专题01 相似形（易错必刷72题 10种题型专项训练）（期末复习专项训练）九年级数学上学期北京版

专题01相似形（易错必刷57题 10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · · 比例线段 · 黄金分割 · 平行线分三角形两边成比例 · 相似多边形 · 相似三角形的判定 · 相似三角形的性质 · 在表格中画出相似三角形 · 相似三角形与动点问题 · 相似三角形的应用 · 相似三角形的综合问题 一、比例线段（5个小题） 1．已知，则 ． 【答案】4 【分析】先根据得到y=3x，再代入化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴y=3x， ∴． 故答案为：4 【点睛】本题考查了比例的性质，根据已知得到x与y的关系是解题的关键． 2．如果，那么的值是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 利用比例的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， 故选：C． 3．如果，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了比例的性质，根据已知条件得出，再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 4．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】∵， ∴设，（）， ∴， 故选：． 5．已知，那么下列比例式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用比例的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵，∴，与已知不符，符合题意； B、∵，∴，与已知相符，不符合题意； C、∵，∴，与已知相符，不符合题意； D、∵，∴，与已知相符，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查比例的性质．熟练掌握内项积等于外项积，是解题的关键． 二、黄金分割（3个小题） 6．古希腊人认为，最美人体是肚跻至足底的长度与人体的身高之比是，称为黄金分割比，著名的断臂维纳斯雕像便是如此．若某人身材大致满足黄金分割比例，且其肚跻至足底的长度为 ， 则此人身高大约为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据黄金分割的定义，即可求解． 【详解】解：依题意，此人身高大约为 故选：B． 【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 7．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工，如图，P是的黄金分割点（），那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割点是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值的分割点，进行判断即可． 【详解】解：∵P是的黄金分割点（）， ∴； 故选A． 8．如图，点是的黄金分割点，即点满足，若，则的长为（   ） A． B． C． D．0.618 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是熟记黄金比的值进行计算．根据黄金比的值为求解即可． 【详解】解：∵点是的黄金分割点，即点满足， ∴为较长线段， 由，得， 故选：A． 三、平行线分三角形两边成比例（7个小题） 9．如图，在中，点，，分别在边，，上，且，．若，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 的值为． 故选：A． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 10．如图，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理，得到比例式，进而判断即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 11．如图，，相交于点O，且．如果，，那么的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据得出，然后直接代入数据求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，得出． 12．在中，，平分交于点交于点，交于点，有以下结论：①四边形一定是平行四边形；②连接所得四边形一定是平行四边形；③保持的大小不变，改变的长度可使成立；④保持的长度不变，改变的大小可使成立，其中所有的正确结论是： ．（填序号即可） 【答案】/③① 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及三角形中位线定理的应用、等腰三角形的性质，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断①；只有一组对边平行，不能证明四边形一定是平行四边形，故可判断②；保持 的大小不变，改变的长度能使 成立，故可判断③；保持的长度不变，改变的大小不一定能使成立，故可判断④，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 【详解】解：①、 ∴四边形是平行四边形，故①符合题意； ②、只有一组对边平行，不能证明四边形一定是平行四边形，故②不符合题意； ③、改变的长度，与的交点为中点时，则 即为的中点， ∴是的中位线， ∵四边形是平行四边形， 故③符合题意； ④保持的长度不变且时， ∵平分 ∴为的中点， ∴ 即为的中点， ∴是的中位线， ∵四边形是平行四边形， ∴改变的大小都能使 当的长度不变且不等于时，点不是的中点， ∴不可能使成立，故④不符合题意， 综上所述，正确的结论是， 故答案为：． 13．如图，直线交于点O，．若，，．则的值为 ． 【答案】/0.75 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 14．如图，在矩形中，若，则的长为 ． 【答案】1 【分析】根据勾股定理求出BC，以及平行线分线段成比例进行解答即可． 【详解】解：在矩形中， ，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 15．如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE：EC＝ ． 【答案】1：3 【分析】作DFAE交BC于F，如图，利用OE∥DF得到＝1，所以BE＝EF，利用DFAE得到＝，所以CF＝2EF，然后计算BE：EC． 【详解】解：作DFAE交BC于F，如图， ∵OEDF， ∴＝1， 即BE＝EF， ∵DFAE， ∴＝， ∴CF＝2EF， ∴BE：EC＝BE：3BE＝1：3 故答案为1：3． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．过分点作平行线构建平行线分线段成比例定理的基本图形是解决问题的关键． 四、相似多边形（5个小题） 16．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如右图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第1个正方形的面积为 ；第n个正方形的面积为 ． 【答案】5； 【分析】由题意可求出AD=， 所以第1个正方形的面积为5；先利用ASA证明△AOD和△A1BA相似，根据相似三角形对应边成比例可以得到AB=2A1B，所以正方形A1B1C1C的边长等于正方形ABCD边长的 ，以此类推，后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的 ，然后即可求出第n个正方形的边长与第1个正方形的边长的关系，从而求出第n个正方形的面积为 ． 【详解】解：设正方形的面积分别为S1，S2…，Sn，根据题意， 得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，∴∠BAA1＝∠B1A1A2＝∠B2A2A3（同位角相等）． ∵∠ADO＋∠DAO＝90°，∠DAO＋∠BAA1＝90°， ∴∠ADO＝∠BAA1， 在直角△ADO中，根据勾股定理， 得：AD＝，tan∠ADO＝＝， ∵tan∠BAA1＝＝tan∠ADO， ∴BA1＝AB＝， ∴CA1＝， 同理，得：C1A2＝（）×（1＋）， 由正方形的面积公式，得：S1＝（）2＝5， S2＝（）2×（1＋）2， S3＝（）2×（1＋）4＝5×（）4， 由此，可得Sn＝（）2×（1＋）2（n−1）＝5×（）2n−2． 故答案为：5；． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是根据计算的结果得出规律，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目． 17．如果两个相似多边形的面积比为4:9，那么它们的周长比为（） A．： B．2：3 C．4：9 D．16：81 【答案】B 【分析】根据面积比为相似比的平方即可求得结果. 【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为4：9， ∴它们的周长比为：=. 故选B. 【点睛】本题主要考查图形相似的知识点，解此题的关键在于熟记两个相似多边形的面积比为其相似比的平方. 18．2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，那么以下结论正确的是（　　）    A．四边形与四边形的相似比为 B．四边形与四边形的相似比为 C．四边形与四边形的周长比为 D．四边形与四边形的面积比为 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．两个位似图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点，对应边平行或共线．先利用位似的性质得到，然后根据相似的性质进行判断． 【详解】解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，点是线段的中点， ， ∴， 四边形与四边形的相似比为，周长的比为，面积比为． 故选：D． 19．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的面积是 ．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】连接BD，由勾股定理分别求出AB、AD的长，由勾股定理的逆定理得出△ABD为等腰直角三角形，继而由，利用面积公式进行计算即可得 四边形的面积；由相似的性质可得出，代入值即可得出四边形的面积． 【详解】连接BD，如图， 由图可知，，，，， ∵， ∴ △ABD为等腰直角三角形， ∴ ，， ∴； ∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， 由（1）求得， ∴； 故答案为：； 【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，相似三角形的性质，能灵活运用相关定理和性质进行推理和计算是解题的关键．相似三角形对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线）的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方． 20．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为（　　）    A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】如图，连接，利用相似多边形的性质求出正方形的面积，求出 可得结论． 【详解】解：如图，连接．    ∵正方形与四边形是位似图形，，正方形的面积为4， ∴四边形是正方形，面积为， ∴，， ∴， ∴四边形的外接圆的半径为． 故选C． 【点睛】本题考查位似变换，相似多边形的性质等知识，解题的关键是掌握位似图形的概念． 五、相似三角形的判定（14个小题） 21．如图，在中，点在上，连接．请添加一个条件 ，使得，然后再加以证明．    【答案】（答案不唯一），证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，添加，结合，即可得证，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：添加， 证明：∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 22．如图，D是的边AB上一点（不与点A，B重合），若添加一个条件使，则这个条件不可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：若，且，则，故选项A不符合题意； 若，且，则，故选项B不符合题意； 若，且，则无法证明，故选项C符合题意； 若，且，则，故选项D不符合题意； 故选：C． 23．如图，在中，，点D在边上，点E在边上且．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 （写出一个即可）． 【答案】 【分析】由相似三角形的判定定理可求解． 【详解】解：添加， 又∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键． 24．如图，∥，∥，与交于点G，则图中相似三角形共有 对． 【答案】3 【分析】根据相似三角形的判定即可判断． 【详解】图中三角形有：，，， ∵， ∴ 共有3个组合分别为：∴，， 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为点D，E，则图中与△ABC相似的三角形个数有 个． 【答案】4 【分析】根据等角或同角的余角相等，证明三角形相似即可． 【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC， ∴ 又 又 ， 又 与△ABC相似的三角形有，，，，共计4个 故答案为：4 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的的判定定理是解题的关键． 26．如图分别是的边上的点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定；由条件得出，根据相似三角形的判定即可解决问题； 【详解】证明：∵， 又∵， ∴． 27．如图，的高AD，BE相交于点O，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据已知条件得到，，推出；同理，根据相似三角形的性质得到，又，于是得到． 【详解】解：本题答案不唯一； 与相似的三角形有：，，， 选择求证：． 证明：的高，交于点， ． ， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，三角形的高的定义，解题的关键是掌握有两角对应的两个三角形相似． 28．如图，中，点D是边AB上一点，点E为外一点，，连接BE．从下列条件中：①；②．选择一个作为添加的条件，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【详解】证明：选择① ∵， ∴， ∵， ∴． 或选择② ∵， ∴， ∵， ∴． 29．如图，已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键，已经有一角相等，只需再证一角相等即可；由等式的性质得出，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴． 30．如图，在中，点D在边上，且满足．请找出图中的一对相似三角形，并证明． 【答案】；证明见解析 【分析】根据得出，然后根据相似三角形的判定方法可得，． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据得出，熟记相似三角形的判定方法． 31．已知：如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC．求证：△ABD∽△ACB． 【答案】见解析 【分析】由BD平分∠ABC可得∠ABC=2∠ABD，再结合∠ABC=2∠C可得∠ABD=∠C，再结合∠A=∠A即可证明结论． 【详解】证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC=2∠ABD ∵∠ABC=2∠C ∴∠ABD=∠C ∵∠A=∠A ∴△ABD∽△ACB． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两角分别对应相等的两个三角形相似是解答本题的关键． 32．如图，，点B、C分别在AM、AN上，且． （1）尺规作图：作∠CBM的角平分线BD，BD与AN相交于点D；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求证：ABC∽ADB． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据角平分线的作图方法解答； （2）根据三角形外角的性质及角平分线的性质证明，即可得到结论． 【详解】解：（1）如图： （2）∵， ∴， ∵BD平分∠MBC， ∴， ∵是△ADB的一个外角， ∴， ∴. ∵， ∴△ABC∽△ADB． 【点睛】此题考查了角平分线的作图，相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键． 33．如图，在平面直角坐标系内有两点，，所在直线的方程为，连接．    (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】（）把代入即可求解； （）由得直线的方程为，求出，从而得，，，然后根据“两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可求证； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵在直线上， ∴， 解得：； （2）由（）得， ∴所在直线的方程为， 当时，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 又， ∴． 34．如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为． (1)求证：； (2)若，，直接写出，的周长； (3)在（2）的条件下，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)14，10 (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）由等边三角形的性质、折叠的性质以及三角形外角的性质可得、即可证明结论； （2）有已知条件可得，由等边三角形的性质可得，再由折叠的性质可得，，最后根据三角形周长的定义即可解答； （3）根据相似三角形的性质列式求解即可． 【详解】（1）证明：∵等边三角形 ∴ ∵三角形折叠，使点A落在边上的点D处 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴． （2）∵， ∴ ∵等边三角形 ∴ ∵三角形折叠，使点A落在边上的点D处 ∴， ∴的周长为： 的周长为：． （3）∵． 又∵的周长为：14，的周长为：10 ∴， ∵， ∴， ∴． 六、相似三角形的性质（10个小题） 35．如图，在平行四边形中，点在边上．若，，且，则的长为（    ）    A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】由平行四边形的性质可得，从而可得，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得，代入数据即可求得，最后根据即可得到答案． 【详解】解：四边形为平行四边形，， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 36．一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是，．现要做一个与其相似的三角形木架，如果以长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达到（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出斜边的长，以长的木条为直角边，设相似的三角形中斜边长为，利用相似三角形的对应边的比相等列分式方程，解方程即可得到答案． 【详解】∵直角三角形两条直角边分别是，， ∴斜边， ∵要做一个与其相似的三角形木架， ∴两个三角形对应边成比例， ∵直角三角形中斜边最大， ∴以长的木条为直角边，设相似的三角形中斜边长为， 则有2种情况， ①，解得：， ②，解得：， ∴另两边中长度最大的一边最多可达到， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及勾股定理，利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等进行计算是解题的关键． 37．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得，进而可得△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解． 【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示： ∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA， ∴△BOC∽△AOB， ∵点， ∴OA=10， ∵， ∴， ∴AB=2OB， ∴BC=2OC， ∴在Rt△BOC中， ，即， ∴， ∴BC=4， ∴点B的坐标为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 38．魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形．如果图中与的面积比为，那么的值为 ． 【答案】 【分析】证明，可得，而与的面积比为，即得，设，则，在中，有，又，故． 【详解】解：都是正方形， ， ， ， ， 与的面积比为， ， 设，则， ， 在中， ， 由“青朱出入图”可知：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形性质和相似三角形的判定定理． 39．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，记x＝AC，y＝BC﹣AC，在平面直角坐标系xOy中，定义（x，y）为这个直角三角形的坐标，Rt△ABC为点（x，y）对应的直角三角形．有下列结论：①在x轴正半轴上的任意点（x，y）对应的直角三角形均满足AB＝BC；②在函数y＝（x＞0）的图象上存在两点P，Q，使得它们对应的直角三角形相似；③对于函数y＝（x﹣2020）2﹣1（x＞0）的图象上的任意一点P，都存在该函数图象上的另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似；④在函数y＝﹣2x+2020（x＞0）的图象上存在无数对点P，Q（P与Q不重合），使得它们对应的直角三角形全等．所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】根据在x轴上点的坐标特征可得，即，再由勾股定理即可得到，即可判断①；设P点坐标为（，），Q点坐标为（，），则P、Q两点对应的直角三角形的两条直角边分别为：，；，，若P、Q对应的两个三角形相似，则或，由此即可判断②；同理即可判断③；设P点坐标为（，），Q点坐标为（，），则P、Q两点对应的直角三角形的两条直角边分别为：，；，，若P、Q对应的两个三角形全等，，即可判断④． 【详解】解：①∵点（x，y）在x轴的正半轴上， ∴， ∴，即， ∵∠C=90°， ∴，故此说法正确； ②设P点坐标为（，），Q点坐标为（，）， ∴P、Q两点对应的直角三角形的两条直角边分别为：，；，， 若P、Q对应的两个三角形相似， ∴或 ∴或 ∵， ∴，，不符合题意， ∴在函数上不存在两点P，Q，使得它们对应的直角三角形相似，故②错误； ③设P点坐标为（，），Q点坐标为（，）， ∴P、Q两点对应的直角三角形的两条直角边分别为：，；，， 若P、Q对应的两个三角形相似， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴图像上的任意一点P都存在另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似，故③正确； ④设P点坐标为（，），Q点坐标为（，）， ∴P、Q两点对应的直角三角形的两条直角边分别为：，；，， 若P、Q对应的两个三角形全等， ∴ ∵， ∴在函数y＝﹣2x+2020（x＞0）的图象上存在无数对点P，Q（P与Q不重合），使得它们对应的直角三角形全等，故④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质，相似三角形的性质，一次函数，二次函数图像上点的坐标特征，x轴上点的坐标特征，熟知相关知识是解题的关键． 40．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是线段AD的中点，连接AC，BE，交于点O，若=1，则= ． 【答案】4 【分析】由平行四边形的性质可得AD=BC，AD∥BC，通过证明△AEO∽△CBO，利用相似三角形的性质可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∵点E是线段AD的中点， ∴AE=AD=BC， ∵AD∥BC， ∴△AEO∽△CBO， ∴   ∴S△BOC=4×1=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握以上知识是本题的关键． 41．如图，，相交于点，，，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】根据相似三角形的性质有，再利用求出的比值，即可求出答案． 【详解】∵， ∴ ． ∵， ∴． ， ． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 42．如图，在和中，，平分． (1)证明：； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）先根据角平分线的定义可得，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）先利用勾股定理可求出的长，再利用相似三角形的性质即可得的长． 【详解】（1）∵平分， ∴， 在和中， ， ∴； （2）∵在中，，，， ∴， 由（1）已证：∵， ∴，即， 解得． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 43．如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，． (1)若，求线段AD的长． (2)若的面积为1，求平行四边形BFED的面积． 【答案】(1)2 (2)6 【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明，得到即可求出； （2）利用平行条件证明，分别求出、的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出、，最后通过求出． 【详解】（1）∵四边形BFED是平行四边形， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵四边形BFED是平行四边形， ∴，，DE=BF， ∴， ∴ ∴， ∵，DE=BF， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键． 44．在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5）， (1)用含t的代数式表示：线段PO＝ cm；OQ＝ cm． (2)当t为何值时△POQ的面积为6cm2？ (3)当△POQ与△AOB相似时，求出t的值． 【答案】(1)2t，（5﹣t） (2)当t=2或3时，三角形POQ的面积为6cm2； (3)当t=或1时，△POQ与△AOB相似． 【分析】（1）由运动知，OP=2t cm，OQ=（5-t）cm，得出结论； （2）根据△POQ的面积为6cm2，建立方程6=×2t×（5-t），解方程即可求出答案； （3）分△POQ∽△AOB或△POQ∽△BOA两种情况，得出比例式，建立方程求解，即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意知，OP=2t cm，BQ=t cm， ∴OQ=（5-t）cm， 故答案为：2t，（5-t）； （2）解：由（1）知，OP=2t cm，OQ=（5-t）cm， ∵△POQ的面积为6cm2， ∴6=×2t×（5-t）， ∴t=2或3， ∴当t=2或3时，三角形POQ的面积为6cm2； （3）（3）∵△POQ与△AOB相似，∠POQ=∠AOB=90°， ∴△POQ∽△AOB或△POQ∽△BOA， ∴或， 当，则， ∴t=； 当时，则， ∴t=1， ∴当t=或1时，△POQ与△AOB相似． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了三角形的面积公式，相似三角形的性质，用方程的思想是解本题的关键． 七、在表格中画出相似三角形（4个小题） 45．如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（    ） A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤ 【答案】A 【分析】根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判断． 【详解】解：由题意：①②④中，∠ABC＝∠ADE＝∠AFH＝135°， 又∵， ∴，， ∴△ABC∽△ADE∽△HFA， 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 46．如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上． (1)在该网格中画出△A2B2C2（△A2B2C2的顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1； (2)说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据，并直接写出∠B2A2C2的度数． 【答案】(1)见解析 (2)依据见解析，135° 【分析】（1）根据相似三角形的判定，结合网格特点作图，把△A1B1C1的边长缩小一半，画出三角形即可． （2）利用勾股定理得出线段的长，并根据网格特点得出角的度数，再依据相似三角形的判定定理两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可． 【详解】（1）解：先取一格点A2，点A2向右平移2个单位，得到点C2，则 A2C2＝2，点A2向左平移1个单位，再向下平移1个单位得点B2，∠C2A2B2＝135°，则△A2B2C2∽△A1B1C1； （2）证明：∵A1C1＝4，∠C1A1B1＝135°，A1B1＝，A2C2＝2，∠C2A2B2＝135°，根据勾股定理A2B2＝， ∴，， ∴， ∠C2A2B2=∠C1A1B1＝135°， ∴△A2B2C2∽△A1B1C1． ∠C2A2B2＝135°， 【点睛】本题考查了作图﹣相似变换，点的平移，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，并根据相似三角形的判定和性质得出变换后的对应点位置及勾股定理． 47．如图，在正方形网格上有以及一条线段.请你以为一条边.以正方形网格的格点为顶点画一个，使得与相似，并求出这两个三角形的相似比. 【答案】图见解析，与的相似比是. 【分析】可先选定BC与DE为对应边，对应边之比为1:2，据此来选定点F的位置，相似比亦可得. 【详解】解：如图，与相似. 理由如下： 由勾股定理可求得，,BC=2, ; ,DE=4,, ∴, ∴∽，相似比是. 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用网格得出三角形各边长度是解题关键． 48．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上．按照要求完成下列画图（只在此的网格中完成且所画各点都是格点，所画的点可以与已知点重合）．     （1）将绕点逆时针旋转，得到； （2）画出所有点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形； （3）画出一个与相似（但不全等）的三角形，且与有公共点（画出一个三角形即可）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析. 【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出点A、B、C关于原点的对称点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1； （2）根据平行四边形的性质，画出平行四边形． （3）根据相似三角形的判定进行作图即可. 【详解】（1）如图1所示． （2）如图1所示． （3）如图2所示（未全画出；画出一个三角形即可）． 【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平行四边形的性质． 八、相似三角形与动点问题（2个小题） 49．在中，，，点是线段的中点，点在射线上，连接，平移，使点移动到点，得到（点与点对应，点与点对应），交于点．    （1）若点是线段的中点，如图1． ①依题意补全图1； ②求的长； （2）若点在线段的延长线上，射线与射线交于点，若，求的长． 【答案】（1）①见解析；②；（2）CE＝ 【分析】（1）①利用平移的性质画出图形； ②利用相似得出比例，即可求出线段DP的长． （2）根据条件MQ＝DP，利用平行四边形的性质和相似三角形的性质，求出BN的长即可解决． 【详解】解：（1）①如图1，补全图形    ②连接AD，如图1． 在Rt△ABN中， ∵∠B＝90°，AB＝4，BN＝1， ∴AN＝， ∵线段AN平移得到线段DM， ∴DM＝AN＝， AD＝NM＝1，AD∥MC， ∴△ADP∽△CMP． ∴， ∴； （2）如图，连接NQ，    由平移知：AN∥DM，且AN＝DM． ∵MQ＝DP， ∴PQ＝DM． ∴AN∥PQ，且AN＝PQ． ∴四边形ANQP是平行四边形． ∴NQ∥AP． ∴∠BQN＝∠BAC＝45°． 又∵∠NBQ＝∠ABC＝90°， ∴BN＝BQ． ∵AN∥MQ， ∴， 又∵M是BC的中点，且AB＝BC＝4， ∴， ∴NB＝或（负数舍去）． ∴ME＝BN＝． ∴CE＝ 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质与相似三角形的综合应用，利用相似比求线段长是重难点，按照题意画出图形是解决本题的关键． 50．对于平面直角坐标系中的点P和图形M，给出如下定义：将图形M绕P顺时针旋转得到图形N，当图形M与图形N有公共点时，我们称点P是图形M的“关联点”．已知，． (1)如图1，点P是线段的“关联点”，在点，，中，则满足条件的点是__________； (2)若直线上存在点P，使点P为线段的“关联点”，直接写出b的取值范围； (3)以为圆心，1为半径的，若线段上存在点P，使点P为的“关联点”，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）连接和，过点B作轴于点H，利用两点之间距离得到，，结合勾股定理的逆定理即可知点A饶点顺时针旋转得到点B；由点知设点A、点B饶点顺时针旋转得到点、点，则得到点和点，由点的纵坐标小于点B纵坐标，可知线段与线段无交点；由点的坐标得和，利用勾股定理的逆定理即可知点B饶点顺时针旋转得到点A； （2）设线段饶点P顺时针旋转得，过点P作轴，与过点作交于点H，过点A作交于点G，由定义知，，利用可证得，即设点，求得点的纵坐标为，同理，可得点的纵坐标为，由“关联点”得线段的A点和线段的重合，或者线段的B点和线段的重合，分情况求解即可； （3）假设饶点P顺时针旋转得，则为等腰直角三角形，进一步可知与由公共点，，即线段上存在点P使得，①当点P与点B重合时，点T可以取得最大值，此时过点P作轴，即可求得t的最大值；②当点T到线段的距离为时，求得直线的解析式为，利用，得，即可求得t的最小值． 【详解】（1）解：连接和，过点B作轴于点H，如图， ∵，，， ∴， ∴ ∴ ∴点A饶点顺时针旋转得到点B， 则点是线段的“关联点”； ∵，，， ∴ 设点A、点B饶点顺时针旋转得到点、点，则 ∴点、点， ∵点的纵坐标小于点B纵坐标 ∴线段与线段无交点， 则点不是线段的“关联点”； ∵，，， ∴， ∴ ∴点B饶点顺时针旋转得到点A， 则点是线段的“关联点”； 故答案为：，； （2）设线段饶点P顺时针旋转得，过点P作轴，与过点作交于点H，过点A作交于点G，如图， 则，， ∵，， ∴， ∴， ∴ 由题意可设点， ∵，， ∴ ∴点的纵坐标为， 同理，可得点的纵坐标为， ∵点P为线段的“关联点”， ∴线段的A点和线段的重合，或者线段的B点和线段的重合， ①当线段的A点和线段的重合， ∵，点的纵坐标为， ∴，解得； ②当线段的B点和线段的重合， ∵，点的纵坐标为， ∴； 综上所述，； （3）假设饶点P顺时针旋转得，则为等腰直角三角形， ∵点P为的“关联点”， ∴与由公共点，如图， ∴， 即线段上存在点P使得， ①当点P与点B重合时，点T可以取得最大值，此时过点P作轴， ∵，，， ∴ 即t的最大值为4； ②当点T到线段的距离为时，如图， 则， 设直线的解析式为，则 ，解得， ∴直线的解析式为， 设点C为直线与x轴的交点，则点， ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查新定义下与圆相关的动态综合题，涉及旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、两点之间的距离、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定和性质、圆的性质和相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解“关联点”，学会用动态的思维寻找特殊点解决问题． 九、相似三角形的应用（11个小题） 51．如图，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能：“平距以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”．其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度．如图，从“矩”的一端望向树顶端的点，使视线通过“矩”的另一端，测得，．若“矩”的边，边，则树高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由已知易证明，得到，代入已知数据即可求解，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：． 52．如图，实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山距离为米的B处，然后沿着射线退后到点E，这时恰好在镜子里看到山头A，利用皮尺测量米，若小宇的眼睛到地面的距离为米，则假山高度为 米． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． 证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 53．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．小明同学依照此法测量学校操场边一棵树的高度，如图，点在同一水平线上，与相交于点D．测得，则树高 m． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据题意可得，然后由相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵和均为直角， ， ， ， ， ， 故答案为：． 54．图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为 cm．        图1              图2 【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的应用．过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据，得出，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ， ， ，， ， 解得：， 故答案为：3． 55．在数学活动课上，小南利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度（如图所示），当他刚好在点处的镜子中看到教学楼的顶部时，测得小南的眼睛与地面的距离，同时测得，，则教学楼高度 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形的判定和性质列出比例式，即可求解． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴， 即， 解得， 则教学楼高度， 故答案为：． 56．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，如图（1）所示，如图（2），若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立时像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是 cm． 【答案】4 【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用，“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是x cm， 由相似三角形的性质得， 解得． 即蜡烛火焰的高度是4cm． 故答案为：4 57．物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：， ， ， , 的高为,为,为, ， 故答案为： 58．在数学活动课上，同学们分组测量学校旗杆的高度，经过交流、研讨及测量给出如下两种方案，请你选择一种方案求出旗杆的高度． 方案一：在某一时刻，借助太阳光线，测得小华的身高为米，他的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 方案二：利用“光在反射时，反射角等于入射角”的规律，小丽在她的脚下点放了一面小镜子，然后向后退米到达点，恰好在小镜子中看到旗杆的顶端，此时旗杆底端到点的距离为米，小丽的眼睛点到地面的距离为米． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握其判定和性质是解题的关键． 方案一：根据题意可得，根据相似三角形的判定和性质即可求解； 方案二：根据题意可得，根据相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】方案一： 解：由题意得，，． ． ． ． ，，， ． 答：旗杆高度为． 方案二： 解：由题意得，，， ． ． ，，， ． ． 答：旗杆高度为． 59．每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设的长为x米，的长为y米． 测量数据（精确到0.1米）如表所示： 直杆高度 直杆影长 的长 第一次 1.0 0.6 15.8 第二次 1.0 0.7 20.1 (1)由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______； (2)该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米． 【答案】(1)， (2)43 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由同一时刻测量，得到是本题的关键． （1）由同一时刻测量，可得，分别代入第一次测量、第二次测量的数值，可得其关于、的方程； （2）已经求得，将代入任一个方程，可求得的值，即得钟楼的高度． 【详解】（1）由同一时刻测量，可得， 第一次测量：，化简得，， 第二次测量：，化简得，， 故答案为：，； （2）对于，代入， 得，， 解得：， 钟楼米， 故答案为：43． 60．小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像；第二次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像．已知，，，小军的眼睛距地面（即），量得，求这棵古松树的高度．（镜子大小忽略不计） 【答案】m 【分析】先证明，得出，再证明，得出，由，得出，继而求出的长度，代入即可求出的长度，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 解得：， 答：这棵古松树的高度为m． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 61．如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点、、、在同一水平面上．求灯泡到地面的高度．      【答案】 【分析】根据相似三角形的性质列方程即可求解． 【详解】证明：， 故，即， ， ， ， 光在镜面反射中的入射角等于反射角， ， 又， ， ， ， 解得：， 灯泡到地面的高度为． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，由相似得到对应线段成比例是解题的关键． 十、相似三角形的综合问题（11个小题） 62．如图，矩形中，点E是边上一点，点D关于直线AE的对称点点F恰好落在边上，给出如下三个结论：①；②；③若，，则．上述结论一定正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 由四边形是矩形，得到，进一步得到，即可判断①；假设成立，因为与不平行，所以，由可推导出，则，所以，可知，矩形是特殊矩形，与已知条件不符，即可判断②；由，得到，，再证明，得到，则，可判断③． 【详解】 解：如图1，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点D关于直线的对称点点F在边上， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴，故①符合题意； 假设成立， ∵与不平行， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图2，则， ∴， 显然，矩形是特殊矩形，与已知条件不符， ∴不成立，故②不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③符合题意， 故选：B． 63．如图，在菱形中，点E 在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】此题考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由菱形的性质得，，可证明，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵点F在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 64．如图，正方形，，连接，交于点O，并分别与边，交于点F，E，连接，下列结论中正确的结论序号是（    ）    ①；②；③； A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据角的和差可得，由此可判断结论①正确；先根据相似三角形的判定可得，再根据相似三角形的性质可得，从而可得，假设，从而可得，然后根据线段垂直平分线的判定与性质可得，最后在中，根据得出，由此得出矛盾，即可判断结论②错误；先根据三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得判断结论③正确． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ，即， 假设，则， 垂直平分， ， 又在中，， ，这与相矛盾， 则假设不成立，故②错误； ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即，故③正确； 即正确的有：①③， 故选：B． 65．如图，在四边形中，，点E在上，平分，平分．给出下面三个结论： ①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质．根据平行线的性质以及角平分线的定义，可得，从而得到，可判断①；过点E作于点F，根据角平分线的性质，可得，，从而得到，可判断②；证明，可得，可判断③． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴，故①正确； 如图，过点E作于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； 故选：D． 66．如图，直线，交于点，，若，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质．根据题意求出，再根据相似三角形的判定和性质计算即可． 【详解】解：，， ， ∵， ∴， ， 故答案为：． 67．如图，在中，E是上一点，，的延长线与的延长线相交于点F，若，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得到，推出，得到，即可求出，即可求出． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：10． 68．如图，在菱形中，点在边上，与交于点．若，，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，首先证明是等边三角形，得，求得，再证明，可得出结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 69．利用图形的构造可以有效解决代数问题，对于如下的函数可以转化为这样的一个几何图形，其中 (1) (2)直接写出的最小值，和此时的值 【答案】(1) (2)y的最小值为13，此时 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的性质与判定： （1）根据勾股定理得到，再根据已知条件可得，据此可得答案； （2）过点A作交延长线于H，连接交于T，可得，，则，故当A、C、E三点共线时，有最小值，此时，再证明，利用相似三角形的性质求出，则，解得． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点A作交延长线于H，连接交于T， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当A、C、E三点共线时，有最小值，此时， ∴y的最小值为13． 同理可得， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 70．如图，是的直径，点在上，是的切线．点在的延长线上．    (1)求证：； (2)若是弧的中点，交于点，若，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）根据是的切线，是的直径，可得，进而可以解决问题； （）连接，证明，可得，根 据等腰直角三角形可得，由此即可解决问题； 本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握知识点的应用，正确添加常用辅助线，构造相似三角形． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，连接，    ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 71．已知四边形内接于以为直径的，A为弧中点，延长， 交于点P． (1)连接，求证：； (2)求证：； (3)过点C作的垂线交的延长线于点E，当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用圆周角定理得到，再利用垂径定理得到，即可证明； （2）利用圆内接四边形性质证明，利用相似三角形性质即可证明； （3）证明，利用相似三角形性质得到，，进而得到，利用勾股定理得到，进而得到，，再证明，最后利用相似三角形性质即可求出的长． 【详解】（1）证明：连接，交于点F． 是的直径， ，即， A为弧中点，， ， ， ； （2）证明：四边形内接于以为直径的， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ； ， ， ， ， ，即； ． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，平行线判定，圆内接四边形性质，相似三角形性质和判定，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 72．如图，是的直径，点，在上，平分.    (1)求证：； (2)延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，得，结合，得到，继而得到，根据平分，得到，继而得到，可证； （2）不妨设，则，求得，证明，，求得，取的中点M，连接，则，求得，，结合切线性质，得到，解答即可. 【详解】（1）根据题意，得， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， 不妨设，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 解得， 取的中点M，连接， 则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 解得， 故半径的长为.    【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算，等量代换思想，熟练掌握三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算是解题的关键. $$专题01 相似形（易错必刷57题 10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · · 比例线段 · 黄金分割 · 平行线分三角形两边成比例 · 相似多边形 · 相似三角形的判定 · 相似三角形的性质 · 在表格中画出相似三角形 · 相似三角形与动点问题 · 相似三角形的应用 · 相似三角形的综合问题 一、比例线段（5个小题） 1．已知，则 ． 2．如果，那么的值是（） A． B． C． D． 3．如果，那么的值是（    ） A． B． C． D． 4．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．已知，那么下列比例式不成立的是（　　） A． B． C． D． 二、黄金分割（3个小题） 6．古希腊人认为，最美人体是肚跻至足底的长度与人体的身高之比是，称为黄金分割比，著名的断臂维纳斯雕像便是如此．若某人身材大致满足黄金分割比例，且其肚跻至足底的长度为 ， 则此人身高大约为（    ） A．1 B． C． D． 7．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工，如图，P是的黄金分割点（），那么（   ） A． B． C． D． 8．如图，点是的黄金分割点，即点满足，若，则的长为（   ） A． B． C． D．0.618 三、平行线分三角形两边成比例（7个小题） 9．如图，在中，点，，分别在边，，上，且，．若，则的值为（　　）    A． B． C． D． 10．如图，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 11．如图，，相交于点O，且．如果，，那么的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 12．在中，，平分交于点交于点，交于点，有以下结论：①四边形一定是平行四边形；②连接所得四边形一定是平行四边形；③保持的大小不变，改变的长度可使成立；④保持的长度不变，改变的大小可使成立，其中所有的正确结论是： ．（填序号即可） 13．如图，直线交于点O，．若，，．则的值为 ． 14．如图，在矩形中，若，则的长为 ． 15．如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE：EC＝ ． 四、相似多边形（5个小题） 16．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如右图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第1个正方形的面积为 ；第n个正方形的面积为 ． 17．如果两个相似多边形的面积比为4:9，那么它们的周长比为（） A．： B．2：3 C．4：9 D．16：81 18．2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，那么以下结论正确的是（　　）    A．四边形与四边形的相似比为 B．四边形与四边形的相似比为 C．四边形与四边形的周长比为 D．四边形与四边形的面积比为 19．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的面积是 ．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是 ． 20．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为（　　）    A． B．2 C． D．4 五、相似三角形的判定（14个小题） 21．如图，在中，点在上，连接．请添加一个条件 ，使得，然后再加以证明．    22．如图，D是的边AB上一点（不与点A，B重合），若添加一个条件使，则这个条件不可以是（    ） A． B． C． D． 23．如图，在中，，点D在边上，点E在边上且．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 （写出一个即可）． 24．如图，∥，∥，与交于点G，则图中相似三角形共有 对． 25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为点D，E，则图中与△ABC相似的三角形个数有 个． 26．如图分别是的边上的点，．求证：． 27．如图，的高AD，BE相交于点O，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是 ． 28．如图，中，点D是边AB上一点，点E为外一点，，连接BE．从下列条件中：①；②．选择一个作为添加的条件，求证：． 29．如图，已知，求证：． 30．如图，在中，点D在边上，且满足．请找出图中的一对相似三角形，并证明． 31．已知：如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC．求证：△ABD∽△ACB． 32．如图，，点B、C分别在AM、AN上，且． （1）尺规作图：作∠CBM的角平分线BD，BD与AN相交于点D；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求证：ABC∽ADB． 33．如图，在平面直角坐标系内有两点，，所在直线的方程为，连接．    (1)求的值； (2)求证：． 34．如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为． (1)求证：； (2)若，，直接写出，的周长； (3)在（2）的条件下，求的长． 六、相似三角形的性质（10个小题） 35．如图，在平行四边形中，点在边上．若，，且，则的长为（    ）    A． B．1 C． D．2 36．一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是，．现要做一个与其相似的三角形木架，如果以长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达到（    ） A． B． C． D． 37．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 38．魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形．如果图中与的面积比为，那么的值为 ． 39．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，记x＝AC，y＝BC﹣AC，在平面直角坐标系xOy中，定义（x，y）为这个直角三角形的坐标，Rt△ABC为点（x，y）对应的直角三角形．有下列结论：①在x轴正半轴上的任意点（x，y）对应的直角三角形均满足AB＝BC；②在函数y＝（x＞0）的图象上存在两点P，Q，使得它们对应的直角三角形相似；③对于函数y＝（x﹣2020）2﹣1（x＞0）的图象上的任意一点P，都存在该函数图象上的另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似；④在函数y＝﹣2x+2020（x＞0）的图象上存在无数对点P，Q（P与Q不重合），使得它们对应的直角三角形全等．所有正确结论的序号是 ． 40．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是线段AD的中点，连接AC，BE，交于点O，若=1，则= ． 41．如图，，相交于点，，，，则的长为 ． 42．如图，在和中，，平分． (1)证明：； (2)若，，求和的长． 43．如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，． (1)若，求线段AD的长． (2)若的面积为1，求平行四边形BFED的面积． 44．在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5）， (1)用含t的代数式表示：线段PO＝ cm；OQ＝ cm． (2)当t为何值时△POQ的面积为6cm2？ (3)当△POQ与△AOB相似时，求出t的值． 七、在表格中画出相似三角形（4个小题） 45．如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（    ） A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤ 46．如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上． (1)在该网格中画出△A2B2C2（△A2B2C2的顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1； (2)说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据，并直接写出∠B2A2C2的度数． 47．如图，在正方形网格上有以及一条线段.请你以为一条边.以正方形网格的格点为顶点画一个，使得与相似，并求出这两个三角形的相似比. 48．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上．按照要求完成下列画图（只在此的网格中完成且所画各点都是格点，所画的点可以与已知点重合）．     （1）将绕点逆时针旋转，得到； （2）画出所有点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形； （3）画出一个与相似（但不全等）的三角形，且与有公共点（画出一个三角形即可）． 八、相似三角形与动点问题（2个小题） 49．在中，，，点是线段的中点，点在射线上，连接，平移，使点移动到点，得到（点与点对应，点与点对应），交于点．    （1）若点是线段的中点，如图1． ①依题意补全图1； ②求的长； （2）若点在线段的延长线上，射线与射线交于点，若，求的长． 50．对于平面直角坐标系中的点P和图形M，给出如下定义：将图形M绕P顺时针旋转得到图形N，当图形M与图形N有公共点时，我们称点P是图形M的“关联点”．已知，． (1)如图1，点P是线段的“关联点”，在点，，中，则满足条件的点是__________； (2)若直线上存在点P，使点P为线段的“关联点”，直接写出b的取值范围； (3)以为圆心，1为半径的，若线段上存在点P，使点P为的“关联点”，直接写出t的取值范围． 九、相似三角形的应用（11个小题） 51．如图，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能：“平距以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”．其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度．如图，从“矩”的一端望向树顶端的点，使视线通过“矩”的另一端，测得，．若“矩”的边，边，则树高为（    ） A． B． C． D． 52．如图，实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山距离为米的B处，然后沿着射线退后到点E，这时恰好在镜子里看到山头A，利用皮尺测量米，若小宇的眼睛到地面的距离为米，则假山高度为 米． 53．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．小明同学依照此法测量学校操场边一棵树的高度，如图，点在同一水平线上，与相交于点D．测得，则树高 m． 54．图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为 cm．        图1              图2 55．在数学活动课上，小南利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度（如图所示），当他刚好在点处的镜子中看到教学楼的顶部时，测得小南的眼睛与地面的距离，同时测得，，则教学楼高度 ． 56．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，如图（1）所示，如图（2），若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立时像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是 cm． 57．物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为 ． 58．在数学活动课上，同学们分组测量学校旗杆的高度，经过交流、研讨及测量给出如下两种方案，请你选择一种方案求出旗杆的高度． 方案一：在某一时刻，借助太阳光线，测得小华的身高为米，他的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 方案二：利用“光在反射时，反射角等于入射角”的规律，小丽在她的脚下点放了一面小镜子，然后向后退米到达点，恰好在小镜子中看到旗杆的顶端，此时旗杆底端到点的距离为米，小丽的眼睛点到地面的距离为米． 59．每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设的长为x米，的长为y米． 测量数据（精确到0.1米）如表所示： 直杆高度 直杆影长 的长 第一次 1.0 0.6 15.8 第二次 1.0 0.7 20.1 (1)由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______； (2)该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米． 60．小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像；第二次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像．已知，，，小军的眼睛距地面（即），量得，求这棵古松树的高度．（镜子大小忽略不计） 61．如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点、、、在同一水平面上．求灯泡到地面的高度．      十、相似三角形的综合问题（11个小题） 62．如图，矩形中，点E是边上一点，点D关于直线AE的对称点点F恰好落在边上，给出如下三个结论：①；②；③若，，则．上述结论一定正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 63．如图，在菱形中，点E 在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 64．如图，正方形，，连接，交于点O，并分别与边，交于点F，E，连接，下列结论中正确的结论序号是（    ）    ①；②；③； A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 65．如图，在四边形中，，点E在上，平分，平分．给出下面三个结论： ①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 66．如图，直线，交于点，，若，，，则的值为 ． 67．如图，在中，E是上一点，，的延长线与的延长线相交于点F，若，则的长为 ． 68．如图，在菱形中，点在边上，与交于点．若，，则的值为 ．    69．利用图形的构造可以有效解决代数问题，对于如下的函数可以转化为这样的一个几何图形，其中 (1) (2)直接写出的最小值，和此时的值 70．如图，是的直径，点在上，是的切线．点在的延长线上．    (1)求证：； (2)若是弧的中点，交于点，若，求的值． 71．已知四边形内接于以为直径的，A为弧中点，延长， 交于点P． (1)连接，求证：； (2)求证：； (3)过点C作的垂线交的延长线于点E，当，时，求的长． 72．如图，是的直径，点，在上，平分.    (1)求证：； (2)延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长. $$