = 90° - 65° = 25°. ∵ CE 是 △ACB 的角平分线, ∠ACB = 50°, ∴ ∠ECB = 1 2 ∠ACB= 25°,∴ ∠AEC = ∠ABD+∠ECB = 25°+25° = 50°; (2)F 是 AC 中点,∴ AF = FC,∵ △BCF 与△BAF 的 周长差为 3,∴ (BC+CF+BF) -(AB+AF+BF)= 3,∴ BC-AB= 3,∵ AB= 9,∴ BC= 12. 14. 解:(1)270°　 (2)240° (3) ∠1 + ∠2 = 180° + ∠A. 证 明: ∵ ∠1 = ∠A + ∠ANM,∠2 = ∠A+∠AMN,∴ ∠1+∠2 = ∠A+∠ANM +∠AMN+∠A= 180°+∠A; (4) ∠1 + ∠2 = 2 ∠BAC. 理由: 连接 AP. ∵ ∠1 = ∠FAP+∠FPA,∠2 = ∠EAP + ∠EPA,∴ ∠1 + ∠2 = ∠FAP+∠FPA+∠EAP+∠EPA = ∠BAC+∠EPF. ∵ ∠BAC= ∠EPF,∴ ∠1+∠2 = 2∠BAC. 基础知识抓分练 2　 全等三角形 1. A 2. C　 【解析】过点 D 作 DE⊥AB,垂足为 E. ∵ AD 平分 ∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC,∴ DE = DC = 3. ∵ AB = 10, ∴ △ABD 的面积 = 1 2 AB·DE = 1 2 × 10 × 3 = 15. 故选 C. 3. A 　 【解析】 在 △BCD 和 △DEF 中, BC=DE ∠C= ∠E CD=EF{ , ∴ △BCD≌△DEF( SAS),∴ BD = DF. 同理可得:BD = AG. ∴ BD=DF= AG. ∵ 四边形 ABFG 的周长 = AG+AB +FG+BF= b,AB =FG =DE =EF,∴ 四边形 ABFG 的周 长=BD+DE+EF+BF = b. 又△BDF 的周长 = BD+DF+ BF= a,DE+EF>DF,∴ a<b. 故选 A. 4. D　 【解析】过点 D 作 DE⊥AB 于点 E. ∵ AD 为∠CAB 的平分线,∠C= 90°,∴ DE=CD=BC-BD= 800-500 = 300(m) . 故选 D. 5. A 6. 75°　 【解析】∵ △ABC≌△DBE,∴ ∠CBE = ∠ABC = 30°,BC = BE,∴ ∠BCE = ∠BEC = 1 2 ×(180° - 30°) = 75°. 7. 4 8. 解:(1)如图所示: (2)①8 ②理由:如图,由题意可知,AC = CD = 20 米,DE = 8 米, ∠A = 90°, ∠D = 90°, ∴ ∠A = ∠D,在△ABC 和 △DEC 中, ∠A= ∠D AC=DC ∠ACB= ∠DCE{ , ∴ △ABC ≌ △DEC (ASA),∴ AB=DE= 8 米,∴ 小明的方案是正确的. 9. 解:(1)BD 垂直平分线段 AC(答案不唯一) (2)四边形 ADCF(答案不唯一) (3) 证明:由轴对称的性质可知, ∠CAD = ∠CAF, ∠BAD= ∠BAE,∠ADB = ∠AEB = 90°,AD = AF = AE, ∴ ∠EAF = 2∠BAC, ∠AEF = ∠AFE, ∴ ∠EAF + 2 ∠AEF= 180°,∴ 2∠BAC+ 2∠AEF = 180°,∴ ∠BAC+ ∠AEF = 90°. ∵ ∠FEG + ∠AEF = 90°, ∴ ∠BAC = ∠FEG. 基础知识抓分练 3　 轴对称与画轴对称图形 1. B 2. A　 【解析】由题意可得,1+m= -3,1-n = 2,∴ m= -4, n= -1,∴ m+n= -4+(-1)= -5. 故选 A. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【概念回顾】点(x,y)关于 x 轴对称的点的坐标为(x, -y);点(x,y)关于 y 轴对称的点的坐标为(-x,y) . 3. D　 【解析】 ∵ 点 M 为△ABC 三边垂直平分线的交 点,∴ MA = MB = MC, ∴ ∠MCA = ∠MAC, ∠MBC = ∠MCB,∠MAB = ∠MBA. ∵ ∠MBC+∠ACM = 75°,∴ ∠MAC+∠MCA+∠MCB+ ∠MBC = 150°,∴ ∠MAB = ∠MBA= 1 2 ×(180°-150°)= 15°. 故选 D. 4. C 5. C　 【解析】连接 CE. ∵ 线段 AB,DE 的垂直平分线交 于点 C,∴ CA=CB,CE=CD. ∵ ∠ABC = ∠EDC = 72° = ∠DEC,∴ ∠ACB= ∠ECD= 36°,∴ ∠ACE= ∠BCD,在 △ACE 和 △BCD 中, CA=CB ∠ACE= ∠BCD CE=CD{ , ∴ △ACE ≌ △BCD(SAS),∴ ∠AEC= ∠BDC,设∠AEC = ∠BDC = α,则 ∠BDE = 72° - α, ∠CEB = 92° - α, ∴ ∠BED = ∠DEC-∠CEB = 72°-(92°-α)= α-20°,∴ 在△BDE 中,∠EBD = 180° -(72° -α) -(α- 20°) = 128°. 故选 C. 6. C　 【解析】①∵ EF 是 AD 的垂直平分线,∴ EA =ED, ∴ ∠EAD = ∠EDA. ②∵ EF 是 AD 的垂直平分线,∴ FA = FD, ∴ ∠FDA = ∠FAD. ∵ AD 平 分 ∠BAC, ∴ ∠FAD= ∠CAD,∴ ∠FDA = ∠CAD,∴ DF∥AC. ③ ∵ FD 与 BE 不一定互相垂直,∴ ③不一定成立. ④由① 追梦之旅·初中期末真题篇·安徽专版 ZBR·八年级数学上　 第 2 页