精品解析：宁夏中卫市中宁县2024-2025学年上学期全县统测九年级数学学科质量监测试卷

中宁县九年级数学学科质量监测试卷 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题(本题共8小题共24分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么等于（ ）． A. B. C. D. 3. 下列命题是真命题的是（ ） A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 菱形的对角线相等 C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D. 四边都相等的四边形是矩形 4. 在一个不透明的袋子中装有个小球，小球除颜色外完全相同，其中黑球个，红球个，从中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红色的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 且 6. 若四边形两条对角线互相垂直，则顺次连接其各边中点得到的四边形是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 梯形 D. 平行四边形 7. “指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．在一幅长，宽的刺绣风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为（风景画四周的金色纸边宽度相同），则列出的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形ABCD的边长是8，对角线交于点O，∠ABC=120°，若点E是AB的中点，点M是线段AC上的一个动点，则BM+EM的最小值为（　　） A. 4 B. 4 C. 8 D. 16 二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分) 9. 若a，b，c，d是成比例线段，其中，则线段d的长为_______________cm． 10. 在中，，，点为的中点，则的长为______． 11. 边长为的菱形，一条对角线长是，则菱形的面积是______． 12. 在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为____________． 13. 如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，若杯内水面刚好经过点，且，则水杯底面与水平面夹角的大小为________． 14. 一元二次方程的两根为a与β．则的值是________． 15. 某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），若比赛共进行了28场，则参赛的班级有______个． 16. 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为____． 三、解答题(本题共10 小题，其中 17~22题每小题6分，23、24 题每小题8分，25、26 题每小题 10分，共72分) 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 某商场举办抽奖活动：在一个不透明的箱子中放入个大小材质均相同的小球，其中有4个球上分别写有“喜”、“迎”、“亚”、“运”四个字，其余球上都无字，顾客从箱子中摸出一个球，若有字则能获得一份小礼品． （1）获得小礼品的概率是______． （2）取出分别写有“喜”、“迎”、“亚”、“运”四个字的小球，放入一个不透明的袋子里，从中取出一个球，不放回，再从中取出一个球，求两次取出的球能组成“亚运”的概率．（请用列表或树状图分析）． 19. 关于x的一元二次方程：有一个根是3，求它的另一个根和k的值． 20. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE//AC，CE//BD， 求证：四边形OCED是菱形． 21. 如图，在中，、、分别是、上的点，且，，，，求和的长． 22. 已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么．理由如下：(第一步)，(第二步)． （1）解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中应用了__________基本性质； （2）应用此解题过程中的思路和方法解决问题∶已知，求的值． 23. “阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． （1）求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定位多少元？ 24. 在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空： ________， ________（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 25. 阅读理解并解答： 【方法呈现】 （1）配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有着广泛的应用． 例如：， ∵ ． 则这个代数式的最小值为_______，这时相应的x的值是________． 【尝试应用】 （2）求代数式的最小或最大值． 【拓展提高】 （3）已知a、b、c是的三边长，满足，求c的取值范围． 26. 综合与实践，数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动．如图1．已知矩形纸片，其中． （1）操作判断 将矩形纸片按图1折叠，使点B落在边上的点E处，可得到一个的角，请你写出一个的角， （2）探究发现 将图1的纸片展平，把四边形剪下来如图2，取边的中点M，将沿折叠得到，延长交于点N，判断的周长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由 （3）拓展应用 改变图2中点M的位置，令点M为射线上一动点，按照(2)中方式将沿折叠得到，所在直线交于点N，若点N为的三分点，请直接写出此时的长， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中宁县九年级数学学科质量监测试卷 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题(本题共8小题共24分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数． 由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A．该方程中含有两个未知数x、y，所以它不是一元二次方程．故本选项错误； B．该方程符号一元二次方程的定义，所以它是一元二次方程．故本选项正确； C．该方程属于分式方程，不是整式方程．故本选项错误； D．该方程中当a=0时，它不是关于x的方程．故本选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2. 如果，那么等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可得，然后再代入计算即可；掌握比和除法的关系以及分式的约分是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即． 故选C． 3. 下列命题是真命题的是（ ） A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 菱形的对角线相等 C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D. 四边都相等的四边形是矩形 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理，菱形的性质，正方形的判定判断即可得到结论． 【详解】A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形，故该选项正确，符合题意； B. 菱形的对角线互相垂直平分，故该选项不正确，不符合题意； C. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故该选项不正确，不符合题意； D. 四边都相等的四边形是菱形，故该选项不正确，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理． 4. 在一个不透明的袋子中装有个小球，小球除颜色外完全相同，其中黑球个，红球个，从中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率，用红球数除以球的总个数即可得到摸出的小球是红色的概率，掌握概率的计算公式是解题的关键． 【详解】解：从中摸出一个小球，共有种可能，其中摸出的小球是红色的情况有种， 故摸出的小球是红色的概率是， 故选：． 5. 关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，由于的取值范围不能确定，故应分和两种情况进行解答,注意分和 两种情况进行讨论是解题的关键． 【详解】解：当时,解得， 当时，此方程是一元二次方程， ∵关于的方程有实数根, 解得 综上可知，的取值范围是， 故选：． 6. 若四边形两条对角线互相垂直，则顺次连接其各边中点得到的四边形是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 梯形 D. 平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，三角形中位线定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 根据题意画出图形，由三角形中位线定理以及矩形的判定定理即可求解． 【详解】解：如图所示，四边形的对角线，点G，F，E，H分别为边，，，的中点， 在中， 分别为，的中点， ， ， 在中， 分别为，的中点， ， ， ， ， 为平行四边形， 又∵在中， 分别为，的中点， ， 又，， ， ∴四边形为矩形． 故选B． 7. “指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．在一幅长，宽的刺绣风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为（风景画四周的金色纸边宽度相同），则列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程．根据矩形的面积长宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（风景画的长个纸边的宽度）（风景画的宽个纸边的宽度）整个挂图的面积，由此可得出方程． 【详解】解：依题意，设金色纸边的宽为， 依题意，得：， 故选：C． 8. 如图，菱形ABCD的边长是8，对角线交于点O，∠ABC=120°，若点E是AB的中点，点M是线段AC上的一个动点，则BM+EM的最小值为（　　） A. 4 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】连接DE交AC于M，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B和D关于AC对称，则MD = MB， ME十MB=ME+MD≥DE，即DE就是ME十M B的最小值． 【详解】解：连接DE交AC于M， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则MD = MB， ME十MB=ME+MD≥DE，即DE就是ME十MB的最小值， ∵∠ABC=120°，∠BAD = 60°，AD＝ AB＝8，△ABD是等边三角形， ∵点E是AB的中点， ∴AE= BE＝4，DE⊥AB(等腰三角形三线合一的性质)， 在Rt△ADE中，由勾股定理可得： ， 故选：B． 【点睛】本题考查菱形的性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理的应用，解题的关键确定M的位置． 二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分) 9. 若a，b，c，d是成比例线段，其中，则线段d的长为_______________cm． 【答案】5 【解析】 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义，将a，b及c的值代入即可求得d． 【详解】解：已知a，b，c，d是成比例线段， 根据比例线段的定义得：， 代入， 得： 解得：． 故线段d的长为． 故答案为：5． 【点睛】本题考查线段成比例的问题．根据线段成比例的性质求解即可． 10. 在中，，，点为的中点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求得的长．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：在中，，点为的中点， ∴是斜边上的中线， 又∵， ∴， 故答案为：． 11. 边长为的菱形，一条对角线长是，则菱形的面积是______． 【答案】##24平方厘米 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的性质．根据菱形对角线垂直且互相平分，即可得出菱形的另一条对角线的长，再利用菱形的面积公式求出即可． 【详解】解：如图所示： 设菱形中，对角线， ∵四边形是菱形，对角线， ∴， ， ， ∴菱形的面积为∶．        故答案为：． 12. 在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为____________． 【答案】15 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，从而估计出概率，再根据概率公式列出方程求解． 【详解】解：由题意可得 ， 解得，． 经检验，是原方程的解， ∴a的值约为15． 故答案为：15． 【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的概率计算公式列出方程． 13. 如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，若杯内水面刚好经过点，且，则水杯底面与水平面夹角的大小为________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，矩形的性质，三角形内角和定理，根据题意可知，根据平行线的性质得出，根据矩形的性质得出，根据三角形内角和求出求出结果即可． 【详解】解：延长交于点G，如图所示： ∵，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 一元二次方程的两根为a与β．则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的求值，一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程的两个根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系，是解答本题的关键． 把变形为，然后利用根与系数的关系求得，，，最后代入到中，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为a与β． ∴，， ∴． 故答案为：． 15. 某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），若比赛共进行了28场，则参赛的班级有______个． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际运用，设参赛的班级有个，根据“每两班之间都赛一场，比赛共进行了28场，”列式求解，即可解题． 【详解】解：设参赛的班级有个， 由题意可得，， 整理得，解得，（不合题意，舍去）， 故答案为：． 16. 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质结合菱形的性质可得∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求得结果. 【详解】解：∵AECF为菱形， ∴∠FCO=∠ECO， 由折叠的性质可知， ∠ECO=∠BCE，又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°， ∴∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°， 在Rt△EBC中，EC=2EB， 又EC=AE，AB=AE+EB=3， ∴EB=1，EC=2， ∴ 故答案为： 【点睛】解题的关键是根据折叠以及菱形的性质发现特殊角，根据30°的直角三角形中各边之间的关系求得BC的长． 三、解答题(本题共10 小题，其中 17~22题每小题6分，23、24 题每小题8分，25、26 题每小题 10分，共72分) 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）因式分解法解方程即可； （2）公式法解方程即可； 【小问1详解】 解：移项得， 提公因式得， 即或， 解得，； 【小问2详解】 ， 解： 所以 所以， 18. 某商场举办抽奖活动：在一个不透明的箱子中放入个大小材质均相同的小球，其中有4个球上分别写有“喜”、“迎”、“亚”、“运”四个字，其余球上都无字，顾客从箱子中摸出一个球，若有字则能获得一份小礼品． （1）获得小礼品的概率是______． （2）取出分别写有“喜”、“迎”、“亚”、“运”四个字的小球，放入一个不透明的袋子里，从中取出一个球，不放回，再从中取出一个球，求两次取出的球能组成“亚运”的概率．（请用列表或树状图分析）． 【答案】（1） （2） 列表如下： 喜 迎 亚 运 喜 （喜，迎） （喜，亚） （喜，运） 迎 （迎，喜） （迎，亚） （迎，运） 亚 （亚，喜） （亚，迎） （亚，运） 运 （运，喜） （运，迎） （运，亚） 两次取出的小球能组成的结果共种， 能组成“亚运”的有2种， 能组成“亚运”的概率为：． 【解析】 【分析】（1）依据概率公式求解即可； （2）列出表格，根据表格中所列的结果，结合概率公式求解． 【小问1详解】 解：从箱子中摸出一个球共有中可能结果， 抽到带字小球的可能有4种， 获得小礼品的概率是： 故答案为：； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了简单随机抽样和无放回的随机抽样；解题的关键掌握概率公式． 19. 关于x的一元二次方程：有一个根是3，求它的另一个根和k的值． 【答案】方程另一个根为1，的值为1． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 根据一元二次方程根与系数的关系即可得． 【详解】解：设方程的另一个根为， 则， 解得， ∴方程另一个根为1，的值为1． 20. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE//AC，CE//BD， 求证：四边形OCED是菱形． 【答案】 证明：∵DE//AC，CE//BD， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC=OD=AC=BD ∴四边形OCED是菱形． 【解析】 【分析】首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键 21. 如图，在中，、、分别是、上的点，且，，，，求和的长． 【答案】， 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，代值求出，则，同理可得，由此求出，则． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键． 22. 已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么．理由如下：(第一步)，(第二步)． （1）解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中应用了__________基本性质； （2）应用此解题过程中的思路和方法解决问题∶已知，求的值． 【答案】（1）等式；分式． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用等式和分式基本性质解答即可； （2）由题意可设，由此得出，，，所以得出，，进而得出答案． 本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：依题意，根据题意可知，解题过程在第一步中应用了等式的基本性质，在第二步解题过程中应用了分式的基本性质； 故答案为：等式；分式． 【小问2详解】 解：依题意，设， 则，，， ． 23. “阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． （1）求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定位多少元？ 【答案】（1）该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为 （2）销售单价应定位元 【解析】 【分析】（1）设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x，利用该基地2022年年底“阳光玫瑰”的种植面积=该基地2020年年底“阳光玫瑰”的种植面积乘上（该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率）的平方，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克，利用总利润=每千克的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得： ∵“阳光玫瑰”的售价为20元，使消费者尽可能获得实惠 ∴销售单价应定位元． 24. 在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空： ________， ________（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，， 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，勾股定理，一元二次方程的应用等知识．熟练掌握列代数式，勾股定理，一元二次方程的应用是解题的关键． （1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可； （3）根据题意可得的面积为长方形的面积减去五边形的面积，再根据三角形的面积公式代入相应线段的长即可得到方程，再解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∵， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由勾股定理得， ， 解得， ∴当t=1秒时，的长度等于； 【小问3详解】 解：存在或3秒，能够使得五边形的面积等于24cm2，理由如下： 当点运动到点时，两点停止运动， ∴ ， ∵ 长方形的面积为， 当五边形的面积等于时，的面积为， ∴ 解得， ∴存在或3秒，使得五边形的面积等于． 25. 阅读理解并解答： 【方法呈现】 （1）配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有着广泛的应用． 例如：， ∵ ． 则这个代数式的最小值为_______，这时相应的x的值是________． 【尝试应用】 （2）求代数式的最小或最大值． 【拓展提高】 （3）已知a、b、c是的三边长，满足，求c的取值范围． 【答案】（1）2，（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，三角形的三边关系，解题的关键是掌握完全平方公式的应用． （1）利用非负数的性质确定代数式的最值； （2）利用完全平方公式变形，最后确定最值； （3）变形等式，利用非负数的性质，求出、的值，再利用三角形的三边关系确定边长的取值范围． 【详解】解：（1）∵代数式 ∴代数式的最小值是，这时相应的的值是； （2） ∵ ∴， ∴代数式有最小值； （3）∵a，，是的三边长，满足， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 26. 综合与实践，数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动．如图1．已知矩形纸片，其中． （1）操作判断 将矩形纸片按图1折叠，使点B落在边上的点E处，可得到一个的角，请你写出一个的角， （2）探究发现 将图1的纸片展平，把四边形剪下来如图2，取边的中点M，将沿折叠得到，延长交于点N，判断的周长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由 （3）拓展应用 改变图2中点M的位置，令点M为射线上一动点，按照(2)中方式将沿折叠得到，所在直线交于点N，若点N为的三分点，请直接写出此时的长， 【答案】（1） (或) （2）是定值；17 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质和折叠的性质证明四边形是正方形，然后利用正方形的性质即可得出结论； （2）周长为定值．连结，先证明四边形是矩形，可得，，由折叠性质并结合为的中点可得到，，，然后证明可得到，最后计算可知是一常数，结论得证； （3）分两种情况计算：①当点为的三分点且靠近点时，②当点为的三分点且靠近点时，利用勾股定理和折叠的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解： 四边形是矩形， ， 将矩形纸片按图1折叠，使点落在边上的点处， ，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 的角有（或或或； 【小问2详解】 解：是定值，理由如下： 连结，如图2， 四边形是矩形，，，，， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是矩形， ，， 由折叠性质得：，，， 为的中点， ， ， 在与中， ， ∴， ， ∴ ， 的周长为； 【小问3详解】 解：①如图3，当点为的三分点且靠近点时，连接， ， ， 在中，， ； ②如图4，当点为的三分点且靠近点时，连接， ， 在中，， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查折叠的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用了分类讨论的思想．通过添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $