专题5.18 二次函数与存在性问题（6大知识点6类题型）（方法梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题5.18 二次函数与存在性问题（6大知识点6类题型）（方法梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】直角三角形存在性问题常用方法： 【方法1】相交两直线斜率乘积为探究点的存在性； 【方法2】利用或构造一线三直角证明全等或相似探究点的存在性； 【方法3】利用勾股定理逆定理探究点的存在性； 【知识点二】等腰直角三角形存在性问题常用方法： 【方法1】利用等腰直角三角形性质探究点的存在性； 【方法2】利用“一线三直角”模型辅助探究点的存在性. 【知识点三】平行四边形存在性问题常用方法： 【方法1】利用两条对角线端点横（纵）坐标和分别相等建立方程模型探究点的存在性；步骤如下： （1）写出或设出平行四边形四个顶点的坐标； （2）以对角线为分类标准，分成三种情况讨论，利用上述模型，求出四个顶点的坐标； （3）检验求出的点是否符合题意，即能否构成平行四边形 【方法2】利用平移性质探究点的存在性. 【知识点四】菱形存在性问题常用方法： 【方法1】设置一个主动点，得到另一个从动点，利用中点坐标公式或菱形性质探究点的存在性； 【方法2】利用转化思想，将菱形存在性问题转化为等腰三角形存在性问题，再利用解决等腰三角形存在性问题的方法求出主动点坐标，继而利用平移变换或线段中点坐标公式，求出从动点的坐标 【知识点五】矩形存在性问题 【方法1】设置一个主动点，得到另一个从动点，利用中点坐标公式或矩形性质探究点的存在性； 【方法2】利用转化思想，将矩形存在性问题转化为等腰三角形存在性问题，再利用解决等腰三角形存在性问题的方法求出主动点坐标，继而利用平移变换或两点之间距离公式，求出从动点的坐标 【知识点六】正方形存在性问题 二次函数综合题中的正方形存在性问题一般涉及三动顶点、一定顶点，且其中一动顶点在某条线上运动，设为第一动顶点，另两个动顶点随第一动顶点的变化而变化，即只要确定第一动顶点的位置，就可确定其他两个动顶点的位置坐标，解决这类问题时，可利用转化的数学思想，将正方形存在性问题转化为腰直角三角形存在性问题，利用“一线三直角”模型解题。 【题型目录】 【题型1】直角三角形存在性问题...............................................2 【题型2】等腰直角形三角存在性问题...........................................9 【题型3】平行四边形存在性问题..............................................17 【题型4】菱形存在性问题....................................................26 【题型5】矩形存在性问题....................................................35 【题型6】正方形存在性问题..................................................46 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】直角三角形存在性问题 ①【利用勾股定理逆定理分类讨论点的存在性】 【1-1】（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，抛物线经过两点，与x轴交于另一点B，连接．在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得由点M，A，C构成的是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，或或或． 【分析】本题考查二次函数性质的综合运用、勾股定理等，要注意分类求解，避免遗漏． 先求出，得到抛物线对称轴为，设点， 则，,，再分三种情况分别列方程，解方程即可得到答案． 解：抛物线经过两点， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为 ∵ ∴抛物线对称轴为， 设点，而点， 则，,， ①当是斜边时， 解得：； ②当是斜边时， 解得，； ③当是斜边时， 同理可得：或； 综上，点M的坐标为：或或或． ②【利用转化思想与分类讨论点的存在性】 【1-2】（22-23九年级上·四川泸州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过，，三点，点的坐标是，点的坐标是，动点在抛物线上． (1) ， ，点的坐标为 ；(直接填写结果) (2)是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由； (3)若动点在直线下方的抛物线上运动，求的边上的高的最大值． 参考知识：①设，则；②若直线与直线垂直，则． 【答案】(1)，，； (2)存在，的坐标是或；(3) 【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）分是直角或为直角两种情况，分别求解即可； （3）根据三角形的面积公式结合二次函数的性质，即可得到结论． （1）解：将点、的坐标代入抛物线表达式得， 解得， 故抛物线的表达式为：， 令，则或，故点； 故答案为：，，； （2）存在， 理由：①当是直角时，过点作轴交轴于， 轴， 由点、的坐标知，，即， 为直角三角形， ， ， ， 设，， ， 或舍去， 点； ②当为直角时，过点作轴交轴于， 同理可得：点的坐标为：； 综上所述，的坐标是或； （3）设直线的解析式为， 把，代入得， ， 直线的解析式为为； 动点在直线下方的抛物线上运动， 设， 过作轴于，交于， ， ， ，， ， ， ， 当，的边上的高的最大值为． 【点拨】本题考查了三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，直角三角形的性质，正确地求出函数解析式是解题的关键． ③【利用直线斜率乘积为-1得到90度与分类讨论点的存在性】 【1-3】（23-24九年级上·安徽宣城·期末）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)求证：平分； (3)抛物线的对称轴上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)；(2)见解析；(3)当为直角三角形时，M的坐标为或． 【分析】（1）本题用待定系数法求二次函数解析式，将，两点代入求解，即可解题． （2）本题根据抛物线的表达式得到点C的坐标，利用勾股定理求得的长，结合，得到，推出，，以及，推出，最后利用等量代换即可解题． （3）本题利用、求得对称轴，根据是以为直角边的直角三角形，分别过点B作交对称轴于和过点A作交对称轴于，先求出直线解析式，根据垂直得到直线解析式和直线解析式，将代入上述解析式，即可解题． （1）解：将，两点代入中， 有，解得， 抛物线的表达式为：． （2）解：令，则， ， ，， ， 又，， ， ， ， 平分． （3）解：存在，理由如下： ，， 对称轴为直线， 过点B作交对称轴于， 设直线解析式为，则得，解得， 直线解析式为， 设直线为， ， ， ． 当时，， ； 过点A作交对称轴于， 设直线为，则得， ， ． 当时，， ； 当为直角三角形时，M的坐标为或． 【点拨】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形性质、平行线的性质、勾股定理、角平分线的判定、二次函数与一次函数综合、一次函数互相垂直，熟练掌握相关知识、正确添加辅助线、运用分类讨论思想与数形结合思想是解题的关键． 【题型2】等腰直角三角形存在性问题 ①【构造一线三直角分类讨论点的存在性】 【2-1】（2024·新疆昌吉·模拟预测）【建立模型]（1）如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，．求证：； 【类比迁移]（2）如图2，在中，，，与轴交于点，点C的坐标为，点A的坐标为，求B，D两点的坐标； 【拓展延伸]（3）如图3，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点M，使是以为斜边的等腰直角三角形?若存在，请求出点M的坐标?若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），；（3）或或或 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、二次函数与几何综合题，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用，即可证明； （2）过点B作轴于点F.证明,则，得到.  待定系数法求出直线的解析式为，当时，，即可得到 （3）求出，得到抛物线的对称轴为直线,设抛物线的对称轴交x轴于点H,过点M作轴于点N，分两种情况：当点M在x轴的下方和 点M在x轴的上方，分别进行解答即可． 【详解】（1）证明:∵， ∴ ∵, ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴ （2）解:如图,过点B作轴于点F.    由题意,得 ∵， ∴. ∴ 又∵, ∴, ∴. ∴ ∴..   设直线的解析式为, 将代入中,得, 解得 ∴直线的解析式为， 当时，， ∴ （3）解:∵ ∴抛物线的对称轴为直线, 设抛物线的对称轴交x轴于点H,过点M作轴于点N， ①当点M在x轴的下方时,如图，      ∵, ∴ ∴ 又∵， ∴. ∴.. 设， ∴， ∴， ∴， 将 代入中, 得, 解得或 ∴. 点M的坐标为或； ②当点M在x轴的上方时,如图,    同理可得，点M的坐标为或. 综上所述,点M的坐标为或或或. ②【利用等腰三角形性质与分类讨论点的存在性】 【2-2】（2023·山东聊城·二模）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为点，交直线于点． (1)求抛物线的表达式； (2)当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由； (3)点在运动过程中，能否使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)；(2)存在，最大值为；(3)不存在．理由见解析． 【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质等知识点． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设，且，求得，，，利用三角形的面积公式列出关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可； （3）当是以为腰的等腰直角三角形时，则有，据此求解即可． （1）解：∵抛物线过点和， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）对于直线， 令，则， ∴， 设，且， ∴，， ∴， ∴， ∵，对称轴为直线， ∴时，的值随的增大而增大， ∴当，有最大值，最大值为； （3）∵轴， ∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， ∴M点纵坐标为， ∴， 解得或， 当时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， 当时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， 点的坐标为，点的坐标为， 此时，，， ，则不是以为腰的等腰直角三角形， ∴不存在这样的点，使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形． ③【构造一线三直角求点的坐标并讨论点的存在性】 【2-3】（2023·广东揭阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接．动点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．     (1)求抛物线的表达式； (2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，最小值为4 (3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式； （2）先求出点，则，进一步得到是等腰直角三角形，则，如图①，过点P作轴，垂足为E，则是等腰直角三角形,由题意可知，则，即，又得到，则= ，利用二次函数的性质即可得到答案； （3）连接，过点P作轴于点E，过M作，交点于点F，则.先证明，则，则，又，得到点M的坐标为，由点M在上，则，解方程即可得到答案． （1）解：∵抛物线经过点， 则 ，解得， ∴抛物线表达式为； （2）在中令，得， ∴， ∴     ∵， ∴， ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形,， 如图①，过点P作轴，垂足为E，则是等腰直角三角形, 由题意可知 ， ∴，即， 又，   ∴， ∴ = = = ∵当P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动， ∴， ∵, ∴当时，四边形的面积取得最小值4； （3）存在，理由如下： 如图②，连接，过点P作轴于点E，过M作，交点于点F，则.    ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，又， ∴点M的坐标为， ∵点M在抛物线上， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴M点的坐标为 【点拨】此题考查了二次函数和三角形综合题，用到了待定系数法、全等三角形的判定和性质、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，添加适当的辅助线是解决问题的关键． 【题型3】平行四边形存在性问题 ①【利用平行四边形对角线两端点横（纵）坐标和相等建立模型分类讨论点的存在性】 1．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，试判断的形状，并说明理由； (3)若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使以A，B，Q，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 (3)存在， 【分析】（1）将三点坐标分别代入抛物线中即可求出的值，从而得出抛物线的解析式； （2）根据（1）中求出的抛物线解析式得出的坐标，通过两点间距离公式可求出的值，计算发现，根据勾股定理逆定理可得，为直角三角形； （3）利用平行四边形的性质：对角线互相平分，则对角线的中点为固定值进行分类讨论：两条对角线为时；两条对角线为，时；两条对角线为时，即可得出符合条件的的坐标． （1）解：将代入抛物线中， 得， 可解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：应为直角三角形， 证明如下： 由（1）得：抛物线的解析式为， 且是抛物线的顶点， ， 又， ， ， ， ， 故根据勾股定理逆定理可得，为直角三角形． （3）存在，均可满足条件． ∵要使以为顶点的四边形为平行四边形， 且平行四边形中对角线互相平分， ∴对角线的中点为固定值． ∵在抛物线对称轴上，在抛物线上， ∴可设， 则可分为以下三种情况进行讨论：①两条对角线为时， 有， 解得， 即此时； ②两条对角线为时， 有， 解得， 即此时； ③两条对角线为时， 有， 解得， 即此时． 故满足条件的点有3个，分别为． 【点拨】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质，勾股定理逆定理及平行四边形的性质，解题的关键是掌握平面内两点间距离公式及对角线互相平分，则对角线的中点为固定值，易错点是第（3）题中可能存在考虑不全面的情况，导致符合条件的点未写全． ②【利用平移的性质分类讨论点的存在性】 【3-1】．如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C． (1)直接写抛物线的解析式和对称轴； (2)将直线向上平移，得到过原点O的直线是直线上任意一点．在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，直线 (2)存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．当点时，点；当点时，点或 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，平移的性质，平行四边形的判定和性质． （1）根据点、的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）分别以已知线段为边、为对角线，画出图形，利用平行四边形的性质和平移求点的坐标和点的坐标即可． （1）解：（1）将、代入得， ， 解得， 抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线； （2）存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 理由如下： ∵抛物线的解析式为， ∴， ∴设解析式为，代入得，解得， ∴解析式为， ∵将直线向上平移，得到过原点O的直线， ∴解析式为， ∴设， （Ⅰ）若平行四边形以为边时，则， ∴在直线上， 点是直线与对称轴的交点，即， 当四边形是平行四边形时， ∴平移到与平移到的平移方式一致， ∵向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度到， ∴向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度到， 当四边形是平行四边形时， ∴平移到与平移到的平移方式一致， ∵向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度到， ∴向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度到； （Ⅱ）若平行四边形以为对角线时，与互相平分，即与中点是同一个点， 设，， ∵，， ∴中点坐标为，中点坐标为， ∴， ， ，， 综上所述，存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 当点的坐标为时，点的坐标为或； 当点的坐标为时，点的坐标为． 【3-3】综合运用：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，过点C作轴，交抛物线于点D，点E为抛物线上的点，且在的上方，作轴，交于点M．   (1)求抛物线的解析式； (2)当 时，求点E的坐标； (3)在平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点C，D，B，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点 E的坐标为 ；(3)存在，点N的坐标为或或． 【分析】（1）直接用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为：，设点，则点，由，求得，即可求解； （3）先求得抛物线的对称轴为直线：，再求得，分两种情况根据平移的性质即可求解． （1）解：将点，代入中， 得：， 解得：， ∴ 抛物线的解析式为：； （2）解： ， 设直线的解析式为：， 将点，代入中， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，则点， ， 解得：， 此时，， ∴点 E的坐标为 ； （3）解：存在， 由题意，可知抛物线的对称轴为直线： ， ∵轴，点， ∴， ∴， ∵点，， ， 由平行四边形的对边平行且相等的性质，可通过平移已知顶点来找到点N，如图：   当为边时，点由点向右平移4个单位长度， ∴点向右平移4个单位长度得到， ∴四边形是平行四边形， ∴， 点由点向左平移4个单位长度， ∴点向左平移4个单位长度得到， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当为对角线时，点由点向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度， ∴点向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到， 则四边形是平行四边形， ∴， 综上所述，点N的坐标为或或． 【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定，平移的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． ③【利用平行四边形对边相等的性质分类讨论点的存在性】 7．在平面直角坐标系中，二次函数与直线交于A、B两点，其中点B的坐标为，抛物线的顶点C在x轴上． (1)求二次函数的表达式； (2)点p为线段上的一个动点（点p不与A、B两点重合），过点p作轴交抛物线于点E，设线段的长为h，点p的横坐标为t，当t取何值时，h有最大值？最大值是多少？ (3)点D为直线与对称轴的交点，在线段上是否存在一点p，使得四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点p的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的表达式为 (2)当为时，的最大值为 (3)存在一点，使得四边形是平行四边形，此时 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质与判定，根据背景图形得出是解题关键． （1）将点代入函数解析式，求出的值即可得出抛物线解析式； （2）设点的横坐标为，可表达点和点的坐标，进而可得出线段的长，利用二次函数的性质可得出的最大值； （3）令，可得点的坐标，根据题意可知，，若四边形是平行四边形，只需要即可，由题可知，抛物线的对称轴为直线，即点的横坐标为1，由此可得出的点和点的坐标，进而求出的长，由（2）得出的长，由此建立方程，即可得出的值，进而可求出点的坐标． 解：（1）将点代入函数解析式， ，解得， 二次函数的表达式为； （2）令，解得或， ． 设的横坐标为， ，， ． ， 当为时，的最大值为． （3）存在，理由如下： 抛物线的顶点为， ， 点为直线与对称轴的交点， ， ；轴， ， 若四边形是平行四边形，则只需， 由（2）知，， ，解得（舍或， ． 综上，存在一点，使得四边形是平行四边形，此时． 【题型4】菱形存在性问题 ①【设主动点与从动点利用菱形性质并分类讨论点的存在性】 【4-1】（24-25九年级上·重庆开州·期中）如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内的是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)当时，的面积有最大值为1，此时；(3)存在，、、    、 【分析】本题综合考查了二次函数的解析式、二次函数与面积以及特殊四边形问题，掌握二次函数的相关性质是解题关键． （1）将点和点代入即可求解； （2）求出直线的解析式，设设点，则，根据即可建立函数关系式求解； （3）设，分类讨论为对角线时，为对角线时，为对角线时，三种情况即可求解； （1）解：将点和点代入得： ，解得， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：过点作轴，如图所示： 由得点， 设直线的解析式为：， 将代入可得： 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，则 ∴当，即点时，有最大值，且最大值为； （3）解：设， 为对角线时， ， 解得：（舍去的情况）， ∴； 为对角线时， ， 解得：或 ∴、； 为对角线时， ， 解得：（舍去的情况）， ∴； 综上所述：符合条件的所有点的坐标为、、    、 ②【设点并利用菱形性质并分类讨论点的存在性】 【4-2】（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在原点的左侧，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)直接写出二次函数的解析式_________________________； (2)当点P运动到什么位置时，四边形面积最大？请求出四边形面积的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)连接，，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为四边形的面积最大值为 (3)存在， 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）过点P作y轴的平行线与交于点Q，设，先求出直线的解析式为，再利用求解即可； （3）设点，交于点E，若四边形是菱形，则，连接，则，，可得，进而求解． （1）解：将两点的坐标代入得 解得 所以二次函数的表达式为， 故答案为：； （2）解：如图，过点P作y轴的平行线与交于点Q， 设，直线的解析式为， 则， 解得 直线的解析式为， 则， ， ， ， 当时，四边形的面积最大， 此时，点P的坐标为四边形的面积最大值为； （3）解：存在．理由如下： 如图，设点，交于点E， 若四边形，是菱形，则， 连接，则，， ， 解得，（不合题意，舍去）， 【点拨】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的对称性，会用铅锤法求三角形的面积是解题的关键． 【4-3】（24-25九年级上·云南昆明·开学考试）如图，抛物线与x轴交于A、两点，与y轴交于点，点是抛物线上的一动点． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)如图，当点在直线上方的抛物线时，过点P作y轴的平行线交直线于点E．求面积的最大值； (3)如图，当点在直线上方的抛物线时，过点P作y轴的平行线交直线于点E．点M是平面直角坐标系内一点，是否存在点P，使得以点B，E，P，M为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；点M的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由求解即可； （3）分类讨论，当四边形为菱形时，此时，当四边形为菱形时，此时，当四边形为菱形时，此时，利用菱形性质求解即可． 解：（1）∵抛物线经过， ∴，解得 ∴该抛物线所对应的函数解析式为 （2）设直线的解析式为 把，代入得：，解得： ∴直线的解析式为 设，则 当时，； （3）存在； ∵抛物线与x轴交于A、两点 当时，解得：或5 ∵ ∴ ∵ 当四边形为菱形时，此时 ∴垂直平分 ∴点P与点E关于x轴对称 由（2）得：， ，即 解得：（舍） ∵点M与点B关于对称 ∴； 当四边形为菱形时，此时 ∴点P与点A重合 ； 当四边形为菱形时，此时 由（2）得： 解得：（舍） 综上，点M的坐标为或或 【点拨】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 【题型5】矩形存在性问题 ①【设主动点与从动点得用矩形性质并分类讨论点的存在性】 【5-1】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，当时，求点坐标； (3)点是轴上的一个动点，点是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点、，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出的坐标；若不存在说明理由． 【答案】(1)； (2)；(3)存在，或，或，或，，使得以为顶点的四边形是矩形． 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，可证，得到，，即可得，过点作的垂线交于点，交抛物线于点，可知，，利用中点坐标公式可得，再利用待定系数法求出直线的函数解析式，最后联立两函数解析式解方程组即可求解； （）先求出顶点的坐标，设，，分为矩形的对角线、为矩形的对角线和为矩形的对角线三种情况，画出图形，利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解． （1）解：设抛物线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，则，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 过点作的垂线交于点，交抛物线于点， ∵，， ∴，， 即点为的中点， ∴， 即， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 由，解得，， ∴； （3）解：存在． ∵， ∴， 设，， ①当为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴， 整理得，， 解得， ∴ ∴对角线交点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴； ②当为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴， 整理得，， ∴， ∴， ∴对角线交点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴； ③当为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴， 整理得，， 解得，， ∴或， ∵对角线交点的坐标为， ∴当时，，， ∴，， ∴； 当时，，， ∴，， ∴； 综上，存在，或，或，或，，使得以为顶点的四边形是矩形． 【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，二次函数与一次函数的交点问题，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． ②【设主动点与从动点得用勾股定理并分类讨论点的存在性】 【5-2】（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为t； (1)分别求直线和这条抛物线的解析式； (2)若点在第四象限，若，求此时点的坐标； (3)点是平面直角坐标系中的一点，当点在第四象限时，是否存在这样的点，使得以A、C、B、为顶点组成的以为边的矩形?若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，；(2)；(3) 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）设，将代入两个函数解析式即可求出答案； （2）设，根据则计算即可； （3）分当时；时；三种情况依次进行讨论即可． 【详解】（1）解：设， 将代入， ， 解得， 故， ， 将代入， ， 解得， ； （2）解：设， 则， ，整理得，， ，， ， ∴； （3）解：， ， ， ①当时． ， ， . ， . 或（舍）， (没在第四象限，舍去)， ②时． ， ， ， ， 而， ， ， ， 时， ， ， ， 而， ， 矩形时，， 综合得． ③【设主动点与从动点得用勾股定理并分类讨论点的存在性】 【5-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）综合与探究 如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点、两点，且点的坐标为，与轴交于点， (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，且，则点的坐标为______； (3)点为线段上任意一点，过点作轴于点，直线交抛物线于点，求线段的最大值； (4)点是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)最大值为 (4)存在， 【分析】（1）先由题意得出的坐标，再用待定系数法求出解析式即可； （2）先设出的坐标，然后将的面积表示出来，根据题意列出方程，解方程即可求解； （3）表示出，根据二次函数的性质，即可求解． （4）根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点的坐标． （1）解：∵抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A、B两点，且A点的坐标为，与y轴交于点， ∴ 设抛物线解析式为 将代入得， 解得： ∴抛物线解析式为 当时， ∴, （2）解：∵ ∴ ∴ ∵点为抛物线上一点，且 设， ∴ ∵ ∴ ∵为顶点， ∴ ∴ 解得： ∴或 （3）解：设直线的解析式为，代入 ∴ 解得： ∴ 设，则 ∴ 当时，线段的最大值为 （4）存在， ∵抛物线对称轴为直线，设，，又 当为对角线时， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：； ∴ ∴ 当为对角线时， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：， ∴ ∴ 当为矩形的对角线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：或； ∴或； ∴ 综上所述， 【点拨】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，线段问题，特殊四边形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【题型6】正方形存在性问题 ①【设主动点得从动点并利用线段相等建立方程分类讨论点的存在性】 【6-1】（2024·陕西·一模）如图，抛物线的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A、B的坐标； (2)C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，；(2)存在这样的点C，使得四边形是正方形，点C的坐标为或 【分析】（1）将二次函数化为顶点式，然后求出点A的坐标；把代入抛物线的解析式，求出，得出点B的坐标即可； （2）分两种情况进行讨论，当在x轴下方时，当M在x轴上方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， 当时，， ． （2）解：存在，理由如下： 由题意四边形是正方形，则是以点A为直角顶点的等腰直角三角形． 设， ①当在x轴下方时，如图1，过点C作轴于E，此时是等腰直角三角形， ， ， （舍去），， 此时． ②当M在x轴上方时，如图2，过点C作轴于F， 同理可得：， ， ，（舍去）， 此时． 综上所述，存在这样的点C，使得四边形是正方形，此时点C的坐标为或． 【点拨】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，正方形的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． ②【设点利用线段相等建立方程分类讨论点的存在性】 【6-2】（2024·陕西汉中·二模）如图，抛物线与x轴交于、两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点N在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点H，使得四边形是正方形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在的坐标为或时，使得四边形是正方形. 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质、二次函数综合问题． （1）利用将、代入，利用待定系数法即可求解； （2）由题意，设，四边形是正方形，可知，得则，分两种情况：当时，当时，分别求解即可． （1）解：根据题意，将、代入， 得：，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）存在的坐标为或时，使得四边形是正方形，理由如下： 由题意，设， ∵，四边形是正方形，轴，则， ∴， 则， 即：， 当时， 解得：，（舍去）， 则，即； 当时， 解得：，（舍去）， 则，即； 综上，存在的坐标为或时，使得四边形是正方形． ③【设点利用中点坐标公式建立方程分类讨论点的存在性】 【6-3】（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，已知抛物线的图像与坐标轴分别交于三点，连接，点M是的中点，抛物线的对称轴交x轴于点F，作直线． (1)直接写出下列各点的坐标：F______，M______； (2)若点P为直线下方抛物线上动点，过点P作轴，交直线于点Q，当为直角三角形时，求点P的坐标； (3)若点N是x轴上一动点，则在坐标平面内是否存在点E，使以点为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点E的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点P的坐标为：（）， (3)存在，或 【分析】（1）由二次函数表达式和坐标轴上点的特点即可得出答案； （2）由点的坐标求出直线解析式，并分类讨论直角顶点即可得出答案； （3）分类讨论对角线的情况，结合正方形的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：的对称轴为：， ， 当时， 或， ， 当时，， ， 点M是的中点， ； （2）由（1）可得直线的表达式为：， 轴， ， 故点不可能是直角顶点， 若，如图， 则轴， 把代入得 ， 解得：（舍去），， ， 若，如图过点作， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， 与点关于直线对称， 设直线的表达式为， 把代入得 ， 直线的表达式为， ， 解得：（舍去），， 把代入得 ， ， 综上所述，点的坐标为，； （3），， ， 设，， 当时， 直线的表达式为：， 则设直线的表达式为：， 把代入得， 则直线的表达式为：， 把代入得， 则， ， ， 当为顶点的四边形是正方形时， 则解得， ， 当时， 直线的表达式为：， 则设直线的表达式为：， 把代入得， 则直线的表达式为：， 把代入得， 则与重合，舍去不符合题意； 当时，则， 则可设，同理可得 则解得， ， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【点拨】本题考查了二次函数与多边形的存在性问题，涉及二次函数的图象与性质、正方形的判定与性质、直角三角形的判定、中点坐标公式等知识，掌握并灵活运用相关知识是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.18 二次函数与存在性问题（6大知识点6类题型）（方法梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】直角三角形存在性问题常用方法： 【方法1】相交两直线斜率乘积为探究点的存在性； 【方法2】利用或构造一线三直角证明全等或相似探究点的存在性； 【方法3】利用勾股定理逆定理探究点的存在性； 【知识点二】等腰直角三角形存在性问题常用方法： 【方法1】利用等腰直角三角形性质探究点的存在性； 【方法2】利用“一线三直角”模型辅助探究点的存在性. 【知识点三】平行四边形存在性问题常用方法： 【方法1】利用两条对角线端点横（纵）坐标和分别相等建立方程模型探究点的存在性；步骤如下： （1）写出或设出平行四边形四个顶点的坐标； （2）以对角线为分类标准，分成三种情况讨论，利用上述模型，求出四个顶点的坐标； （3）检验求出的点是否符合题意，即能否构成平行四边形 【方法2】利用平移性质探究点的存在性. 【知识点四】菱形存在性问题常用方法： 【方法1】设置一个主动点，得到另一个从动点，利用中点坐标公式或菱形性质探究点的存在性； 【方法2】利用转化思想，将菱形存在性问题转化为等腰三角形存在性问题，再利用解决等腰三角形存在性问题的方法求出主动点坐标，继而利用平移变换或线段中点坐标公式，求出从动点的坐标 【知识点五】矩形存在性问题 【方法1】设置一个主动点，得到另一个从动点，利用中点坐标公式或矩形性质探究点的存在性； 【方法2】利用转化思想，将矩形存在性问题转化为等腰三角形存在性问题，再利用解决等腰三角形存在性问题的方法求出主动点坐标，继而利用平移变换或两点之间距离公式，求出从动点的坐标 【知识点六】正方形存在性问题 二次函数综合题中的正方形存在性问题一般涉及三动顶点、一定顶点，且其中一动顶点在某条线上运动，设为第一动顶点，另两个动顶点随第一动顶点的变化而变化，即只要确定第一动顶点的位置，就可确定其他两个动顶点的位置坐标，解决这类问题时，可利用转化的数学思想，将正方形存在性问题转化为腰直角三角形存在性问题，利用“一线三直角”模型解题。 【题型目录】 【题型1】直角三角形存在性问题...............................................2 【题型2】等腰直角形三角存在性问题...........................................3 【题型3】平行四边形存在性问题...............................................5 【题型4】菱形存在性问题.....................................................7 【题型5】矩形存在性问题.....................................................8 【题型6】正方形存在性问题..................................................10 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】直角三角形存在性问题 ①【利用勾股定理逆定理分类讨论点的存在性】 【1-1】（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，抛物线经过两点，与x轴交于另一点B，连接．在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得由点M，A，C构成的是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． ②【利用转化思想与分类讨论点的存在性】 【1-2】（22-23九年级上·四川泸州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过，，三点，点的坐标是，点的坐标是，动点在抛物线上． (1) ， ，点的坐标为 ；(直接填写结果) (2)是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由； (3)若动点在直线下方的抛物线上运动，求的边上的高的最大值． 参考知识：①设，则；②若直线与直线垂直，则． ③【利用直线斜率乘积为-1得到90度与分类讨论点的存在性】 【1-3】（23-24九年级上·安徽宣城·期末）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)求证：平分； (3)抛物线的对称轴上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【题型2】等腰直角三角形存在性问题 ①【构造一线三直角分类讨论点的存在性】 【2-1】（2024·新疆昌吉·模拟预测）【建立模型]（1）如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，．求证：； 【类比迁移]（2）如图2，在中，，，与轴交于点，点C的坐标为，点A的坐标为，求B，D两点的坐标； 【拓展延伸]（3）如图3，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点M，使是以为斜边的等腰直角三角形?若存在，请求出点M的坐标?若不存在，请说明理由． ②【利用等腰三角形性质与分类讨论点的存在性】 【2-2】（2023·山东聊城·二模）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为点，交直线于点． (1)求抛物线的表达式； (2)当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由； (3)点在运动过程中，能否使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标． ③【构造一线三直角求点的坐标并讨论点的存在性】 【2-3】（2023·广东揭阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接．动点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．     (1)求抛物线的表达式； (2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型3】平行四边形存在性问题 ①【利用平行四边形对角线两端点横（纵）坐标和相等建立模型分类讨论点的存在性】 1．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，试判断的形状，并说明理由； (3)若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使以A，B，Q，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． ②【利用平移的性质分类讨论点的存在性】 【3-1】．如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C． (1)直接写抛物线的解析式和对称轴； (2)将直线向上平移，得到过原点O的直线是直线上任意一点．在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【3-3】综合运用：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，过点C作轴，交抛物线于点D，点E为抛物线上的点，且在的上方，作轴，交于点M．   (1)求抛物线的解析式； (2)当 时，求点E的坐标； (3)在平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点C，D，B，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． ③【利用平行四边形对边相等的性质分类讨论点的存在性】 【3-4】在平面直角坐标系中，二次函数与直线交于A、B两点，其中点B的坐标为，抛物线的顶点C在x轴上． (1)求二次函数的表达式； (2)点p为线段上的一个动点（点p不与A、B两点重合），过点p作轴交抛物线于点E，设线段的长为h，点p的横坐标为t，当t取何值时，h有最大值？最大值是多少？ (3)点D为直线与对称轴的交点，在线段上是否存在一点p，使得四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点p的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型4】菱形存在性问题 ①【设主动点与从动点利用菱形性质并分类讨论点的存在性】 【4-1】（24-25九年级上·重庆开州·期中）如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内的是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． ②【设点并利用菱形性质并分类讨论点的存在性】 【4-2】（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在原点的左侧，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)直接写出二次函数的解析式_________________________； (2)当点P运动到什么位置时，四边形面积最大？请求出四边形面积的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)连接，，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【4-3】（24-25九年级上·云南昆明·开学考试）如图，抛物线与x轴交于A、两点，与y轴交于点，点是抛物线上的一动点． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)如图，当点在直线上方的抛物线时，过点P作y轴的平行线交直线于点E．求面积的最大值； (3)如图，当点在直线上方的抛物线时，过点P作y轴的平行线交直线于点E．点M是平面直角坐标系内一点，是否存在点P，使得以点B，E，P，M为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型5】矩形存在性问题 ①【设主动点与从动点得用矩形性质并分类讨论点的存在性】 【5-1】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，当时，求点坐标； (3)点是轴上的一个动点，点是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点、，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出的坐标；若不存在说明理由． ②【设主动点与从动点得用勾股定理并分类讨论点的存在性】 【5-2】（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为t； (1)分别求直线和这条抛物线的解析式； (2)若点在第四象限，若，求此时点的坐标； (3)点是平面直角坐标系中的一点，当点在第四象限时，是否存在这样的点，使得以A、C、B、为顶点组成的以为边的矩形?若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． ③【设主动点与从动点得用勾股定理并分类讨论点的存在性】 【5-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）综合与探究 如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点、两点，且点的坐标为，与轴交于点， (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，且，则点的坐标为______； (3)点为线段上任意一点，过点作轴于点，直线交抛物线于点，求线段的最大值； (4)点是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型6】正方形存在性问题 ①【设主动点得从动点并利用线段相等建立方程分类讨论点的存在性】 【6-1】（2024·陕西·一模）如图，抛物线的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A、B的坐标； (2)C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． ②【设点利用线段相等建立方程分类讨论点的存在性】 【6-2】（2024·陕西汉中·二模）如图，抛物线与x轴交于、两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点N在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点H，使得四边形是正方形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． ③【设点利用中点坐标公式建立方程分类讨论点的存在性】 【6-3】（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，已知抛物线的图像与坐标轴分别交于三点，连接，点M是的中点，抛物线的对称轴交x轴于点F，作直线． (1)直接写出下列各点的坐标：F______，M______； (2)若点P为直线下方抛物线上动点，过点P作轴，交直线于点Q，当为直角三角形时，求点P的坐标； (3)若点N是x轴上一动点，则在坐标平面内是否存在点E，使以点为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点E的坐标：若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$