第十章 二元一次方程组 培优讲义2024－2025学年人教版数学七年级下册

二元一次方程组培优讲义 一、【知识储备】 1.二元一次方程组的解法: 二元一次方程组的解题思路就是消元, 通过消元把二元转化为一元. 消元主要分为代入消元法和加减消元法, 这是解二元一次方程组的基本方法. 2.三元一次方程组的解法 (基本步骤) ①利用代入法或加减法, 把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组, 消去两组中的同一个未知数, 得到关于另外两个未知数的二元一次方程组; ②解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程,求出第三个未知数的值,把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解. 二、【精讲点拨】 题型一 二元一次方程组的解法 例 1 解方程组 (1) (2) 练习 解方程组 (1) (2) 题型二 特殊二元一次方程组的巧解 讲点 1 整体代入法 例 2 解方程组 讲点 2 直接加减法 当方程组中未知数的系数具有轮换特点时,即类似于 的形式,可以直接将两个方程相加、减,反复两次,然后联立得到新方程,从而巧妙地迅速求解,我们称之谓反复加减法. 例 3 解方程组 讲点 3 整体叠加法 思路点拨: 两个方程的第一项未知数 的系数相同,并且都含有 的倍数,故可将 视为一个整体,把两方程相加,先求出 的值,尔后将 的值分别代入两方程即可得解. 例 4 解方程组 讲点 4 消常数项法 例 5 解方程组 讲点 5 换元法 例 6 解方程组 题型三 三元一次方程组的解法 讲点1 三元一次方程组之一般型 (注意消未知元的选择) 例 7 解方程组 练习 解下列方程组 (1) (2) 技巧点拨: 方程组 (2) 中没有一个未知数的系数的绝对值是 1,所以考虑用加减消元法,选择消去系数较简单的未知数 ,由①和②,①和③两次消元,得到关于 的二元一次方程组,最后求 . 讲点 2 三元一次方程组之特殊型 1.有表达式, 用代入法型 例 8 解方程组 2. 轮换方程组, 求和作差型 技巧点拨: 每个方程未知项的系数和相等; 每一个未知数的系数之和也相等, 即系数和相等.具备这种特征的方程组, 我们给它定义为“轮换方程组”, 可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解. 例 9 解方程组 3.遇比例式找关系式, 遇比设元型 观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系, 根据以往的经验, 看见比例式就会想把比例式化成关系式求解. 例 10 解方程组 练习 解方程组 (1) (2) 题型四 含参二元一次方组的解法 讲点 1 方程组有相同解 技巧点拨: 用两个不含参数的二元一次方程即可确定二元一次方程组的解. 例 11 若二元一次方程组 和 有相同的解,则 _____, _____. 练习 已知关于 的方程组 与 有相同的解,求 的值. 讲点 2 参数法解方程组 技巧点拨: 分清未知数与参数, 用参数表示方程的解. 例 12 关于 的二元一次方程组 的解也是二元一次方程 的解,求 的值. 练习 已知关于 的方程组 ,求 的值. 讲点 3 含参方程组错解问题 例 13 解方程组 时,本应解出 ,由于看错了系数 ,而得到解 ,求 的值. 练习 解方程组 时,由于甲看错了系数 ,而解得 ; 乙看错了系数 ,而解得 ; 若按照正确的 计算,则原方程组的解是多少? 题型五 已知二元一次方程组求代数式的值 例 14 若二元一次方程组 的解为 ,则 _________. 练习 已知关于 的方程组 的解满足 ,求 的值. 三、【当堂巩固】 1. 一个两位数, 把其十位数字与个位数字交换位置后, 所得的数比原数多 9 , 则这样的两位数的个位数字与十位数字的差是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 9 2. 若方程组 仅有一组解,则 的取值是 ( ) A. 可以取任何实数 B. C. D. 以上均不对 3. 二元一次方程 的正整数解个数是( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 4. 如果关于 的二元一次方程组 的解为 ,则方程组 的解为( ) A. B. C. D. 5. 关于 、 的二元一次方程组 的解满足 ,则 _____. 6. 关于 的二元一次方程组 的解是正整数,则整数 值为_____. 7. 已知关于 二元一次方程组 的解为 ,则关于 的二元一次方程组 的解是_____. 8. 已知关于 的方程组 ,给出下列结论: ① 是方程组的解; ②无论 取何值, 的值都不可能互为相反数; ③ 当 时,方程组的解也是方程 的解; ④ 的值都为自然数的解有 4 对, 其中正确的有_____. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$