抓分练6 轴对称图形与线段的垂直平分线-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（沪科版 安徽专用）

(3)∵ S△ABP = 1 2 AP·BC,S△ADP = 1 2 AP·DF,S△BDP = 1 2 BP·DE,∵ S△ABP =S△ADP +S△BDP,∴ S△ABP = 1 2 BP·DE + 1 2 AP·DF= 1 2 AP·BC,又∵ BP = AP,∴ 1 2 AP·DE+ 1 2 AP·DF= 1 2 AP·BC,即 DE+DF=BC= 5. 基础知识抓分练 5　 全等三角形 1. C　 2. C　 3. A 4. B　 【解析】∵ △ACB≌△A′CB′,∴ ∠ACB = ∠A′CB′,∴ ∠ACB-∠A′CB= ∠A′CB′-∠A′CB,∴ ∠ACA′= ∠BCB′= 30°. 故选 B. 5. B 6. C　 【解析】由题意得,∠ADC = ∠CEB = ∠ACB = 90°,AC =CB,∴ ∠ACD= 90°-∠BCE = ∠CBE,∴ △ACD≌△CBE (AAS),∴ CD = BE = 3a,AD = CE = 4a,∴ DE = CD+CE = 7a. ∵ a= 10cm,∴ 7a= 70cm,∴ DE= 70cm. 故选 C. 7. 75°　 【解析】∵ △ABC≌△DBE,∴ ∠CBE= ∠ABC= 30°, BC=BE,∴ ∠BCE= ∠BEC= 1 2 ×(180°-30°)= 75°. 8. 5 或 9 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　【技巧点拨】利用分类讨论的思想方法分三种情况解答: ①当 0≤t≤23 3 时,点 M 在 AC 上,点 N 在 BC 上,当 MC = NC 时,求得 t 值;②当23 3 <t≤12,点M 在 BC 上,点 N 也在 BC 上,当 MC = NC,则点 M 与点 N 重合,求得 t 值;③当 12<t<24 时,点 M 停在点 B 处,点 N 在 BC 或 AC 上,此时 不存在以点 M,E,C 为顶点的三角形与以点 N,F,C 为顶 点的三角形全等. 9. (1)2　 (2) 1 2 　 【解析】 (1)∵ AD 是△ABC 的中线,∴ BD=CD,∵ BE⊥AD,CF⊥AD 于点 F,∵ ∠E = ∠CFD = ∠CFG= 90°,在△BED 和△CFD 中, ∠E= ∠CFD ∠BDE= ∠CDF BD=CD { ,∴ △BED≌△CFD(AAS),∴ BE = CF = 2;(2)在△GCF 和 △ABE 中, ∠CFG= ∠E ∠G= ∠BAE CF=BE { ,∴ △GCF≌△ABE(AAS),∴ GF =AE,∴ GF-AF=AE-AF,∴ AG =FE,∴ DE =DF = 1 2 FE = 1 2 AG,∴ S△BDE = 1 2 DE·BE = 1 2 × 1 2 AG·CF = 1 2 S△AGC, ∴ S△BDE S△AGC = 1 2 . 10. (1)证明:过点 F 作 FG⊥AB,垂足为 G,由题意得∠AGF = ∠EDC= 90°,BG=EF= 1 米,FG =BE = 20 米,∠AFG = β,∠CED = α, ∵ ∠CED + ∠ECD = 90°,α + β = 90°, ∴ ∠ECD=β = ∠AFG,∵ BE = CD = 20 米,∴ FG = CD = 20 米,∴ △AGF≌△EDC(ASA),∴ AF=CE; (2)解:∵ △AGF≌△EDC,∴ AG =ED =BD-BE = 58-20 = 38(米),∴ AB=AG+GB = 39 米,答:单元楼 AB 的高为 39 米. 11. 解:(1)90 (2)①α+β= 180° . 证明:∵ ∠BAD+∠DAC = α,∠DAC+ ∠CAE = α, ∴ ∠BAD = ∠CAE,在△BAD 和△CAE 中, AB=AC ∠BAD= ∠CAE AD=AE { ,∴ △BAD≌△CAE( SAS),∴ ∠ACE = ∠B,∵ ∠B+∠ACB= 180°-α,∴ ∠DCE = ∠ACE+∠ACB = 180°-α=β,∴ α+β= 180°; ②补全图形如图所示,α=β. 【解析】 ∵ ∠BAD + ∠BAE = α,∠BAE + ∠CAE = α, ∴ ∠BAD = ∠CAE, 在 △BAD 和 △CAE 中, AB=AC ∠BAD= ∠CAE AD=AE { ,∴ △BAD≌△CAE( SAS),∴ ∠AEC = ∠ADB,∵ ∠ADE+∠AED+α= 180°,∠CDE+∠CED+β = 180°,∠CED= ∠AEC+∠AED,∴ α=β. 基础知识抓分练 6　 轴对称图形与线段的垂直平分线 1. B 2. A　 【解析】由题可得 1+m= -3,1-n= 2,∴ m= -4,n= -1, ∴ m+n= -4+(-1)= -5. 故选 A. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【概念回顾】点( x,y)关于 x 轴对称的点的坐标为( x, -y);点(x,y)关于 y 轴对称的点的坐标为(-x,y). 3. D　 【解析】∵ 点 M 为△ABC 三边垂直平分线的交点,∴ MA = MB = MC, ∴ ∠MCA = ∠MAC, ∠MBC = ∠MCB, ∠MAB = ∠MBA, ∵ ∠MBC + ∠ACM = 75°, ∴ ∠MAC + ∠MCA+ ∠MCB + ∠MBC = 150°, ∴ ∠MAB = ∠MBA = 1 2 ×(180°-150°)= 15°. 故选 D. 4. C 5. A　 【解析】根据作图可知,MN 垂直平分 AC,∴ AD =CD, ∴ ∠DAC= ∠C = 34°,∵ ∠BAC = 180° - ∠B- ∠C = 84°, ∠BAD= ∠BAC-∠DAC= 84-34° = 50°. 故选 A. 6. 100° 7. 360 7 　 【解析】设∠B′FG=α,∠1 =β,则∠2 = β,由折叠得: ∠GFB′′= ∠B′FG = α,∠B′ = ∠GB′′F = ∠B′C′B′′ = 90°, ∴ ∠1+∠C′B′′G= ∠C′B′′G+∠FB′′E = 90°,∴ ∠FB′′E = ∠1 =β,∵ C′E∥B′F,∴ ∠B′FB′′ = ∠FB′′E,∴ β = 2α,∵ CD∥AB,∴ ∠CEF = ∠AFE = α+ β = ∠C′EF,在△FEB′′ 中,∠FEB′′+ ∠EFB′′+ ∠FB′′E = 180°,∴ α+ β+ β+ β = 180°,∴ 7α= 180°,∴ α= 180° 7 ,∴ ∠1 =β= 2α= 360° 7 . 8. ①90° 　 ②30° 　 【解析】 ①由折叠知∠AOC = ∠A′OC, ∠BOD = ∠B′ OD, ∴ ∠AOA′ = 2 ∠AOC, ∠BOB′ = 2 ∠BOD,∵ 点 B′落在 OA′上,∴ ∠AOA′+∠BOB′ = 180°, ∴ 2∠AOC+ 2∠BOD = 180°,∴ ∠AOC+ ∠BOD = 90°,即 ∠COD= 90°;② 由折叠知 ∠AOA′ = 2∠AOC,∠BOB′ = 2∠BOD, ∵ ∠AOC = 44°, ∠BOD = 61°, ∴ ∠AOA′ = 2∠AOC = 88°,∠BOB′ = 2 ∠BOD = 122°,∴ ∠A′ OB′ = ∠AOA′+∠BOB′-180° = 30°. 9. 解:(1)如图所示,△A1B1C1 即为所求; (2)如图所示,点 P 即为所求. 追梦之旅·初中期末真题篇·安徽专版 ZBK·八年级数学上　 第 4 页 10. (1)证明:∵ AC 是 BD 的垂直平分线,∴ AB = AD,CB = CD,在△ABC 和△ADC 中, AB=AD CB=CD AC=AC { ,∴ △ABC≌△ADC (SSS),∴ ∠ABC= ∠ADC; (2)解:由(1)得 AB = AD = 13,∵ DF = 6,∴ AF = AD-DF = 7,∵ △ABC≌△ADC,∴ ∠BAC = ∠DAC,∵ OE⊥AB, OF⊥AD, ∴ ∠AEO = ∠AFO = 90°,在△AEO 和△AFO 中, ∠AEO= ∠AFO ∠EAO= ∠FAO AO=AO { ,∴ △AEO≌△AFO(AAS),∴ AE = AF= 7. 11. 解:(1)∵ DM,EN 分别垂直平分边 AC 和边 BC,∴ MC= MA,NC=NB,∴ △CMN 的周长=CM+CN+MN =MA+MN +NB=AB= 7; (2)连接 CF,∵ DM,EN 分别垂直平分边 AC 和边 BC, ∴ ∠CDF= ∠CEF = 90°,∵ ∠MFN = 72°,∴ ∠ACB = 2× 180°-90°- 90°- 72° = 108°,∴ ∠A+∠B = 180°- 108° = 72°,∵ MC=MA,NC=NB,∴ ∠MCA= ∠A,∠NCB = ∠B, ∴ ∠ACM+ ∠BCN = ∠A+ ∠B = 72°,∴ ∠MCN = 108° - 72° = 36°. 12. (1)证明:∵ l 是 AB 的垂直平分线,∴ DA = DB,∵ DB = DC,∴ DA=DC,∴ ∠CAD= ∠ACD; (2)证明:∵ AC = AB,∴ ∠ABC = ∠ACB,∵ DB = DC,∴ ∠DCB= ∠DBC,∴ ∠ACD = ∠ABD,在△ACD 和△ABD 中, DC=DB ∠ACD= ∠ABD AC=AB { , ∴ △ACD ≌ △ABD ( SAS ), ∴ ∠CDA= ∠BDA, ∴ ∠CDF = ∠BDF. ∵ CD = BD,DF = DF,∴ △CDF≌△BDF(SAS),∴ CF =BF,∴ F 是 BC 的 中点. 基础知识抓分练 7　 等腰三角形与角的平分线 1. D　 2. C 3. A　 【解析】∵ ∠ACB = 90°,∠BDC = 90°,∴ ∠BCD = ∠A = 30°,∵ BD= 2,∴ BC= 4,∴ AB= 8,∴ AD=AB-BD = 6. 故 选 A. 4. B　 【解析】过点 E 作 EM⊥AC,EN⊥AB,垂足分别为 M, N,∵ E 为∠BAC 平分线 AP 上一点,∴ EM = EN,∵ AB = 5,△ABE 的面积为 15,∴ 1 2 AB×EN = 15,∴ EN = 6,∴ EM = 6,即点 E 到直线 AC 的距离为 6. 故选 B. 5. C 6. 13 　 【解析】 ∵ EF∥BC, ∴ ∠EDB = ∠DBC, ∠FDC = ∠DCB,∵ ∠ABC 和 ∠ACB 的平分线相交于点 D, ∴ ∠EBD = ∠DBC, ∠FCD = ∠DCB, ∴ ∠EDB = ∠EBD, ∠FDC= ∠FCD,∴ ED=EB,FD=FC,∵ AB = 6,AC = 7,∴ △AEF 的周长=AE+EF+AF = AE+ED+FD+AF = AE+EB+ FC+AF=AB+AC= 6+7 = 13. 7. 6 8. (1)30°　 (2)10　 【解析】 (1)由题意得∠B = 60°,∵ DE ⊥AB,∴ ∠D= 90°-∠B= 30°;(2)设 AC 与 DE 相交于点 G,∵ DE⊥AB,∠A = 60°,∴ ∠AGE = ∠CGD = 30°,∵ ∠D = 30°,∴ CG=CD,设 AE = x,则 CD =CG = 3x,在 Rt△AEG 中,AG= 2AE = 2x,∴ AB = BC = AC = AG+CG = 5x,∴ BE = 4x,BF= 5x- 6,在 Rt△BEF 中,BE = 2BF,即 4x = 2(5x- 6),解得 x= 2,∴ AC= 10. 9. 解:过点 A 作 AE⊥BC,垂足为 E,∵ AE⊥BC,AB = AC,∴ ∠AEF = 90°, BE = 1 2 BC = 4, ∴ EF = BE - BF = 2, 在 Rt△AEF 中,EF = 2,∠AFE = 60°,∴ ∠FAE = 30°,AF = 2EF= 4,即 AF= 4. 10. 解:(1)如图所示,线段 BE、点 F 即为所求; (2)∵ BE 平分∠ABC,∠ABF = 35°,∴ ∠FBD = ∠ABF = 35°. ∵ AD 是 BC 边上的高,∴ AD⊥BC,∴ ∠BDF = 90°, ∴ ∠AFB= ∠BDF+∠FBD= 90°+35° = 125°. 11. 解:(1)150　 (2)CE=AD. 理由如下:∵ △BDC 为等边三角形,∴ BC =BD,∠DBC = 60°. ∵ ∠ABE = ∠DBC = 60°,∴ ∠ABE- ∠DBM= ∠DBC- ∠DBM,∴ ∠ABD = ∠EBC,在△ABD 和 △EBC 中, AB=EB ∠ABD= ∠EBC BD=BC { , ∴ △ABD ≌ △EBC (SAS),∴ AD=CE. 12. (1)25°　 小 (2)证明:∵ ∠EDC+∠ADE = ∠DAB+∠B,∠B = ∠EDA = 40°,∴ ∠EDC = ∠DAB,∵ AB = AC, ∴ ∠B = ∠C,在 △ABD 和 △DCE 中, ∠DAB= ∠EDC AB=DC ∠B= ∠C { , ∴ △ABD ≌ △DCE(ASA); (3)解:∵ AB = AC,∴ ∠B = ∠C = 40°,①当 AE = AD 时, ∠ADE= ∠AED = 40°,∵ ∠AED>∠C,∴ 此时不符合题 意;②当 AD = DE 时,即∠DAE = ∠DEA = 1 2 × ( 180° - 40°) = 70°,∵ ∠BAC = 180°-∠B-∠C = 180°-40°-40° = 100°,∴ ∠BAD = ∠BAC-∠DAE = 100°- 70° = 30°,∴ ∠BDA= 180°-30°-40° = 110°;③当 EA =ED 时,∠ADE = ∠DAE= 40°,∴ ∠BAD = ∠BAC-∠DAE = 100°- 40° = 60°,∴ ∠BDA = 180° - ∠BAD- ∠B = 180° - 60° - 40° = 80°;综上所述,当∠BDA= 110°或 80°时,△ADE 是等腰 三角形. 追梦专项一　 大题抢分练 1. 解:(1)∵ y-2 与 x-1 成正比例,∴ 设 y-2 = k(x-1),∵ x = 3 时,y= 4,∴ 4-2 = (3-1)k,∴ k = 1,∴ y 与 x 之间的函 数表达式为:y= x+1; (2)把 y= -2 代入 y= x+1,可得:-2 = x+1,解得:x= -3. 2. 解:(1)把 A(m,2)代入 y = x 得 m = 2,则点 A 的坐标为 (2,2),把 A(2,2)代入 y= kx-k 得 2k-k= 2,解得 k= 2,∴ m= 2,k= 2; (2)由(1)得一次函数解析式为 y= 2x-2. 令 y = 0,则 2x- 2 = 0,解得 x= 1,∴ C 点坐标为(1,0),∴ OC = 1,∴ S△AOC = 1 2 ×1×2 = 1. 设直线 DE 的解析式为 y = k′x+b,由平移, 得点 D 的坐标为(3,0),k′= 2,把 D(3,0)代入 y = k′x+b, 得 0 = 2×3+b,∴ b= -6,∴ 直线 DE 解析式为 y = 2x-6. 解 方程组 y= 2x-6 y= x{ 得 x= 6 y= 6{ ,∴ E 点坐标为( 6,6),S△EOD = 1 2 ×3×6 = 9,∴ 四边形 ACDE 的面积 = S△EOD -S△AOC = 9-1 = 8. (3)自变量 x 的取值范围是 x<2. 3. 解:(1)如图所示,△A1B1C1 即为所求; (2)如图所示,△A2B2C2 即为所求; 追梦之旅·初中期末真题篇·安徽专版 ZBK·八年级数学上　 第 5 页 追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 6　 轴对称图形与线段的垂直平分线 一、选择题(每小题 4 分,满分 20 分) 1. 科技发展情境·新能源汽车 随着科技的进 步,我国新能源汽车发展迅猛. 下列新能源 汽车品牌图标是轴对称图形的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. B. C. D. 2. 若点 A(1+m,1-n)与点 B(3,2)关于 y 轴对 称,则 m+n 的值是(　 　 ) A. -5 B. -3 C. 3 D. 1 3. 点 M 是△ABC 三边垂直平分线的交点,连 接 MA、MB、MC,若∠MBC+∠ACM = 75°,则 ∠BAM 的值是(　 　 ) A. 45° B. 30° C. 25° D. 15° 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 4. 如图,在 2×2 的方格纸中有一个以格点为 顶点的△ABC,则与△ABC 成轴对称且以格 点为顶点三角形共有(　 　 ) A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 5. 如图,在△ABC 中,∠B = 62°,∠C = 34°,分 别以点 A 和点 C 为圆心,大于 1 2 AC 的长为 半径画弧,两弧相交 AC 的两侧于点 M,N, 作直线 MN, 交 BC 于点 D, 连接 AD, 则 ∠BAD 的度数为(　 　 ) A. 50° B. 45° C. 40° D. 35° 二、填空题(每小题 5 分,满分 15 分) 6. 如图,△ABC 和△DEC 关于直线 l 对称,若 ∠A= 60°,∠E= 20°,则∠ACB= 　 　 　 　 . 第 6 题图 　 　 　 第 7 题图 7. 文化情境·传统文化 折纸是一门古老而有 趣的艺术,如图,已知长方形纸带 ABCD,将 纸带沿 EF 折叠后,点 B,C 分别落在点 B′, C′的位置,C′在 AD 上,再沿 AB 折叠,点 B′ 落在点 B″位置,点 B″在 C′E 上,若∠1 = ∠2,则∠1 = 　 　 　 　 °. 8. (淮南期末)阅读下面材料:利用折纸折叠 长方形纸片,OC,OD 均是折痕,折叠后,点 A 落在点 A′,点 B 落在点 B′. ①如图 1,当点 B′在 OA′上时,∠COD 的度 数为　 　 　 　 ; ②如图 2,当点 B′在∠COA′的内部时,若 ∠AOC = 44°,∠BOD = 61°,∠A′OB′的度数 为　 　 　 　 . 图 1 　 　 　 图 2 11 安徽专版·ZBK·八年级数学上 三、解答题(共 40 分) 9. (9 分)如图,△ABC 的顶点 A、B、C 都在小 正方形的顶点上,利用网格线按下列要求 画图. (1)画△A1B1C1,使它与△ABC 关于直线 l 成轴对称; (2)在直线 l 上找一点 P,使点 P 到点 A、B 的距离之和最短. 10. (10 分)如图,AC 与 BD 相交于点 O,且 AC 是 BD 的垂直平分线,OE⊥AB 于点 E,OF ⊥AD 于点 F. (1)求证:∠ABC= ∠ADC; (2)若 AB= 13,DF= 6,求 AE 的长. 11. (10 分)如图,在△ABC 中,DM、EN 分别垂 直平分边 AC 和边 BC,交边 AB 于 M、N 两 点,DM 与 EN 所在直线相交于点 F. (1)若 AB= 7,求△CMN 的周长; (2)若∠MFN= 72°,求∠MCN 的度数. 12. (11 分)如图,在△ABC 中,l 是 AB 的垂直 平分线,与边 AC 交于点 E,点 D 在 l 上,且 DB=DC,连接 AD. (1)求证:∠CAD= ∠ACD; (2)延长 AD 交 BC 于点 F,若 AC = AB. 求 证:F 是 BC 的中点. 21