专题02二次函数（考点串讲，4大考点+7大题型突破+5大易错剖析）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（人教版）

九年级数学上学期·期末复习大串讲 专题02 二次函数 人教版 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 四大常考点：知识梳理 七大题型典例剖析 五大易错易混经典例题 精选5道期末真题对应考点练 目 录 考点透视 考点1　二次函数的定义 1. [2024宁波月考]下列各式中， y 是 x 的二次函数的是(　A　) A. y ＝3 x2－1 B. y ＝ C. y ＝3 x －1 D. y ＝2 x3－1 A 2. 已知二次函数 y ＝1－5 x ＋3 x2，则二次项系数 a ＝ ，一次项系数 b ＝ ⁠. 3　 －5　 3. 若 y ＝( m －1) ＋3. (1) m 取什么值时，此函数是二次函数？ 解：(1)当 y ＝( m －1) ＋3是二次函数时， 有解得 m ＝－3， ∴当 m ＝－3时，此函数是二次函数. (2) m 取什么值时，此函数是一次函数？ 解：(2)当 y ＝( m －1) ＋3是一次函数时， 有解得 m ＝－1＋ 或 m ＝－1－ ， ∴当 m ＝－1＋ 或 m ＝－1－ 时，此函数是一次函数. 考点2　二次函数的图象和性质 4. 如图，抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 和直线 y ＝3 x ＋ c 分别交于点 A 和点 B ，则二次函数 y ＝ ax2＋( b －3) x 的图象可能是(　B　) B A B C D 5. [2023邢台期中]二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象如图所示，下列判断正确的是 (　D　) A. a ＜0 B. b ＜0 C. 当 x ＜1时， y 随 x 的增大而减小 D. b2－4 ac ＞0 D 6. [2023西藏中考]将抛物线 y ＝( x －1)2＋5平移后，得到抛物线的解析式为 y ＝ x2＋2 x ＋3，则平移的方向和距离是(　D　) A. 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B. 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C. 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D. 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 D 7. 如图，已知边长为1的正方形 ABCD 的顶点 A (0，1)， B (1，1)，一抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 过点 M (－1，0).(1)若抛物线顶点与点 C 重合，则抛物线的解析式为 ⁠ ⁠； y ＝ － x2＋ x ＋ 　 点拨：(1)由题可得 C (1，2).∵抛物线顶点与点 C 重合，∴设抛物线的解析式为 y ＝ a ( x －1)2＋2.∵点 M (－1，0)在抛物线上， ∴0＝4 a ＋2，解得 a ＝－ ， ∴ y ＝－ ( x －1)2＋2＝－ x2＋ x ＋ . 7. 如图，已知边长为1的正方形 ABCD 的顶点 A (0，1)， B (1，1)，一抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 过点 M (－1，0). (2)若顶点在正方形 ABCD 内部(包括在正方形的边上)，则 a 的取值范围是 ⁠. －2≤ a ≤－ 　 点拨：(2)设抛物线的解析式为 y ＝a ( x － h )2＋ k .根据题意可分下列情况：当抛物线的顶点与点 A 重合时，顶点坐标为(0，1)， 则抛物线的解析式为 y ＝ ax2＋1， 将 M (－1，0)代入，得 a ＋1＝0，∴ a ＝－1； 当抛物线的顶点与点 B 重合时，顶点坐标为(1，1)， 则抛物线的解析式为 y ＝ a ( x －1)2＋1， 将 M (－1，0)代入，得4 a ＋1＝0，∴ a ＝－ ； 当抛物线的顶点与点 C 重合时，顶点坐标为(1，2)，由(1)知 a ＝－ ； 当抛物线的顶点与点 D 重合时，顶点坐标为(0，2)， 则抛物线的解析式为 y ＝ ax2＋2， 将 M (－1，0)代入，得 a ＋2＝0，∴ a ＝－2. ∵顶点在正方形 ABCD 内部且包含边上， ∴－2≤ a ≤－ . 8. 【新考法】如图，在2×2的正方形网格(每个小正方形的边长为1)中，有 A ， O ， B ， C ， D ， E ， F ， H ， G 九个格点，抛物线 L 的解析式为 y ＝ x2＋ bx ＋ c . (1)若 L 经过点 O (0，0)和 B (1，0)，则 b ＝ ， c ＝ ⁠； － 　 0　 8. 【新考法】如图，在2×2的正方形网格(每个小正方形的边长为1)中，有 A ， O ， B ， C ， D ， E ， F ， H ， G 九个格点，抛物线 L 的解析式为 y ＝ x2＋ bx ＋ c . (2)若 L 经过点 H (－1，1)和 G (0，1)，求它的解析式及顶点坐标，并通过计算说明点 D (1，2)是否在 L 上； 解：(2)∵抛物线 y ＝ x2＋ bx ＋ c 经过点H (－1，1)和 G (0，1)， ∴解得 在 y ＝ x2＋ x ＋1中，令 x ＝1，则 y ＝ ＋ ＋1＝2， ∴点 D (1，2)在抛物线 L 上. ∴抛物线的解析式为 y ＝ x2＋ x ＋1. ∵ y ＝ x2＋ x ＋1＝ ＝ ＋ ，∴顶点坐标为 . 8. 【新考法】如图，在2×2的正方形网格(每个小正方形的边长为1)中，有 A ， O ， B ， C ， D ， E ， F ， H ， G 九个格点，抛物线 L 的解析式为 y ＝ x2＋ bx ＋ c . (3)若 L 经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足条件的抛物线的条数. 解：(3)4条. 考点3　二次函数与一元二次方程、不等式 9. [2023廊坊月考]如图，抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠0)与 x 轴交于点(－3，0)，其对称轴为直线 x ＝－ ，结合图象有下列结论：① abc ＞0；②3 a ＋ c ＞0；③当 x ＜0时， y 随 x 的增大而增大；④4 ac － b2＜0.其中正确的有(　C　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C 10. [2024福州期末]二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)直接写出不等式 ax2＋ bx ＋ c ＜0的解集； 解：(1)－1＜ x ＜3. (2)求二次函数的解析式，并直接写出当－1≤ x ≤2时， y 的最小值； 10. [2024福州期末]二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象如图所 示，根据图象解答下列问题： 解：(2)由图象可得， y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象经过点(－1，0)，(3，0)，(0，－3)， ∴解得 ∴二次函数的解析式为 y ＝ x2－2 x －3. 当－1≤ x ≤2时， y 的最小值为－4. (3)若方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ k 有两个不相等的正实数根，直接写出 k 的取值范围. 解：(3)－4＜ k ＜－3. 10. [2024福州期末]二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象如图所示，根据图象解答下列问题： 点拨：∵方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ k 有两个不相等的正实数根， ∴函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象与直线 y ＝ k 有两个交点，且两个交点的横坐标都 大于0， ∴由图象可知， k 的取值范围为－4＜ k ＜－3. 考点4　二次函数的实际应用 11. 【情境题生活应用】在圆形喷水池的中央竖直安装一根水管，其顶端安装一喷头，喷出水流的高度 y (m)与水平距离 x (m)之间满足 y ＝ ax2＋ bx ＋ ，如图所示，当 x ＝ 时，水流达到最高点，当 x ＝2时， y ＝ .若喷出的水流没有落在池外，则喷水池的半径不小于(　C　) C A. 3 m B. 3.2 m C. 3.5 m D. 4 m 12. 国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品，规定销售单价不低于成本价，又不高于70元，销售量 y (件)与销售单价 x (元)的关系可以近似的看作一次函数(其图象如图). (1)请求出 y 与 x 之间的函数关系式， 并写出 x 的取值范围； 解：(1)设 y 与 x 之间的函数关系式为 y ＝ kx ＋ t . ∵函数图象经过点(60，40)和(70，30)， ∴解得 ∴ y 与 x 之间的函数关系式为 y ＝－ x ＋100(50≤ x ≤70). (2)设该商铺销售这批商品获得的总利润(总利润＝总销售额－总成本)为 P 元，求 P 与 x 之间的函数关系式，并求出当 x 取何值时， P 的值最大？最大值是多少？ 12. 国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品，规定销售单价不低于成本价，又不高于70元，销售量 y (件)与销售单价 x (元)的关系可以近似的看作一次函数(其图象如图). 解：(2)由题意可得出 P ＝( x －50)(－ x ＋100)＝－ x2＋150 x －5 000，其中50≤ x ≤70. ∵－ ＝－ ＝75， a ＝－1＜0， ∴ P ＝－ x2＋150 x －5 000的图象开 口向下，对称轴是直线 x ＝75. ∵50≤ x ≤ 70，此时 P 随 x 的增大而 增大，∴当 x ＝70时， P 的值最大， 最大值为－702＋150×70－5 000＝600. (3)若该商铺要保证销售这批商品的利润不能低于400元，直接写出销售单价 x (元)的取值范围. 12. 国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品，规定销售单价不低于成本价，又不高于70元，销售量 y (件)与销售单价 x (元)的关系可以近似的看作一次函数(其图象如图). 解：(3)60≤ x ≤70. 点拨：根据题意，得 P ≥ 400. 当 P ＝400时，400＝－ x2＋150x －5 000，解得 x1＝60， x2＝90. ∵抛物线开口向下，∴当 P ≥400时，60≤ x ≤90， 又∵50≤ x ≤70∴60≤ x ≤70. 类型1　根据二次函数的图象判断字母系数 1. [2023衡水期末]如图是二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠0)图象的一部分，对称轴为直线 x ＝ 且经过点(2，0)，以下说法：① abc ＜0；②－2 b ＋ c ＝0；③9 a ＋3 b ＋ c ＜0；④若 ， 是抛物线上的两点，则 y1＜ y2；⑤ ＞ m ( am ＋ b )，其中 m ≠ .其中正确的有(　C　) C A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 专项突破练一　二次函数图像与字母系数的关系 题型剖析 2. 【易错题】已知二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象如图所示，则下列5个代数式： ab ， ac ， a ＋ b ＋ c ， a － b ＋ c ，2 a ＋ b 中，其值为负的代数式的个数为 ⁠. 3　 类型2　由已知函数的图象判断其他函数的图象 3. [2023合肥模拟]已知抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ a －2如图所示，其对称轴为直线 x ＝ ，那么一次函数 y ＝ ax ＋ b 的图象大致为(　D　) D A B C D 4. 已知一次函数 y ＝ x ＋ c 的图象如图所示，则二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 在平面直角坐标系中的图象可能是(　D　) D A B C D 类型3　一次函数与二次函数图象的综合 5. 函数 y ＝ ax2－ a2 x 与 y ＝ ax － a2( a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象不可能是(　B　) B A B C D 点拨：∵ y ＝ ax2－ a2 x ＝ ax ( x － a )，∴二次函数的图象经过原点和点( a ，0). ∵ y ＝ ax － a2＝ a ( x － a )，∴一次函数的图象经过点( a ，0). ∴函数 y ＝ ax2－ a2 x 和 y ＝ ax － a2( a ≠0)的图象与 x 轴交于同一点( a ，0). ①当 a ＞0时，二次函数 y ＝ ax2－ a2 x ( a ≠0)的图象开口向上，对称轴在 y 轴的右侧，一次函数 y ＝ ax － a2( a ≠0)的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象与 x 轴交于同一点( a ，0)；②当 a ＜0时，二次函数 y ＝ ax2－ a2 x ( a ≠0)的图象开口向下，对称轴在 y 轴的左侧，一次函数 y ＝ ax － a2( a ≠0)的图象经过第二、三、四象限，且两个函数的图象与 x 轴交于同一点( a ，0).故选项B的图象不可能出现. 6. [2024合肥月考]如图是抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠0)的一部分，抛物线的顶点坐标是 A (1，3)，与 x 轴的一个交点是 B (4，0)，点 P 在抛物线上，且在直线 AB 上方，则下列结论正确的是(　C　) C A. abc ＞0 B. 方程 ax2＋ bx ＋ c ＝3有两个不相等的实数根 C. x ( ax ＋ b )≤ a ＋ b D. 点 P 到直线 AB 的最大距离为 类型1　抛物线的平移问题 1. 【情境题程序设计】[2023衡水模拟]如图，点 P ( a ，6)是抛物线 C ： y ＝ ( x ＋2)2＋2上位于第二象限内的一点，点 A 是抛物线 C 与 y 轴的交点. (1)写出 C 的对称轴和顶点坐标，并求 a 的值； 解：(1)由抛物线 C 的解析式知，对称轴为直线 x ＝－2，顶点坐标为(－2，2)，将点 P ( a ，6)的坐标代入 y ＝ ( x ＋2)2＋2，得6＝ ( a ＋2)2＋2，解得 a ＝－6或 a ＝2(舍去)， ∴ a 的值为－6. 专项突破练二　抛物线与图形变换 (2)某同学设计了一个程序：数对[ m ， n ]表示输入 m 和 n 的值，可将抛物线 C 沿 x 轴方向向右( m ＞0)或向左( m ＜0)平移｜ m ｜个单位长度，再沿 y 轴方向向上( n ＞0)或向下( n ＜0)平移｜ n ｜个单位长度得到抛物线C'.若抛物线 C 平移后的抛物线C'： y ＝ x2－ x －2与 y 轴交于点A'，求数对[ m ， n ]及△AA'P的面积. 1. 【情境题程序设计】[2023衡水模拟]如图，点 P ( a ，6)是抛物线 C ： y ＝ ( x ＋2)2＋2上位于第二象限内的一点，点 A 是抛物线 C 与 y 轴的交点. 解：(2)抛物线C'： y ＝ x2－ x －2可整理为 y ＝ ( x －2)2－3，相当于把抛物线 C ： y ＝ ( x ＋2)2＋2先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，∴ m ＝4， n ＝－5， ∴[ m ， n ]为[4，－5]. 对于抛物线 C ： y ＝ ( x ＋2)2＋2，当 x ＝0时， y ＝3， ∴ A (0，3).对于抛物线C'： y ＝ x2－ x －2，当 x ＝0时， y ＝－2， ∴A'(0，－2)，∴AA'＝3－(－2)＝5， ∴△AA'P的面积＝ AA'·｜ xP ｜＝ ×5×6＝15. 类型2　抛物线的对称问题 2. 【新考法·动态探究】如图，“爱心”图案是由抛物线 y ＝－ x2＋ m 的一部分及其关于直线 y ＝－ x 的对称图形组成的，点 E ， F 是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点 A ， B ， C ， D 是该图案与坐标轴的交点，且点 D 的坐标为( ，0). (1)求 m 的值及 AC 的长； 解：(1)把 D ( ，0)的坐标代入 y ＝－ x2＋ m ，得0＝－6＋ m ，解得 m ＝6，∴抛物线的解析式为 y ＝－ x2＋6， ∴ A (0，6)， ∴ OA ＝6.根据对称性可得 B (－6，0)， C (0，－ )， ∴ OC ＝ .∴ AC ＝ AO ＋ OC ＝6＋ . (2)求 EF 的长； 解：(2)联立，得 解得或 ∴ E (－2，2)， F (3，－3)， ∴ EF ＝ ＝5 . 2. 【新考法·动态探究】如图，“爱心”图案是由抛物线 y ＝－ x2＋ m 的一部分及其关于直线 y ＝－ x 的对称图形组成的，点 E ， F 是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点 A ， B ， C ， D 是该图案与坐标轴的交点，且点 D 的坐标为( ，0). (3)若点 P 是抛物线 y ＝－ x2＋ m 上的一动点，且在该图案上，点 P 、点 Q 关于直线 y ＝－ x 对称，连接 PQ ，求 PQ 长度的最大值及此时点 Q 的坐标. 2. 【新考法·动态探究】如图，“爱心”图案是由抛物线 y ＝－ x2＋ m 的一部分及其关于直线 y ＝－ x 的对称图形组成的，点 E ， F 是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点 A ， B ， C ， D 是该图案与坐标轴的交点，且点 D 的坐标为( ，0). 解：(3)设 P ( h ，－ h2＋6)(－2≤ h ≤3)， 则 Q ( h2－6，－ h )，∴ PQ2＝[ h －( h2－6)]2＋[－ h2＋6－(－ h )]2， ∴ PQ ＝ × . ∵－2≤ h ≤3， ∴0≤ ≤ ，∴当 ＝0，即 h ＝ 时， 有最大值，为 ， ∴ PQ 长度的最大值为 .当 h ＝ 时， h2－6＝ －6＝－ ，∴ Q . 类型1　和一次函数的综合 1. [2023唐山二模]如图，抛物线 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 与 x 轴交于 A (1，0)， B (－5，0)两点，与 y 轴交于点 C . P 是抛物线上的任意一点(不与点 C 重合)，点 P 的横坐标为 m ，抛物线上点 C 与点 P 之间的部分(包含端点)记为图象 G . (1)求抛物线的解析式； 解：(1)抛物线的解析式为 y ＝－ x2－4 x ＋5. 专项突破练三　二次函数的综合 (2)当 m 符合什么条件时，图象 G 所对应的函数的最大值与最小值的差为4？ 1. [2023唐山二模]如图，抛物线 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 与 x 轴交于 A (1，0)， B (－5，0)两点，与 y 轴交于点 C . P 是抛物线上的任意一点(不与点 C 重合)，点 P 的横坐标为 m ，抛物线上点 C 与点 P 之间的部分(包含端点)记为图象 G . 解：(2)在 y ＝－ x2－4 x ＋5中， 令 x ＝0，则 y ＝5，∴ C (0，5). ∵ y ＝－ x2－4 x ＋5＝－( x ＋2)2＋9， ∴抛物线的顶点坐标为(－2，9). 当 y＝5时，－ x2－4 x ＋5＝5，解得 x ＝0或 x ＝－4. 当 m ＜－4时，图象 G 所对应的函数的最大值为9， 最小值为－ m2－4 m ＋5，∴9－(－ m2－4 m ＋5)＝4，解得 m ＝0(舍去)或 m ＝－4(舍去)； 当－4≤ m ≤－2时，图象 G 所对应的函数的最大值为9，最小值为5，即图象 G 所对应的函数的最大值与最小值的差为4；当－2＜ m ＜0时，图象 G 所对应的函数的最大值为－ m2－4 m ＋5，最小值为5， ∴－ m2－4 m ＋5－5＝4，解得 m1＝ m2＝－2(舍去)；当 m ＞0时，图象 G 所对应的函数的最大值为5，最小值为－ m2－4 m ＋5， ∴5－(－ m2－4 m ＋5)＝4， 解得 m ＝2 －2或 m ＝－2 －2(舍去). 综上所述，当－4≤ m ≤－2或 m ＝2 －2时，图象 G 所对应的函数的最大值与最小值的差为4. (3)当 m ＜0时，若图象 G 与平行于 x 轴的直线 y ＝－2 m ＋3有且只有一个公共点，直接写出 m 的取值范围. 解：(3) m 的取值范围为 m ＝－3或－ －1＜ m ≤－1. 1. [2023唐山二模]如图，抛物线 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 与 x 轴交于 A (1，0)， B (－5，0)两点，与 y 轴交于点 C . P 是抛物线上的任意一点(不与点 C 重合)，点 P 的横坐标为 m ，抛物线上点 C 与点 P 之间的部分(包含端点)记为图象 G . 类型2　和实际问题的综合 2. 【情境题生活应用】如图，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从 O 点正上方的 B 处发出，球每次出手后的运动轨迹都是形状相同的抛物线，且抛物线的最高点 C 到 y 轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点 B 高出1米，已知 OB ＝ m 米，排球场的边界点 A 距 O 点的水平距离 OA 为18米，球网 EF 的高度为2.4米，且 OE ＝ OA . (1) C 点的坐标为 ； (用含 m 的代数式表示) (6， m ＋1)　 (2)当 m ＝2时，求抛物线的解析式； 解：(2)当 m＝2时， C (6，3)， B (0，2)， 2. 【情境题生活应用】如图，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从 O 点正上方的 B 处发出，球每次出手后的运动轨迹都是形状相同的抛物线，且抛物线的最高点 C 到 y 轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点 B 高出1米，已知 OB ＝ m 米，排球场的边界点 A 距 O 点的水平距离 OA 为18米，球网 EF 的高度为2.4米，且 OE ＝ OA . ∴设抛物线的解析式为 y ＝ a ( x －6)2＋3，将点 B (0，2) 的坐标代入，得2＝ a (0－6)2＋3，解得 a ＝－ ， ∴抛物线的解析式为 y ＝－ ( x －6)2＋3. (3)当 m ＝2时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由. 2. 【情境题生活应用】如图，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从 O 点正上方的 B 处发出，球每次出手后的运动轨迹都是形状相同的抛物线，且抛物线的最高点 C 到 y 轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点 B 高出1米，已知 OB ＝ m 米，排球场的边界点 A 距 O 点的水平距离 OA 为18米，球网 EF 的高度为2.4米，且 OE ＝ OA . 解：(3)球能越过球网，球不会出界.理由：由(2)知，当 m ＝2时，抛物线的解析式为 y ＝－ ( x －6)2＋3. ∵ OA ＝18米， OE ＝ OA ，∴ OE ＝9米. 又∵球网 EF 的高度为2.4米，∴ F (9，2.4). 当 x ＝9时， y ＝－ ×(9－6)2＋3＝2.75. ∵2.75＞2.4，∴球能越过球网. 当 y ＝0时，0＝－ ( x －6)2＋3， 解得 x1＝6＋6 ， x2＝6－6 (不合题意，舍去)， ∵6＋6 ＜18，∴球不会出界. 易混易错 1.（2023秋•丰满区期末）抛物线y=(x+2)2-1的顶点坐标是( ____ ) A.(2，1) B.(-2，-1) C.(-2，1) D.(2，-1) 【解析】解：∵y=(x+2)2-1是抛物线的顶点式， ∴抛物线的顶点坐标为(-2，-1)． 故选：B． B 押题预测 57 2.（2023秋•黔东南州期末）抛物线y=-x2+4x-4与x轴的交点个数为( ____ ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】解：令y=0，则0=-x2+4x-4， 解得x1=x2=2， ∴抛物线与x轴交点为(2，0)． 故选：B． B 58 3.（2023秋•丰台区期末）平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2-1在x轴和x轴下方的部分记作G1，将G1沿x轴翻折记作G2，G1和G2构成的图形记作G．关于图形G，如图所示，以下三个结论中，正确的序号是 ____ ． ①图形G关于原点对称； ②图形G关于直线y=x对称； ③图形G的面积为S，满足2＜S＜π． 【解析】解：由图形可知，图形G关于原点对称，不关于直线y=x对称，故①正确，②错误； 观察图形，图形G的面积S大于两个△ABC的面积，小于⊙O的面积， 所以，图形G的面积满足2＜S＜π，故③正确． 故答案为：①③． ①③ 59 4.（2023秋•淄博期末）如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形ABCD菜园，墙长为12米．设AB的长为x米，矩形ABCD菜园的面积为S平方米． (1)分别用含x的代数式表示BC与S； (2)若S=54，求x的值； (3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方 各开一个1.5米宽的门(无需篱笆)，当x为何 值时，S取最大值，最大值为多少？ 【解析】解：(1)由题意得，BC=33-3x,∴S=AB⋅BC=x(33-3x)=-3x2+33x； (2)由题意得，-3x2+33x=54，∴x2-11x+18=0，解得，x1=2，x2=9， ∵墙长为12米，∴33-3x≤12，∴x≥7，∴x1=2应舍去， ∴x的值为9； 60 (3)S=x(33+1.5×2-3x)=-3x2+36x=-3(x-6)2+108， ∵墙长为12米， ∴ ， ∴8≤x≤11， ∵a=-3＜0， ∴开口向下， ∴当x≥6，S着x的增大而减小， ∴当x=8时，S有最大值，最大值为：8×(36-3×8)=96． 61 5.（2024春•丰城市校级期末）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(-2，0)，B(1，0)，交y轴于C(0，2)． (1)求二次函数的解析式； (2)连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由； (3)若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 62 【解析】解：(1)由二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(-2，0)，B(1，0)， 设二次函数的解析式为：y=a(x+2)(x-1)， 把C(0，2)代入得：2=a(0+2)(0-1)，解得a=-1， ∴二次函数的解析式为y=-(x+2)(x-1)=-x2-x+2， 答：二次函数的解析式为y=-x2-x+2； (2)在直线AC上方的抛物线上存在点N，使△NAC的面积最大， 过N作ND∥y轴，交AC于D，如图： 设直线AC的解析式为y=kx+b,把A(-2，0)、C(0，2)代入得： ，解得： ，∴直线AC的解析式为y=x+2， 设N(n,-n2-n+2)，则D(n,n+2)，∴ND=(-n2-n+2)-(n+2)=-n2-2n, ∴S△NAC= ND•|xC-xA|= ×(-n2-2n)×2=-n2-2n=-(n+1)2+1， ∵-1＜0，∴当n=-1时，S△NAC有最大值为1，此时N(-1，2)， 答：在直线AC上方的抛物线上存在点N(-1，2)，使△NAC的面积最大为1； 63 (3)在x轴上存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形， 设M(t,0)，而B(1，0)，C(0，2)， ∴BM2=(t-1)2，CM2=t2+4，BC2=12+22=5， ①当BC=CM时，t2+4=5，解得t=1(与B重合，舍去)或t=-1，∴M(-1，0)； ②当BM=BC时，(t-1)2=5，解得t= +1或t=- +1， ∴M( +1，0)或(- +1，0)； ③当BM=CM时，(t-1)2=t2+4， 解得t=- ， ∴M(- ，0)， 综上所述，M坐标为(-1，0)或( +1，0)或(- +1，0)或(- ，0)． 64 $$