清单03 反比例函数（12个考点梳理+题型解读+提升训练）（期末复习知识清单）九年级数学上学期北京版

清单03 反比例函数（12个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】反比例函数的定义 1、定义： 一般地，表达式形如（为常数，且）的函数叫做反比例函数，其中是自变量，是的函数.自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 2、反比例函数的三种表达形式： （1）； （2）； （3）（为常数，且） 【注意】反比例函数的表达式中，无论x，y怎样变化，k的值始终等于x与y的乘积，因此人们习惯上称k为比例系数. 【清单02】反比例函数图象与性质 1、 图象的特点： （1）反比例函数 (k为常数，且k≠0)的图象是双曲线； （2）反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限； （3）双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交； （4）双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点)，又是轴对称图形(对称轴是直线y=x 和直线y=-x).如图： 2、反比例函数的性质： 反比例函数 （） K的符号 图象 图像位置 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每一个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 【清单03】求反比例函数的表达式 1、确定反比例函数表达式的方法 由于在反比例函数 ( k≠0)中只有一个待定系数，因此只需要一对x，y的对应值或图象上一个点的坐标，用待定系数法即可求出k的值，从而确定其表达式. 2、用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤 【注意】 （1） 用待定系数法求反比例函数的表达式的实质是代入一对对对应值，解一元一次方程. （2） 当题目中已经明确“y是x的反比例关系”时，可直接设函数的表达式为 ( k≠0). 【清单04】反比例函数中k的几何性质 1、矩形面积 如图，过双曲线上任意一点p（x，y）分别作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得的矩形PMON的面积S=PMS=PM•PN=，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线所得的矩形的面积为. 2、三角形的面积 如图，过双曲线上的任意一点E作EF垂直于y轴，垂足为F，连接EO，则，即过双曲线上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得的三角形的面积为. 【考点题型一】反比例关系与函数解析式 【例1】港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车.大桥在设计理念、建造技术、施工组织、管理模式等方面进行一系列创新，标志着我国岛隧工程设计施工管理水平走在了世界前列.大桥全长近55km.汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为 【变式1 -1】下面两个问题中都有两个变量： ①矩形的周长为20，矩形的面积y与一边长x； ②矩形的面积为20，矩形的宽y与矩形的长x． 其中变量y与变量x之间的函数关系表述正确的是（　　） A．①是反比例函数，②是二次函数 B．①是二次函数，②是反比例函数 C．①②都是二次函数 D．①②都是反比例函数 【考点题型二】用定义法识别反比例函数 【例2】已知函数：(1)xy=9；(2)y=；(3)y=-；(4)y=；(5) y=，其中反比例函数的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2 -1】下面的三个问题中都有两个变量： ①矩形的面积一定，一边长与它的邻边； ②某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积与全村总人口； ③汽车的行驶速度一定，行驶路程与行驶时间． 其中，两个变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式2 -2】如图，圆柱的侧面积为10m记圆柱的底面半径为m，底面周长为m，高为m．当在一定范围内变化时．和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（    ） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．正比例函数关系，反比例函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 【考点题型三】根据反比例函数的概念求字母的值 【例3】若y＝是反比例函数，则m= ． 【变式3 -1】已知函数（为整数），当为 时，是的反比例函数． 【考点题型四】用待定系数法求反比例函数的解析式 【例4】在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ． 【变式4 -1】在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点和，则 ． 【变式4 -2】若反比例函数经过点和点，则 ． 【变式4 -3】在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于点，． （1）求出反比例函数表达式及的值； （2）根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【考点题型五】求反比例函数的值 【例5】在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 . 【变式5 -1】在平面直角坐标系中，若反比例函数的图像经过点和．则的值为 ． 【变式5 -2】在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象经过点和点，则m的值为 ． 【考点题型六】求反比例函数自变量的值 【例6】在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和，若，则的值为 ． 【变式6 -1】如图，反比例函数经过点、点，则 ． 【变式6 -2】在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则的值为 ． 【变式6 -3】在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则m的值为 ． 【考点题型七】反比例的函数图像问题 【例7】反比例函数（k为正整数）在第一象限的图象如图所示，已知图中点A的坐标为，则k的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7 -1】已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于两点，若点的坐标是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式7 -2】某同学为了研究函数的图象和应用，采用列表描图的方法进行探究，请你协助完成． 先列表如下： … 0 1 【变式7 -3】5 2 3 4 … … 4 0 … (1)直接写出表中、的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；    (2)结合图象，请直接写出不等式的解集______． 【变式7 -4】如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，若点，的横坐标分别为，，则 ． 【变式7 -5】已知点A(1，2)，B在反比例函数的图象上，若OA=OB，则点B的坐标为 ． 【变式7 -6】在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y的交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则x1•y2的值为 ． 【考点题型八】反比例函数的性质 【例8】兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式8 -1】对于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．它的图象分布在第二、第四象限 B．点在它的图象上 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 【变式8 -2】关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象分布在第一、三象限 B．在各自的象限内，随的增大而增大 C．函数图象关于轴对称 D．图象经过 【变式8 -3】已知点在反比例函数的图象上，当时，，则的取值范围是 ． 【变式8 -4】在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，若，则k 0（填“>”或“<”）． 【变式8 -5】在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则 （填“”“”或“”）． 【变式8 -6】已知点，在反比例函数的图象上．若，写出一个满足条件的m的值 ． 【变式8 -7】已知点，在反比例函数的图象上，且，则k的值可以是 ．（只需写出符合条件的一个k的值） 【变式8 -8】若点，，在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是 ． 【变式8 -9】在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，且点，都在该图象上，则 ．（填“”，“”或“”） 【考点题型九】反比例函数k的几何意义 【例9】如图，若点A是反比例函数的图象上一点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，点C是y轴上任意一点，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式9 -1】如图，点A、B分别是反比例函数的图象上两点，分别过点A、B向坐标轴作垂线，四边形的面积记作，四边形的面积记作，则 （填、或）．      【变式9 -2】如图，在矩形中，点O是坐标原点的图象上，点B在反比例函数， ，则 ． 【变式9 -3】如图，A，B两点在反比例函数的图像上，分别过点A，B向坐标轴作垂线段．若四边形面积为1，则阴影部分的面积之和为 ． 【变式9 -4】如图，已知点P是反比例函数上的一点，则矩形的面积为 ． 【变式9 -5】如图，A，B两点在函数图象上，垂直y轴于点C，垂直x轴于点D，，面积分别记为，，则 ．（填“”，“”，或“”）． 【变式9 -6】如图，M为反比例函数的图象上的一点，轴，垂足为A，的面积为3，则k的值为 ．    【变式9 -7】如图，点M是反比例函数图像上的一点，过点M作轴于点N，点P在y轴上，若的面积是2，则 ．    【变式9 -8】如图，若点A与点B是反比例函数的图象上的两点，过点A作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于点N，过点B作BG⊥x轴于点G，BH⊥y轴于点H，设矩形OMAN的面积为S1，矩形BHOG的面积为S2，则S1与S2的大小关系为：S1 S2（填“＞”，“＝”或“＜”）． 【考点题型十】反比例函数与实际问题 【例10】某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压千帕随气球内气体的体积立方米的变化情况如下表所示，此时p与V的函数关系最可能是（   ） 立方米 64 48      32 24 … 千帕      2      3 4 … A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．反比例函数 【变式10 -1】小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如下： 收费项目 收费标准 3公里以内收费 13元 基本单价 2.3元/公里 … … 备注：出租车计价段里程精确到500米，出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入． 小明首先简化模型，从简单情形开始研究： ①只考虑白天正常行驶（无低速和等候）； ②行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价元，后500米计价元． 下面是小明的探究过程，请补充完整： 记一次运营出租车行驶的里程数为x（单位：公里），相应的实付车费为y（单位：元）． (1)下表是y随x的变化情况，补全表格中的数据，并在平面直角坐标系中，画出当时y随x变化的函数图象； 行驶里程数x 0 … 实付车费y 0 13 14 15 (2)一次运营行驶x公里（）的平均单价记为w（单位：元/公里），其中． ①当和时，平均单价依次为，则的大小关系是______；（用“”连接） ②若一次运营行驶x公里的平均单价w不大于行驶任意s（）公里的平均单价，则称这次行驶的里程数为幸运里程数．请直接写出3~4（不包括端点）之间的幸运里程数x的取值范围（保留两位小数）． 行驶里程数x 0 … 实付车费y 0 13 14 15 17 18 【变式10 -2】如图，学校生物兴趣小组的同学们用围栏围了一个面积为平方米的矩形饲养场地．设为米，为米． (1)求与的函数关系式； (2)延长至，使比少米，围成一个新的矩形，结果场地的面积增加了平方米，求的长． 【变式10 -3】已知某蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，即，其图象如图所示． (1)求的值； (2)若用电器的电阻为，则电流为______； (3)如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不得超过，那么用电器的电阻应控制的范围是______． 【变式10 -4】已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么用电器的可变电阻R应控制在 ． 【考点题型十一】反比例函数与一次函数的综合 【例11】如图，，两点在反比例函数的图象上．若将横、纵坐标都是整数的点称为整点，则线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为 ． 【变式11 -1】函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【变式11 -2】直线与双曲线交于两点（A在第二象限），则的值为 ． 【变式11 -3】在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与函数的图象交于点 (1)求k，b的值； (2)已知直线与图象分别交于点若结合函数图象，直接写出的取值范围． 【变式11 -4】在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点． (1)求k的值； (2)一次函数的图象过，与的图象交于两点，两函数图象交点之间的部分组成的封闭图形称作图象“”，该图象内横纵坐标均为整数的点称为“区域点”（不含边界）； ①当一次函数图象过时，存在______个“区域点”； ②如果“区域点”的个数为3个，画出示意图，直接写出a的取值范围． 【变式11 -5】某校学生参加学农实践活动时，计划围一个面积为4平方米的矩形围栏．设矩形围栏周长为米，对于的最小值问题，小明尝试从“函数图象”的角度进行探究，过程如下． 请你补全探究过程．    (1)建立函数模型： 设矩形相邻两边的长分别为．由矩形的面积为4，得，即；由周长为，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第_________象限内交点的坐标； (2)画出函数图象： 函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．请在同一平面直角坐标系中画出直线； (3)平移直线，观察函数图象： 当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，直线与轴交点的纵坐标为_________； (4)得出结论： 若围出面积为4平方米的矩形围栏，则周长的最小值为_________米，此时矩形相邻两边的长分别为_________米、_________米． 【变式11 -6】在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点和点Q． (1)求m的值及点Q的坐标； (2)已知点，过点N作平行于x轴的直线交直线与双曲线分别为点和．当时，直接写出的取值范围是． 【考点题型十二】反比例函数与几何综合 【例12】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上．      (1)求的值； (2)当为何值时，的值最大?最大值是多少? 【变式12 -1】如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y．定义为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线，将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中． 则下面叙述中正确的是（    ） A．点A的横坐标有可能大于3 B．矩形1是正方形时，点A位于区域② C．当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小 D．当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等 【变式12 -2】如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，点C、D在x轴上，分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（    ） A． B．2 C． D． 【变式12 -3】如图，A、B是反比例函数（）图象上的两点，直线交y轴正半轴于点E．过点A，B 分别作x轴的平行线交y轴于点C，D，若点B的横坐标是4，,，则k的值为 ． 【变式12 -4】如图，在平面直角坐标系中，点在双曲线上，点B在双曲线上，且满足，连接． (1)求双曲线的表达式； (2)若，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 反比例函数（12个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】反比例函数的定义 1、定义： 一般地，表达式形如（为常数，且）的函数叫做反比例函数，其中是自变量，是的函数.自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 2、反比例函数的三种表达形式： （1）； （2）； （3）（为常数，且） 【注意】反比例函数的表达式中，无论x，y怎样变化，k的值始终等于x与y的乘积，因此人们习惯上称k为比例系数. 【清单02】反比例函数图象与性质 1、 图象的特点： （1）反比例函数 (k为常数，且k≠0)的图象是双曲线； （2）反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限； （3）双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交； （4）双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点)，又是轴对称图形(对称轴是直线y=x 和直线y=-x).如图： 2、反比例函数的性质： 反比例函数 （） K的符号 图象 图像位置 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每一个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 【清单03】求反比例函数的表达式 1、确定反比例函数表达式的方法 由于在反比例函数 ( k≠0)中只有一个待定系数，因此只需要一对x，y的对应值或图象上一个点的坐标，用待定系数法即可求出k的值，从而确定其表达式. 2、用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤 【注意】 （1） 用待定系数法求反比例函数的表达式的实质是代入一对对对应值，解一元一次方程. （2） 当题目中已经明确“y是x的反比例关系”时，可直接设函数的表达式为 ( k≠0). 【清单04】反比例函数中k的几何性质 1、矩形面积 如图，过双曲线上任意一点p（x，y）分别作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得的矩形PMON的面积S=PMS=PM•PN=，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线所得的矩形的面积为. 2、三角形的面积 如图，过双曲线上的任意一点E作EF垂直于y轴，垂足为F，连接EO，则，即过双曲线上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得的三角形的面积为. 【考点题型一】反比例关系与函数解析式 【例1】港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车.大桥在设计理念、建造技术、施工组织、管理模式等方面进行一系列创新，标志着我国岛隧工程设计施工管理水平走在了世界前列.大桥全长近55km.汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为 【答案】 【分析】根据时间=路程速度即可解题. 【详解】解：由时间=路程速度可知, 【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用,属于简单题,熟悉反比例函数的定义是解题关键. 【变式1 -1】下面两个问题中都有两个变量： ①矩形的周长为20，矩形的面积y与一边长x； ②矩形的面积为20，矩形的宽y与矩形的长x． 其中变量y与变量x之间的函数关系表述正确的是（　　） A．①是反比例函数，②是二次函数 B．①是二次函数，②是反比例函数 C．①②都是二次函数 D．①②都是反比例函数 【答案】B 【分析】先根据矩形的周长和面积公式列出函数关系式，然后根据反比例函数和二次函数的定义即可解答． 【详解】解：①∵矩形的周长为20，一边长x ∴另一边长为 ∴为二次函数； ②∵矩形的面积为20，矩形的长x ∴是反比例函数． 故选B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数、二次函数解析式的判定等知识点，正确列出函数解析式是解答本题的关键． 【考点题型二】用定义法识别反比例函数 【例2】已知函数：(1)xy=9；(2)y=；(3)y=-；(4)y=；(5) y=，其中反比例函数的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】直接根据反比例函数的定义判定即可． 【详解】解：反比例函数有：xy=9；y=；y=-． 故答案为C． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，即形如y=（k≠0）的函数关系叫反比例函数关系． 【变式2 -1】下面的三个问题中都有两个变量： ①矩形的面积一定，一边长与它的邻边； ②某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积与全村总人口； ③汽车的行驶速度一定，行驶路程与行驶时间． 其中，两个变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】当两个变量的积为定值时，两个变量之间的函数关系可以用形如（k为常数，）的式子表示，由此逐项判断即可． 【详解】解：由函数图象可知，这两个变量之间成反比例函数关系， ①矩形的面积，因此矩形的面积一定时，一边长y与它的邻边x可以用形如的式子表示，即满足所给的函数图象； ②耕地面积，因此耕地面积一定时，该村人均耕地面积S与全村总人口n可以用形如的式子表示，即满足所给的函数图象； ③汽车的行驶速度，因此汽车的行驶速度一定，行驶路程s与行驶时间t不可以用形如的式子表示，即不满足所给的函数图象； 综上可知：①②符合要求， 故选A． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的定义． 【变式2 -2】如图，圆柱的侧面积为10m记圆柱的底面半径为m，底面周长为m，高为m．当在一定范围内变化时．和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（    ） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．正比例函数关系，反比例函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 【答案】C 【分析】由圆柱的底面的周长公式：底面周长＝2×半径×，可得与的关系，根据圆柱的侧面积公式：圆柱的侧面积＝底面周长×高，可得与的关系式，即可得到答案． 【详解】解：由圆柱的底面的周长公式：底面周长＝2×半径×， 可得：， 与的关系为：正比例函数关系， 根据圆柱的侧面积公式：圆柱的侧面积＝底面周长×高， 可得：， ， 与的关系式为：反比例函数关系， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数关系式的综合应用，涉及到一次函数、反比例函数、二次函数等知识，熟知函数的相关类型并能够根据实际问题列出函数关系式是解决本题的关键． 【考点题型三】根据反比例函数的概念求字母的值 【例3】若y＝是反比例函数，则m= ． 【答案】-3 【分析】根据反比例函数的定义，由 且 ，即可求出 m的值． 【详解】由题意得 ： 且 ， 解之得 ：． 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，正确的列出方程是解题的关键．特别要注意不要忽略k≠0这个条件． 【变式3 -1】已知函数（为整数），当为 时，是的反比例函数． 【答案】 【分析】根据（）是反比例函数，可得答案． 【详解】解：函数（为整数）是反比例函数， ，且， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟记定义和定义的条件是解本题的关键． 【考点题型四】用待定系数法求反比例函数的解析式 【例4】在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，根据题意，将点和代入反比例函数表达式，得到，解方程即可得到答案，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：函数的图象经过点和， ， 解得， 故答案为：． 【变式4 -1】在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点和，则 ． 【答案】1 【分析】由点在反比例函数图象上，代入后求出的值，再结合点在反比例函数图象上，由此得到关于的一元一次方程，即可求出结果． 【详解】反比例函数的图象过点， ， 在反比例函数的图象上， ， 解得， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出的值，得到关于点坐标的方程即可求出结果，本题较为基础． 【变式4 -2】若反比例函数经过点和点，则 ． 【答案】 【分析】根据点在函数图像上的性质吗，直接将点的坐标代入表达式求解即可． 【详解】解：反比例函数经过点和点， ，即，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，掌握图像经过点就是点的坐标满足表达式是解决问题的关键． 【变式4 -3】在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于点，． （1）求出反比例函数表达式及的值； （2）根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）；；（2） 【分析】（1）将点代入可求得m，再将代入可求a （2）不等式的解集即为的函数图像在的函数图像上方的部分，根据函数图像和A、B点的坐标即可得出结果． 【详解】解：（1）∵点在函数上 ∴ 又∵点在函数上 ∴ （2）由题意可得图像如图所示： 由图像可得，当的函数图像在的函数图像上方时， 或 不等式的解集为． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的图像和性质，熟记函数的图像和性质，熟练运用数形结合思想是解决本题的关键． 【考点题型五】求反比例函数的值 【例5】在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 . 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 将点和代入，求得和，再相加即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴有， ∴， 故答案为：0． 【变式5 -1】在平面直角坐标系中，若反比例函数的图像经过点和．则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，以及反比例函数图像上点的特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先由待定系数法求得，再把点代入反比例函数解析式即可． 【详解】反比例函数的图像经过点， ， ， 反比例函数， 该反比例函数还过， ， ， 故答案为． 【变式5 -2】在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象经过点和点，则m的值为 ． 【答案】 【分析】由反比例函数的图象及其性质将A、B点代入反比例函数即可求得m的值为． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数，明确图象上点的坐标和解析式的关系是解题的关键． 【考点题型六】求反比例函数自变量的值 【例6】在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，先将点和代入函数解析式得出，，结合题意可得，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点和， ∴，， 又∵， ∴， 即； 即的值为． 故答案为：． 【变式6 -1】如图，反比例函数经过点、点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式．把点坐标代入解析式求出，进而求出反比例函数的解析式，然后将代入反比例函数的解析式即可． 【详解】解：由图可知，， 将代入， 得：， ， 将代入得：， 解得：， 故答案为：． 【变式6 -2】在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则的值为 ． 【答案】0 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．将点和代入之中得，，由此可得的值． 【详解】解：函数的图象经过点和， ，， ，， ． 故答案为：0． 【变式6 -3】在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】先把点A坐标代入求出反比例函数解析式，再把点B代入即可求出m的值． 【详解】解：∵函数的图象经过点和 ∴把点代入得， ∴反比例函数解析式为， 把点代入得：， 解得：， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键． 【考点题型七】反比例的函数图像问题 【例7】反比例函数（k为正整数）在第一象限的图象如图所示，已知图中点A的坐标为，则k的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】首先假设点A在该反比例函数图象上，即可求出此时k的值．再根据实际，即可判断k的取值范围，即可选择． 【详解】假设点A在该反比例函数图象上， ∴， ∵点A实际在该反比例函数图象上方， ∴． 选项中只有A选项的值小于2． 故选A． 【点睛】本题考查反比例函数的性质．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 【变式7 -1】已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于两点，若点的坐标是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正比例函数与反比例函数图像的中心对称性，可得关于原点中心对称，进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于两点， ∴关于原点中心对称， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是． 故选C． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握正比例函数与反比例函数图像的中心对称性，是解题的关键． 【变式7 -2】某同学为了研究函数的图象和应用，采用列表描图的方法进行探究，请你协助完成． 先列表如下： … 0 1 【变式7 -3】5 2 3 4 … … 4 0 … (1)直接写出表中、的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；    (2)结合图象，请直接写出不等式的解集______． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）把与分别代入解析式可得答案；再在坐标系内描点画图即可； （2）在同一坐标系内画出的图象，再利用的图象在函数的图象上方即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，； 在坐标系内描点画图如下：    ． （2）如图，画直线的图象，    由函数图象可得：函数的交点坐标为：， ∴的解集是； 【点睛】本题考查的是求解函数的函数值，利用描点法画函数的图象，利用数形结合的方法求解不等式的解集，掌握描点法画函数的图象是解本题的关键． 【变式7 -4】如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，若点，的横坐标分别为，，则 ． 【答案】0 【分析】根据反比例函数与正比例函数都是中心对称图形可得x1＝−x2，然后求解即可． 【详解】解：∵反比例函数与正比例函数都是中心对称图形， ∴x1＝−x2， ∴x1＋x2＝0， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数与正比例函数的中心对称性是解题的关键． 【变式7 -5】已知点A(1，2)，B在反比例函数的图象上，若OA=OB，则点B的坐标为 ． 【答案】（2，1） 【分析】根据点A，B关于y=x（y-x=0）的对称，求解即可 【详解】解：∵点A(1，2)，B在反比例函数的图象上，OA=OB， ∴点A，B关于直线y=x（y-x=0）的对称， 设点（1，2）关于直线y=x（y-x=0）的对称点设为（a，b） 由两点中点在直线y=x上及过两点的直线垂直直线y=x（斜率之积为-1） 可以得到：， 解得：a=2，b=1， ∴点B的坐标为（2,1） 故答案为：（2，1） 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用已知条件得出：点A，B关于直线y=x（y-x=0）的对称是解题的关键． 【变式7 -6】在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y的交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则x1•y2的值为 ． 【答案】−2 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点找出M、N两点坐标的关系，再根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可． 【详解】∵y=kx(k>0)图像关于(0，0)中心对称， ∵k>0， ∴图像经过一、三象限， y图像也关于(0，0)中心对称， ∵2>0， ∴图像经过一、三象限， 又∵M、N为y=kx与y交点， ∴M、N也关于原点中心对称，且一个在第三象限，一个在第一象限， ∴M(x1， )，N(−x1，)， ∴x1⋅y2==−2， 故答案为−2． 【点睛】本题考查了反比例函数图像的对称性，准确掌握利用过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称是解答本题的关键． 【考点题型八】反比例函数的性质 【例8】兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查函数的图象；能够通过已学的反比例函数自变量的取值范围确定b的取值是解题的关键．由图象可知，当时，，可知；由函数自变量的取值范围可得，结合函数图象可得；从而可得答案. 【详解】解：由图象可知，当时，， ∴； 由函数自变量的取值范围可得，结合函数图象可得； 故选：A． 【变式8 -1】对于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．它的图象分布在第二、第四象限 B．点在它的图象上 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解答本题的关键，根据反比例函数的图象与性质，对各选项逐一分析即可． 【详解】选项A，因为，所以图象在第一、第三象限，不符合题意； 选项B，对于反比例函数，当时，，所以点不在它的图象上，不符合题意； 选项C，对于反比例函数，当时，图象在第一象限内，所以y随x的增大而减小，符合题意； 选项D，对于反比例函数，当时，图象在第三象限内，所以y随x的增大而减小，不符合题意． 故选C． 【变式8 -2】关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象分布在第一、三象限 B．在各自的象限内，随的增大而增大 C．函数图象关于轴对称 D．图象经过 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据解析式得出，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵，， A. 图象分布在第二、四象限，故该选项不正确，不符合题意；     B. 在各自的象限内，随的增大而增大，故该选项正确，符合题意； C. 函数图象关于对称，故该选项不正确，不符合题意；     D. 图象经过或，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【变式8 -3】已知点在反比例函数的图象上，当时，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据题意得到该函数在第三象限时，y随x的增大而减小，进而求解即可． 【详解】∵点在反比例函数的图象上， ∵当时，， ∴该函数在第三象限时，y随x的增大而减小， ∴． 故答案为：． 【变式8 -4】在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，若，则k 0（填“>”或“<”）． 【答案】 【分析】时，反比例函数的图象在第一、三象限，时，反比例函数的图象在第二、四象限，再利用确定点，的位置即可求解． 【详解】∵点，在反比例函数的图象上，且， ∴点在第二象限，点在第四象限， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象及性质，掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键． 【变式8 -5】在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质进行判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， 又∵点，在反比例函数的图象上，且， ∴， 故答案为：． 【变式8 -6】已知点，在反比例函数的图象上．若，写出一个满足条件的m的值 ． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 根据题意得在每个象限内，随的增大而减小，即可求解． 【详解】解：反比例函数， ∵， ∴在每个象限内y随x的增大而减小， ∵，，， ∴或， ∴满足条件的m的值可以为4， 故答案为：4（答案不唯一）． 【变式8 -7】已知点，在反比例函数的图象上，且，则k的值可以是 ．（只需写出符合条件的一个k的值） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 由题意知，当时，随着的增大而增大，则，然后作答即可． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上，且， ∴当时，随着的增大而增大， ∴， ∴k的一个值为：， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式8 -8】若点，，在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】∵点，，在反比例函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式8 -9】在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，且点，都在该图象上，则 ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，先判定，再判定点在第四象限，在第二象限，从而可得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点位于第二、四象限， ∴， ∵，， ∴点在第四象限，在第二象限， ∴， 故答案为：． 【考点题型九】反比例函数k的几何意义 【例9】如图，若点A是反比例函数的图象上一点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，点C是y轴上任意一点，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设点A的坐标为，将长和点C到的距离用a表示出来，最后根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵轴， ∴， ∵点C在y轴上， ∴点C到的距离为a， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数k值的几何意义以及反比例函数的图象和性质． 【变式9 -1】如图，点A、B分别是反比例函数的图象上两点，分别过点A、B向坐标轴作垂线，四边形的面积记作，四边形的面积记作，则 （填、或）．      【答案】 【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，在反比例函数图像中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，在反比例函数的图像上任意一点作坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．根据反比例函数解析式中k的几何意义可知，设，得出，，即可得出答案． 【详解】解：∵A，B两点在反比例函数的图像上， ∴， 设， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式9 -2】如图，在矩形中，点O是坐标原点的图象上，点B在反比例函数， ，则 ． 【答案】 【分析】过A、B作轴于E，轴于F，利用三角函数、勾股定理解可得，结合矩形的性质可得，再证，推出，根据反比例函数k的几何意义可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过A、B作轴于E，轴于F，如图： ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数在第二象限， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质，反比例函数k的几何意义等，综合性强，有一定难度，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 【变式9 -3】如图，A，B两点在反比例函数的图像上，分别过点A，B向坐标轴作垂线段．若四边形面积为1，则阴影部分的面积之和为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，在反比例函数图像中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，在反比例函数的图像上任意一点作坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．根据反比例函数解析式中k的几何意义可知，因为，则，然后求和即可解答． 【详解】解：∵A，B两点在反比例函数的图像上， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积之和为． 故答案为6． 【变式9 -4】如图，已知点P是反比例函数上的一点，则矩形的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为．熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解： ∵点P是反比例函数图象上的一点， ∴矩形． 故答案为：3． 【变式9 -5】如图，A，B两点在函数图象上，垂直y轴于点C，垂直x轴于点D，，面积分别记为，，则 ．（填“”，“”，或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义可得答案．熟知反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．过曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得到的三角形的面积为常数的一半． 【详解】解：由反比例函数系数k的几何意义得， ，， ∴． 故答案为：． 【变式9 -6】如图，M为反比例函数的图象上的一点，轴，垂足为A，的面积为3，则k的值为 ．    【答案】6 【分析】由反比例函数k的几何意义可得，再结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵M为反比例函数的图象上的一点，轴，的面积为3， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6 【点睛】本题考查的是反比例函数中比例系数k的几何意义，理解k的几何意义是解本题的关键． 【变式9 -7】如图，点M是反比例函数图像上的一点，过点M作轴于点N，点P在y轴上，若的面积是2，则 ．    【答案】 【分析】设，可求 ，， 由，即可求解． 【详解】解：设， 轴， ，，轴， ， 解得：， 在上， ， 故答案：． 【点睛】本题主要考查了在反比例函数中利用面积求，掌握解法是解题的关键． 【变式9 -8】如图，若点A与点B是反比例函数的图象上的两点，过点A作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于点N，过点B作BG⊥x轴于点G，BH⊥y轴于点H，设矩形OMAN的面积为S1，矩形BHOG的面积为S2，则S1与S2的大小关系为：S1 S2（填“＞”，“＝”或“＜”）． 【答案】= 【分析】根据反比例函数k的几何意义可求出S1与S2的值． 【详解】∵点A与点B是反比例函数的图象上的两点， 过点A作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于点N，过点B作BG⊥x轴于点G，BH⊥y轴于点H， ∴S1＝|k|，S2＝|k|， ∴S1＝S2， 故答案为：＝． 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，掌握数形结合的思想是解决本题的关键． 【考点题型十】反比例函数与实际问题 【例10】某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压千帕随气球内气体的体积立方米的变化情况如下表所示，此时p与V的函数关系最可能是（   ） 立方米 64 48      32 24 … 千帕      2      3 4 … A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．反比例函数 【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，观察表格中的数据可知的值是一个定值，则p与V的函数关系最可能是反比例函数，据此可得答案． 【详解】解：由题意可知，；；；；，… 由此可得出p和V的函数关系是为： 故选：D． 【变式10 -1】小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如下： 收费项目 收费标准 3公里以内收费 13元 基本单价 2.3元/公里 … … 备注：出租车计价段里程精确到500米，出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入． 小明首先简化模型，从简单情形开始研究： ①只考虑白天正常行驶（无低速和等候）； ②行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价元，后500米计价元． 下面是小明的探究过程，请补充完整： 记一次运营出租车行驶的里程数为x（单位：公里），相应的实付车费为y（单位：元）． (1)下表是y随x的变化情况，补全表格中的数据，并在平面直角坐标系中，画出当时y随x变化的函数图象； 行驶里程数x 0 … 实付车费y 0 13 14 15 (2)一次运营行驶x公里（）的平均单价记为w（单位：元/公里），其中． ①当和时，平均单价依次为，则的大小关系是______；（用“”连接） ②若一次运营行驶x公里的平均单价w不大于行驶任意s（）公里的平均单价，则称这次行驶的里程数为幸运里程数．请直接写出3~4（不包括端点）之间的幸运里程数x的取值范围（保留两位小数）． 【答案】(1)17，18；见解析 (2)①；②或 【分析】题目属于新定义问题，考查反比例函数的图象与性质，读懂题目是解题的关键． （1）根据计费标准完成表格即可；根据表格画出图象即可； （2）①根据把和分别代入计算的值，并作比较； ②根据幸运里程数的概念及反比例函数求解即可． 【详解】（1）根据计费模型，可得行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价元，后500米计价元．且计费以元为单位得出 ；； 故答案为：17，18； 补全表如图： 行驶里程数x 0 … 实付车费y 0 13 14 15 17 18 （2）①当时，， 当时，， 当时，， 则 ； ②当时，，w随x的增大而减小， ∴幸运里程数的取值范围，且w最小接近于； 当时，，w随x的增大而减小， 当时，里程数x为幸运里程数， 解得， ∴； 综上：轴上表示出（不包括端点）之间的幸运里程数的取值范围或． 【变式10 -2】如图，学校生物兴趣小组的同学们用围栏围了一个面积为平方米的矩形饲养场地．设为米，为米． (1)求与的函数关系式； (2)延长至，使比少米，围成一个新的矩形，结果场地的面积增加了平方米，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用、矩形的面积以及分式方程的求解等， （1）利用矩形的面积公式，可得出与的函数关系式； （2）由的长可得出的长，再利用矩形的面积公式，结合矩形的面积为平方米，即可得出关于的方程． 【详解】（1）解：矩形饲养场的面积为平方米． 即： （2）比少米，为米． 为米． 此时新增加的面积为矩形的面积． 即： 又 化简得： 解得：． 经检验，是所列方程的解，符合题意， 所以的长为米． 【变式10 -3】已知某蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，即，其图象如图所示． (1)求的值； (2)若用电器的电阻为，则电流为______； (3)如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不得超过，那么用电器的电阻应控制的范围是______． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】此题考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键． （）根据待定系数法即可求解； （）代入函数求值即可； （）当时，代入求出，再根据图象即可求解． 【详解】（1）∵图象经过点， ∴， 解得：； （2）由（）得：， ∴， 当时，， 故答案为：； （3）当电流，， 解得：， 根据图象电流不得超过，则， 故答案为：． 【变式10 -4】已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么用电器的可变电阻R应控制在 ． 【答案】 【分析】本题是反比例函数的应用，会利用待定系数法求反比例函数的关系式，并正确认识图象，运用数形结合的思想，与不等式或等式相结合，解决实际问题． 根据图象中的点的坐标先求反比例函数关系式，再由电流不能超过列不等式，结合图象求出结论． 【详解】解：设反比例函数关系式为：， 把代入得：， ∴反比例函数关系式为：， 当时，则， ∴， 故答案为：． 【考点题型十一】反比例函数与一次函数的综合 【例11】如图，，两点在反比例函数的图象上．若将横、纵坐标都是整数的点称为整点，则线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为 ． 【答案】和 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数和一次函数解析式，坐标与图形，熟练掌握一次函数和的反比例函数的图象与性质是解题的关键． 根据，两点在反比例函数的图象上．求出反比例函数解析式、点的坐标，根据点、、的坐标，分别求出直线、的解析式，根据坐标与图形，分析当时、当时，线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的情况，得出答案即可． 【详解】解：∵，两点在反比例函数的图象上， ∴，反比例函数解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴设直线解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线解析式为， 设直线解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线解析式为， ∵当时，，，， ∴整点在线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中， ∵，当时，，， ∴整点在线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中， 综上所述，线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为和， 故答案为：和． 【变式11 -1】函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的图像，先根据一次函数可知，直线经过点，故选项B、D不符合题意，然后由A、C选项可知，的符号，从而选出答案． 【详解】解：函数的图像经过点， 选项B、选项D不符合题意； 由A、C选项可知：， 反比例函数的图像在第一、三象限， 故选项A符合题意，选项C不符合题意； 故选：A． 【变式11 -2】直线与双曲线交于两点（A在第二象限），则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题为反比例函数与正比例函数的综合．根据反比例函数上点的坐标特征推出与与的关系，直线与双曲线交点的特征推出与与的关系是解答本题的关键． 先根据点是双曲线上的点可得出，再根据直线与双曲线交于点两点可得，再把此关系代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：∵点是双曲线上的点， ， ∵直线与双曲线交于点两点， 即两点关于原点对称． ， ， 故答案为：10． 【变式11 -3】在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与函数的图象交于点 (1)求k，b的值； (2)已知直线与图象分别交于点若结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数的性质，，正确作出函数的图象是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）用待定系数法求出过点A的正比例函数解析式，再分别画出函数的图象，根据图象即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入，得； 把代入，得， 解得：； （2）解：设过点的正比例函数解析式为， 把代入，得， ∴过点的正比例函数解析式为，如图， 由图可得：直线与图象分别交于点若则． 【变式11 -4】在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点． (1)求k的值； (2)一次函数的图象过，与的图象交于两点，两函数图象交点之间的部分组成的封闭图形称作图象“”，该图象内横纵坐标均为整数的点称为“区域点”（不含边界）； ①当一次函数图象过时，存在______个“区域点”； ②如果“区域点”的个数为3个，画出示意图，直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2)①2个；②见解析， 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题等知识点， （1）把代入中可得k的值； （2）①将代入可得：直线解析式为，画图可得结论；②画图计算边界时a的值，即可得解； 熟练掌握整点的定义，并利用数形结合的思想是解决此题的关键． 【详解】（1）∵反比例函数的图象过点， ∴； ∴k的值为1； （2）①一次函数的图象过，， ∴，解得， ∴直线l的解析式为， 画出图形，如图所示， 区域G内的整点有和共两个； 故存在2个“G区域点”； 故答案为：2； ②如图，直线l：过时，， 解得， 直线l：过时，， 解得， 观察图象可知：“G区域点”的个数为3个时，a的取值范围是． 【变式11 -5】某校学生参加学农实践活动时，计划围一个面积为4平方米的矩形围栏．设矩形围栏周长为米，对于的最小值问题，小明尝试从“函数图象”的角度进行探究，过程如下． 请你补全探究过程．    (1)建立函数模型： 设矩形相邻两边的长分别为．由矩形的面积为4，得，即；由周长为，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第_________象限内交点的坐标； (2)画出函数图象： 函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．请在同一平面直角坐标系中画出直线； (3)平移直线，观察函数图象： 当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，直线与轴交点的纵坐标为_________； (4)得出结论： 若围出面积为4平方米的矩形围栏，则周长的最小值为_________米，此时矩形相邻两边的长分别为_________米、_________米． 【答案】(1)一 (2)见解析 (3)直线与轴交点的纵坐标为； (4)周长的最小值为8米；矩形相邻两边的长分别为2米、2米； 【分析】（1）根据x，y是矩形的边长，都是正数，即可求解； （2）通过描点法可画出的图像； （3）根据题意将点代入，求出m，即可求出答案； （4）联立和，可知，即可求解． 【详解】（1）解：∵x，y是矩形的边长，都是正数， 所以点在第一象限； （2）解：当时，， 当时，， ∴图像如图所示：    （3）解：将点代入得：， 解得：， 即， 当时，， ∴直线与轴交点的纵坐标为； （4）解：联立和并整理得：， ∴时，两个函数有交点， 解得：， ∴周长的最小值为8米， 可得，解得， ∴矩形相邻两边的长分别为2米、2米； 【点睛】本题考查的是反比例函数的综合应用，涉及到一次函数、一元二次方程、函数的平移等，此类探究题，通常按照题设条件逐次求解，难度不大． 【变式11 -6】在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点和点Q． (1)求m的值及点Q的坐标； (2)已知点，过点N作平行于x轴的直线交直线与双曲线分别为点和．当时，直接写出的取值范围是． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)或 【分析】该题主要考查了一次函数和反比例函数综合，重点掌握一次函数和反比例函数图象和性质，解析式求解，交点问题； （1）点代入直线求出，点代入双曲线求出，联立直线与双曲线求出点的坐标； （2）分两种情况画图解答即可； 【详解】（1）解：将点代入直线得：， 故点， 将点代入双曲线得：， 故双曲线为 联立直线与双曲线得：或2， 故点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：如图，当直线在点P上方时，， 此时，，即；    如图，当直线在点Q上方x轴下方时，， 此时，，即； 综上，或；    【考点题型十二】反比例函数与几何综合 【例12】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上．      (1)求的值； (2)当为何值时，的值最大?最大值是多少? 【答案】(1)， (2)当时，取得最大值，最大值为 【分析】（1）把点代入，得出，把点代入，即可求得； （2）过点作轴的垂线，分别交轴于点，证明，得出，进而可得，根据平移的性质得出，，进而表示出，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：把点代入， ∴， 解得：； 把点代入，解得； （2）∵点横坐标大于点的横坐标， ∴点在点的右侧， 如图所示，过点作轴的垂线，分别交轴于点，    ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将点沿轴正方向平移个单位长度得到点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式12 -1】如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y．定义为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线，将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中． 则下面叙述中正确的是（    ） A．点A的横坐标有可能大于3 B．矩形1是正方形时，点A位于区域② C．当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小 D．当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等 【答案】D 【分析】由图形可知：当时，，从而可判断A；根据点A是直线与双曲线的交点可判断B；求出可判断C；由点A位于区域①可得，由形2落在区域④中可得，从而可判断D． 【详解】设点（x，y均为正数）， A、设反比例函数解析式为：， 由图形可知：当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即点A的横坐标不可能大于3， 故选项A不正确； B、当矩形1为正方形时，边长为x， ， 则点A是直线与双曲线的交点，如图2，交点A在区域③， 故选项B不正确； C、当一边为x，则另一边为， ∵当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小， ∴矩形1的面积会越来越大， 故选项C不正确； D、当点A位于区域①时， ∵点， ∴，即另一边为：， 矩形2落在区域④中，，即另一边， ∴当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等； 如矩形的两条邻边长分别为0.9，2.9时，两个矩形都符合题意且全等， 故选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象和新定义，理解x和y的意义是关键，并注意用数形结合的思想解决问题． 【变式12 -2】如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，点C、D在x轴上，分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设、，根据题意：利用函数关系式表示出线段，然后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：设点A的坐标为，．则． ∴点B的纵坐标为． ∴点B的横坐标为． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴． ． ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数的图像上点的坐标的特征、矩形的性质等知识点，灵活利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键． 【变式12 -3】如图，A、B是反比例函数（）图象上的两点，直线交y轴正半轴于点E．过点A，B 分别作x轴的平行线交y轴于点C，D，若点B的横坐标是4，,，则k的值为 ． 【答案】 【分析】由，设，，则，可求得，设，，由，可得，求出b的值，再求出，，利用A、B是图象上的两点，即可求出答案． 【详解】解：轴， ， ， ∴设，， ， ∵点B的横坐标为4， ， 则， ， , 设，， ， ∴， ， ， ， 则， ， 设B点的纵坐标为n， ， 则， ，， A、B是反比例函数（）图象上的两点， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形及勾股定理得应用，表示出点A、B的坐标是解题关键． 【变式12 -4】如图，在平面直角坐标系中，点在双曲线上，点B在双曲线上，且满足，连接． (1)求双曲线的表达式； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，证明，得出，根据中，，得出，求出，，求出B的坐标为，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点在双曲线上， ∴， ∴． （2）解：如图，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，如图所示： 则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵A的坐标为， ∴，． ∵中，， ∴， ∴，． ∴B的坐标为， ∴将代入得． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，求反比例函数解析式，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定方法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$