抓分练4 三角形中的边角关系、命题与证明-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（沪科版 安徽专用）

6. (1)90　 (2)1 或13 7 或 77 20 　 【解析】(1)由图象可得:300÷ 10 3 = 90(km / h);∴ 甲车的速度为 90km / h;(2)由题意可 得:y甲 = 90x,当 0≤x≤1 时,y乙 = 100x;设当 1≤x≤4 时, y乙 = kx + b,则 k+b= 100 4k+b= 300{ ,解得 k= 200 3 b= 100 3 ì î í ï ï ï ï ,∴ y乙 = 200 3 x + 100 3 ,当甲、乙两车相距 10km 时,①100x = 90x+10,解得: x= 1;②90x= 200 3 x+100 3 +10,解得 x= 13 7 ;③当甲已经到达 B 地,乙距甲 10km 时,200 3 x+ 100 3 = 300- 10,解得 x = 77 20 , 综上所述,当甲、乙两车相距 10km 时,乙车行驶的时间 为 1h 或13 7 h 或77 20 h. 7. 解:(1)80 (2)根据题意可知,DE 为客轮行驶的函数图象. 设 y2 = k2x + b2 , 将 坐 标 D ( 0, 80 ) 和 E ( 40, 0 ) 代 入, 得 80 = b2 0 = 40k2 +b2{ ,解得 k2 = -2 b2 = 80{ . ∴ y2 与 x 之间的函数表达式 为 y2 = -2x+80(0≤x≤40); (3)根据题意可知,OC 为货轮行驶的函数图象,设其函 数表达式为 y1 = k1x,将坐标 C( 160,80) 代入,得 80 = 160k1 ,解得 k1 = 1 2 . ∴ y1 与 x 之间的函数表达式为 y1 = 1 2 x(0≤x≤160) . 当两船相遇时, 1 2 x= -2x+80,解得 x = 32,此时 y= 16,∴ P 点坐标为(32,16); (4)①当 0≤x≤40 时, | y1 -y2 | = 35,即 | 5 2 x-80 | = 35,解 得 x= 18 或 46(舍去);②当 40<x≤160 时, | y1 -y2 | = 1 2 x = 35,解得 x= 70. 综上,两船出发 18min 或 70min 时,两 船相距 35km. 8. 解:(1)设 A 礼品每件的进价是 x 元,B 礼品每件的进价 是 y 元,依题意, 4x +12y= 360 8x+6y= 270{ ,解得 x= 15 y= 25{ ,答:A 礼品 每件的进价是 15 元,B 礼品每件的进价是 25 元; (2)①依题意,15m+25n= 5000,∴ n= 200- 3 5 m; ②w= (20-15)m+(35-25) (200- 3 5 m) = 2000-m. ∵ k = -1<0,∴ w 随m 的增大而减小,且m≥100. ∴ 当m= 100, w 取得最大值 1900 元. 即 A 礼品进货 100 件时,该店获 利最大为 1900 元. 基础知识抓分练 4　 三角形中的边角关系、命题与证明 1. A　 2. B 3. A　 【解析】∵ ∠A ∶ ∠B ∶ ∠C = 2 ∶ 3 ∶ 5,∴ ∠C = 5 2+3+5 × 180° = 90°,∴ △ABC 是直角三角形. 故选 A. 4. B　 5. C　 6. B 7. B　 【解析】在△ABC 中,∠B = 55°,∠C = 25°,∴ ∠BAC = 180°- 55° - 25° = 100°, ∵ AE 平分 ∠BAC, ∴ ∠BAE = 1 2 ∠BAC= 50°,∵ AD 是 BC 边的高,∴ ∠ADE = 90°,∴ ∠BAD= 90°-∠B= 35°,∴ ∠DAE = ∠BAE-∠BAD = 15°. 故选 B. 8. 两个角是同一个角的余角　 9. 17 10. 4　 【解析】方法 1:∵ △ABC 的三条中线 AD、BE,CF 交 于点 G, ∴ S△CGE = S△AGE = 1 3 S△ACF, S△BGF = S△BGD = 1 3 S△BCF,∵ S△ACF =S△BCF = 1 2 S△ABC = 1 2 ×12 = 6,∴ S△CGE = 1 3 S△ACF = 1 3 ×6 = 2,S△BGF = 1 3 S△BCF = 1 3 ×6 = 2,∴ S阴影 = S△CGE + S△BGF = 4. 方 法 2: 设 △AFG, △BFG, △BDG, △CDG,△CEG,△AEG 的面积分别为 S1,S2,S3,S4,S5, S6,根据中线平分三角形面积可得:S1 = S2,S3 = S4,S5 = S6,S1 +S2 +S3 =S4 +S5 +S6 ①,S2 +S3 +S4 =S1 +S5 +S6 ②,由① -②可得 S1 =S4,所以 S1 =S2 =S3 =S4 =S5 =S6 = 2. 故阴影 部分的面积为 4. 11. (m+2n)　 【解析】∵ ∠B =m°,∠E = n°,∴ ∠ECD = ∠B +∠E = m° +n°. ∵ CE 为∠ACD 的平分线,∴ ∠ACD = 2∠ECD = 2 (m° + n°) . 又 ∵ ∠ACD = ∠B + ∠BAC,∴ ∠BAC= ∠ACD-∠B= 2(m°+n°)-m° =(m+2n)°. 12. 解:如图所示,CD、BM、AN 为钝角△ABC 的三条高 . 13. 解:(1)∵ AD 是△ABC 的高,∴ ∠ADB = 90°,∵ ∠BAD = 65°,∴ ∠ABD= 90°-65° = 25°. ∵ CE 是△ACB 的角平分 线,∠ACB= 50°,∴ ∠ECB = 1 2 ∠ACB = 25°,∴ ∠AEC = ∠ABD+∠ECB= 25°+25° = 50°; (2)∵ 点 F 是 AC 中点,∴ AF = FC,∵ △BCF 的周长比 △BAF 的周长大 3. ∴ (BC+CF+BF) -(AB+AF+BF) = 3,∴ BC-AB= 3,∵ AB= 9,∴ BC= 12. 14. 解:( 1) ∵ ∠A = 64°, ∴ ∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 116°,又∵ BP 为∠CBF 的平分线,∴ ∠PBC = 1 2 ∠CBF = 1 2 (∠A+∠ACB),同理,∠PCB = 1 2 ∠BCE = 1 2 (∠A+ ∠ABC),∴ ∠PBC+∠PCB= ∠A+ 1 2 (∠ABC+∠ACB)= 64°+ 1 2 ×116° = 122°,∴ ∠P = 180°-(∠PBC+∠PCB)= 180°-122° = 58°; (2)∠P= 90°- 1 2 ∠A,理由如下:∵ BP、CP 为△ABC 的 两个外角平分线, ∴ ∠PBC = 1 2 ∠CBF = 1 2 ( ∠A + ∠ACB), ∠PCB = 1 2 ∠BCE = 1 2 ( ∠A + ∠ABC), ∴ ∠PBC+∠PCB= 1 2 ∠A+ 1 2 (∠A+∠ACB+∠ABC),又∵ ∠A+∠ACB+∠ABC = 180°,∴ ∠PBC+∠PCB = 1 2 ∠A+ 90°,∴ ∠P= 180°-( ∠PBC+∠PCB) = 180°-( 1 2 ∠A+ 90°)= 90°- 1 2 ∠A. 15. 解:(1) 12 5 　 (2)1 ∶2 追梦之旅·初中期末真题篇·安徽专版 ZBK·八年级数学上　 第 3 页 (3)∵ S△ABP = 1 2 AP·BC,S△ADP = 1 2 AP·DF,S△BDP = 1 2 BP·DE,∵ S△ABP =S△ADP +S△BDP,∴ S△ABP = 1 2 BP·DE + 1 2 AP·DF= 1 2 AP·BC,又∵ BP = AP,∴ 1 2 AP·DE+ 1 2 AP·DF= 1 2 AP·BC,即 DE+DF=BC= 5. 基础知识抓分练 5　 全等三角形 1. C　 2. C　 3. A 4. B　 【解析】∵ △ACB≌△A′CB′,∴ ∠ACB = ∠A′CB′,∴ ∠ACB-∠A′CB= ∠A′CB′-∠A′CB,∴ ∠ACA′= ∠BCB′= 30°. 故选 B. 5. B 6. C　 【解析】由题意得,∠ADC = ∠CEB = ∠ACB = 90°,AC =CB,∴ ∠ACD= 90°-∠BCE = ∠CBE,∴ △ACD≌△CBE (AAS),∴ CD = BE = 3a,AD = CE = 4a,∴ DE = CD+CE = 7a. ∵ a= 10cm,∴ 7a= 70cm,∴ DE= 70cm. 故选 C. 7. 75°　 【解析】∵ △ABC≌△DBE,∴ ∠CBE= ∠ABC= 30°, BC=BE,∴ ∠BCE= ∠BEC= 1 2 ×(180°-30°)= 75°. 8. 5 或 9 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　【技巧点拨】利用分类讨论的思想方法分三种情况解答: ①当 0≤t≤23 3 时,点 M 在 AC 上,点 N 在 BC 上,当 MC = NC 时,求得 t 值;②当23 3 <t≤12,点M 在 BC 上,点 N 也在 BC 上,当 MC = NC,则点 M 与点 N 重合,求得 t 值;③当 12<t<24 时,点 M 停在点 B 处,点 N 在 BC 或 AC 上,此时 不存在以点 M,E,C 为顶点的三角形与以点 N,F,C 为顶 点的三角形全等. 9. (1)2　 (2) 1 2 　 【解析】 (1)∵ AD 是△ABC 的中线,∴ BD=CD,∵ BE⊥AD,CF⊥AD 于点 F,∵ ∠E = ∠CFD = ∠CFG= 90°,在△BED 和△CFD 中, ∠E= ∠CFD ∠BDE= ∠CDF BD=CD { ,∴ △BED≌△CFD(AAS),∴ BE = CF = 2;(2)在△GCF 和 △ABE 中, ∠CFG= ∠E ∠G= ∠BAE CF=BE { ,∴ △GCF≌△ABE(AAS),∴ GF =AE,∴ GF-AF=AE-AF,∴ AG =FE,∴ DE =DF = 1 2 FE = 1 2 AG,∴ S△BDE = 1 2 DE·BE = 1 2 × 1 2 AG·CF = 1 2 S△AGC, ∴ S△BDE S△AGC = 1 2 . 10. (1)证明:过点 F 作 FG⊥AB,垂足为 G,由题意得∠AGF = ∠EDC= 90°,BG=EF= 1 米,FG =BE = 20 米,∠AFG = β,∠CED = α, ∵ ∠CED + ∠ECD = 90°,α + β = 90°, ∴ ∠ECD=β = ∠AFG,∵ BE = CD = 20 米,∴ FG = CD = 20 米,∴ △AGF≌△EDC(ASA),∴ AF=CE; (2)解:∵ △AGF≌△EDC,∴ AG =ED =BD-BE = 58-20 = 38(米),∴ AB=AG+GB = 39 米,答:单元楼 AB 的高为 39 米. 11. 解:(1)90 (2)①α+β= 180° . 证明:∵ ∠BAD+∠DAC = α,∠DAC+ ∠CAE = α, ∴ ∠BAD = ∠CAE,在△BAD 和△CAE 中, AB=AC ∠BAD= ∠CAE AD=AE { ,∴ △BAD≌△CAE( SAS),∴ ∠ACE = ∠B,∵ ∠B+∠ACB= 180°-α,∴ ∠DCE = ∠ACE+∠ACB = 180°-α=β,∴ α+β= 180°; ②补全图形如图所示,α=β. 【解析】 ∵ ∠BAD + ∠BAE = α,∠BAE + ∠CAE = α, ∴ ∠BAD = ∠CAE, 在 △BAD 和 △CAE 中, AB=AC ∠BAD= ∠CAE AD=AE { ,∴ △BAD≌△CAE( SAS),∴ ∠AEC = ∠ADB,∵ ∠ADE+∠AED+α= 180°,∠CDE+∠CED+β = 180°,∠CED= ∠AEC+∠AED,∴ α=β. 基础知识抓分练 6　 轴对称图形与线段的垂直平分线 1. B 2. A　 【解析】由题可得 1+m= -3,1-n= 2,∴ m= -4,n= -1, ∴ m+n= -4+(-1)= -5. 故选 A. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【概念回顾】点( x,y)关于 x 轴对称的点的坐标为( x, -y);点(x,y)关于 y 轴对称的点的坐标为(-x,y). 3. D　 【解析】∵ 点 M 为△ABC 三边垂直平分线的交点,∴ MA = MB = MC, ∴ ∠MCA = ∠MAC, ∠MBC = ∠MCB, ∠MAB = ∠MBA, ∵ ∠MBC + ∠ACM = 75°, ∴ ∠MAC + ∠MCA+ ∠MCB + ∠MBC = 150°, ∴ ∠MAB = ∠MBA = 1 2 ×(180°-150°)= 15°. 故选 D. 4. C 5. A　 【解析】根据作图可知,MN 垂直平分 AC,∴ AD =CD, ∴ ∠DAC= ∠C = 34°,∵ ∠BAC = 180° - ∠B- ∠C = 84°, ∠BAD= ∠BAC-∠DAC= 84-34° = 50°. 故选 A. 6. 100° 7. 360 7 　 【解析】设∠B′FG=α,∠1 =β,则∠2 = β,由折叠得: ∠GFB′′= ∠B′FG = α,∠B′ = ∠GB′′F = ∠B′C′B′′ = 90°, ∴ ∠1+∠C′B′′G= ∠C′B′′G+∠FB′′E = 90°,∴ ∠FB′′E = ∠1 =β,∵ C′E∥B′F,∴ ∠B′FB′′ = ∠FB′′E,∴ β = 2α,∵ CD∥AB,∴ ∠CEF = ∠AFE = α+ β = ∠C′EF,在△FEB′′ 中,∠FEB′′+ ∠EFB′′+ ∠FB′′E = 180°,∴ α+ β+ β+ β = 180°,∴ 7α= 180°,∴ α= 180° 7 ,∴ ∠1 =β= 2α= 360° 7 . 8. ①90° 　 ②30° 　 【解析】 ①由折叠知∠AOC = ∠A′OC, ∠BOD = ∠B′ OD, ∴ ∠AOA′ = 2 ∠AOC, ∠BOB′ = 2 ∠BOD,∵ 点 B′落在 OA′上,∴ ∠AOA′+∠BOB′ = 180°, ∴ 2∠AOC+ 2∠BOD = 180°,∴ ∠AOC+ ∠BOD = 90°,即 ∠COD= 90°;② 由折叠知 ∠AOA′ = 2∠AOC,∠BOB′ = 2∠BOD, ∵ ∠AOC = 44°, ∠BOD = 61°, ∴ ∠AOA′ = 2∠AOC = 88°,∠BOB′ = 2 ∠BOD = 122°,∴ ∠A′ OB′ = ∠AOA′+∠BOB′-180° = 30°. 9. 解:(1)如图所示,△A1B1C1 即为所求; (2)如图所示,点 P 即为所求. 追梦之旅·初中期末真题篇·安徽专版 ZBK·八年级数学上　 第 4 页 追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 4　 三角形中的边角关系、命题与证明 一、选择题(每小题 4 分,满分 28 分) 1. 下列命题的逆命题是真命题的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 两直线平行,内错角相等 B. 如果 a= b,那么 a2 = b2 C. 钝角三角形中有两个锐角 D. 对顶角相等 2. 若三角形的两边长分别为 10 cm 和 17 cm, 则该三角形的第三边的长度可能是(　 　 ) A. 7 cm B. 10 cm C. 27 cm D. 29 cm 3. 若在△ABC 中,若∠A ∶∠B ∶∠C = 2 ∶3 ∶5,则 △ABC 是(　 　 ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 4. 对于命题“若 a2 >b2,则 a>b. ”下面四组关 于 a、b 的值中,能说明这个命题是假命题的 是(　 　 ) A. a= 3,b= 2 B. a= -3,b= 2 C. a= 3,b= -1 D. a= -1,b= 3 5. 在探究证明“三角形的内角和等于 180°” 时,飞翔班的同学做了如下四种辅助线,其 中不能证明“三角形的内角和等于 180°”的 是(　 　 ) A. B. C. D. 6. 如图,∠1,∠2,∠3 的大小关系是(　 　 ) A. ∠1>∠3>∠2 B. ∠1>∠2>∠3 C. ∠3>∠2>∠1 D. ∠2>∠1>∠3 第 6 题图 　 　 　 第 7 题图 7. 如图,在△ABC 中,∠B = 55°,∠C = 25°,AD 是 BC 边的高,AE 平分∠BAC,则∠DAE 的 度数为(　 　 ) A. 12. 5° B. 15° C. 17. 5° D. 20° 二、填空题(每小题 5 分,满分 20 分) 8. 一个命题由“ 条件” 和“ 结论” 两部分组 成,则命题 “ 同角的余角相等” 的条件 是　 　 　 　 　 　 　 　 . 9. 若等腰三角形两边的长分别为 3 cm 和 7 cm,则等腰三角形的周长是　 　 　 　 cm. 10. 一题多解 如图,△ABC 三边的中线 AD、 BE、CF 的公共点为 G,若 S△ABC = 12,则图 中阴影部分的面积是　 　 　 　 . 第 10 题图 　 　 　 第 11 题图 11. 如图,CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分 线,且 CE 交 BA 的延长线于点 E. 若∠B = m°,∠E= n°,则∠BAC = 　 　 　 　 °. (用含 m 和 n 的式子表示) 三、解答题(共 42 分) 12. (9 分) 画出图中钝角△ABC 的三条高. (要标出垂足,注明字母,不写画法) 7 安徽专版·ZBK·八年级数学上 13. (10 分) 如图,AD 是△ABC 的高,CE 是 △ABC 的角平分线,BF 是△ABC 的中线, F 是 AC 的中点. (1)若∠ACB = 50°,∠BAD = 65°,求∠AEC 的度数; (2)若 AB = 9,△BCF 的周长比△BAF 的 周长大 3,求 BC 的长. 14. (11 分)已知:如图,△ABC 的两个外角平 分线 BP、CP 交于 P 点. (1)若∠A= 64°,求∠P 的度数; (2)∠A 与∠P 有何关系? 并说明理由. 15. (12 分)等面积法是一种常用的、重要的数 学解题方法. (1)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°, BC= 3,AC = 4,AB = 5,CD⊥AB,则 CD 长 为　 　 　 　 ; (2)如图 2,在△ABC 中,AB = 4,BC = 2,则 △ABC 的高 CD 与 AE 的比是　 　 　 　 ; (3)如图 3,在△ABC 中,∠C = 90°( ∠A< ∠ABC),点 D,P 分别在边 AB,AC 上,且 BP=AP,DE⊥BP,DF⊥AP,垂足分别为点 E,F. 若 BC= 5,求 DE+DF 的值. 图 1 图 2 图 3 8