专题02 二次函数（易错必刷92题 18种题型专项训练）（期末复习专项训练）九年级数学上学期北京版

专题02 二次函数（易错必刷92题 18种题型专项训练） · 试卷第1页，共3页 试卷第2页，共29页 学科网（北京）股份有限公司 · 根据二次函数概念求字母的值 · 实际问题中根据数量关系判断是否式二次函数关系 · 二次函数顶点式的图像和性质 · 根据二次函数图像的平移规律，确定二次函数的解析式 · 比较函数值的大小 · 根据二次函数增减性求字母的取值范围 · 确定二次函数一般式的最值及其图像的对称轴、顶点坐标 · 根据二次函数的对称性求参数的值 · 利用待定系数法求二次函数解析式 · 二次函数与一次函数的综合问题 · 二次函数的探究性问题 · 二次函数图像与系数的关系 · 二次函数图像与一元二次方程的解 · 二次函数的图像与x轴的交点问题 · 利用二次函数图像与x轴的交点情况求字母的值 · 二次函数与不等式 · 实际问题中的二次函数 · 二次函数与几何问题 一、根据二次函数概念求字母的值（3个小题） 1．若y=（m＋1）是二次函数，则m=  （   ） A．－1 B．7 C．－1或7 D．以上都不对 2．函数y=mx3m﹣1+4x﹣5是二次函数． （1）求m的值； （2）写出这个二次函数图象的对称轴： ；将解析式化成y=a（x﹣h）2+k的形式为： ． 3．已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？ 二、实际问题中根据数量关系判断是否式二次函数关系（3个小题） 4．如果I表示汽车经撞击之后的损坏程度，经多次实验研究后知道，I与撞击时的速度v的平方之比是常数2，则I与v的函数关系为（    ） A．正比例函数关系 B．反比例函数关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系 5．如图，线段，点在线段上（不与点重合），以为边作正方形，设，，正方形的面积为，则与，与满足的函数关系分别为（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 6．线段，动点以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段运动至点．以点A为圆心、线段长为半径作圆心角为的扇形，以线段为边作等边．设点的运动时间为t，扇形的弧的长为，等边的面积为S，则与，与满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，正比例函数关系 三、二次函数顶点式的图像和性质（13个小题） 7．下列关于二次函数有如下说法：①图象的开口向上；②图象最低点到轴的距离为；③图象的对称轴为直线；④当时，随的增大而增大．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 8．抛物线的对称轴是（   ） A． B． C． D． 9．关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，有最小值为2 B．当时，有最大值为2 C．当时，有最小值为2 D．当时，有最大值为2 10．二次函数的最小值是（    ） A．1 B． C．4 D． 11．在平面直角坐标系中，若点，在抛物线上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 12．，，三点都在二次函数的图像上，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 13．抛物线的对称轴是（　　　　） A．直线x=3 B．直线x=-3 C．直线x=1 D．直线x=-1 14．顶点是，形状、开口方向与抛物线都相同的二次函数的表达式为 ． 15．如果抛物线的开口向下，且直线不经过第四象限，那么的取值范围是 ． 16．二次函数的最大值是 ． 17．如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和点A处，测得距离为，若以点O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线：的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线：的一部分． (1)抛物线的最高点坐标为______； (2)求a，c的值； (3)小林在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n的整数值可为______． 18．排球场的长度为，球网在场地中央且高度为．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．      (1)某运动员第一次发球时，测得水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 2 4 6 11 12 竖直高度 2.48 2.72 2.8 2.72 1.82 1.52 ①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系； ②通过计算，判断该运动员第一次发球能否过网，并说明理由． (2)该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由． 19．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，． （1）若， ①点A到轴的距离为_______； ②求此抛物线与轴的两个交点之间的距离； （2）已知点A到轴的距离为4，此抛物线与直线的两个交点分别为，，其中，若点在此抛物线上，当时，总满足，求的值和的取值范围． 四、根据二次函数图像的平移规律，确定二次函数的解析式（6个小题） 20．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到新抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 21．在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是（　　） A． B． C． D． 22．如果将抛物线向上平移3个单位长度，向左平移1各单位，得到新的抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 23．将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 24．把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 25．已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)抛物线可以由抛物线经过平移得到，请写出一种平移方式． 五、比较函数值的大小（7个小题） 26．若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 27．若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 28．已知抛物线为常数，，，是抛物线上三点，则，，由小到大依次排列为（   ） A． B． C． D． 29．在平面直角坐标系中，若点，在抛物线上，则 （填“”，“ ”或“”）． 30．在平面直角坐标系xOy中，抛物线 的对称轴为 点，， 在抛物线上． (1)当时，直接写出m与n的大小关系； (2)若对于 都有 求t的取值范围． 31．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1)①____________（用含a的式子表示）； ②当时，求该抛物线与x轴的公共点的坐标； (2)已知点，，在该抛物线上，若，比较，，的大小，并说明理由． 32．若点，，在抛物线上，则，，的大小关系为 （用“＞”连接）． 六、根据二次函数增减性求字母的取值范围（3个小题） 33．已知二次函数． (1)求此函数图象的对称轴和顶点坐标： (2)画出此函数的图象（不需要列表）； (3)若点和都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写出m的取值范围． 34．在平面直角坐标系中，点，，（点，不重合）在抛物线（）上． (1)当时，求二次函数的顶点坐标； (2)①若，则的值为______； ②已知二次函数的对称轴为，当时，求的取值范围． 35．在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上． (1)直接写出这个二次函数的解析式； (2)当时，函数值的取值范围是，求n的值； (3)将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为，当时，y随x的增大而减小，求k的取值范围． 七、确定二次函数一般式的最值及其图像的对称轴、顶点坐标（3个小题） 36．如表记录了二次函数中两个变量x与y的5组对应值，其中，根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（    ） x … x1 x2 1 3 … y … m 0 2 0 m … A． B． C． D． 37．在平面直角坐标系中，已知抛物线. (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围. 38．已知抛物线． (1)求此抛物线的顶点的坐标； (2)若抛物线经过点，求的取值范围． 八、根据二次函数的对称性求参数的值（4个小题） 39．在平面直角坐标系中，点，是抛物线上的两点（，不重合）． (1)若，求的值； (2)若点在抛物线上，且对于，都有，求的取值范围． 40．在平面直角坐标系中，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． (1)若对于，有，求的值； (2)若对于，都有，求的取值范围． 41．在平面直角坐标系中，为抛物线上任意两点，其中． (1)若且，求的值． (2)已知且，若对于，都有，求t的取值范围． 42．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点．设抛物线的对称轴是． (1)若对于，，有，求的值； (2)若对于，都有成立，并且对于，存在，求的取值范围． 九、利用待定系数法求二次函数解析式（5个小题） 43．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与二次函数的图象交于点． (1)求一次函数与二次函数的表达式； (2)设是直线上一点，过点作轴，交二次函数的图象于点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标． 44．已知抛物线经过点． (1)用含a的式子表示c及抛物线的顶点坐标； (2)当时，所有x对应的函数值y都满足：，求a的取值范围． 45．在平面直角坐标系中，点和点在抛物线（）上，设抛物线的对称轴为． (1)若，，求t的值； (2)已知点，在该抛物线上，若，，比较，的大小，并说明理由． 46．“兔飞猛进”谐音成语“突飞猛进”．在自然界中，野兔善于奔跑跳跃，“兔飞猛进”名副其实．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系．通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行的测量，得到以下数据：根据数据，回答下列问题： 水平距离 0 0.4 1 1.4 2 2.4 2.8 竖直高度 0 0.48 0.9 0.98 0.8 0.48 0 (1)①野兔本次跳跃的最远水平距离为 m，最大竖直高度为 m； ②求满足条件的抛物线的解析式； (2)已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为，最大竖直高度为．若在野兔起跳点前方处有高为的篱笆，则野兔此次跳跃能否跃过篱笆？请说明理由． 47．如图，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心处竖直安装一根高度为的水管，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分． 建立如图所示的平面直角坐标系，测得喷出水流距离喷水池中心的最远水平距离为，水流竖直高度的最高处位置距离喷水池中心的水平距离为． (1)求喷出水流的竖直高度（）与距离水池中心的水平距离（）之间的关系式，并求出水流喷出的最大高度的长； (2)安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变），若水管的高度增加时，则水流离喷水池中心的最远水平距离为______． 十、二次函数与一次函数的综合问题（5个小题） 48．已知二次函数的图象经过点，． (1)求该函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于二次函数的值，结合函数图象，直接写出的取值范围． 49．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 50．学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为，（单位：克）． 下面是某研究小组的探究过程，请补充完整： 记录，与x的几组对应值如下： x（分钟） 0 5 10 15 20 … （克） 25 23.5 20 14.5 7 … （克） 25 20 15 10 5 … (1)在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值所对应的点，，并画出函数，的图象；    (2)进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，与x之间近似满足二次函数：．场景B的图象是直线的一部分，与x之间近似满足一次函数（）．则 ， ， ； (3)查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为，，则 （填“”，“”或“”）． 51．一小球M从斜坡上的点O处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达最高点的坐标为． (1)求抛物线的函数解析式（不写自变量x的取值范围）； (2)若要在斜坡上的点B处竖直立一个高4米的广告牌，点B与抛出点O的水平距离为2，请判断小球M能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由； (3)直接写出小球M在飞行的过程中离斜坡的最大高度． 52．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象过A，B两点，且与x轴的另一交点为点C，BC＝2； (1)求点C的坐标； (2)对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2． ①求二次函数的表达式； ②设点A在抛物线上的对称点为点D，记抛物线在C，D之间的部分为图象G（包含C，D两点）．若一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与图象G有公共点，结合函数图象，求k的取值范围． 十一、二次函数的探究性问题（4个小题） 53．学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为，(单位：克)． 下面是某研究小组的探究过程，请补充完整： 记录，与x的几组对应值如下： x(分钟) 0 5 10 15 20 … (克) 25 23.5 20 14.5 7 … (克) 25 20 15 10 5 … (1)在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象； (2)进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，与x之间近似满足函数关系．场景B的图象是直线的一部分，与x之间近似满足函数关系．请分别求出场景A，B满足的函数关系式； (3)查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用．在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为，则 (填“＞”，“=”或“＜”)． 54．兴寿镇草莓园是北京最大的草莓基地，通过一颗颗小草莓，促进了农民增收致富，也促进了农旅融合高质量发展．小梅家有一个草莓大棚，大棚的一端固定在离地面高的墙体处，另一端固定在离地面高的墙体处，记大棚的截面顶端某处离的水平距离为，离地面的高度为，测量得到如下数值： 0 1 2 4 5 1    小梅根据学习函数的经验，发现是的函数，并对随的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小梅的探究过程，请补充完整： (1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；    解决问题： (2)结合图表回答，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为___________；此时距离的水平距离为___________； (3)为了草莓更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面时补光效果最好，若在距离处水平距离的地方挂补光灯，为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是多少？（灯的大小忽略不计） 55．有这样一个问题：探究函数的性质． (1)先从简单情况开始探究： ①当函数为时，随增大而_______填“增大”或“减小”； ②当函数为时，它的图象与直线的交点坐标为_______； (2)当函数为时，如表为其与的几组对应值，则_______． ①如图，在平面直角坐标系中，描出了该函数部分对应值为坐标的点，请大致画出该函数的图象； ②结合函数图象，估计方程的解可能为_______． 56．某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究． 下面是小红的探究过程，请补充完整： (1)经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表． d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4 h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.88 在d和h这两个变量中，________是自变量，________是这个变量的函数； (2)在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象； (3)结合表格数据和函数图象，解决问题： ①桥墩露出水面的高度AE为_______米； ②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为_______米．（精确到0.1米） 十二、二次函数图像与系数的关系（5个小题） 57．抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③若，则时的函数值大于时的函数值；④点一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 58．如图，抛物线经过点．下面有四个结论：①；②；③；④关于的不等式的解集为．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 59．平面直角坐标系中，已知二次函数的部分图象如图所示，给出下面三个结论： ①；② 二次函数有最大值4；③ 关于x的方程有两个实数根，．上述结论中，所有正确结论的序号是（　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 60．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，．给出下面三个结论：①；②；③关于的一元二次方程有两个异号实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 61．已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线，其部分图象如图，则以下四个结论中：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是 ． 十三、二次函数图像与一元二次方程的解（4个小题） 62．在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于的方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 63．如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的方程的解为 ． 64．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，并且过和，则点的坐标为 ． 65．已知抛物线 与直线相交于点和点，则关于x的方程的解为 ． 十四、二次函数的图像与x轴的交点问题（3个小题） 66．已知二次函数． (1)求此二次函数图象的顶点坐标； (2)求此二次函数图象与x轴的交点坐标； (3)当时，直接写出x的取值范围． 67．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）． (1)若，求抛物线的对称轴及A，B两点的坐标； (2)已知点，，在该抛物线上，若，，中有且仅有一个大于0，求a的取值范围． 68．已知二次函数. (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)求该二次函数图象与轴、轴的交点坐标； (3)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象. 十五、利用二次函数图像与x轴的交点情况求字母的值（5个小题） 69．若抛物线与x轴只有一个交点，则m的值为（    ） A．3 B． C． D． 70．经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（    ） A．10 B．12 C．13 D．15 71．请写出一个常数a的值，使得二次函数的图像与x轴没有交点，则a的值可以是 ． 72．若抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有两个交点，则m的值为 ． 73．已知二次函数的图象过点 (1)求证：； (2)求证：此二次函数的图象与x轴必有两个交点； (3)若二次函数的图象与x轴交于点、，，求b的值． 十六、二次函数与不等式（5个小题） 74．已知二次函数的部分图象如图所示，写出一个满足不等式的x的值，这个值可以是 . 75．在平面直角坐标系中，已知，，是抛物线上的三个点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若对于，，都有，求证：； (3)若对于，，都有，求的取值范围． 76．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点．设抛物线的对称轴为直线． (1)若，，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 77．已知二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示： x … 0 1 2 4 … y … 8 3 0 3 … (1)求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)直接写出当时，x的取值范围． 78．在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)用描点法画出该二次函数的图象； (3)当时，对于x的每一个值，都有，直接写出k的取值范围． 十七、实际问题中的二次函数（8个小题） 79．某广场建了一座圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管，安装在水管顶端A处的圆形喷头向四周喷水，且各个方向喷出的抛物线形水柱形状相同．如图1，以池中心O点为坐标原点，水平方向为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．x轴上的点C，D为水柱的落水点，若落地直径，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高． (1)求图1中右边抛物线的解析式； (2)计划在图1中的线段上的点B处竖立一座雕像，雕像高，若想雕像不碰到水柱，请求出线段的取值范围； (3)圆形水池的直径为，喷水造型会随着音乐节奏起伏而变化，从而产生一组不同的抛物线（如图2），若右侧抛物线顶点始终在直线上，当喷出的抛物线水柱最大高度为时，水柱会喷到圆形水池之外吗？请说明理由． 80．如图，在边长为的正方形各边上取点，，，（可与，，，重合），使得四边形为正方形．设为，正方形的面积为．    (1)关于的函数表达式是________，自变量的取值范围是________； (2)在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中函数的图象； (3)当________时，正方形面积有最小值________． 81．如图是某悬索桥示意图，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相等的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与水平的桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，设在距桥塔水平距离为x（单位：m）的地点，主索距桥面的竖直高度为y（单位：m），则y与x之间近似满足函数关系 小石通过测量获得y与x的几组数据如下： x（m） 0 4 8 24 32 40 48 64 y（m） 18 14.25 11 3 2 3 6 18 根据上述数据，解决以下问题 (1)主索最低点P与桥面的距离为___________m (2)求出主索抛物线的解析式； (3)若与点P水平距离为处，有两条吊索需要更换，求这两条吊索的总长度． 82．如图1．是某景区的一个标志性建筑物——拱门观光台，拱门的形状近似于抛物线，已知拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，图2是从实际拱门中得出的抛物线，请你结合数据，求出拱门的高度． 83．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如表： x/元 … 15 20 25 … y/件 … 25 20 15 … 已知y是x的一次函数． （1）求日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式； （2）当每件产品的销售价定为35元时，此时每日的销售利润是多少元？ （3）销售价定为多少时，每日的销售利润最大？最大利润是多少？ 84．正面双手前掷实心球是发展学生力量和协调性的运动项目之一.实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从出手到着地的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系. 小明进行了三次训练. (1)第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 竖直高度y/m 2 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2 2.7 2 1.1 根据上述数据，求出满足的函数关系，并求出实心球着地点的水平距离； (2)第二次、第三次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x的函数图象的一部分如图所示，其中A，B分别为第二次、第三次训练抛物线的顶点. 记小明第二、三次训练时实心球着地点的水平距离分别为，，则，，的大小关系为______. 85．如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长； (2)下边缘抛物线落地点B的坐标为______； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______． 86．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里表示起跳点到地面的距离，表示着陆坡的高度，表示着陆坡底端到点的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系：，已知，，落点的水平距离是40m，竖直高度是30m． (1)点的坐标是_____，点的坐标是_______； (2)求满足的函数关系； (3)运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离． 十八、二次函数与几何问题（6个小题） 87．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标； (3)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值； 88．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点和，与y轴交于点C，抛物线上有一动点P，抛物线的对称轴交x轴于点E，连接，作直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为直线上方抛物线上一动点时，连接，当时，求点P坐标； (3)如果抛物线的对称轴上有一动点Q，x轴上有一动点N，是否存在四边形是矩形？若存在，在横线上直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 89．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，点D是抛物线第四象限上的一动点，连接DC，DB，当S△DCB＝S△ABC时，求点D坐标； (3)如图2，在(2)的条件下，点Q在CA的延长线上，连接DQ，AD，过点Q作QP∥y轴，交抛物线于P，若∠AQD＝∠ACO+∠ADC，请求出PQ的长． 90．如图，抛物线的图象与x轴交点为A和B，与y轴交点为，与直线交点为A和C． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上是否存在一点M，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在请说明理由． (3)若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标的取值范围． 91．已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点P是抛物线上位于直线下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线于点D，交x轴于点E，当取最大值时，求点P的坐标及最大值． (3)在抛物线上是否存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且为一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M、N的坐标，不存在，请说明理由． 92．如图，抛物线与直线y=mx+n交于B（0，4），C（3，1）两点．直线与x轴交于点A，P为直线AB上方的抛物线上一点，连接PB，PO． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接PC，OC，△OPC和△OPB面积之比为1：2，求点P的坐标； （3）如图2，PB交抛物线对称轴于M，PO交AB于N，连接MN，PA，当MNPA时，直接写出点P的坐标． $$专题02 二次函数（易错必刷92题 18种题型专项训练） · 试卷第1页，共3页 试卷第2页，共109页 学科网（北京）股份有限公司 · 根据二次函数概念求字母的值 · 实际问题中根据数量关系判断是否式二次函数关系 · 二次函数顶点式的图像和性质 · 根据二次函数图像的平移规律，确定二次函数的解析式 · 比较函数值的大小 · 根据二次函数增减性求字母的取值范围 · 确定二次函数一般式的最值及其图像的对称轴、顶点坐标 · 根据二次函数的对称性求参数的值 · 利用待定系数法求二次函数解析式 · 二次函数与一次函数的综合问题 · 二次函数的探究性问题 · 二次函数图像与系数的关系 · 二次函数图像与一元二次方程的解 · 二次函数的图像与x轴的交点问题 · 利用二次函数图像与x轴的交点情况求字母的值 · 二次函数与不等式 · 实际问题中的二次函数 · 二次函数与几何问题 一、根据二次函数概念求字母的值（3个小题） 1．若y=（m＋1）是二次函数，则m=  （   ） A．－1 B．7 C．－1或7 D．以上都不对 【答案】B 【分析】令x的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可． 【详解】由题意得：m2-6m-5=2；且m+1≠0； 解得m=7或-1；m≠-1， ∴m=7， 故选：B． 【点睛】利用二次函数的定义，二次函数中自变量的指数是2；二次项的系数不为0． 2．函数y=mx3m﹣1+4x﹣5是二次函数． （1）求m的值； （2）写出这个二次函数图象的对称轴： ；将解析式化成y=a（x﹣h）2+k的形式为： ． 【答案】（1）m=1；（2）直线x=2；y=﹣（x﹣2）2﹣1． 【详解】试题分析：（1）直接利用二次函数的定义得出m的值； （2）利用配方法求出二次函数顶点坐标与对称轴即可． 解：（1）∵函数y=mx3m﹣1+4x﹣5是二次函数， ∴3m﹣1=2， 解得：m=1； （2）由（1）得： y=﹣x2+4x﹣5 =﹣（x2﹣4x）﹣5 =﹣（x﹣2）2﹣1， 故这个二次函数图象的对称轴为：直线x=2； 将解析式化成y=a（x﹣h）2+k的形式为：y=﹣（x﹣2）2﹣1． 故答案为直线x=2；y=﹣（x﹣2）2﹣1． 考点：二次函数的定义；二次函数的性质；二次函数的三种形式． 3．已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？ 【答案】(1)、m=0；(2)、m≠0且m≠1. 【分析】根据一次函数与二次函数的定义求解． 【详解】解：（1）根据一次函数的定义，得：m2﹣m=0 解得m=0或m=1 又∵m﹣1≠0即m≠1； ∴当m=0时，这个函数是一次函数； （2）根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0 解得m1≠0，m2≠1 ∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数． 【点睛】考点：二次函数的定义；一次函数的定义 二、实际问题中根据数量关系判断是否式二次函数关系（3个小题） 4．如果I表示汽车经撞击之后的损坏程度，经多次实验研究后知道，I与撞击时的速度v的平方之比是常数2，则I与v的函数关系为（    ） A．正比例函数关系 B．反比例函数关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系 【答案】D 【分析】根据题意，列出I与v的函数关系式，即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得：， 整理得：， ∴I与v的函数关系为二次函数关系； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出正确的函数函数关系式． 5．如图，线段，点在线段上（不与点重合），以为边作正方形，设，，正方形的面积为，则与，与满足的函数关系分别为（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【分析】通过，可得到与的函数关系，通过正方形的面积可得到与的函数关系． 【详解】解：， ， ， 所以与是一次函数关系； ， ， 所以与是二次函数关系； 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的定义，解题的关键是通过题意准确找出关系式． 6．线段，动点以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段运动至点．以点A为圆心、线段长为半径作圆心角为的扇形，以线段为边作等边．设点的运动时间为t，扇形的弧的长为，等边的面积为S，则与，与满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，正比例函数关系 【答案】B 【分析】根据题意分别列出y与t，S与t的函数关系，进而进行判断即可． 【详解】解：设点的运动时间为t，则，， 则， ， ∴与，与满足的函数关系分别是正比例函数关系，二次函数关系， 故选：B． 【点睛】本题考查了列函数表达式，一次函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关键． 三、二次函数顶点式的图像和性质（13个小题） 7．下列关于二次函数有如下说法：①图象的开口向上；②图象最低点到轴的距离为；③图象的对称轴为直线；④当时，随的增大而增大．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据顶点式，得出，顶点坐标为，对称轴为直线，在对称轴左侧，随的增大而减小，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵，，顶点坐标为，对称轴为直线，在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴①图象的开口向上；故①正确； ②图象最低点到轴的距离为，故②不正确； ③图象的对称轴为直线，故③正确， ④当时，随的增大而减小，故④不正确． 故选：B. 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握的图象与性质是解题的关键． 8．抛物线的对称轴是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质进行分析解答．根据题干中抛物线的顶点式，可以直接写出抛物线的对称轴． 【详解】解：∵抛物线 ∴对称轴是直线， 故选：C 9．关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，有最小值为2 B．当时，有最大值为2 C．当时，有最小值为2 D．当时，有最大值为2 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以写出该函数最值，明确二次函数的性质是解答本题的关键． 【详解】解：∵， ∴该函数图像开口向上，对称轴为， 当时，取得最小值2， 故选：A． 10．二次函数的最小值是（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数顶点式求最值．根据题意可知二次函数开口向上有最小值，最小值为即为本题答案． 【详解】解：∵中， ∴开口向上，函数有最小值， ∴通过顶点式即可知最小值为， 故选：D． 11．在平面直角坐标系中，若点，在抛物线上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据所给的函数解析式确定函数的开口方向，对称轴和最小值，再结合函数图象的特点进行判定即可，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，函数有最小值， ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∴， 故选：． 12．，，三点都在二次函数的图像上，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次函数解析式可得函数对称轴和增减性，再根据离对称轴的远近的点的纵坐标的大小比较，即可得出的大小关系． 【详解】解：二次函数的图像开口向下，对称轴为， ∴关于对称轴的对称点为， ∵在对称轴左侧，随的增大而增大， 又∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了比较函数值的大小，解决此题的关键是理解当二次函数开口向下时，在函数图像上距离对称轴越远的点，函数值越小；当二次函数开口向上时，在函数图像上距离对称轴越远的点，函数值越大． 13．抛物线的对称轴是（　　　　） A．直线x=3 B．直线x=-3 C．直线x=1 D．直线x=-1 【答案】A 【分析】根据二次函数的顶点式，对称轴为直线，得出即可． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是要注意抛物线的对称轴是直线． 14．顶点是，形状、开口方向与抛物线都相同的二次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线的顶点式与抛物线性质，掌握抛物线性质与顶点式是解题关键．根据二次函数的顶点式即可求解． 【详解】解：设抛物线的解析式为，且该抛物线的形状与开口方向和抛物线相同， ∴， ∵顶点是， ∴， ∴这个函数解析式为， 故答案为：． 15．如果抛物线的开口向下，且直线不经过第四象限，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图像与性质以及一次函数的图象与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 直线不经过第四象限， ， ， 故答案为：． 16．二次函数的最大值是 ． 【答案】-3 【分析】二次函数的顶点式y=a(x−h)2+b在x=h时有最值，a>0时有最小值为b，a<0时有最大值为b，即可得出答案． 【详解】解：∵a=−1<0， ∴y有最大值， 当时，y有最大值为-3． 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式求最值，熟练掌握二次函数的表达式及最值的确定方法是解题的关键． 17．如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和点A处，测得距离为，若以点O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线：的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线：的一部分． (1)抛物线的最高点坐标为______； (2)求a，c的值； (3)小林在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n的整数值可为______． 【答案】(1) (2)， (3)4或5 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）依据题意，由抛物线：可得最高点坐标，进而可以得解； （2）依据题意，可得，将代入抛物线：，从而得解析式，再令，可得c的值； （3）依据题意，根据点B的取值范围代入解析式可求解． 【详解】（1）解：由题意，∵抛物线：， ∴抛物线 的最高点坐标为的． 故答案为：． （2）解：由题可得点，将代入抛物线：， 得， ∴抛物线：． ∴当时，； （3）解：∵小林在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴此时，点B的坐标范围是， 当经过时，， 解得：． 当经过时，， 解得：， ， ∵n为整数， ∴符合条件的n的整数值为4和5． 故答案为：4或5． 18．排球场的长度为，球网在场地中央且高度为．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．      (1)某运动员第一次发球时，测得水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 2 4 6 11 12 竖直高度 2.48 2.72 2.8 2.72 1.82 1.52 ①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系； ②通过计算，判断该运动员第一次发球能否过网，并说明理由． (2)该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由． 【答案】(1)①；②能，理由见详解 (2)没有，理由见解析 【分析】（1）①由表中数据可得抛物线顶点，则设，再把表格中其它任意一组数据代入即可求出a值， ②当时，求得，再与球网高度比较即可得出答案． （2）令，求出抛物线与x轴的交点，再比较即可． 【详解】（1）解：①由表中数据可得抛物线顶点， 设 ， 把代入得， ∴所求函数关系为， ②当时，则， ∴能； （2）解：判断：没有出界 令，则， 解得（舍），， ∵， ∴没有出界． 【点睛】本题考查抛物线的应用，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的图象性质是解题的关键． 19．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，． （1）若， ①点A到轴的距离为_______； ②求此抛物线与轴的两个交点之间的距离； （2）已知点A到轴的距离为4，此抛物线与直线的两个交点分别为，，其中，若点在此抛物线上，当时，总满足，求的值和的取值范围． 【答案】（1）①8；②；（2）， 【分析】（1）①当时，，可得抛物线的顶点坐标为 ，即可求解； ②令，可得此抛物线与轴的两个交点为，即可求解； （2）根据点A到轴的距离为4，可得．分两种情况：①当时，抛物线为，由此抛物线与直线的两个交点分别为，，其中，得方程，从而得到，进而得到，然后把，，联立得 ，再由点在此抛物线上，当时，总满足，可得抛物线对称轴 在点的右侧，即可求解；②当时，抛物线为，由此抛物线与直线的两个交点分别为，，其中得方程 ，从而得到，进而求出，把 ，，联立得，由点在此抛物线上，当时，总满足，抛物线对称轴 在点的左侧，即可求解． 【详解】解：（1）①当时，， ∴抛物线的顶点坐标为 ， ∴点A到轴的距离为8； ②令，即， 解得：， ∴此抛物线与轴的两个交点为， ∴此抛物线与轴的两个交点之间的距离为； （2）∵点A到轴的距离为4， ∴，解得： ， ①当时 ， ∴抛物线为， ∵此抛物线与直线的两个交点分别为，，其中， ∴，即， ∴， 解得：， 把，，联立得： ， 解得：， ∵点在此抛物线上，当时，总满足， ∴抛物线对称轴 过点C或在点的右侧， ∴， ∴， ∵． ∴的取值范围为 ． ②当时 ， ∴抛物线为 ， ∵此抛物线与直线的两个交点分别为，，其中， ∴，即 ， ∴ ， 解得： ， 把 ，，联立得： ， 解得：， ∵点在此抛物线上，当时，总满足， ∴抛物线对称轴 过B点或在点的左侧， ∴， ∴， ∴， ∵． ∴无解． 综上，，的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，与一函数的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 四、根据二次函数图像的平移规律，确定二次函数的解析式（6个小题） 20．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到新抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， 所得抛物线的解析式为：． 故选：C． 21．在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式． 【详解】将抛物线先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是． 故选：D． 22．如果将抛物线向上平移3个单位长度，向左平移1各单位，得到新的抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规则：上加下减，左加右减，即可得出结论． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，向左平移1各单位，得到新的抛物线的表达式是， 故选：B． 23．将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换．根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：把抛物线，先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为：，即． 故选：C． 24．把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是二次函数图象与几何变换，解题关键是熟练掌握二次函数图象平移规律． 二次函数图象平移规律：（横坐标）左加右减，（纵坐标）上加下减．根据此规律即可求得新解析式． 【详解】解：依题得：抛物线向左平移个单位长度可得：； 再向上平移个单位长度可得， 故选：． 25．已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)抛物线可以由抛物线经过平移得到，请写出一种平移方式． 【答案】(1) (2)先向右平移1个单位长度、再向上平移3个单位长度或先向上平移3个单位长度、再向右平移1个单位长度（任选一个即可） 【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及将一般式化为顶点式、函数图像平移等知识，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键． （1）利用配方法即可将二次函数一般式化为顶点式； （2）根据函数图像平移法则：左加右减、上加下减，结合函数表达式，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 将化成的形式为； （2）解：由（1）中抛物线可化为， 抛物线经过平移得到可以是：①先向右平移1个单位长度、再向上平移3个单位长度；②先向上平移3个单位长度、再向右平移1个单位长度；（任选一个即可）． 五、比较函数值的大小（7个小题） 26．若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象与性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大， ∵抛物线上的点离对称轴较远，离对称轴较近， ∴， 故选：B． 27．若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二次函数解析式可得函数对称轴和增减性，再根据离对称轴的远近的点的纵坐标的大小比较，即可得出的大小关系． 【详解】解：二次函数的图像开口向下，对称轴为， ∴正好是抛物线的顶点坐标， ∴是二次函数的最大值， ∵在对称轴左侧，随的增大而增大， 又∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了比较函数值的大小，解决此题的关键是理解当二次函数开口向下时，在函数图像上距离对称轴越远的点，函数值越小；当二次函数开口向上时，在函数图像上距离对称轴越远的点，函数值越大． 28．已知抛物线为常数，，，是抛物线上三点，则，，由小到大依次排列为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当，随的增大而增大， ∵关于直线的对称点是， 且， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键． 29．在平面直角坐标系中，若点，在抛物线上，则 （填“”，“ ”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是把的值代入二次函数解析式，求出对应的值再比较即可． 【详解】点，在抛物线上， ；， ； 故答案为：． 30．在平面直角坐标系xOy中，抛物线 的对称轴为 点，， 在抛物线上． (1)当时，直接写出m与n的大小关系； (2)若对于 都有 求t的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质并分情况求解是解题的关键． （1）由，可知图象开口向上，且抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，对称轴为，，，由，可得； （2）分当，，， 四种情况，作函数图象，根据抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，确定关于的不等式，然后求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴图象开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， 当时，对称轴为，，， ∵， ∴； （2）解：当时，如图1， ∴在抛物线段上，在段上，在上， ∵对于，都有， ∴且， 且， 解得：； 当时，如图2， ∵对于，都有， ∴且， 解得：； 当时，如图3， ∵对于，都有， 又∵在图象中已包含最小值， ∴不存在的情况，即此种情况舍去； 当时，如图4， ∵对于，都有， 又∵， ∴，即此种情况与题意不符，舍去； 综上所述，t的取值范围为或． 31．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1)①____________（用含a的式子表示）； ②当时，求该抛物线与x轴的公共点的坐标； (2)已知点，，在该抛物线上，若，比较，，的大小，并说明理由． 【答案】(1)①；②； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要涉及到二次函数的开口方向、对称性以及增减性，熟知二次函数的基本性质是解决函数问题的关键． （1）①根据二次函数的对称轴公式求解即可； ②首先根据求出，然后得到抛物线解析式为，然后令求解即可； （2）根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）①对称轴为直线； ②∵， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴令，得， 解得， ∴抛物线与x轴的公共点的坐标为． （2）∵， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵关于的对称点为， ∴， ∴， ∴． 32．若点，，在抛物线上，则，，的大小关系为 （用“＞”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用对称性得点C关于对称轴的对称点D的坐标，这样A、B、D三点均在抛物线对称轴的左侧，由二次函数的性质即可判断，，的大小关系． 【详解】解：抛物线解析式为，则抛物线的对称轴为直线， 故点C关于对称轴的对称点D的坐标为， 而，且， 所以当时，函数值随自变量的增大而减小， 故， 故答案为：． 六、根据二次函数增减性求字母的取值范围（3个小题） 33．已知二次函数． (1)求此函数图象的对称轴和顶点坐标： (2)画出此函数的图象（不需要列表）； (3)若点和都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为； (2)见解析 (3)或 【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式求解即可； （2）根据画图象的步骤作图即可； （3）由函数图像过点和，根据函数图像求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：函数图像如下图所示： （3）解：当时，， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴函数图像过点和， ∴由函数图像可知，当时，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，画二次函数图像，图像法求自变量的取值范围，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 34．在平面直角坐标系中，点，，（点，不重合）在抛物线（）上． (1)当时，求二次函数的顶点坐标； (2)①若，则的值为______； ②已知二次函数的对称轴为，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）先将代入抛物线，然后再化成顶点式即可解答； （2）①先分别求得，再根据得到关于a的分式方程求得a的值，再看是否与B、C重合即可解答；先求得抛物线的对称轴为，然后分和两种情况，分别根据二次函数的增减性和对称性即可解答． 【详解】（1）解：将代入抛物线可得：． 所以二次函数的顶点坐标为． （2）解:①将代入可得： 将代入可得： ∵ ∴ 解得： 经检验：是分式方程的解 ∴当时， ∵ ∴点B与点C重合，故，即； ②二次函数的对称轴为，即 当时，，二次函数图像开口向上，当 时，y随x的增大而增大 由轴对称可得点关于的对称点为 ∵ ∴，即 当时，，二次函数图像开口向下，当 时，y随x的增大而增大 由轴对称可得点关于的对称点为 ∵ ∴，即 综上，或，即或． 【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的性质、二次函数的增减性和对称性等知识点，灵活应用二次函数的性质成为解答本题的关键． 35．在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上． (1)直接写出这个二次函数的解析式； (2)当时，函数值的取值范围是，求n的值； (3)将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为，当时，y随x的增大而减小，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入二次函数解析式即可求解； （2）求出抛物线的对称轴为，由函数图象开口向上可知，当时，y随x的增大而减小，因此当时，解关于n的一元二次方程即可求解； （3）根据平移的性质得出，利用“时，y随x的增大而减小”得出，再将代入二次函数解析式可得，进而可得出k的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为． （2）解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小， 当时，， 当时，， ∵当时，函数值的取值范围是， ∴， 解得，， ∵， ∴． （3）解：∵原二次函数的解析式为，平移后的图象对应的函数表达式为， ∴根据平移的性质可知， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， ∵平移后的图象经过原点O， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查二次函数与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，解第2问的关键是利用二次函数的单调性找出关于n的一元二次方程，解第3问的关键是利用二次函数图象上点的坐标特征得出． 七、确定二次函数一般式的最值及其图像的对称轴、顶点坐标（3个小题） 36．如表记录了二次函数中两个变量x与y的5组对应值，其中，根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（    ） x … x1 x2 1 3 … y … m 0 2 0 m … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与性质，掌握二次函数表达式的求法是解决问题的关键．根据表中数据得出对称轴，进而得到抛物线与x轴的交点，利用交点式得到，从而得到二次函数表达式为，根据当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，可得结论． 【详解】解：由可得抛物线对称轴， 又由以及对称轴可得， 抛物线与x轴的交点为，则设抛物线交点式为， 与对比可得，解得， 二次函数表达式为， 当时，； 当时，； 当时，最大值， 当时，直线与该二次函数图象有两个公共点， ， 故选：C． 37．在平面直角坐标系中，已知抛物线. (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（）把代入，转化成顶点式即可求解； （）分和两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解； 本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：分两种情况：抛物线的对称轴是直线； 当时，如图，此时， ∴， 又∵， ∴； 当时，如图，此时， 解得， 又∵， ∴； 综上，当或，都有． 38．已知抛物线． (1)求此抛物线的顶点的坐标； (2)若抛物线经过点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查二次函数与方程的关系： （1）将二次函数解析式化为顶点式求解． （2）令，求出抛物线与x轴的交点坐标，分类讨论或，结合图象求解． 【详解】（1）解： ， ∴抛物线顶点坐标为． （2）解：∵抛物线， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 令， 解得， ∴， ∵， ∴或， 分类讨论： （a）如图，当时， ， 当时，取最小值为， 所以； （b）如图，当时， ， 将代入得， 所以， 综上所述，或． 八、根据二次函数的对称性求参数的值（4个小题） 39．在平面直角坐标系中，点，是抛物线上的两点（，不重合）． (1)若，求的值； (2)若点在抛物线上，且对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图像上的点的坐标特征，解题的关键是掌握时，离对称轴越近的点，其纵坐标越小，再分类讨论可得答案； （1）由可得对称轴是直线，解得：； （2）由，可知离对称轴水平距离越近的点，其纵坐标越小，再分类讨论可得答案； 【详解】（1）解：由题意得， ，点，是抛物线上的两点， 对称轴是直线， ， （2）抛物线， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 点在抛物线上，且对于， 点在对称轴右侧， 点关于对称轴的对称点为， 当时， ， ， 当时， ，则，不符合题意； 综上所述，的取值范围是 40．在平面直角坐标系中，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． (1)若对于，有，求的值； (2)若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． （1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解； （2）分和两种情况，分别进行求解即可． 【详解】（1）解：∵对于，有， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴为． ∴； （2）解：∵当，， ∴，， 当，， ∴离对称轴更近，，则与连线的中点在对称轴的右侧， ∴， 即． 当，， ∴离对称轴更近，，则与连线的中点在对称轴的左侧， ∴， ∴． 综上可知，或． 41．在平面直角坐标系中，为抛物线上任意两点，其中． (1)若且，求的值． (2)已知且，若对于，都有，求t的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的对称性等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质． （1）根据，得出抛物线的对称轴为直线，即可确定两点关于直线对称，根据抛物线对称性即可求解． （2）根据得出抛物线为，在直线右侧，且在的左侧，根据若对于，都有， 即可确定，即可求解； 【详解】（1）若，则抛物线为， 故抛物线的对称轴为直线， ∵，， 故两点关于直线对称， ∴． （2）若，则抛物线为， 抛物线的对称轴为直线，且， ∵抛物线开口向上，故当时，y随x的增大而增大， ∴在直线右侧，且在的左侧， 若对于，都有， 则， ∵ ， ∴， 解得：， ∴． 42．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点．设抛物线的对称轴是． (1)若对于，，有，求的值； (2)若对于，都有成立，并且对于，存在，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数的图像与性质，解题的关键在于分类讨论，借助于图象及不等式的性质进行求解． （1）根据对称点即可求对称轴； （2）由题意可知，抛物线与轴的交点为，①当时，抛物线开口向上，不成立；②当时，抛物线开口向下，且经过，，若抛物线经过点，则，若抛物线经过点，则，（i）当时，或，不合题意，（ii）当时，，因此对于，存在，对于，都有，所以成立；（iii）当时， 不合题意，故． 【详解】（1）解：由题意得与 对称轴对称， ∴； （2）解：由题意可知，抛物线与轴的交点为， ①当时，抛物线开口向上， 当时，有最小值，没有最大值， 与“对于，都有”不符，所以不合题意， 不成立． ②当时，抛物线开口向下，且经过，， 若抛物线经过点，则， 若抛物线经过点，则， （i）当时，或， 对于，都有， 与“对于，存在”不符，所以不合题意， （ii）当时，， ∴对于，存在， 对于，都有， 成立； （iii）当时， 当时，， 与“对于，都有”不符，所以不合题意， 综上所述：． 九、利用待定系数法求二次函数解析式（5个小题） 43．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与二次函数的图象交于点． (1)求一次函数与二次函数的表达式； (2)设是直线上一点，过点作轴，交二次函数的图象于点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点坐标为，，， 【分析】（1）由待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （2）求出点坐标，根据平行四边形性质，设，，由列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵过点， ∴，解得， ∴一次函数表达式为：； ∵点在上， ∴，即， ∵点在上， ∴，解得， ∴二次函数表达式为：； （2）解：∵点在轴上，且在上， ∴，即， 如图所示： ∵以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ∴， 设，，则有， 或，解得或， 是直线上的点， ∴点坐标为，，，． 【点睛】本题考查一次函数与二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、直线与坐标轴交点坐标、抛物线与坐标轴交点、平行四边形性质、二次函数与平行四边形综合等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函数综合题型解法是解决问题的关键． 44．已知抛物线经过点． (1)用含a的式子表示c及抛物线的顶点坐标； (2)当时，所有x对应的函数值y都满足：，求a的取值范围． 【答案】(1)，抛物线的顶点坐标为 (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系及二次函数的图象和性质，掌握利用二次函数的性质是解题的关键． （1）把点代入，可得，之间的关系，利用顶点公式可得顶点坐标； （2）分两种情况讨论，当时，当时，得出关于的不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：把点代入， 可得， ， 则抛物线的顶点横坐标为， 当时，， 抛物线的顶点坐标为． （2）解：由题意可知，当时，所有x对应的函数值y都满足：， ∴当时，时，，即，解得； ∴； 当时，时，，即，解得； ∴ 综上，当时，所有对应的函数值都满足：，则或． 45．在平面直角坐标系中，点和点在抛物线（）上，设抛物线的对称轴为． (1)若，，求t的值； (2)已知点，在该抛物线上，若，，比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的对称性计算是解题的关键． （1）把点和点代入得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，根据对称轴方程即可得答案； （2）根据得出当时，y随x的增大而增大，判断出，在对称轴的左侧，根据二次函数的对称性得出点关于对称轴的对称点坐标为，点关于对称轴的对称点坐标为，进而得出即可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴把点和点代入得：， 解得：， ∵对称轴为， ∴． （2）∵， ∴当时，y随x的增大而增大． 令，得， ∴抛物线与y轴交点坐标为． ∵，，， ∴，在对称轴的左侧， 设点关于对称轴的对称点坐标， ． ． ∴点关于对称轴的对称点坐标为． ∵， ． ． 点在对称轴左侧，点在对称轴右侧． 设点关于对称轴的对称点坐标， ． ． ∴点关于对称轴的对称点坐标为． ． ． 46．“兔飞猛进”谐音成语“突飞猛进”．在自然界中，野兔善于奔跑跳跃，“兔飞猛进”名副其实．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系．通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行的测量，得到以下数据：根据数据，回答下列问题： 水平距离 0 0.4 1 1.4 2 2.4 2.8 竖直高度 0 0.48 0.9 0.98 0.8 0.48 0 (1)①野兔本次跳跃的最远水平距离为 m，最大竖直高度为 m； ②求满足条件的抛物线的解析式； (2)已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为，最大竖直高度为．若在野兔起跳点前方处有高为的篱笆，则野兔此次跳跃能否跃过篱笆？请说明理由． 【答案】(1)①2.8；②0.98 (2)野兔此次跳跃能跃过篱笆． 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）①根据表中数据得出结论； ②设出抛物线解析式的顶点式，用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先根据兔子跳跃的最远水平距离为m，最大竖直高度为m，求出函数解析式，再把代入解析式求出与0.8比较即可． 【详解】（1）解：①由，和，可知， 野兔本次跳跃的最远水平距离为（米， 对称轴为直线， 当时，有最大值0.98， 野兔本次跳跃的最大竖直高度为0.98米， 故答案为：2.8，0.98； ②设抛物线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设野兔在某次跳跃时抛物线的解析式为， 根据题意得：， 解得， 野兔在某次跳跃时抛物线的解析式为， 当时，， ， 野兔此次跳跃能跃过篱笆． 47．如图，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心处竖直安装一根高度为的水管，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分． 建立如图所示的平面直角坐标系，测得喷出水流距离喷水池中心的最远水平距离为，水流竖直高度的最高处位置距离喷水池中心的水平距离为． (1)求喷出水流的竖直高度（）与距离水池中心的水平距离（）之间的关系式，并求出水流喷出的最大高度的长； (2)安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变），若水管的高度增加时，则水流离喷水池中心的最远水平距离为______． 【答案】(1)，水流喷出的最大高度的长为 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键 （）根据待定系数法即可求得函数解析式，再利用二次函数的性质即可求得最大高度的长； （）根据待定系数法即可求得平移后的函数解析式，再令即可求解． 【详解】（1）解：由题意，点坐标为，点坐标为． 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点，点， ∴． ∴． ∴． ∴时，． ∴水流喷出的最大高度为． （2）解：由题意，∵抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变, ∴可设抛物线为． ∵此时为， ∴． ∴． ∴抛物线为． 令， ∴或，不合题意． ∴水流离喷水池中心的最远水平距离为． 故答案为：． 十、二次函数与一次函数的综合问题（5个小题） 48．已知二次函数的图象经过点，． (1)求该函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于二次函数的值，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式之间的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可知当时，恒成立，因此只需要满足n不大于，当时，的值即可． 【详解】（1）解：把代入中得：， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：当时，则， 令， ∵函数开口向上，对称轴为直线， ∴当时，S随x增大而增大， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于二次函数的值， ∴当时，恒成立， 当时，， ∴． 49．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质，可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致，反之也可，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下． 【详解】解：A、由一次函数的图象可知 由二次函数的图象可知，两者相矛盾，故选项不符合题意； B、由一次函数的图象可知 ，由二次函数的图象可知，两者相吻合，故选项符合题意； C、由一次函数的图象可知由二次函数的图象可知，两者相矛盾，故选项符合题意； D、由一次函数的图象可知由二次函数的图象可知，两者相矛盾，故选项符合题意； 故选：B． 50．学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为，（单位：克）． 下面是某研究小组的探究过程，请补充完整： 记录，与x的几组对应值如下： x（分钟） 0 5 10 15 20 … （克） 25 23.5 20 14.5 7 … （克） 25 20 15 10 5 … (1)在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值所对应的点，，并画出函数，的图象；    (2)进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，与x之间近似满足二次函数：．场景B的图象是直线的一部分，与x之间近似满足一次函数（）．则 ， ， ； (3)查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为，，则 （填“”，“”或“”）． 【答案】(1)见详解 (2)，， (3) 【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数的应用，读懂题意是解答本题的关键． （1）依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解； （2）根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可； （3）依据题意，分别求出当时的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）由题意，作图如下．    （2）解：由题意，场景的图象是抛物线的一部分，与之间近似满足函数关系． 又点，在函数图象上， ． 解得：． 场景函数关系式为． 对于场景的图象是直线的一部分，与之间近似满足函数关系． 又，在函数图象上， ． 解得：． 场景函数关系式为． ∴，，． （3）解：由题意，当时， 场景中，， 解得：（舍）， 即：， 场景中，， 解得：， ． 51．一小球M从斜坡上的点O处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达最高点的坐标为． (1)求抛物线的函数解析式（不写自变量x的取值范围）； (2)若要在斜坡上的点B处竖直立一个高4米的广告牌，点B与抛出点O的水平距离为2，请判断小球M能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由； (3)直接写出小球M在飞行的过程中离斜坡的最大高度． 【答案】(1)， (2)小球M能飞过这棵树；理由见解析 (3) 【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为，把代入即可确定抛物线解析式； （2）将分别代入两个函数求解，比较即可． （3）设小球M在飞行的过程中离斜坡的高度为h米，先根据抛物线和一次函数的解析式可得出h关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵小球到达的最高的点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 把代入得，， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）当时，，， ∵， ∴小球M能飞过这棵树； （3）小球M在飞行的过程中离斜坡的高度， ∴小球M在飞行的过程中离斜坡的最大高度为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． 52．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象过A，B两点，且与x轴的另一交点为点C，BC＝2； (1)求点C的坐标； (2)对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2． ①求二次函数的表达式； ②设点A在抛物线上的对称点为点D，记抛物线在C，D之间的部分为图象G（包含C，D两点）．若一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与图象G有公共点，结合函数图象，求k的取值范围． 【答案】(1)（1，0）或（5，0）； (2)①y＝2x2−8x＋6；②0＜k≤2． 【分析】（1）把y＝0代入y＝−2x＋6中，可得B的坐标，已知中BC＝2，即可得C的坐标； （2）①在y＝−2x＋6中令x＝0，则可求A的坐标．设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，分别把A、B代入抛物线解析式，求出C（1，0）和C（5，0）时抛物线解析式．由已知条件知x＞2时，二次函数y随x的增大而增大，即可得抛物线表达式； ②根据抛物线对称性可得D坐标为（4，6），求出直线CD的解析式为y＝2x−2，可知E（0，－2）在直线CD上，且直线y＝kx−2过点E（0，－2），如图，直线y＝k2x−2过E点且与二次函数图象只有一个交点F，求出此时k2的值，即可确定k的取值范围． 【详解】（1）解：令y＝−2x＋6中y＝0， 则x＝3， ∴B点为（3，0）， ∵C在x轴上且BC＝2， ∴C的坐标为（1，0）或（5，0）； （2）解：①设二次函数的表达式为：y＝ax2＋bx＋c， 令y＝−2x＋6中x＝0，则y＝6， ∴A点为（0，6），把A点（0，6）代入到二次函数中，得6＝c， 把B（3，0）代入到二次函数中得：0＝9a＋3b＋6， 当C为（1，0）时，代入得0＝a＋b＋c＝a＋b＋6， 解得：a＝2，b＝−8， ∴y＝2x2−8x＋6； 当C为（5，0）时，代入得0＝25a＋5b＋c＝25a＋5b＋6， 解得：a＝，b＝−， ∴y＝， ∵任意两点P1（x1，y1）P2（x2，y2），当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2， ∴当x＞2时，二次函数y随x的增大而增大， 当二次函数解析式为y＝2x2−8x＋6时，对称轴为直线x＝， ∵a＝2＞0， ∴抛物线开口向上， ∴当x＞2时，二次函数y随x的增大而增大，符合要求； 当二次函数解析式为y＝时，对称轴为直线x＝， ∵a＝＞0， ∴抛物线开口向上， ∴当2＜x＜4时，二次函数y随x的增大而减小，不符合要求，舍去， 综上，二次函数解析式为y＝2x2−8x＋6； ②∵A（0，6），二次函数y＝2x2−8x＋6的对称轴为x＝， ∴D点坐标为（4，6）， 设直线CD解析式为y＝ax＋b， 把C（1，0）、D（4，6）代入得：， 解得：， ∴直线CD解析式为y＝2x−2， ∴直线CD必过点E（0，－2）， ∵直线y＝kx−2必过点E（0，－2）， ∴如图，作直线y＝k1x−2过C、D、E点，则k1＝2，直线y＝k2x−2过E点且与二次函数图象只有一个交点F， 联立得：，整理得：， 令△＝（8＋k2）2−4×2×8＝0， 解得k2＝0， ∵k2≠0， ∴当0＜k≤2时，一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与图象G有公共点． 【点睛】本题考查二次函数应用，解决本题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式和一次函数的解析式，二次函数的性质，一次函数与二次函数的交点问题等． 十一、二次函数的探究性问题（4个小题） 53．学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为，(单位：克)． 下面是某研究小组的探究过程，请补充完整： 记录，与x的几组对应值如下： x(分钟) 0 5 10 15 20 … (克) 25 23.5 20 14.5 7 … (克) 25 20 15 10 5 … (1)在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象； (2)进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，与x之间近似满足函数关系．场景B的图象是直线的一部分，与x之间近似满足函数关系．请分别求出场景A，B满足的函数关系式； (3)查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用．在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为，则 (填“＞”，“=”或“＜”)． 【答案】(1)见详解 (2)， (3)＞ 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意是解答本题的关键． （1）依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解； （2）根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可； （3）依据题意，分别求出当时x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，作图如下． ； （2）解：由题意，场景A的图象是抛物线的一部分，与x之间近似满足函数关系. 又点在函数图象上， ∴． 解得：． ∴场景A函数关系式为． 对于场景B的图象是直线的一部分，与x之间近似满足函数关系 又在函数图象上， ∴． 解得：． ∴场景B函数关系式为． （3）解：由题意，当时， 场景A中， 场景B中，， 解得：， ∴． 54．兴寿镇草莓园是北京最大的草莓基地，通过一颗颗小草莓，促进了农民增收致富，也促进了农旅融合高质量发展．小梅家有一个草莓大棚，大棚的一端固定在离地面高的墙体处，另一端固定在离地面高的墙体处，记大棚的截面顶端某处离的水平距离为，离地面的高度为，测量得到如下数值： 0 1 2 4 5 1    小梅根据学习函数的经验，发现是的函数，并对随的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小梅的探究过程，请补充完整： (1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；    解决问题： (2)结合图表回答，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为___________；此时距离的水平距离为___________； (3)为了草莓更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面时补光效果最好，若在距离处水平距离的地方挂补光灯，为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是多少？（灯的大小忽略不计） 【答案】(1)见解析 (2)4；3 (3)为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是． 【分析】（1）描点，连线，即可画出函数的图象； （2）结合图表回答，即可解答； （3）利用待定系数法求得抛物线的解析式，令，求得函数值，即可解答． 【详解】（1）解：描点，连线，函数的图象如图所示，   ； （2）解：根据图表知，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为；此时距离的水平距离为； 故答案为：4；3； （3）解：设抛物线的解析式为， 把，，，代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， ， 答：为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据点的坐标画出函数图象是解题关键． 55．有这样一个问题：探究函数的性质． (1)先从简单情况开始探究： ①当函数为时，随增大而_______填“增大”或“减小”； ②当函数为时，它的图象与直线的交点坐标为_______； (2)当函数为时，如表为其与的几组对应值，则_______． ①如图，在平面直角坐标系中，描出了该函数部分对应值为坐标的点，请大致画出该函数的图象； ②结合函数图象，估计方程的解可能为_______． 【答案】(1)①增大；②， (2)3；①见解析；② 【分析】（1）由的系数的正负求解． 令，求出的值，进而求解． （2）将代入解析式求解即可求得． 根据图象中所描点及函数解析式求解． 结合图象求解． 【详解】（1）， 随增大而增大， 故答案为：增大． 令， 解得，， 交点坐标为， 故答案为：， （2）将代入得， ． 故答案为：． ①如图， ②由图象估计，直线与函数图象交点横坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的性质，解题关键是掌握函数与方程的关系，并能从图象中获取正确的信息． 56．某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究． 下面是小红的探究过程，请补充完整： (1)经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表． d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4 h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.88 在d和h这两个变量中，________是自变量，________是这个变量的函数； (2)在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象； (3)结合表格数据和函数图象，解决问题： ①桥墩露出水面的高度AE为_______米； ②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为_______米．（精确到0.1米） 【答案】(1)d，h (2)见解析 (3)①0.88；②则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米． 【分析】（1）根据函数的定义即可解答； （2）描点，连线，画出图象即可； （3）①观察图象即可得出结论；②求出抛物线的解析式，令h=2解答d的值即可得答案． 【详解】（1）解：根据函数的定义，我们可以确定，在d和h这两个变量中，d是自变量，h是这个变量的函数； 故答案为：d，h； （2）解：描点，连线，画出图象如图： ； （3）解：①观察图象，桥墩露出水面的高度AE为0.88米； 故答案为：0.88； ②设根据图象设二次函数的解析式为h=ad2+bd+0.88， 把(1，2.38)，(3，2.38)代入得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为h=-0.5d2+2d+0.88， 令h=2得：-0.5d2+2d+0.88=2， 解得d3.3或d0.7， ∴则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出二次函数的解析式． 十二、二次函数图像与系数的关系（5个小题） 57．抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③若，则时的函数值大于时的函数值；④点一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数的图象和性质，利由抛物线的位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的对称性和二次函数的增减性可对③进行判断；抛物线的对称性得出点的对称点是，由即可得出，则可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故①错误； ∵抛物线交y轴的正半轴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， 而点关于直线的对称点的坐标为，即抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵若， ∴， ∴时的函数值小于时的函数值， ∵横坐标是的点的对称点的横坐标为， ∴时的函数值等于时的函数值， ∴时的函数值小于时的函数值， 故③错误； ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴抛物线为， ∵抛物线经过点， ∴，即， ∴， ∴， ∵点的对称点是， ∴点一定在此抛物线上，故④正确． 故选：C． 58．如图，抛物线经过点．下面有四个结论：①；②；③；④关于的不等式的解集为．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质以及与一次函数的解集，根据图像开口可得①错误；根据对称轴可判断②正确；由时，，即可判断③正确；利用二次函数与一次函数的图像位置关系可判断④正确． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴， 则①错误． ②∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，且与x轴的交点一个为另外一个在2到3之间， ∴， ∵ ∴， ∴， 则②正确． ③由图象可知，当时，， ∴， 则③正确． ④，可变式为， 令， ∵一次函数，过点和，则一次函数与抛物线图象如图， 的解集为． 则④正确． 故选：D． 59．平面直角坐标系中，已知二次函数的部分图象如图所示，给出下面三个结论： ①；② 二次函数有最大值4；③ 关于x的方程有两个实数根，．上述结论中，所有正确结论的序号是（　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数图象的性质等等，根据开口向下可得，根据对称轴为直线得到，由此可判断①；根据顶点坐标为，即可判断②；根据对称性求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，即可判断③。 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， ∵二次函数对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由函数图象可知，该二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数有最大值4，故②正确； ∵二次函数与x轴的一个交点坐标为， ∴由对称性可知，二次函数与x轴的另一个交点坐标为， ∴关于x的方程有两个实数根，，故③正确； 故选D. 60．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，．给出下面三个结论：①；②；③关于的一元二次方程有两个异号实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③/③② 【分析】本题主要考查图像与二次函数系数之间的关系，由函数图象过点，列方程组判断①，由顶点的性质即可判断②，根据直线在直线的下面，即可判断③． 【详解】∵二次函数的图象经过点，． ∴， 解得，故①错误； ∵， ∴， ∴直线， ∴当时，有最大值， ∴， 即，故②正确； ∵，， ∴直线在直线的下面， ∵当时，， ∴直线于抛物线的交点的在轴的两侧， 故关于的一元二次方程有两个异号实数根，故③正确， 故答案为：②③． 61．已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线，其部分图象如图，则以下四个结论中：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，①根据抛物线开口向下可得，对称轴在y轴右侧，得，抛物线与y轴正半轴相交，得，进而即可判断； ②根据抛物线对称轴是直线，即，可得进而可以判断；③当时，，即，根据,可得，即可判断；④根据顶点坐标和进而可以判断． 【详解】解：①根据抛物线开口向下可知：， ∵对称轴在y轴右侧，即：， ∴， ∵抛物线与y轴正半轴相交， ∴， ∴， ∴①错误； ②∵抛物线对称轴是直线，即， ∴ ∴，故②正确； ③由图象知，与关于对称轴对称， 当时，， 即， ∵, ∴，故③正确； ④∵, ∴， 如果, 那么, ∵， ∴, 根据抛物线与y轴的交点，可知， ∴结论④正确． 故答案为：②③④． 十三、二次函数图像与一元二次方程的解（4个小题） 62．在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于的方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与一元二次方程的关系；依题意，关于的方程的根即抛物线与的交点的横坐标，根据函数图象即可求解． 【详解】解：依题意，与无交点，即关于的方程的根的情况为没有实数根， 故选：D． 63．如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数图象与方程的关系，方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解． 【详解】解：∵方程的解就是二次函数与一次函数两个函数交点的横坐标， ∵一次函数与二次函数的图象相交于点，． ∴的解为； 故答案为：． 64．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，并且过和，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据点和在二次函数的图象上，可以得到该函数的对称轴，再根据二次函数的图象与轴交于，两点和二次函数的性质，即可得到点的横坐标，从而可以写出点的坐标． 【详解】解：点和在二次函数的图象上， 该函数图象的对称轴为直线， 二次函数的图象与轴交于，两点， 点的横坐标为：， 点的坐标为， 故答案为：． 65．已知抛物线 与直线相交于点和点，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与直线交点问题，方程的解即为交点的横坐标． 【详解】∵抛物线 与直线相交于点和点， ∴关于x的方程的解为， 故答案为：． 十四、二次函数的图像与x轴的交点问题（3个小题） 66．已知二次函数． (1)求此二次函数图象的顶点坐标； (2)求此二次函数图象与x轴的交点坐标； (3)当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标 (2)与x轴的交点坐标为、 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． （1）把一般式配成顶点式可得到抛物线的顶点坐标； （2）解方程可得到抛物线与x轴的交点坐标； （3）画出二次函数图象，利用函数图象写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标； （2）解：当时，， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为； （3）解：二次函数的函数图象如图所示： 结合函数图象得或时，． 67．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）． (1)若，求抛物线的对称轴及A，B两点的坐标； (2)已知点，，在该抛物线上，若，，中有且仅有一个大于0，求a的取值范围． 【答案】(1)，，对称轴：直线． (2)，． 【分析】本题考查抛物线与x轴交点、二次函数的图象与性质等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，属于中考常考题型． （1）将代入二次函数，求得二次函数解析式，再令，解方程即可得出抛物线的对称轴及A，B两点的坐标； （2）将抛物线解析式整理成顶点式，再令，解方程即可得出抛物线与x轴交点坐标，最后根据二次函数图象与性质进行分类讨论即可． 【详解】（1）将代入二次函数，得：， 令，得， 解得：， ，，对称轴：直线． （2）将抛物线解析式整理得． 令，得， 解得：， ∴抛物线与x轴交点坐标分别为，． ∵抛物线开口向上，且， ∴结合图象可知． ∵，，中有且只有一个大于零，． ∴①当时，． ，解得． ②当时，． ，解得． 综上所述，，． 68．已知二次函数. (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)求该二次函数图象与轴、轴的交点坐标； (3)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象. 【答案】(1)顶点坐标 (2)抛物线与轴交点为，；抛物线与轴交点为 (3)见解析 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征； （1）将函数关系式运用配方法配成顶点式即可解答； （2）令，得一元二次方程，求出的值，可得函数图象与轴的交点，令，可得的值，从而可得函数图象与轴的交点； （3）根据函数解析式，可以写出该函数的顶点坐标和图象上的几个点的坐标，从而可以画出相应的函数图象． 【详解】（1） ∴顶点坐标 （2）令，得 解得， 抛物线与轴交点为，； 令，则 抛物线与轴交点为 （3）列表如下： 如图所示 十五、利用二次函数图像与x轴的交点情况求字母的值（5个小题） 69．若抛物线与x轴只有一个交点，则m的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题．二次函数与轴有两个交点，则；与轴有一个交点，则；与轴没有交点，则．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：． 解得：， 故选：D 70．经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（    ） A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】B 【分析】根据题意，求得对称轴，进而得出，求得抛物线解析式，根据抛物线与轴有交点得出，进而得出，则，求得的横坐标，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线 ∵抛物线经过两点 ∴， 即， ∴， ∵抛物线与轴有交点， ∴， 即， 即，即， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，与轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 71．请写出一个常数a的值，使得二次函数的图像与x轴没有交点，则a的值可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数与x轴交点问题，解一元一次不等式．根据题意可知，正确解出不等式并写出一个符合解集的a即为本题答案，本题答案不唯一． 【详解】解：∵二次函数的图像与x轴没有交点， ∴， ∴， ∵写出一个常数a的值， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 72．若抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有两个交点，则m的值为 ． 【答案】m＜9 【分析】令y＝0，则x2+6x+m＝0，由题意得Δ＞0，解不等式即可得出m的取值范围． 【详解】解：令y＝0，则x2+6x+m＝0， ∵抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有两个交点， ∴Δ＝62﹣4×1×m＞0． 解得：m＜9． 故答案为：m＜9． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，利用抛物线与x轴有两个交点时Δ＞0是解题的关键． 73．已知二次函数的图象过点 (1)求证：； (2)求证：此二次函数的图象与x轴必有两个交点； (3)若二次函数的图象与x轴交于点、，，求b的值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)，； 【分析】（1）将点P代入二次函数化简即可证明； （2）令得到一元二次方程：，再利用（1）题结论求得方程的即可确定二次函数与x轴的交点个数； （3）由可得，两边平方可得，再化为，在一元二次方程中利用根与系数关系可得和的表达式，然后再代入解方程便可求得b值； 【详解】（1）证明：将点代入可得：， 整理得：； （2）证明：令可得一元二次方程：， 此方程， 由可得， ∴， ∴方程有两个不等的实数根， ∴此二次函数的图象与x轴必有两个交点； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， 在一元二次方程中，由根与系数关系可得： ，， ∵， ∴， 代入可得：， 整理得：， 解得：，； 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标意义，二次函数的图象与x轴的交点，一元二次方程根的判别式及根与系数的关系；掌握根的判别式和根与系数的关系是解题关键． 十六、二次函数与不等式（5个小题） 74．已知二次函数的部分图象如图所示，写出一个满足不等式的x的值，这个值可以是 . 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数与不等式组，数形结合是解题的关键．先求出时的的值，然后结合图象求解即可． 【详解】解：由图象可知，当时，， 当时，． 不等式的解为 满足不等式的的值可以是1． 故答案为：1（答案不唯一）． 75．在平面直角坐标系中，已知，，是抛物线上的三个点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若对于，，都有，求证：； (3)若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数的对称性是解题的关键． （1）根据对称轴运算求解即可； （2）设点关于对称轴的对称点为，利用对称性得到的取值范围，利用二次函数的图象性质求解即可； （3）分类讨论点的位置，再根据二次函数的对称性和图象性质的关系得到不等式，解不等式即可． 【详解】（1）∵二次函数解析式为， ∴抛物线的对称轴． （2）证明：设点关于对称轴的对称点为， ∵抛物线的对称轴，， ∴， ∵点，在对称轴左侧，，且， 根据二次函数性质，时，随的增大而减小， ∴， ∵， ∴，， ∴当时，， 把代入函数解析式得． （3）∵抛物线的对称轴，， ∴点在对称轴右侧， ①当点在对称轴右侧时， ∵时，， 根据二次函数性质，时，随的增大而增大， ∴， ②当点在对称轴左侧时， 设点关于对称轴的对称点为， ∵， ∵，， ∴， 根据二次函数性质，时，随的增大而增大， ∴，则， 综上可知，或． 76．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点．设抛物线的对称轴为直线． (1)若，，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质等知识， （1）将，代入解析式，得出即可得解； （2）分①当点在对称轴上或对称轴右侧时，②当点在对称轴上或对称轴左侧时两种情况讨论组成不等式组即可得解； 解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1），， ， ， ， （2）， 抛物线开口向下， 抛物线的对称轴为，， 点在对称轴的右侧， ①当点在对称轴上或对称轴右侧时， 抛物线开口向下， 在对称轴右侧，随的增大而减小． 由， ， ， 解得， ， ②当点在对称轴上或对称轴左侧时， 设抛物线上的点关于的对称点为， ，解得， ， ， ， 在对称轴右侧，随的增大而减小， 由， ， ， 解得， ， 综上所述，的取值范围是或． 77．已知二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示： x … 0 1 2 4 … y … 8 3 0 3 … (1)求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了待定系数法，图象法求自变量取值范围； （1）将，；，；，代入解析式，再根据顶点坐标公式，即可求解； （2）根据函数图象即可求解； 掌握待定系数法和数形结合法是解题的关键． 【详解】（1）解：由表格得 当，时； 当，时； 当，时； ， 解得：， ， 当时， ， 顶点坐标为； 故二次函数的解析式为，顶点坐标； （2）解：当时， ， 解得：，， 由图象得： 当时，或时， 故当时，x的取值范围为或． 78．在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)用描点法画出该二次函数的图象； (3)当时，对于x的每一个值，都有，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)二次函数的解析式为 (2)见解析 (3)k的取值范围 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质，二次函数与不等式(组)，数形结合是解题的关键； （1）利用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）利用描点法画出所给函数的图象即可； （3）由于当直线经过点时，利用一次函数和二次函数的性质，当时，函数的值大于二次函数的值 【详解】（1）点在二次函数的图象上， ，解得． 二次函数的解析式为． （2）列表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 0 3 … 描点，连线： （3）当直线经过点时解得，此时函数与二次函数的交点为和， 观察图象，当时，函数的值大于二次函数的值， 所以当时，对于x的每一个值，都有，k的取值范围． 十七、实际问题中的二次函数（8个小题） 79．某广场建了一座圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管，安装在水管顶端A处的圆形喷头向四周喷水，且各个方向喷出的抛物线形水柱形状相同．如图1，以池中心O点为坐标原点，水平方向为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．x轴上的点C，D为水柱的落水点，若落地直径，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高． (1)求图1中右边抛物线的解析式； (2)计划在图1中的线段上的点B处竖立一座雕像，雕像高，若想雕像不碰到水柱，请求出线段的取值范围； (3)圆形水池的直径为，喷水造型会随着音乐节奏起伏而变化，从而产生一组不同的抛物线（如图2），若右侧抛物线顶点始终在直线上，当喷出的抛物线水柱最大高度为时，水柱会喷到圆形水池之外吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)水柱会落在圆形水池外，理由见解析 【分析】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、二次函数的实际应用，解题关键是理解题意求出正确的二次函数解析式． （1）求出点和顶点坐标为，设顶点式，利用待定系数法解答即可； （2）将代入即可求得线段的取值范围； （3）求出点坐标，由题意设右侧喷出的最高抛物线解析式为，求出坐标解析式后可求抛物线喷出的最远距离，即可判断水柱是否会喷到圆形水池之外． 【详解】（1）解： ， ， ， ∵喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高． ∴顶点坐标为， 设右侧抛物线的解析式为：， 把代入得到，， 解得， ∴图1中右边抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得（不合题意，舍去） ∴线段的取值范围为； （3）解：水柱会落在圆形水池外，理由如下： 当时，， ∴点A的坐标为， 把代入 ， ， 当右侧喷出的抛物线最大高度为时， 设抛物线的解析式为：， 又上述抛物线过点，则 则， ， 当时，， ， ，（舍去）， 水柱会落在圆形水池之外． 80．如图，在边长为的正方形各边上取点，，，（可与，，，重合），使得四边形为正方形．设为，正方形的面积为．    (1)关于的函数表达式是________，自变量的取值范围是________； (2)在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中函数的图象； (3)当________时，正方形面积有最小值________． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)2；8 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，二次函数的应用，全等三角形的性质与判定： （1）由正方形的性质得到，证明，得到，则，利用勾股定理得到，则； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象即可； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）解；如图所示函数图象即为所求；    （3）解：， ∴当时，最小，最小值为8， ∴当时，正方形面积有最小值， 故答案为：2；8． 81．如图是某悬索桥示意图，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相等的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与水平的桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，设在距桥塔水平距离为x（单位：m）的地点，主索距桥面的竖直高度为y（单位：m），则y与x之间近似满足函数关系 小石通过测量获得y与x的几组数据如下： x（m） 0 4 8 24 32 40 48 64 y（m） 18 14.25 11 3 2 3 6 18 根据上述数据，解决以下问题 (1)主索最低点P与桥面的距离为___________m (2)求出主索抛物线的解析式； (3)若与点P水平距离为处，有两条吊索需要更换，求这两条吊索的总长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据表格中的数据可求得对称轴为，即，此时表格中对应的的值为，即可得米 （2）根据（1）所求结果，即可得，再将点代入抛物线解析式求得的值，即可求得抛物线的解析式 （3）与点P水平距离为处的点的横坐标为，将横坐标代入抛物线解析式即可求得吊索的长度 【详解】（1）∵根据表格中的数据，抛物线的对称轴为， ∴，此时表格中对应的的值为， ∴ （2）∵由（1）可知：，， ∴， ∴将点代入抛物线解析式得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为： （3）与点P水平距离为处的点的横坐标为， 将横坐标代入抛物线的解析式得： ， ∴这两条吊索的总长度为： 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答 82．如图1．是某景区的一个标志性建筑物——拱门观光台，拱门的形状近似于抛物线，已知拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，图2是从实际拱门中得出的抛物线，请你结合数据，求出拱门的高度． 【答案】米 【分析】以的中垂线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，求出坐标，设出抛物线的解析式，用待定系数法求出函数解析式，再令，求出的值即可． 【详解】解：如图所示建立平面直角坐标系． 此时，抛物线与x轴的交点为C(-100,0),  D(100,0)． 设这条抛物线的解析式为 ∵ 抛物线经过点B (50,150)，) 可得 解得．     ∴． 顶点坐标是（0，200） ∴ 拱门的最大高度为200米． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意正确的建立坐标轴可使问题简单化，解题关键是正确建立坐标轴和熟练掌握待定系数法求解析式． 83．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如表： x/元 … 15 20 25 … y/件 … 25 20 15 … 已知y是x的一次函数． （1）求日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式； （2）当每件产品的销售价定为35元时，此时每日的销售利润是多少元？ （3）销售价定为多少时，每日的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）此时每日的销售利润是125元；（3）销售价定为25元时，每日的销售利润最大，最大利润是225元． 【分析】（1）直接利用待定系数法得出y与x之间的关系式即可； （2）利用每件的利润×销量=总利润进而得出答案； （3）利用每件的利润×销量=总利润，再结合配方法得出函数最值． 【详解】（1）设，根据题意可得： ， 解得：， 故日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式为：； （2）当每件产品的销售价定为35元时， 此时每日的销售利润是：（元）， 答：此时每日的销售利润是125元； （3）设总利润为w，根据题意可得： ， ∵， ∴销售价定为25元时，每日的销售利润最大，最大利润是225元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，正确得出w与x之间的关系式是解题关键． 84．正面双手前掷实心球是发展学生力量和协调性的运动项目之一.实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从出手到着地的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系. 小明进行了三次训练. (1)第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 竖直高度y/m 2 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2 2.7 2 1.1 根据上述数据，求出满足的函数关系，并求出实心球着地点的水平距离； (2)第二次、第三次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x的函数图象的一部分如图所示，其中A，B分别为第二次、第三次训练抛物线的顶点. 记小明第二、三次训练时实心球着地点的水平距离分别为，，则，，的大小关系为______. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，实数大小比较，解题的关键是读懂题意，能够从表格中获取有用信息列出函数关系式． （1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出实心球竖直高度的最大值；选出表格中的数据，利用待定系数法即可求出函数解析式；再令求出的值即可； （2）根据三次投掷实心球所得抛物线的对称轴和抛物线都过点，由函数的对称性得出结论． 【详解】（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为， 抛物线的解析式可表示为：， 当时，， ， 解得， 函数解析式为； 令，则， 解得，（舍去）， ， 实心球着地点的水平距离为10米； （2）根据图象知，第二次、第三次抛物线的对称轴分别为直线和直线， 三次抛物线都过点，， 小明第一、第二、三次训练时实心球着地点的水平距离， 故答案为：． 85．如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长； (2)下边缘抛物线落地点B的坐标为______； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______． 【答案】(1)喷出水的最大射程为 (2) (3) 【分析】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． （1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点B的坐标； （3）根据点坐标以及草坪宽度可得结论． 【详解】（1）解：由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ∴ ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得（舍去）， ∴喷出水的最大射程为； （2）解：∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴点B的坐标为， 故答案为：； （3）解：∵， ， ，， ，， ， ∴要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为， 故答案为：． 86．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里表示起跳点到地面的距离，表示着陆坡的高度，表示着陆坡底端到点的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系：，已知，，落点的水平距离是40m，竖直高度是30m． (1)点的坐标是_____，点的坐标是_______； (2)求满足的函数关系； (3)运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离． 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】（1），落点的水平距离是40m，竖直高度是30m，即可得到点、的坐标； （2）用待定系数法求解即可； （3）由，先求出直线的表达式，作轴交抛物线和直线于点、，用含未知数的式子表示，再根据二次函数的性质进行判断即可． 【详解】（1）解：，落点的水平距离是40m，竖直高度是30m， ，； （2）解：把，代入 得，， 解得，， ； （3）解：， 设直线的表达式为， 把代入，得， 解得，， ， 设到竖直方向上的距离最大，作轴交抛物线和直线于点、， ， ， 当时，最大，即水平距离为时，运动员与着陆坡竖直方向上的距离达到最大． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 十八、二次函数与几何问题（6个小题） 87．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标； (3)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值； 【答案】(1) (2) (3)面积的最大值为2 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）根据对称轴得出当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，求出直线的解析式，求出抛物线的对称轴为直线，把代入求出点G的坐标即可； （3）连接，过点P作轴，交于点Q，根据点D是的中点，得出，当面积最大时，面积最大，设，则，用m表示出，求出其最大值，即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入抛物线得： ， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵点G是该抛物线对称轴上的动点， ∴， ∴， ∴当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小， 把代入得：， ∴点C的坐标为：， 设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴ 直线的解析式为：， 抛物线的对称轴为直线， 把代入得：， ∴点G的坐标为：； （3）解：连接，过点P作轴，交于点Q，如图所示： ∵点D是的中点， ∴， ∴当面积最大时，面积最大， 设，则， ， ， ∴当时，面积取最大值4， ∴面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，轴对称的性质，解题的关键是作出相应的辅助线，数形结合． 88．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点和，与y轴交于点C，抛物线上有一动点P，抛物线的对称轴交x轴于点E，连接，作直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为直线上方抛物线上一动点时，连接，当时，求点P坐标； (3)如果抛物线的对称轴上有一动点Q，x轴上有一动点N，是否存在四边形是矩形？若存在，在横线上直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）过点P作轴交于点F，先求出，可得，再求出直线的解析式为，然后设点P的坐标为，则点，可得，然后分两种情况讨论：当时点P在y轴左侧时，当时点P在y轴右侧时，结合，即可求解； （3）设点，，，根据矩形的对角线相等且互相平分，可得到，即可求解． 【详解】（1）解：把点和代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点P作轴交于点F， ∵点和， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴点，即， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则点， ∴， 当时点P在y轴左侧时， ∴ ， ∴， 解得：或（舍去）； 当点P在y轴右侧时，同理； 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：存在， 设点，，， ∵四边形是矩形， ∴，且的中点重合， ∴， 整理得：， 解得：或， ∴或， ∴点N的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，矩形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 89．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，点D是抛物线第四象限上的一动点，连接DC，DB，当S△DCB＝S△ABC时，求点D坐标； (3)如图2，在(2)的条件下，点Q在CA的延长线上，连接DQ，AD，过点Q作QP∥y轴，交抛物线于P，若∠AQD＝∠ACO+∠ADC，请求出PQ的长． 【答案】（1）；（2）；（3）6 【分析】（1）先求出B、C的坐标，然后代入二次函数的解析式，解方程组即可； (2)过D作DG⊥x轴于G，过C作CF⊥DG于F，过B作BE⊥CF于E．设D（x，y），则x＞0，y＜0．求出S△ABC．根据S△CBD=S△CDF－S△CEB－S梯形EBDF解方程解得到x的值，从而得到D的坐标； (3)连接AD，过D作DM⊥x轴于M．先求出直线CD的解析式为y=－x+2，得到CO=OR=2，则∠ORC=45°．再证明∠AQD=45°．通过勾股定理的逆定理得到AC2+AD2= DC2，即有∠CAD=90°，从而有△AQD是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得到AQ=AD．通过证明△QAN≌△ADM，得到NA，QN的长，进而得到ON=4，即可得到N（－4，0），则P点横坐标为x=-4，代入二次函数即可得到y的值，从而得到结论． 【详解】（1）在中，令y=0，解得：x=4，∴B(4，0)，令x=0，得：y=2，∴C(0，2)．把B(4，0)，C(0，2)代入中，得：，解得：，∴二次函数的表达式为：． (2)过D作DG⊥x轴于G，过C作CF⊥DG于F，过B作BE⊥CF于E．设D（x，y）． ∵D在第四象限，∴x＞0，y＜0． ∵B（4，0），C(0，2)，∴CE=OB=4，CO=BE=FG=2，EF=BG=x-4，DF=DG+FG=2-y，S△ABC=AB×OC=×（4+1）×2=5． S△CBD=S△CDF－S△CEB－S梯形EBDF=，化简得：x+2y=－1． ∵D（x，y）在二次函数上，∴，化简得：，∴（x－5）（x+1）=0，∴x=5或x=－1（舍去）． 当x=5时，y==－3，∴D（5，－3）． (3)如图，连接AD，过D作DM⊥x轴于M．设直线CD的解析式为y=kx+b，把C（0，2），D（5，－3）代入得到：，解得：，∴直线CD的解析式为y=－x+2，令y=0，解得：x=2，∴R(2，0)，∴CO=OR=2，∴∠ORC=45°． ∵∠ACO+∠CAO=90°，∠CAO+∠OAD=90°，∴∠ACO=∠OAD，∴∠ACO+∠ADC=∠OAD+∠ADC=∠ARC=45°，∴∠AQD=45°． ∵AC2=12+22=5，AD2=(5+1)2+32=45，DC2=52+(2+3)2=50，∴AC2+AD2=5+45=50= DC2，∴∠CAD=90°，∴∠QAD=90°． ∵∠AQD=45°，∴△AQD是等腰直角三角形，∴AQ=AD． ∵∠QAD=90°，∴∠NAQ+∠DAM=90°． ∵∠NAQ+∠AQN=90°，∴∠AQN=∠MAD．在△QAN和△ADM中，∵∠AQN=∠MAD，∠QNA=∠AMD=90°，AQ=AD，∴△QAN≌△ADM，∴NA=DM=3，QN=AM=6，∴ON=4，∴N（－4，0）．设P（x，y）． ∵QP∥y轴，∴P点横坐标为x=-4，∴y==－12，∴PN=12，∴PQ=PN-QN=12－6=6． 【点睛】本题是二次函数综合题．考查了用待定系数法求函数解析式，勾股定理及逆定理，全等三角形的判定与性质．综合性强，难度较大． 90．如图，抛物线的图象与x轴交点为A和B，与y轴交点为，与直线交点为A和C． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上是否存在一点M，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在请说明理由． (3)若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）先求得，然后将，代入，即可求函数的解析式； （2）设，根据是等腰三角形，分类讨论，根据勾股定理即可求解； （3）设点E的横坐标，分别求出，，，，当F点在抛物线上时，或，当G点在抛物线上时，或，结合图象可得时，四边形与抛物线有公共点． 【详解】（1）解：由得，时，， ∴． ∵抛物线经过、D两点， ∴，解得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：由，令，， 解得：， ∴； ∵， ∴， ∵是直线上的点，设， 当为斜边时，, ∴， 解得：， ∴ 当为直角时，, ∴ 解得：（根据图形，不合题意舍去） ∴ 综上所述，存在 （3）解：∵点E的横坐标， ∴， 由题可知，，，， 当F点在抛物线上时，， 解得或， 当G点在抛物线上时，， 解得或， ∴时，四边形与抛物线有公共点． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，数形结合解题是关键． 91．已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点P是抛物线上位于直线下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线于点D，交x轴于点E，当取最大值时，求点P的坐标及最大值． (3)在抛物线上是否存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且为一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M、N的坐标，不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)、 【分析】（1）把点和点代入抛物线，解方程即可得到a、b的值； （2）先用待定系数法求出直线的解析式，再设，则，，然后求出，由函数的性质求出取最大值时t的值，即可求出点P的坐标； （3）假设抛物线上是存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且为一条边的四边形为矩形，过点O作于一点H，可求得的解析式，则可设出过点A且与平行的直线解析式，经计算验证可得过点A的直线与抛物线有交点M，联立方程可求得M的坐标，通过平移即可求得点N的坐标． 【详解】（1）解：把点和点代入抛物线， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，点C的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时点P的坐标为； （3）解：过点O作于一点H，如图所示：   ， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴点H为的中点，即， 则所在的直线方程为， ∵四边形为矩形， ∴过A与直线相垂直的直线函数解析式中的k值与的解析式的k值相同， ∴设所在的直线解析式为， ∵点A在直线上， ∴可求得，即所在的直线解析式为， 联立的直线方程与抛物线的解析式， 得，解得或， 其中为点A的坐标，即， ∵四边形为矩形，且， 根据点A与点C的关系，把点M向下平移4个单位长度，再向左平移4个单位长度，可得到点N的坐标， 即． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，求二次函数的最值，特殊四边形的交点坐标，坐标平移，用待定系数法确定函数解析式是解本题的关键． 92．如图，抛物线与直线y=mx+n交于B（0，4），C（3，1）两点．直线与x轴交于点A，P为直线AB上方的抛物线上一点，连接PB，PO． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接PC，OC，△OPC和△OPB面积之比为1：2，求点P的坐标； （3）如图2，PB交抛物线对称轴于M，PO交AB于N，连接MN，PA，当MNPA时，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为：；（2）点P的坐标为：(，)；（3）点P的坐标为：(，) 【分析】（1）直接将B（0，4），C（3，1）代入，解方程组即可； （2）待定系数法求BC的解析式为，OC解析式为，设P(，)，由△OPC和△OPB面积之比为1：2，可得关于m的方程，求解即可得点P的坐标； （3）过点P作PD⊥y轴于点D，交抛物线对称轴于点E，过点N作NF⊥y轴于点F，设点P(，)，根据相似三角形性质可得方程求解即可． 【详解】（1）B（0，4），C（3，1）代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）B（0，4），C（3，1）代入， 得：， 解得：， 可得m=-1，n=4， ∴直线BC的解析式为：， 同理可求直线OC解析式为：， ∵P为直线AB上方的抛物线上一点， 设P(，)，则， 过点P作PD⊥y轴于D，作PF⊥x轴于F，交OC于G，过C作CE⊥x轴于E， ∴G(，)，E(3，0)， ∴PD=m，PG=()，OE=3， S△OBP=OB•PD=2m， S△OPC=OE•PG， ∵△OPC和△OPB面积之比为1：2， ∴， 整理得：， 解得：(舍去)， ， ∴点P的坐标为：(，)； （3）∵， ∴抛物线对称轴为直线， 如图2，过点P作PD⊥y轴于点D，交抛物线对称轴于点E，过点N作NF⊥y轴于点F， 设点P(，)，则DP=， DE=1，PE， 同理可得直线OP解析式为：， 联立方程组， 解得：， ∴FN=， ∵MN∥PA， ∴， ∵ME∥y轴， ∴， ∵FN∥x轴， ∴， ∴，即：DE•OA=FN•DP， ∴， 解得：(舍去)， ， ∴点P的坐标为：(，)． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式，三角形面积，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等，解题关键是通过相似三角形性质以及平行线分线段成比例定理转化建立方程求解． $$