清单02 二次函数（17个考点梳理+题型解读+提升训练）（期末复习知识清单）九年级数学上学期北京版

清单02 二次函数（17个考点梳理 题型解读 提升训练） 【清单01】二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数 首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简， 然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数自变量的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 【清单02】二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 【清单03】二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： （1）当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． （2）当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． （3）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 【清单04】待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【清单05】抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 【清单06】图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【清单07】二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 （1）函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． （2）利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 【清单08】根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． （1）描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． （2）函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 【清单09】二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 【清单10】二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 【清单11】二次函数在给定区间上的最值 二次函数在给定区间上的最值． 对y＝ax2+bx+c，（p≤x≤q）， a＞0时， 当﹣≥q，则x＝q时，y取得最小值；x＝p时，y取得最大值 当﹣≤p，则x＝q时，y取得最大值；x＝p时，y取得最小值 当q≥﹣≥时，x＝﹣时，y取得最小值，x＝p时，y取最大值 当≥﹣≥p时，x＝﹣，y取得最小值，x＝q时，y取得最大值 a＜0时，同样进行分类讨论． 【考点题型一】二次函数的概念 【例1】下面问题中，与满足的函数关系是二次函数的是（   ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与医柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件元出售，可卖出件．利润（元）与每件进价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，正比例函数的定义，反比例函数的定义，根据题意正确列出函数解析式并进行判断是解题的关键． ①根据矩形的面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可； ②根据圆柱的侧面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可； ③根据利润(售价进价)销售量列出关系式，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可． 【详解】解：①是的反比例函数，故题不符合题意； 是的正比例函数，故②不符合题意； ③，是的二次函数，故③符合题意； 故选：C． 【变式1 -1】已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值： x … 1 2 4 … y … 4 2 1 … y与x的函数关系有以下3个描述： ①可能是一次函数关系； ②可能是反比例函数关系； ③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了用列表法表示函数关系，函数关系的判定，根据表格数据的特点判断出三点不共线，且三个点的横坐标和纵坐标的积都为4是解题的关键． 根据图表数据可知，三个点不在同一直线上即可判断不是一次函数可能是二次函数，三个点的横坐标和纵坐标的积都为4，即可判断可能是反比例函数． 【详解】解：观察可知，三个点不在同一直线上，故①错误，③正确； 三个点的横坐标和纵坐标的积都为4，故都在反比例函数图象上，故②正确； 故选：C． 【变式1 -2】线段，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段运动至点，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，正方形周长为，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系 【答案】C 【分析】根据题意列出函数关系式，即可判断函数的类型． 【详解】解：由题意，得 ，属于正比例函数关系， ，属于二次函数关系， 故选：C． 【点睛】本题考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 【变式1 -3】若y=（m＋1）是二次函数，则m=  （   ） A．－1 B．7 C．－1或7 D．以上都不对 【答案】B 【分析】令x的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可． 【详解】由题意得：m2-6m-5=2；且m+1≠0； 解得m=7或-1；m≠-1， ∴m=7， 故选：B． 【点睛】利用二次函数的定义，二次函数中自变量的指数是2；二次项的系数不为0． 【变式1 -4】用一个圆心角为（为常数，）的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为，所作的圆锥的底面圆的周长为，侧面积为，当在一定范围内变化时，与都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（    ） A．一次函数关系，一次函数关系 B．二次函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 【答案】C 【分析】本题考查一次函数、二次函数的定义以及弧长、扇形面积的计算，根据弧长公式，扇形面积的计算公式得出与，与的函数关系式，再根据一次函数、二次函数的定义进行判断即可． 【详解】解：圆锥的底面圆的周长为，即扇形的弧长； 圆锥的侧面积，即扇形的面积， 所以是的一次函数，是的二次函数， 故选：C． 【变式1 -5】如图，在中，，．点P是边上一动点（不与C，B重合），过点P作交于点．设，的长为，的面积为，则与x，S与满足的函数关系分别为（   ）    A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【分析】先求出，再求出，然后解得到，，进而得到，，由此即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， ∴与x，S与满足的函数关系分别为一次函数关系，二次函数关系， 故选A． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等边对等角，列函数关系式，正确求出，是解题的关键． 【变式1 -6】线段．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿线段运动至点B，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆．设点的运动时间为t，正方形周长为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，正比例函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 【答案】C 【分析】根据题意分别列出与，与的函数关系，进而进行判断即可． 【详解】解：依题意：AP=t，BP=5-t, 故y=4t，S=（5-t）2 故选择：C 【点睛】本题考查了列函数表达式，正比例函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关键． 【变式1 -7】如图，矩形绿地的长和宽分别为和．若将该绿地的长、宽各增加，扩充后的绿地的面积为，则y与x之间的函数关系是 ．（填“正比例函数关系”、“一次函数关系”或“二次函数关系”） 【答案】二次函数关系 【分析】根据矩形面积公式求出y与x之间的函数关系式即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ∴y与x之间的函数关系是二次函数关系， 故答案为；二次函数关系． 【点睛】本题主要考查了列函数关系式和二次函数的定义，正确列出y与x之间的函数关系式是解题的关键． 【考点题型二】二次函数y=ax2的图像与性质 【例2】下列函数中，当时，函数值y随x的增大而增大的有（　　） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质；一次函数的性质，首先判断每个函数是哪一类函数，再根据函数的性质分别进行判断． 【详解】解：①此函数是正比例函数，，y随x的增大而增大，故符合题意； ②此函数是一次比例函数，，y随x的增大而减小，故不符合题意； ③函数中，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，故符合题意； ④函数中，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故不符合题意； 故选：C． 【变式2 -1】关于四个函数，，，的共同点，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．都有最低点 C．对称轴是轴 D．随增大而增大 【答案】C 【分析】根据a值得函数图象的开口方向，从而判定A；根据a值得函数图象的开口方向，即可得出函数有最高点或电低点，从而判定B；根据函数的对称轴判定C；根据函数的增减性判定D． 【详解】解：A．函数与的开口向下，函数与开口向上， 故此选项不符合题意； B．函数与的开口向下，有最高点；函数与开口向上，有最低点， 故此选项不符合题意； C．函数，，，的对称轴都是y轴，故此选项符合题意； D．函数与，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小；函数与，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大；故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查函数图象性质，熟练掌握函数的图象性质是解题的关键． 【变式2 -2】下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（　　） A．它的图象经过点（﹣1，﹣2） B．当x＜0时，y随x的增大而减小 C．它的图象的对称轴是直线x＝2 D．当x＝0时，y有最大值为0 【答案】B 【分析】 是一条开口向上的抛物线，对称轴为轴即直线，在对称轴处取最小值为，在对称轴左侧随的增大而减小． 【详解】A将代入求得，表述错误，故不符合题意； B根据函数的性质，当时，随的增大而减小，表述正确，故符合题意； C图像的对称轴是直线，表述错误，故不符合题意； D当时，取最小值，表述错误，故不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质．解题的关键在于对二次函数知识的全面掌握． 【变式2 -3】若点，，三点都在二次函数的图象上，则、、的大小关系是 .（按从小到大的顺序，用“”连接）. 【答案】 【分析】本题考查比较二次函数值的大小，开口向下，离对称轴越远的点纵坐标越小，由此可解． 【详解】解：中， 的图象开口向下，对称轴为y轴， 距离y轴越远的点纵坐标越小， ， ， 故答案为：． 【变式2 -4】如图，在平面直角坐标系中，点，，若抛物线与线段有公共点，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】分别把A、B点的坐标代入得a的值，根据二次函数的性质得到a的取值范围． 【详解】解：把代入得； 把代入得， ∴a的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 【考点题型三】二次函数y=ax2+k的图像与性质 【例3】下列关于函数的结论中，正确的是（    ） A．随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象的性质，要牢记解析式中的系数和图象性质的关系．根据二次项的系数确定开口方向，再根据对称轴确定增减性． 【详解】解：由题意得，图象开口向上，对称轴为轴， 当时，随增大而减小， A、C选项说法错误， 当时，随增大而增大， B选项说法正确，D选项说法错误， 故选：B． 【变式3 -1】如图，已知抛物线，将该抛物线在x轴及x轴下方的部分记作，将沿x轴翻折构成的图形记作，将和构成的图形记作．关于图形，给出的下列四个结论，不正确的是（   ） A．图形恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点） B．图形上任意一点到原点的最大距离是1 C．图形的周长大于 D．图形所围成区域的面积大于2且小于 【答案】C 【分析】画出图象C3，以及以O为圆心，以1为半径的圆，再作出⊙O内接正方形，根据图象即可判断． 【详解】解：如图所示， A、图形C3恰好经过（1，0）、（-1，0）、（0，1）、（0，-1）4个整点，故正确，不符合题意； B、由图象可知，图形C3上任意一点到原点的距离都不超过1，故正确，不符合题意； C、图形C3的周长小于⊙O的周长，所以图形C3的周长小于2π，故错误，符合题意； D、图形C3所围成的区域的面积小于⊙O的面积，大于⊙O内接正方形的面积，所以图形C3所围成的区域的面积大于2且小于π，故正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，数形结合是解题的关键． 【变式3 -2】在平面直角坐标系中，下列函数的图象上存在点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定P点在第一象限，分别画出各个选项的图象判定即可． 【详解】解：∵， ∴点P在第一象限， 如图所示：只有的图象过第一象限， 故选A． 【点睛】本题考查了函数的图象，掌握一次函数，二次函数及反比例函数的图象的特点是解题的关键． 【变式3 -3】请你写出一个开口向上，且经过的抛物线的解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，因为一个开口向上，且经过，所以的，据此即可作答． 【详解】解：∵开口向上， ∴的， ∴ ∵经过 则时， ∴ 故答案为：（答案不唯一） 【变式3 -4】平面直角坐标系中，将抛物线在x轴和x轴下方的部分记作，将沿x轴翻折记作，和构成的图形记作G．关于图形G，如图所示，以下三个结论中，正确的序号是 ． ①图形G关于原点对称； ②图形G关于直线对称； ③图形G的面积为S，满足．    【答案】①③ 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．根据抛物线的对称性结合图形即可判断①②；观察图形即可判断③． 【详解】解：如图，    由图形可知，图形关于原点对称，不关于直线对称，故①正确，②错误； 观察图形，图形的面积大于两个的面积，小于的面积， 所以，图形的面积满足，故③正确． 故答案为：①③． 【变式3 -5】如图，抛物线，将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作，和构成的图形记作．关于图形，给出如下四个结论：①图形关于y轴成轴对称；② 图形有最小值，且最小值为0；③ 当时，图形的函数值都是随着x的增大而增大的；④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），以上四个结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】画出图象，根据图象即可判断． 【详解】解：如图所示， ①图形关于y轴成轴对称，故正确； ②由图象可知，图形有最小值，且最小值为0；，故正确； ③当时，图形与x轴交点的左侧的函数值都是随着x的增大而减小，图形与x轴交点的右侧的函数值都是随着x的增大而增大，故错误； ④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，数形结合是解题的关键． 【考点题型四】二次函数y=a(x-h)2的图像与性质 【例4】已知函数的图象上有 ，， 三点，则 、 、的大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值的大小即可． 【详解】解：函数的对称轴为直线，开口向上，距离对称轴越近，函数值越小， 点到对称轴的距离为， 点B到对称轴的距离为， 点C到对称轴的距离为， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 【变式4 -1】对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（    ） A．开口向上 B．经过原点 C．对称轴是y轴 D．顶点在x轴上 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质判断即可． 【详解】在二次函数中， ∵， ∴图像开口向下，故A错误； 令，则， ∴图像不经过原点，故B错误； 二次函数的对称轴为直线，故C错误； 二次函数的顶点坐标为， ∴顶点在x轴上，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数相关性质是解题的关键． 【变式4 -2】对于任何实数，抛物线与抛物线的相同点是（  ） A．形状与开口方向相同 B．对称轴相同 C．顶点相同 D．都有最低点 【答案】A 【分析】根据抛物线的图象与性质即可解答； 【详解】解：对于任何实数，抛物线与抛物线的相同点是形状与开口方向相同， 抛物线的对称轴是y轴，顶点是原点，有最高点（0，0）； 抛物线的对称轴是直线x=h，顶点是（h，0），有最高点（h，0）； 故选：A 【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质，属于基础题目，熟练掌握抛物线的图象与性质是关键． 【变式4 -3】点A（-1，y1），B（4，y2）是二次函数y＝（x－1）2图象上的两个点，则y1 y2（填“＞”，“＜”或“＝”） 【答案】 【分析】根据二次函数y＝（x－1）2的对称轴为，则时的函数值和的函数值相等，进而根据抛物线开口朝上，在对称轴的右侧随的增大而增大即可判断 【详解】解：二次函数y＝（x－1）2的对称轴为， 时的函数值和的函数值相等，在对称轴的右侧随的增大而增大 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象的性质是解题的关键． 【变式4 -4】在平面直角坐标系中，点，是抛物线上的两点（，不重合）． (1)若，求的值； (2)若点在抛物线上，且对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图像上的点的坐标特征，解题的关键是掌握时，离对称轴越近的点，其纵坐标越小，再分类讨论可得答案； （1）由可得对称轴是直线，解得：； （2）由，可知离对称轴水平距离越近的点，其纵坐标越小，再分类讨论可得答案； 【详解】（1）解：由题意得， ，点，是抛物线上的两点， 对称轴是直线， ， （2）抛物线， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 点在抛物线上，且对于， 点在对称轴右侧， 点关于对称轴的对称点为， 当时， ， ， 当时， ，则，不符合题意； 综上所述，的取值范围是 【考点题型五】二次函数y=a(x-h)2+k的图像与性质 【例5】已知二次函数，则下列说法正确的是（    ） A．二次函数图象开口向上 B．当时，函数有最大值是3 C．当时，函数有最小值是3 D．当时，y随x增大而增大 【答案】B 【分析】根据二次函数顶点式的特点依次判断求解即可． 【详解】解：二次函数，其中，开口向下，顶点坐标为，对称轴为，最大值为3，当时，y随x的增大而减小， ∴只有选项B正确，符合题意； 故选：B． 【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质和特点，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． 【变式5 -1】抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线的顶点式及顶点坐标；根据二次函数的顶点式，顶点坐标为，即可解答． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 【变式5 -2】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．将此抛物线向上平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（   ） A．当时，， B．当时，， C．当时，， D．当时，， 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的性质和平移的性质，根据对称轴和抛物线与x轴交点的坐标位置，结合图象向上平移的特点，分和讨论即可． 【详解】解：当时，如图所示： 抛物线的对称轴为直线， ，且； 当时，如图所示： 抛物线的对称轴为直线， ，且． 故选：． 【变式5 -3】在平面直角坐标系中，若点，在抛物线上，则 （填“”，“ ”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是把的值代入二次函数解析式，求出对应的值再比较即可． 【详解】点，在抛物线上， ；， ； 故答案为：． 【变式5 -4】投掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被投掷后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手（点处）到落地的过程中，其竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． 小石进行了三次训练，每次实心球的出手点的竖直高度为．记实心球运动路线的最高点为，训练成绩（实心球落地点的水平距离）为（单位：）．训练情况如下： 第一次训练 第二次训练 第三次训练 训练成绩 最高点 满足的函数关系式 根据以上信息， (1)求第二次训练时满足的函数关系式； (2)小石第二次训练的成绩为______； (3)直接写出训练成绩，，的大小关系． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）利用待定系数法求解即可； （）令，求出的值即可； （）根据函数解析式分别求出三个距离，根据大小即可比较； 此题考查了二次函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质的应用． 【详解】（1）由题意得：， ∵当时，， ∴，解得：， ∴第二次训练时满足的函数关系式为； （2）当时，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 小石第二次训练的成绩为， 故答案为：； （3）根据表格可知：， 由（）得：， 当时，， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴， ∴． 【考点题型六】二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 【例6】平面直角坐标系中，已知二次函数的部分图象如图所示，给出下面三个结论： ①；② 二次函数有最大值4；③ 关于x的方程有两个实数根，．上述结论中，所有正确结论的序号是（　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数图象的性质等等，根据开口向下可得，根据对称轴为直线得到，由此可判断①；根据顶点坐标为，即可判断②；根据对称性求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，即可判断③。 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， ∵二次函数对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由函数图象可知，该二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数有最大值4，故②正确； ∵二次函数与x轴的一个交点坐标为， ∴由对称性可知，二次函数与x轴的另一个交点坐标为， ∴关于x的方程有两个实数根，，故③正确； 故选D. 【变式6 -1】二次函数的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … 有如下结论： ①抛物线的开口向上 ②抛物线的对称轴是直线 ③抛物线与y轴的交点坐标为 ④由抛物线可知的解集是 其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与不等式的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，本题得以解决． 【详解】解：由表格可知，该函数的对称轴是直线， ∵时，y随x的增大而增大， ∴抛物线的开口向上，故选项①②正确； ∵当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为，故选项③正确； ∵和时，， ∴当，， 的解集是，故选项④正确， 故选：D． 【变式6 -2】已知二次函数．    (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)二次函数图象的顶点坐标为； (2)画图见解析； (3)的取值范围为． 【分析】（）把通过配方配成顶点式即可求解； （）根据画函数图象的步骤即可求解； （）根据函数图象即可求解； 本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的平移，画函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数图象的顶点坐标为； （2）列表： 描点： 连线： 如图：      （3）根据图象可知：在时， 当时，有最小值；当时，有最大值， ∴当时，的取值范围为． 【变式6 -3】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧）． (1)抛物线的对称轴为直线，．求抛物线的表达式； (2)将（1）中的抛物线，向左平移两个单位后再向下平移，得到的抛物线经过点O，且与x轴正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，求点P的坐标； (3)当时，抛物线上有两点和，若，，，试判断与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】对于（1），由题意可知，，，求出b，再将A点代入，即可求函数解析式； 对于（2），设抛物线向下平移m个单位，则平移后解析式为，再将代入求出m的值，即可确定平移后函数解析式； 对于（3），由题意可知到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，再由，可知N点到对称轴的距离大于M点到对称轴的距离，即可求答案． 本题主要考查了求二次函数的关系式，二次函数的图像和性质，二次函数图像的平移，理解各点与对称轴之间的距离是解题的关键． 【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线，，且A在B的左侧 ∴ ∴ ∴，. ∵， ∴， ∴. 将点代入， ∴， ∴， ∴； （2）， 设抛物线向下平移m个单位， ∴， ∴. ∵抛物线经过原点， ∴， ∴， ∴平移后抛物线为， ∴； （3）当时，， ∴抛物线的对称轴为. ∵， ∴到对称轴的距离为，到对称轴的距离为. ∵， ∴， ∴N点到对称轴的距离大于M点到对称轴的距离. ∵抛物线开口向下， ∴． 【变式6 -4】在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)若对于该抛物线上的三个点，，，总有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质、把二次函数化为顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）利用配方法把抛物线解析式配成顶点式即可求得顶点坐标； （2）由（1）可得：抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，由题意得出点距离对称轴的距离大于点距离对称轴的距离大于点距离对称轴的距离，即，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， 该抛物线的顶点坐标为 （2）解：由（1）可得：抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上， 对于该抛物线上的三个点，，，总有， 点距离对称轴的距离大于点距离对称轴的距离大于点距离对称轴的距离， ， 解得：， 实数的取值范围为． 【变式6 -5】已知二次函数． (1)甲说：该二次函数图象必经过点；乙说：若图象的顶点在x轴上，则；你觉得他们的结论对吗？请说明理由． (2)若抛物线经过，两点，求证：． 【答案】(1)甲和乙的说法都不对，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）先判断甲乙的说法，然后根据题意和二次函数的性质，说明理由即可； （2）根据抛物线经过，两点，可以得到、与的关系，然后根据二次函数的性质，即可得到． 【详解】（1）解：甲和乙的说法都不对， 理由：当时， ，故甲的说法不对； 令， 解得，，， 故乙的说法不对； （2）证明：抛物线经过，两点， ， ， ， 即． 【变式6 -6】在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)直接写出抛物线的对称轴； (2)抛物线上两点，，且，． ①当时，直接写出，的大小关系； ②若对于，都有，直接写出的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线 (2)①；② 或 【分析】本题是二次函数的综合应用，考查了二次函数的性质与图象，二次函数与方程、不等式的关系掌握这些关系是解答关键． （1）求出抛物线与y轴的交点坐标，此点与点关于抛物线对称轴对称，则可求得对称轴； （2）①由可得的范围，则可得P、Q到对称轴的距离大小关系，结合即可判断； ②设点P关于直线的对称点为，由可得，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：在抛物线中，令，则， 即抛物线与y轴的交点， 故点与点关于抛物线对称轴对称， 而，则抛物线对称轴为直线； （2）解：①当时，，， ； ， 即， ， ； ②设点P关于直线的对称点为， 则，即； ， ； 而， 则． ， ， 故当或时，， 解得：或． 【考点题型七】二次函数图像与系数符号的关系 【例7】已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④．其中错误结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】由抛物线开口向下，与轴交于正半轴，可确定，，再根据对称轴是直线，即，可确定，从而可判断①正确，④错误；根据图象可知二次函数与轴有两个交点，进而可判断②正确，由图像可知当时，，即可判断③． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， 故①正确，④错误； ∵图象可知二次函数与轴有两个交点， ∴，即， 故②正确， ∵当时，， ∴，故③正确， 综上可知错误结论的个数是1个． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是明确二次函数图象的特点，运用数形结合的思想，找出所求问题需要的条件． 【变式7 -1】如图，抛物线经过点．下面有四个结论：①；②；③；④关于的不等式的解集为．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质以及与一次函数的解集，根据图像开口可得①错误；根据对称轴可判断②正确；由时，，即可判断③正确；利用二次函数与一次函数的图像位置关系可判断④正确． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴， 则①错误． ②∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，且与x轴的交点一个为另外一个在2到3之间， ∴， ∵ ∴， ∴， 则②正确． ③由图象可知，当时，， ∴， 则③正确． ④，可变式为， 令， ∵一次函数，过点和，则一次函数与抛物线图象如图， 的解集为． 则④正确． 故选：D． 【变式7 -2】如图，抛物线与x轴交于点和B，下列结论：① ；②；③；④．其中正确的结论个数为 （      ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【分析】由图像知，，根据对称轴在y轴右侧，根据左同右异，得，即可判断①错误；根据，得，判断②错误；由抛物线与x轴交于点，得，推出，判断③错误；根据抛物线对称轴，确定点B的横坐标小于3，进而推出，判断④正确． 【详解】解：由图像知，开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴在y轴右侧 ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，， ∴，故②正确； ∵抛物线与x轴交于点， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵抛物线与x轴交于点，对称轴， ∴点B的横坐标小于3， ∴，故④正确； 故选：B． 【点睛】此题考查了利用二次函数判断式子的符号，正确理解二次函数图像与字母系数的关系，对称轴公式，图像的对称性由函数图像得到字母的符号是解题的关键． 【变式7 -3】抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序号是（    ）    A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】利由抛物线的开口方向和位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1，0），代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的顶点坐标以及对称轴可对③进行判断；抛物线的对称性得出点的对称点是，则可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴，故①正确； ∵抛物线的顶点为，且经过点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0）， ∴，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线x=2， ∴，即：b=-4a， ∵， ∴c=b-a=-5a， ∵顶点， ∴，即：， ∴m=-9a，即：，故③正确； ∵若此抛物线经过点，抛物线的对称轴为直线x=2， ∴此抛物线经过点， ∴， ∴一定是方程的一个根，故④错误． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置． 【变式7 -4】抛物线经过点(1，0)，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①＜0； ②；③9a-3b+c=0；④若，则时的函数值小于时的函数值．其中正确结论的序号是（    ）    A．①③ B．②④ C．②③ D．③④ 【答案】D 【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断； ②根据抛物线的对称轴方程即可判断； ③根据抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），即可判断； ④根据m＞n＞0，得出m﹣1和n﹣1的大小及其与﹣1的关系，利用二次函数的性质即可判断． 【详解】解：①观察图象可知： a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0， 所以①错误； ②∵对称轴为直线x＝﹣1， 即﹣＝﹣1，解得b＝2a，即2a﹣b＝0， 所以②错误； ③∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0）， 当a＝﹣3时，y＝0，即9a﹣3b+c＝0， 所以③正确； ∵m＞n＞0， ∴m﹣1＞n﹣1＞﹣1， 由x＞﹣1时，y随x的增大而减小知x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质及点的坐标特征． 【变式7 -5】在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出以下结论：①abc＞0；②b+2a＝0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b+c≤am2+bm+c（m为实数）．其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】由抛物线可知a> 0，c< 0，对称轴为x=， ∴b>0， ∴abc<0，故①错误； 由图象可得x==-1， ∴b=2a， ∴b-2a=0，故②错误； 由图象知：对称轴为x=-1，且图象与x轴一个交点为（1,0）， ∴图象与x轴另一个交点为（-3,0）， ∴当x=-3时，9a﹣3b+c＝0，故③正确； 当x=-1时，y的最小值为a-b+c， 当x=m时，y= am2+bm+c， ∴am2+bm+c a-b+c，故④正确； 故选：B． 【点睛】此题考查二次函数图象，根据函数图象与系数的关系，判断式子的正负，抛物线的对称性，已知自变量求函数值，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 【考点题型八】不同函数间图像的综合判断 【例8】在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题综合考查了一次函数图象与二次函数图象；根据两个函数图象的特征结合各项系数进行分析即可． 【详解】解：A、由二次函数图象知，，即；由一次函数图象知，，a、c的符号都一致，故符合题意； B、由二次函数图象知，，即；由一次函数图象知，，c的符号不一致，故不符合题意； C、由二次函数图象知，，即；由一次函数图象知，，c的符号不一致，故不符合题意； D、由二次函数图象知，，即；由一次函数图象知，，a、c的符号都不一致，故不符合题意； 故选：A． 【变式8 -1】如图，抛物线y＝a＋bx＋c与直线y＝kx交于M，N两点，则二次函数y＝a＋（b﹣k）x＋c的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线y＝a＋bx＋c与直线y＝kx交于M，N两点，可得方程a＋bx＋c＝kx有两个不等的实数根，从而可判断； 【详解】由图像可知a＞0，b＞0，c＞0，k＜0，则b－k＞0，可排除选项B、D，由图像可知抛物线y＝a＋bx＋c与直线y＝kx有两个不同的交点，则一元二次方程a＋bx＋c＝kx有两个不等的实数根，即一元二次方程a＋（b－k）x＋c＝0有两个不等的实数根，所以二次函数y＝a＋（b﹣k）x＋c的图象与x轴有两个交点，故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，结合二次函数与一元二次方程的关系求解是解题的关键． 【变式8 -2】函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数和二次函数图象与系数的关系解答． 【详解】解：A、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣a的图象应该开口向上，图象的两交点在坐标轴上，故A正确； B、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣a的图象应该开口向下，图象的两交点不在坐标轴上，故B错误； C、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣a的图象应该开口向上，图象的两交点不在坐标轴上，故C错误． D、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣a的图象应该开口向下，图象的两交点不在坐标轴上，故D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数和二次函数的综合应用，熟练掌握一次函数和二次函数图象与系数的关系是解题关键． 【变式8 -3】如图，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由， 可得， 一次函数图象与y轴的正半轴相交， 可判断不符合题意，当a＞0时，抛物线开口向下，经过原点且对称轴为直线＜0，可判断不符合题意，符合题意，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次函数图象与y轴的正半轴相交， 故不符合题意， 当＞0时， 一次函数从左往右图像上升，二次函数的图象开口向下，经过原点且对称轴为直线＜0， 故不符合题意，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象，一次函数的图象，关键在于熟练掌握图象与系数的关系． 【变式8 -4】已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（  　　）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由反比例函数的图象确定k的范围，再利用二次函数的性质进行判断即可. 【详解】解：根据题意，反比例函数的图象在二、四象限，所以k<0， ∴2k<0，∴抛物线的开口向下， 对称轴为：直线，所以抛物线的对称轴在y轴的左侧， 抛物线与y轴的交点为（0，），在y轴的正半轴上； 观察各选项，只有D符合. 故选D. 【点睛】本题考查了反比例函数与二次函数的图象和性质，属于常考题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键. 【考点题型九】二次函数的对称性 【例9】若抛物线（）经过，两点，则抛物线的对称轴为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线经过点，即可确定抛物线的对称轴为直线x=2． 【详解】∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线x=2， 故选：B． 【点睛】此题考查抛物线的对称性，正确掌握抛物线的性质是解题的关键． 【变式9 -1】已知：二次函数的图象上部分对应点坐标如下表，m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数图象的对称性，根据表格数据可知，抛物线的对称轴为，由抛物线的对称性可知，时的值与时的值相等，即可求解． 【详解】解：由表格可知，当，，当，， 由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为， ∴时的值与时的值相等， ∴时的值为，即的值为， 故选：D． 【变式9 -2】二次函数的图象如图所示，若点A和B在此函数图象上，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】由图象可知抛物线的对称轴为直线，所以设点A关于对称轴对称的点为点C，如图，此时点C坐标为（－4，y1），点B与点C都在对称轴左边，从而利用二次函数的增减性判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴设点A关于对称轴对称的点为点C，∴点C坐标为（－4，y1）， 此时点A、B、C的大体位置如图所示， ∵当时，y随着x的增大而减小，，∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，属于基本题型，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 【变式9 -3】经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（    ） A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】B 【分析】根据题意，求得对称轴，进而得出，求得抛物线解析式，根据抛物线与轴有交点得出，进而得出，则，求得的横坐标，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线 ∵抛物线经过两点 ∴， 即， ∴， ∵抛物线与轴有交点， ∴， 即， 即，即， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，与轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式9 -4】在平面直角坐标系中，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． (1)若对于，有，求的值； (2)若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． （1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解； （2）分和两种情况，分别进行求解即可． 【详解】（1）解：∵对于，有， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴为． ∴； （2）解：∵当，， ∴，， 当，， ∴离对称轴更近，，则与连线的中点在对称轴的右侧， ∴， 即． 当，， ∴离对称轴更近，，则与连线的中点在对称轴的左侧， ∴， ∴． 综上可知，或． 【变式9 -5】在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)若对于，有，求t的值； (2)若对于，都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． （1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解； （2）根据题意可得离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵对于有， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴为． ∴； （2）解：∵当， ∴，， ∵，， ∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧， ∴， 即． 【考点题型十】二次函数的最值 【例10】二次函数的最小值为（　　） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】将二次函数的表达式通过配方，改写为顶点式，即可进行解答． 【详解】解：二次函数， ∴当时，函数有最小值，最小值为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，解题的关键是将二次函数的一般式改写为顶点式． 【变式10 -1】当时，函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到m的取值范围，本题得以解决． 【详解】解：∵y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1， ∴该函数的对称轴是直线x=2，当x=2时，该函数取得最大值1，该函数图象开口向下， ∵当0≤x≤m时，此函数的最小值为-3，最大值为1，当x=0时，y=-3， 而x=4时，y=-3， ∴2≤m≤4， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【变式10 -2】已知二次函数，当时，y有最小值7，最大值11，则的值为（    ） A．3 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】先求出二次函数的对称轴为直线，再分①和②两种情况，然后利用二次函数的性质求出最大值与最小值，据此建立方程组求出的值，由此即可得． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ①当时， 则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 所以当时，取得最小值；当时，取得最大值， 所以， 解得，符合题设， 则此时； ②当时， 则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 所以当时，取得最大值；当时，取得最小值， 所以， 解得，符合题设， 则此时； 综上，的值为9， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，正确分两种情况讨论是解题关键． 【变式10 -3】已知关于n的函数s＝an2+bn（n为自然数），当n＝9时，s＜0；当n＝10时，s＞0．则n取（　　）时，s的值最小． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到对称轴的取值范围和该函数图象的开口方向，从而可以得到当n取各个选项中的数时，当n是哪个数时，s的值最小，从而可以解答本题． 【详解】解：∵函数s＝an2+bn（n为自然数），当n＝9时，s＜0；当n＝10时，s＞0， ∴a＞0，该函数图象开口向上， ∴当s＝0时，9＜n＜10， ∵n＝0时，s＝0， ∴该函数的对称轴n的值在4.5～5之间， ∴各个选项中，当n＝5时，s取得的值最小. 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【变式10 -4】在平面直角坐标系中，已知抛物线 (1)求该抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若，当时，求的取值范围； (3)已知，，为该抛物线上的点，若，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数的最值是解题的关键． （1）由题意知，该抛物线的对称轴为直线，求解作答即可； （2）当时，，对称轴为直线，图象开口向上，可知当时，；当时，；当时，；由，可得，进而可得的取值范围； （3）由，可知当时，，即，由对称轴为直线，可得，且，可求；当时，，即，同理可求，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线； （2）解：当时，，对称轴为直线，图象开口向上， ∴当时，； 当时，；当时，； ∵， ∴， ∴当时，的取值范围为； （3）解：∵， ∴当时，，即， ∵对称轴为直线， ∴，且， 解得，； 当时，，即， ∵对称轴为直线， ∴，且， 解得，， 综上所述，或． 【变式10 -5】设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值． (1)函数在区间上的最小值是 (2)求函数在区间上的最小值． (3)求函数在区间（t为任意实数）上的最小值的解析式． 【答案】(1) (2)当x=0时，函数y有最小值 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题： （1）根据函数解析式可得对称轴为直线为，函数图象开口向下，则离对称轴越远函数值越小，据此可得当时，y有最小值，最小值为； （2）根据解析式可得二次函数对称轴为直线，且图象开口向上，则离对称轴越远函数值越大，据此可得当时，y有最小值，最小值为； （3）分顶点横坐标在区间左侧， 顶点横坐标在区间上， 顶点横坐标在区间右侧，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：二次函数解析式为， ∴对称轴为直线为，函数图象开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴当时，y有最小值，最小值为； （2）解：二次函数对称轴为直线，且图象开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴当时，y有最小值，最小值为； （3）解：将二次函数配方得： ∴对称轴为直线：，顶点坐标为，图象开口向上， 若顶点横坐标在区间左侧，则，即． 当时，函数取得最小值： 若顶点横坐标在区间上，则，即． 当时，函数取得最小值： 若顶点横坐标在区间右侧，则，即． 当时，函数取得最小值： 综上讨论，得． 【考点题型十一】待定系数法求二次函数解析式 【例11】若抛物线经过点，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与性质，熟记二次函数一般式的常数项就是抛物线与轴的交点，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：抛物线经过点， 的值为， 故选：A． 【变式11 -1】已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值，如下表： 0 1 2 3 0 3 4 3 0 (1)求此抛物线的解析式，并画出其图象； (2)结合图象，直接写出不等式的解集； (3)结合图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为，画图见详解 (2)或 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，描点法画函数图像，根据图像求函数值范围，熟练掌握待定系数法和描点法画函数图像是解题关键． （1）根据表格点得出抛物线顶点，与轴交点，根据待定系数法即可求解；描点连线即可画图； （2）观察图象可得不等式的解集； （3）观察图象得出当时，的取值范围； 【详解】（1）解：根据表格点抛物线顶点，与轴交点， 设抛物线的顶点式为， ∴把)代入抛物线解析式得，， 解得：， 故抛物线解析式为， 描点画图如下： （2）解：不等式的解集，即为函数图象在函数下方时的取值范围， 观察图象可得函数和的交点为， 故不等式的解集为或； （3）解：当时，即当时， 观察图象可得． 【变式11 -2】某广场建了一座圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管，安装在水管顶端A处的圆形喷头向四周喷水，且各个方向喷出的抛物线形水柱形状相同．如图1，以池中心O点为坐标原点，水平方向为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．x轴上的点C，D为水柱的落水点，若落地直径，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高． (1)求图1中右边抛物线的解析式； (2)计划在图1中的线段上的点B处竖立一座雕像，雕像高，若想雕像不碰到水柱，请求出线段的取值范围； (3)圆形水池的直径为，喷水造型会随着音乐节奏起伏而变化，从而产生一组不同的抛物线（如图2），若右侧抛物线顶点始终在直线上，当喷出的抛物线水柱最大高度为时，水柱会喷到圆形水池之外吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)水柱会落在圆形水池外，理由见解析 【分析】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、二次函数的实际应用，解题关键是理解题意求出正确的二次函数解析式． （1）求出点和顶点坐标为，设顶点式，利用待定系数法解答即可； （2）将代入即可求得线段的取值范围； （3）求出点坐标，由题意设右侧喷出的最高抛物线解析式为，求出坐标解析式后可求抛物线喷出的最远距离，即可判断水柱是否会喷到圆形水池之外． 【详解】（1）解： ， ， ， ∵喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高． ∴顶点坐标为， 设右侧抛物线的解析式为：， 把代入得到，， 解得， ∴图1中右边抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得（不合题意，舍去） ∴线段的取值范围为； （3）解：水柱会落在圆形水池外，理由如下： 当时，， ∴点A的坐标为， 把代入 ， ， 当右侧喷出的抛物线最大高度为时， 设抛物线的解析式为：， 又上述抛物线过点，则 则， ， 当时，， ， ，（舍去）， 水柱会落在圆形水池之外． 【变式11 -3】在平面直角坐标系中，抛物线． (1)当抛物线过点时，求抛物线的解析式； (2)若抛物线上存在两点和，若对于，，都有，求b的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查二次函数的性质，理解图像性质，利用数形结合思想解题是关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）分情况讨论：当原点位于对称轴的左侧时，当原点位于对称轴的右侧时，根据，，都有，确定b的取值范围． 【详解】（1）解： ∵抛物线过点 ∴，解得： ∴抛物线的解析式为 （2）解：∵抛物线的对称轴为， 当时 解得 故与x轴的交点为 情况1：当原点位于对称轴的左侧时， 要满足对于，，都有， 此时，有解得 情况2：当原点位于对称轴的右侧时 要满足对于，，都有， 此时，有，解得，解得 综上，或 【考点题型十二】二次函数图像的平移 【例12】在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式． 【详解】将抛物线先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是． 故选：D． 【变式12 -1】在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移规律是：左加右减，上加下减． 【详解】解：抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线表达式为， 故答案为：． 【变式12 -2】已知平面直角坐标系，抛物线：与轴交于点和点，与轴交于点，把抛物线向下平移得到抛物线，设抛物线的顶点为，与轴交于点，直线与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)当点与点重合时，求平移的距离； (3)连接，如果与互补，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点、代入抛物线：上，得到关于，的二元一次方程组，求解即可； （2）由抛物线顶点式知对称轴为，顶点，设平移的距离为，可得抛物线的表达式为，继而得到， ，最后由得，即可得解； （3）连接，过点作轴于点，交的延长线于点，过点作于点，由平移的性质可证明四边形为平行四边形，得，继而得到，得到，在中，，得，继而得到，由，证明，得，则，可得解． 【详解】（1）解：∵点和点在抛物线：上， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）∵抛物线：，， ∴对称轴为，顶点， 把抛物线向下平移得到抛物线，当点与点重合，设平移的距离为，设对称轴交轴于点， ∴抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点为， ∴，， 对于抛物线：， 当时，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴当点与点重合时，平移的距离是； （3）连接，过点作轴于点，交的延长线于点，过点作于点， ∵，，，对称轴为， ∴，，，，四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵抛物线：与轴交于点和点， 当时，得， 解得：或， ∴， ∴， ∴， ∵把抛物线向下平移得到抛物线，抛物线的顶点为， ∴， ∵对称轴与轴平行，即， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴，， ∴， ∵与互补，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数的图像与性质，平移的性质，锐角三角函数，等边对等角，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点．掌握二次函数的图像与性质，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式12 -3】已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)抛物线可以由抛物线经过平移得到，请写出一种平移方式． 【答案】(1) (2)先向右平移1个单位长度、再向上平移3个单位长度或先向上平移3个单位长度、再向右平移1个单位长度（任选一个即可） 【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及将一般式化为顶点式、函数图像平移等知识，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键． （1）利用配方法即可将二次函数一般式化为顶点式； （2）根据函数图像平移法则：左加右减、上加下减，结合函数表达式，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 将化成的形式为； （2）解：由（1）中抛物线可化为， 抛物线经过平移得到可以是：①先向右平移1个单位长度、再向上平移3个单位长度；②先向上平移3个单位长度、再向右平移1个单位长度；（任选一个即可）． 【考点题型十三】二次函数与一元二次方程 【例13】在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于的方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与一元二次方程的关系；依题意，关于的方程的根即抛物线与的交点的横坐标，根据函数图象即可求解． 【详解】解：依题意，与无交点，即关于的方程的根的情况为没有实数根， 故选：D． 【变式13 -1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，并且过和，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据点和在二次函数的图象上，可以得到该函数的对称轴，再根据二次函数的图象与轴交于，两点和二次函数的性质，即可得到点的横坐标，从而可以写出点的坐标． 【详解】解：点和在二次函数的图象上， 该函数图象的对称轴为直线， 二次函数的图象与轴交于，两点， 点的横坐标为：， 点的坐标为， 故答案为：． 【变式13 -2】已知二次函数. (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)求该二次函数图象与轴、轴的交点坐标； (3)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象. 【答案】(1)顶点坐标 (2)抛物线与轴交点为，；抛物线与轴交点为 (3)见解析 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征； （1）将函数关系式运用配方法配成顶点式即可解答； （2）令，得一元二次方程，求出的值，可得函数图象与轴的交点，令，可得的值，从而可得函数图象与轴的交点； （3）根据函数解析式，可以写出该函数的顶点坐标和图象上的几个点的坐标，从而可以画出相应的函数图象． 【详解】（1） ∴顶点坐标 （2）令，得 解得， 抛物线与轴交点为，； 令，则 抛物线与轴交点为 （3）列表如下： 如图所示 【变式13 -3】如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数图象与方程的关系，方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解． 【详解】解：∵方程的解就是二次函数与一次函数两个函数交点的横坐标， ∵一次函数与二次函数的图象相交于点，． ∴的解为； 故答案为：． 【变式13 -4】在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 2.35 6.05 … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个根约等于 （结果保留小数点后一位小数）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了利用二次函数求对应一元二次方程的近似根，理解“当自变量取两个值，对应的函数值由负数变为正数时，则对应方程的一个根在两个自变量之间，求函数值的绝对值，取较小绝对值所对应的自变量的值为近似根．”是解题的关键． 【详解】解：根据题意，设方程的一个根为， 当时， ， 当时， ， ， ， ， 故答案：（答案不唯一）． 【变式13 -5】在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1)求的值（用含的代数式表示）； (2)点，，在该抛物线上．若抛物线与x轴的一个交点为，其中，比较，，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，详见解析 【分析】本题主要考查二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题等，数形结合思想及求二次函数与一次函数交点需要联立方程是解题基础． （1）直接根据对称轴公式即可解答； （2）结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论； 【详解】（1）解：由题意得，对称轴为直线， 即． （2）解：． 理由如下： 令，得． ∴． ∴抛物线与x轴的两个交点为，． ∵抛物线与x轴的一个交点为，其中， ∴． ∵， ∴． ∴，． 设点关于抛物线的对称轴的对称点为． ∵点在抛物线上， ∴点也在抛物线上． 由，得． ∴． ∴． ∵抛物线的解析式为， ∴此抛物线开口向上． 当时，随的增大而增大． ∵点，，在抛物线上，且， ∴ 【变式13 -6】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）． (1)若，求抛物线的对称轴及A，B两点的坐标； (2)已知点，，在该抛物线上，若，，中有且仅有一个大于0，求a的取值范围． 【答案】(1)，，对称轴：直线． (2)，． 【分析】本题考查抛物线与x轴交点、二次函数的图象与性质等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，属于中考常考题型． （1）将代入二次函数，求得二次函数解析式，再令，解方程即可得出抛物线的对称轴及A，B两点的坐标； （2）将抛物线解析式整理成顶点式，再令，解方程即可得出抛物线与x轴交点坐标，最后根据二次函数图象与性质进行分类讨论即可． 【详解】（1）将代入二次函数，得：， 令，得， 解得：， ，，对称轴：直线． （2）将抛物线解析式整理得． 令，得， 解得：， ∴抛物线与x轴交点坐标分别为，． ∵抛物线开口向上，且， ∴结合图象可知． ∵，，中有且只有一个大于零，． ∴①当时，． ，解得． ②当时，． ，解得． 综上所述，，． 【变式13 -7】为了在校运动会的推铅球项目中取得更好的成绩，小石积极训练，铅球被推出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从铅球出手（点A处）到落地的过程中，铅球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系． 小石进行了两次训练． (1)第一次训练时，铅球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 7 8 竖直高度 1.6 2.1 2.4 2.5 2.4 2.1 1.6 0.9 0 根据上述数据，求出满足的函数关系，并直接写出小石此次训练的成绩（铅球落地点的水平距离）； (2)第二次训练时，小石推出的铅球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．记小石第一次训练的成绩为，第二次训练的成绩为，则___________（填“>”，“=”或“＜”）． 【答案】(1)；小石此次训练的成绩m (2) 【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出、的值，训练高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出的值即可得出函数解析式； （2）设着陆点的纵坐标为 ，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出铅球落地点的水平距离和，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：， ，， 即该运动员竖直高度的最大值为， 根据表格中的数据可知，当时，，代入得： ， 解得：， 函数关系式为：， 由表格数据可知：第一次训练时的水平距离为8m； （2）解：根据表格可知，第一次训练时的水平距离， 第二次训练时，当时，，解得 ，（舍） 水平距离， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，得出和是解题的关键． 【考点题型十四】图像法求一元二次方程根的近似值 【例14】在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值： x … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于 （结果保留小数点后一位小数）． 【答案】5.8 【分析】根据表格的x，y的值，当y的值为0或接近0时，对应的x的值就是方程的一个实数根的近似值. 【详解】由表格可知：当x=5时，y=-1.10；x=6时，y=-0.14； ∴方程的一个实数根大约是5.8. 故答案是：5.8 【点睛】本题主要考查利用表格的数据，根据二次函数和一元二次方程的关系得出方程的近似根是解题关键. 【变式14 -1】小朋在学习过程中遇到一个函数． 下面是小朋对其探究的过程，请补充完整： (1)观察这个函数的解析式可知，x的取值范围是全体实数，并且y有______值（填“最大”或“最小”），这个值是______； (2)进一步研究，当时，y与x的几组对应值如下表： x 0 1 2 3 4 … y 0 2 1 0 2 … 结合上表，画出当时，函数的图像； (3)结合（1）（2）的分析，解决问题： 若关于x的方程有一个实数根为2，则该方程其它的实数根约为______（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)最小；0 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据解析式，即可求解； （2）根据描点法画函数图像； （3）根据图像法求解即可，作经过点的直线，与的另一个交点的横坐标即为方程的解 【详解】（1）解：∵， ∴y有最小值，这个值是0； 故答案为：最小；0 （2）根据列表，描点连线，如图， （3）依题意，有一个实数根为2， 则过点 的解即为与的交点的横坐标， 且过点 如图，作过点的直线，与交于点 根据函数图像的交点可知点的横坐标约为 则该方程其它的实数根约为 故答案为： 【点睛】本题考查了绝对值与平方的非负性，根据列表描点连线画函数图像，根据函数图像的交点求方程的解，数形结合是解题的关键． 【变式14 -2】数学学习小组的同学共同探究体积为330mL圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案．，他们想探究容器表面积与底面半径的关系． 具体研究过程如下，请补充完整： （1）建立模型：设该容器的表面积为S，底面半径为cm，高为cm，则 ，    ① ，    ② 由①式得，代入②式得 ．    ③ 可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是． （2）探究函数： 根据函数解析式③，按照下表中自变量x的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对应值： … 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 … … 666 454 355 303 277 266 266 274 289 310 336 … 在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； （3）解决问题：根据图表回答， ①半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积______．（填“大”或“小”）； ②若容器的表面积为300，容器底面半径约为______cm（精确到0.1）． 【答案】①大；②或 【分析】①根据（2）中的表格中数据与函数图象分析可得当时，，当时，，进而可比较当与时，的值的大小， ②根据函数图象求解即可 【详解】解：①（2）中的表格中数据可知，当时，，当时，，根据函数图象可知，当时，随的增大增大，当时，随的增大而减小， 时，,时， 半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积大 故答案为：大 ②根据函数图象可知，当时，或 故答案为：或 【点睛】本题考查了函数图象，根据函数图象获取信息是解题的关键． 【考点题型十五】二次函数与不等式 【例15】已知二次函数． (1)求此二次函数图象的顶点坐标； (2)求此二次函数图象与x轴的交点坐标； (3)当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标 (2)与x轴的交点坐标为、 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． （1）把一般式配成顶点式可得到抛物线的顶点坐标； （2）解方程可得到抛物线与x轴的交点坐标； （3）画出二次函数图象，利用函数图象写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标； （2）解：当时，， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为； （3）解：二次函数的函数图象如图所示： 结合函数图象得或时，． 【变式15 -1】已知二次函数过点、、． (1)求二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中用描点法画出函数图象； (2)当时，x的取值范围是___________； (3)当时，y的取值范围是___________． 【答案】(1)，图象见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）根据点、可得出该函数的对称轴，从而得出a和b之间的关系，再将点代入即可求解，根据函数表达式，根据列表，描点，连线的步骤，画出图象即可； （2）根据图象即可求出x的取值范围； （3）根据图象即可求出y的取值范围． 【详解】（1）解：∵函数经过点、， ∴该函数的对称轴为直线， ∴，则， ∴， 把点代入得：，解得：， ∴， ∴该函数的解析式为：． 列表得： x …… 0 1 2 3 …… y …… 0 3 4 3 0 ∴该函数的图象如图所示： （2）由图可知：当时，或． 故答案为：或． （3）由图可知：当时，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法步骤，根据函数图象求解不等式的解集． 【变式15 -2】在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． (1)若，，直接比较m与n的大小关系：m______n以（填“”，“”，“”）； (2)若存在，使得，求b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）由题意可知抛物线解析式为，将代入，即可求出m和n的值，再比较即可； （2）由函数解析式可得出其对称轴为直线，且开口向上，从而得出在对称轴右侧，y随x的增大而增大．根据对于，都有，分当点B，点A都在对称轴的左侧时，当点B，点A在对称轴的两侧时，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：． 理由：当时，抛物线解析式为，点， 将代入， 得：，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵该函数解析式为， ∴其图象开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大． ∵，， ∴点B在点A右侧， 当点B，点A都在对称轴的左侧时， ∵对于，都有， ， 当时，，即， 解得：， 此时，不符合实际； 当点B，点A在对称轴的两侧时， ∵对于，都有， ∴， 两边平方，得：， 整理，得：， ∴． 当时，，即， 解得：， ， 综上可知． 【变式15 -3】在平面直角坐标系中，点，为抛物线上两个不同的点． (1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； (2)若，求m的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线； (2)m的取值范围是：或． 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，利用二次函数求不等式的解集及熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）由二次函数的对称轴公式即可解决问题． （2）根据题意列出不等式组即可． 【详解】（1）解：由题知， 所以抛物线的对称轴为直线； （2）解：将点点，坐标代入函数解析式得， ， ， 又因为， 所以， 解得或． 所以m的取值范围是：或 【变式15 -4】在平面直角坐标系中，已知，，是抛物线上的三个点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若对于，，都有，求证：； (3)若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数的对称性是解题的关键． （1）根据对称轴运算求解即可； （2）设点关于对称轴的对称点为，利用对称性得到的取值范围，利用二次函数的图象性质求解即可； （3）分类讨论点的位置，再根据二次函数的对称性和图象性质的关系得到不等式，解不等式即可． 【详解】（1）∵二次函数解析式为， ∴抛物线的对称轴． （2）证明：设点关于对称轴的对称点为， ∵抛物线的对称轴，， ∴， ∵点，在对称轴左侧，，且， 根据二次函数性质，时，随的增大而减小， ∴， ∵， ∴，， ∴当时，， 把代入函数解析式得． （3）∵抛物线的对称轴，， ∴点在对称轴右侧， ①当点在对称轴右侧时， ∵时，， 根据二次函数性质，时，随的增大而增大， ∴， ②当点在对称轴左侧时， 设点关于对称轴的对称点为， ∵， ∵，， ∴， 根据二次函数性质，时，随的增大而增大， ∴，则， 综上可知，或． 【变式15 -5】在平面直角坐标系中，对于线段和直线，称线段的中点到直线的距离为线段关于直线的平均距离，记为．    已知点，． (1)线段关于轴的平均距离为 ； (2)若点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，则线段关于直线的平均距离的最小值为_________； (3)已知点是半径为1的上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，直接写出线段关于轴的平均距离的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平均距离的定义解答即可； （2）设的中点为，利用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的性质得到点在以为圆心，1为半径的圆弧上，过点作于点，与该圆弧交于点，则此时线段关于直线的平均距离的值最小，利用圆的有关性质和等腰直角三角形的性质解答即可； （3）首先求出直线的解析式为；其次设点，则得，由中点坐标公式求得，由题意得，即；由点P在上，则有，把代入并整理得关于x的一元二次方程，利用判别式即可求得t的范围． 【详解】（1）解：点，， 线段的中点为， 到轴的距离为1.5， 线段关于轴的平均距离为1.5； 故答案为：1.5； （2）解：设的中点为， 点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且， ， 为的中点， ， 点在以为圆心，1为半径的圆弧上，如图1， 过点作于点，与该圆弧交于点，则此时线段关于直线的平均距离的值最小，   ，，， ， 线段关于直线的平均距离的最小值． 故答案为：． （3）解：设直线解析式为， 把，两点坐标分别代入中，得：， 解得：， 即直线解析式为； 设点， 轴交直线于点Q， ， 则， ， 即； 因点P在上，则有， ， 整理得：， 由于关于x的一元二次方程必有实数解，则， 即， 解得：； 线段关于轴的平均距离的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，一元二次方程根的判别式等知识，本题是新定义型，正确理解新定义的规定，并熟练运用是解题的关键． 【考点题型十六】实际问题与二次函数 【例16】如图，用的篙色围成一个边靠墙的矩形场地，墙长．垂直于墙的边长为．围成的矩形场地的面积为． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求这个矩形场地面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据矩形的面积求得函数关系式，根据墙长，求得的范围； （2）利用配方法和二次函数的性质求得最大面积． 【详解】（1）解：∵垂直于墙的边长为，平行于墙的边长为， ∴， 根据题意得：， 解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）∵， ∵，， ∴当时，最大，最大值为， 答：这个矩形场地面积的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，配方法的应用，根据题列出函数关系是解题的关键． 【变式16 -1】已知在正方形中，P是对角线上一个动点，过P作、的平行线分别交正方形的边于E、F和M、N，若，图中阴影部分的面积为y，则y与x（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，几何问题与二次函数，设在正方形的边长为a，首先可证得四边形、都是矩形，四边形、都是正方形，可求得，，再由，即可求得则y与x之间的函数关系，据此即可判定． 【详解】解：设在正方形的边长为a， 四边形是正方形， ，，，， 过P作、的平行线分别交正方形的边于E、F和M、N， 四边形、都是矩形， 四边形、都是正方形， ， ， ， 该函数的图象是开口向下的抛物线， 故选：D． 【变式16 -2】如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙和与路面垂直，隧道内侧宽米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面上取点E，测量点E到墙面的距离，点E到隧道顶面的距离．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表： x（米） 0 2 4 6 8 y（米） 4.0 5.5 6.0 5.5 4.0 (1)根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为___________米，并求出满足的函数关系式； (2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系．描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的函数的图像． (3)若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧道顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？ 【答案】(1)6，． (2)见解析 (3)隧道需标注的限高应为4.5米 【分析】（1）根据二次函数的对称性可知在时y取得最大值，然后运用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据题意，以点A为原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标，画出函数图像即可； （3）令，求得相应的y值，结合到隧道顶面的距离不小于0.35米,可得汽车最高点距地面的距离即可解答． 【详解】（1）解：根据二次函数的对称性可知，当时，y有最大值6， 设 ∵D的坐标为 ∴，解得 ∴． 故答案为：6，． （2）解：根据题意，以点A为原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标,画出图像如图所示： （3）解：令，可得 隧道需标注的限高应为（米）． 答：隧道需标注的限高应为4.5米． 【点睛】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用、数形结合、待定系数法等知识点，理清题中的数量关系、求得函数解析式是解题的关键． 【变式16 -3】随着冬季的到来，干果是这个季节少不了的营养主角，某超市购进一批干果，分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本20元销售过程中发现，每天销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：y＝-2x＋80（20≤x≤40），设每天获得的利润为w（元） （1）求出w与x的关系式； （2）当销售单价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）当销售单价定为每袋30元时，每天可获得最大利润，最大利润是200元 【分析】（1）由公式利润=（售价−成本）×数量即可列出关系式； （2）把化为，由二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）由题可得：； （2）， ∵，且， ∴当时，． 答：当销售单价定为每袋30元时，每天可获得最大利润，最大利润是200元． 【点睛】本题考查二次函数的应用—销售问题，由题列出关系式，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式16 -4】小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线：在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系．    通过测量得到球距离台面高度（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离（单位：dm）的相关数据，如下表所示： 表1直发式 （dm） 0 2 4 6 8 10 16 20 … （dm） 4 … 表2间发式 （dm） 0 2 4 6 8 10 12 14 16 … （dm） 0 … 根据以上信息，回答问题： (1)表格中______，______； (2)直接写出“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式； (3)若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，则______（填“>”“＝”或“<”）． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题是一次函数与二次函数的综合，考查了一次函数的特征，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质；掌握这两类函数的图象与性质是解题的关键． （1）对于直发式，利用抛物线的对称轴为直线，可得当自变量取2与6时函数值相等，即可求得m的值；对于间发式，由表2知，自变量由0到8时图象是直线，根据直线的特征：自变量每增加相同的值，函数值均匀增加可减小相同的值，则可求得n的值； （2）由表1及（1）知抛物线的顶点坐标为，利用二次函数顶点式即可求得直发式模式下球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式； （3）由（2）可求得，“间发式”模式下球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹是抛物线，由表2可求得抛物线的对称轴，当自变量为8时，函数值为0，由对称对称性可求得抛物线与x轴的另一个交点横坐标，即可求得，进行比较即可． 【详解】（1）解：由表1知，当自变量为0与8时，函数值相等， 而，根据抛物线的对称性得抛物线的对称轴为直线， 当自变量取2与6时函数值相等，故； 由表2知，自变量由0到8时图象是直线，且自变量每增加2个单位长度，函数值减小，则； 故答案为：；； （2）解：由表1及（1）知抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 由表1知，当时，，代入上述解析式得：， 解得：， 即“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式为； （3）解：令，解得：（舍去） 即； 由表2知，当自变量为12与16时，抛物线的函数值相等， 则抛物线对称轴为直线， 由表2知，当时，函数值为， 由抛物线的对称性，当时，函数值为， ， 则， 故答案为：． 【变式16 -5】某洒水车为绿化带浇水，图1是洒水车喷水区域的截面图，其上、下边缘都可以看作是抛物线的一部分，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的．喷水口距地面的竖直高度为，喷水区域的上、下边缘与地面交于，两点，上边缘抛物线的最高点恰好在点的正上方，已知，，．建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)在①，②两个表达式中，洒水车喷出水的上边缘抛物线的表达式为______，下边缘抛物线的表达式为______（把表达式的序号填在对应横线上）； (2)如图3，洒水车沿着平行于绿化带的公路行驶，绿化带的横截面可以看作矩形，水平宽度，竖直高度．如图，为喷水口距绿化带底部的最近水平距离（单位：）．若矩形在喷水区域内，则称洒水车能浇灌到整个绿化带． ①当时，判断洒水车能否浇灌到整个绿化带，并说明理由； ②若洒水车能浇灌到整个绿化带，则的取值范围是______． 【答案】(1)②，① (2)①不能；理由见解析；② 【分析】本题考查了二次函数的实际应用， （1）由题意可知：顶点坐标，，利用待定系数法即可求出函数解析式为：，利用关于对称轴的对称点为：，可知下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4个单位得到，求出下边缘抛物线为：； （2）①根据，将代入上边缘抛物线的函数解析式得出，即可求解； ②当点和点重合时，有最小值，此时；当上边缘抛物线过点时，有最大值，；所以． 【详解】（1）解：由题意可知：，故设上边缘抛物线的函数解析式为：， ∵， 将其代入可得：，解得：， ∴上边缘抛物线的函数解析式为：， 解：∵关于对称轴的对称点为：， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4个单位得到， ∴下边缘抛物线为：， 故答案为：②，①． （2）①不能，理由如下， 依题意， 将代入上边缘抛物线的函数解析式得 ∴绿化带不全在喷头口的喷水区域内， ∴洒水车不能浇灌到整个绿化带； ②解：设灌溉车到绿化带的距离为， 要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则当点和点重合时，有最小值，此时； 当上边缘抛物线过点时，有最大值， ，． 令，解得：或， 结合图像可知： 的最大值为：； ∴． 故答案为：． 【变式16 -6】“兔飞猛进”谐音成语“突飞猛进”．在自然界中，野兔善于奔跑跳跃，“兔飞猛进”名副其实．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系．通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行的测量，得到以下数据：根据数据，回答下列问题： 水平距离 0 0.4 1 1.4 2 2.4 2.8 竖直高度 0 0.48 0.9 0.98 0.8 0.48 0 (1)①野兔本次跳跃的最远水平距离为 m，最大竖直高度为 m； ②求满足条件的抛物线的解析式； (2)已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为，最大竖直高度为．若在野兔起跳点前方处有高为的篱笆，则野兔此次跳跃能否跃过篱笆？请说明理由． 【答案】(1)①2.8；②0.98 (2)野兔此次跳跃能跃过篱笆． 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）①根据表中数据得出结论； ②设出抛物线解析式的顶点式，用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先根据兔子跳跃的最远水平距离为m，最大竖直高度为m，求出函数解析式，再把代入解析式求出与0.8比较即可． 【详解】（1）解：①由，和，可知， 野兔本次跳跃的最远水平距离为（米， 对称轴为直线， 当时，有最大值0.98， 野兔本次跳跃的最大竖直高度为0.98米， 故答案为：2.8，0.98； ②设抛物线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设野兔在某次跳跃时抛物线的解析式为， 根据题意得：， 解得， 野兔在某次跳跃时抛物线的解析式为， 当时，， ， 野兔此次跳跃能跃过篱笆． 【考点题型十七】二次函数综合问题 【例17】在平面直角坐标系中，已知线段和直线，，线段关于直线，的“垂点距离”定义如下：过点P作于点M，过点Q作于点N，连接，称的长为线段关于直线和的“垂点距离”，记作d． (1)已知点，，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d为______； (2)如图1，线段在直线上运动（点P的横坐标大于点Q的横坐标），若，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d的最小值为______； (3)如图2，已知点，的半径为1，直线与交于P，Q两点（点P的横坐标大于点Q的横坐标），直接写出线段关于x轴和直线的“垂点距离”d的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点P作于点M，过点Q作于点N，得到，，根据两点间距离公式即可求解， （2）设点，，得到，将代入，得到，结合，得，，由两点间距离公式得到，由，即可求解， （3）延长、交于点，作中点，由，，得到 ，，，进而得到等边三角形，根据线段垂直平分线的判定，及等腰三角形三线合一，得到，，，进而得到直线的解析式：，当点在点右侧时，，四点共圆，当点在点左侧时，四点共圆，根据直角所对弦是直径及圆周角定理，得到为的直径，是顶角为的等腰三角形，，设点，则，，根据直线与交于P，Q两点（点P的横坐标大于点Q的横坐标），得到，进而得到的取值范围，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：过点P作轴于点M，过点Q作轴于点N，连接， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：， （2）解：设点，， ∵点P，Q在直线上，轴，轴， ∴， 将代入，得：，解得：， ∴， ∴，整理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：， （3）解：设直线与轴交于点，与直线交于点，延长、交于点，作直线与轴交于点，连接，作中点，连接，，，， ∵直线的解析式为：， ∴，， ∵直线的解析式为：， ∴当时，，当时，，即：， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，则：，解得：， ∴直线的解析式为：， 当点在点右侧时，， ∴， ∴四点共圆， 当点在点左侧时， ∴， ∴四点共圆， ∵，点为中点，， ∴为的直径，，， ∴是顶角为的等腰三角形， ∴， 设点，则， ∴， ∵直线与交于P，Q两点， ∴，即， ∵点P的横坐标大于点Q的横坐标， ∴点P在直线下方， 当时，，，解得：， ∴， ∴，即：， ∴，即：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了，两点间距离公式，圆周角定理，四点共圆，特殊角三角函数，解题的关键是：连接辅助线找到与相关线段的取值范围． 【变式17 -1】如图，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，，交轴于点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线与抛物线交于两点，与直线交于点．若点是线段上的动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，交直线于点． ①当时，求的值； ②在平面内是否存在点，使四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①3或；②存在，点的坐标为：或 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）①当点在点的左侧时，由，即，即可求解，当点在点的右侧时，同理可得；②存在，根据正方形的性质得：，，同理根据，得，，分两种情况：在的左侧，在的右侧，根据，列方程可得结果． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， ；+ （2）解：①当点在点的左侧时， 如图1，，    ∴设的解析式为：， 则， 解得， 的解析式为：， ， 解得：， ， ，且轴， 的横坐标为， ， ， 即，即， 解得； 当点在点的右侧时， 同理可得， 即， 解得， 综上，或； ②存在，由①知：， ∵四边形是正方形， ， ，且轴， ，， 分两种情况： 当时，如图2，点在的左侧，    ， ， ， 解得：（舍去正值）， ， ， 当时，点在的右边，如图3，    同理得， 解得：（舍去负值）， 同理得； 综上，点的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数，正方形的性质，二次函数，两函数的交点，图形的面积计算等，与方程组结合，求解点的坐标，难度适中． 【变式17 -2】在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝m﹣（m＋n）x＋n（m＜0）的图象与y轴正半轴交于A点． (1)求证：该二次函数的图象与x轴必有两个交点； (2)设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B，若∠ABO＝45°，将直线AB向下平移2个单位得到直线l，求直线l的解析式； (3)在（2）的条件下，设M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，求m的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)y＝﹣x﹣1 (3)﹣≤m＜0 【分析】（1）直接利用根的判别式，结合完全平方公式求出△的符号进而得出答案； （2）首先求出B，A点坐标，进而求出直线AB的解析式，再利用平移规律得出答案； （3）根据当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，当p＝0时，q＝1；当p＝﹣3时，q＝12m＋4；结合图象可知：﹣（12m＋4）≤2，即可得出m的取值范围． 【详解】（1）解：令m﹣（m＋n）x＋n＝0，则 ＝﹣4mn＝， ∵二次函数图象与y轴正半轴交于A点， ∴A（0，n），且n＞0， 又∵m＜0， ∴m﹣n＜0， ∴＝＞0， ∴该二次函数的图象与x轴必有两个交点； （2）令﹣（m＋n）x＋n＝0， 解得：＝1，＝， 由（1）得＜0，故B的坐标为（1，0）， 又因为∠ABO＝45°， 所以A（0，1），即n＝1， 则可求得直线AB的解析式为：y＝﹣x＋1． 再向下平移2个单位可得到直线l：y＝﹣x﹣1； （3）由（2）得二次函数的解析式为：y＝﹣（m＋1）x＋1． ∵M（p，q） 为二次函数图象上的一个动点， ∴q＝﹣（m＋1）p＋1． ∴点M关于x轴的对称点M′的坐标为（p，﹣q）． ∴M′点在二次函数y＝﹣＋（m＋1）x﹣1上． ∵当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方， 当p＝0时，q＝1；当p＝﹣3时，q＝12m＋4； 结合图象可知：﹣（12m＋4）≤2， 解得：m≥﹣． ∴m的取值范围为：﹣≤m＜0． 【点睛】此题主要考查了二次函数综合以及根的判别式和一次函数图象的平移等知识，利用数形结合得出是解题关键． 【变式17 -3】如图，抛物线的图象与x轴交点为A和B，与y轴交点为，与直线交点为A和C． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上是否存在一点M，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在请说明理由． (3)若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）先求得，然后将，代入，即可求函数的解析式； （2）设，根据是等腰三角形，分类讨论，根据勾股定理即可求解； （3）设点E的横坐标，分别求出，，，，当F点在抛物线上时，或，当G点在抛物线上时，或，结合图象可得时，四边形与抛物线有公共点． 【详解】（1）解：由得，时，， ∴． ∵抛物线经过、D两点， ∴，解得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：由，令，， 解得：， ∴； ∵， ∴， ∵是直线上的点，设， 当为斜边时，, ∴， 解得：， ∴ 当为直角时，, ∴ 解得：（根据图形，不合题意舍去） ∴ 综上所述，存在 （3）解：∵点E的横坐标， ∴， 由题可知，，，， 当F点在抛物线上时，， 解得或， 当G点在抛物线上时，， 解得或， ∴时，四边形与抛物线有公共点． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，数形结合解题是关键． 【变式17 -4】如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．      (1)求该抛物线的表达式； (2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值； (3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，进而得到的最小值为的长，利用两点间距离公式进行求解即可； （3）分，，分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴，解得：， ∴； （2）∵， ∴， 设直线， 则：，解得：， ∴， 当时，， ∴； 作点关于轴的对称点，连接， 则：，， ∴当三点共线时，有最小值为的长，      ∵，， ∴， 即：的最小值为：； （3）解：存在； ∵， ∴对称轴为直线， 设，， 当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时： ①为对角线时：，      ∴， 当时，， ∴， ∴； ②当为对角线时：，      ∴， 当时，， ∴， ∴； ③当为对角线时：，      ∴， 当时，， ∴， ∴； 综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 二次函数（17个考点梳理 题型解读 提升训练） 【清单01】二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数 首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简， 然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数自变量的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 【清单02】二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 【清单03】二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： （1）当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． （2）当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． （3）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 【清单04】待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【清单05】抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 【清单06】图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【清单07】二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 （1）函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． （2）利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 【清单08】根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． （1）描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． （2）函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 【清单09】二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 【清单10】二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 【清单11】二次函数在给定区间上的最值 二次函数在给定区间上的最值． 对y＝ax2+bx+c，（p≤x≤q）， a＞0时， 当﹣≥q，则x＝q时，y取得最小值；x＝p时，y取得最大值 当﹣≤p，则x＝q时，y取得最大值；x＝p时，y取得最小值 当q≥﹣≥时，x＝﹣时，y取得最小值，x＝p时，y取最大值 当≥﹣≥p时，x＝﹣，y取得最小值，x＝q时，y取得最大值 a＜0时，同样进行分类讨论． 【考点题型一】二次函数的概念 【例1】下面问题中，与满足的函数关系是二次函数的是（   ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与医柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件元出售，可卖出件．利润（元）与每件进价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【变式1 -1】已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值： x … 1 2 4 … y … 4 2 1 … y与x的函数关系有以下3个描述： ①可能是一次函数关系； ②可能是反比例函数关系； ③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式1 -2】线段，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段运动至点，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，正方形周长为，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系 【变式1 -3】若y=（m＋1）是二次函数，则m=  （   ） A．－1 B．7 C．－1或7 D．以上都不对 【变式1 -4】用一个圆心角为（为常数，）的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为，所作的圆锥的底面圆的周长为，侧面积为，当在一定范围内变化时，与都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（    ） A．一次函数关系，一次函数关系 B．二次函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 【变式1 -5】如图，在中，，．点P是边上一动点（不与C，B重合），过点P作交于点．设，的长为，的面积为，则与x，S与满足的函数关系分别为（   ）    A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 【变式1 -6】线段．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿线段运动至点B，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆．设点的运动时间为t，正方形周长为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，正比例函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 【变式1 -7】如图，矩形绿地的长和宽分别为和．若将该绿地的长、宽各增加，扩充后的绿地的面积为，则y与x之间的函数关系是 ．（填“正比例函数关系”、“一次函数关系”或“二次函数关系”） 【考点题型二】二次函数y=ax2的图像与性质 【例2】下列函数中，当时，函数值y随x的增大而增大的有（　　） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2 -1】关于四个函数，，，的共同点，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．都有最低点 C．对称轴是轴 D．随增大而增大 【变式2 -2】下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（　　） A．它的图象经过点（﹣1，﹣2） B．当x＜0时，y随x的增大而减小 C．它的图象的对称轴是直线x＝2 D．当x＝0时，y有最大值为0 【变式2 -3】若点，，三点都在二次函数的图象上，则、、的大小关系是 .（按从小到大的顺序，用“”连接）. 【变式2 -4】如图，在平面直角坐标系中，点，，若抛物线与线段有公共点，则的取值范围是 ． 【考点题型三】二次函数y=ax2+k的图像与性质 【例3】下列关于函数的结论中，正确的是（    ） A．随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【变式3 -1】如图，已知抛物线，将该抛物线在x轴及x轴下方的部分记作，将沿x轴翻折构成的图形记作，将和构成的图形记作．关于图形，给出的下列四个结论，不正确的是（   ） A．图形恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点） B．图形上任意一点到原点的最大距离是1 C．图形的周长大于 D．图形所围成区域的面积大于2且小于 【变式3 -2】在平面直角坐标系中，下列函数的图象上存在点的是（    ） A． B． C． D． 【变式3 -3】请你写出一个开口向上，且经过的抛物线的解析式 ． 【变式3 -4】平面直角坐标系中，将抛物线在x轴和x轴下方的部分记作，将沿x轴翻折记作，和构成的图形记作G．关于图形G，如图所示，以下三个结论中，正确的序号是 ． ①图形G关于原点对称； ②图形G关于直线对称； ③图形G的面积为S，满足．    【变式3 -5】如图，抛物线，将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作，和构成的图形记作．关于图形，给出如下四个结论：①图形关于y轴成轴对称；② 图形有最小值，且最小值为0；③ 当时，图形的函数值都是随着x的增大而增大的；④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），以上四个结论中，所有正确结论的序号是 ． 【考点题型四】二次函数y=a(x-h)2的图像与性质 【例4】已知函数的图象上有 ，， 三点，则 、 、的大小关系（    ） A． B． C． D． 【变式4 -1】对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（    ） A．开口向上 B．经过原点 C．对称轴是y轴 D．顶点在x轴上 【变式4 -2】对于任何实数，抛物线与抛物线的相同点是（  ） A．形状与开口方向相同 B．对称轴相同 C．顶点相同 D．都有最低点 【变式4 -3】点A（-1，y1），B（4，y2）是二次函数y＝（x－1）2图象上的两个点，则y1 y2（填“＞”，“＜”或“＝”） 【变式4 -4】在平面直角坐标系中，点，是抛物线上的两点（，不重合）． (1)若，求的值； (2)若点在抛物线上，且对于，都有，求的取值范围． 【考点题型五】二次函数y=a(x-h)2+k的图像与性质 【例5】已知二次函数，则下列说法正确的是（    ） A．二次函数图象开口向上 B．当时，函数有最大值是3 C．当时，函数有最小值是3 D．当时，y随x增大而增大 【变式5 -1】抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式5 -2】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．将此抛物线向上平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（   ） A．当时，， B．当时，， C．当时，， D．当时，， 【变式5 -3】在平面直角坐标系中，若点，在抛物线上，则 （填“”，“ ”或“”）． 【变式5 -4】投掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被投掷后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手（点处）到落地的过程中，其竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． 小石进行了三次训练，每次实心球的出手点的竖直高度为．记实心球运动路线的最高点为，训练成绩（实心球落地点的水平距离）为（单位：）．训练情况如下： 第一次训练 第二次训练 第三次训练 训练成绩 最高点 满足的函数关系式 根据以上信息， (1)求第二次训练时满足的函数关系式； (2)小石第二次训练的成绩为______； (3)直接写出训练成绩，，的大小关系． 【考点题型六】二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 【例6】平面直角坐标系中，已知二次函数的部分图象如图所示，给出下面三个结论： ①；② 二次函数有最大值4；③ 关于x的方程有两个实数根，．上述结论中，所有正确结论的序号是（　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式6 -1】二次函数的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … 有如下结论： ①抛物线的开口向上 ②抛物线的对称轴是直线 ③抛物线与y轴的交点坐标为 ④由抛物线可知的解集是 其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【变式6 -2】已知二次函数．    (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【变式6 -3】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧）． (1)抛物线的对称轴为直线，．求抛物线的表达式； (2)将（1）中的抛物线，向左平移两个单位后再向下平移，得到的抛物线经过点O，且与x轴正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，求点P的坐标； (3)当时，抛物线上有两点和，若，，，试判断与的大小，并说明理由． 【变式6 -4】在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)若对于该抛物线上的三个点，，，总有，求实数的取值范围． 【变式6 -5】已知二次函数． (1)甲说：该二次函数图象必经过点；乙说：若图象的顶点在x轴上，则；你觉得他们的结论对吗？请说明理由． (2)若抛物线经过，两点，求证：． 【变式6 -6】在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)直接写出抛物线的对称轴； (2)抛物线上两点，，且，． ①当时，直接写出，的大小关系； ②若对于，都有，直接写出的取值范围． 【考点题型七】二次函数图像与系数符号的关系 【例7】已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④．其中错误结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7 -1】如图，抛物线经过点．下面有四个结论：①；②；③；④关于的不等式的解集为．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【变式7 -2】如图，抛物线与x轴交于点和B，下列结论：① ；②；③；④．其中正确的结论个数为 （      ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【变式7 -3】抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序号是（    ）    A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 【变式7 -4】抛物线经过点(1，0)，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①＜0； ②；③9a-3b+c=0；④若，则时的函数值小于时的函数值．其中正确结论的序号是（    ）    A．①③ B．②④ C．②③ D．③④ 【变式7 -5】在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出以下结论：①abc＞0；②b+2a＝0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b+c≤am2+bm+c（m为实数）．其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点题型八】不同函数间图像的综合判断 【例8】在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式8 -1】如图，抛物线y＝a＋bx＋c与直线y＝kx交于M，N两点，则二次函数y＝a＋（b﹣k）x＋c的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式8 -2】函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式8 -3】如图，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ）． A． B． C． D． 【变式8 -4】已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（  　　）. A． B． C． D． 【考点题型九】二次函数的对称性 【例9】若抛物线（）经过，两点，则抛物线的对称轴为（    ） A． B． C． D． 【变式9 -1】已知：二次函数的图象上部分对应点坐标如下表，m的值为（    ） A． B． C． D． 【变式9 -2】二次函数的图象如图所示，若点A和B在此函数图象上，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 【变式9 -3】经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（    ） A．10 B．12 C．13 D．15 【变式9 -4】在平面直角坐标系中，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． (1)若对于，有，求的值； (2)若对于，都有，求的取值范围． 【变式9 -5】在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)若对于，有，求t的值； (2)若对于，都有，求t的取值范围． 【考点题型十】二次函数的最值 【例10】二次函数的最小值为（　　） A．2 B．0 C． D． 【变式10 -1】当时，函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10 -2】已知二次函数，当时，y有最小值7，最大值11，则的值为（    ） A．3 B．9 C． D． 【变式10 -3】已知关于n的函数s＝an2+bn（n为自然数），当n＝9时，s＜0；当n＝10时，s＞0．则n取（　　）时，s的值最小． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式10 -4】在平面直角坐标系中，已知抛物线 (1)求该抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若，当时，求的取值范围； (3)已知，，为该抛物线上的点，若，求的取值范围． 【变式10 -5】设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值． (1)函数在区间上的最小值是 (2)求函数在区间上的最小值． (3)求函数在区间（t为任意实数）上的最小值的解析式． 【考点题型十一】待定系数法求二次函数解析式 【例11】若抛物线经过点，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式11 -1】已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值，如下表： 0 1 2 3 0 3 4 3 0 (1)求此抛物线的解析式，并画出其图象； (2)结合图象，直接写出不等式的解集； (3)结合图象，直接写出当时，的取值范围． 【变式11 -2】某广场建了一座圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管，安装在水管顶端A处的圆形喷头向四周喷水，且各个方向喷出的抛物线形水柱形状相同．如图1，以池中心O点为坐标原点，水平方向为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．x轴上的点C，D为水柱的落水点，若落地直径，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高． (1)求图1中右边抛物线的解析式； (2)计划在图1中的线段上的点B处竖立一座雕像，雕像高，若想雕像不碰到水柱，请求出线段的取值范围； (3)圆形水池的直径为，喷水造型会随着音乐节奏起伏而变化，从而产生一组不同的抛物线（如图2），若右侧抛物线顶点始终在直线上，当喷出的抛物线水柱最大高度为时，水柱会喷到圆形水池之外吗？请说明理由． 【变式11 -3】在平面直角坐标系中，抛物线． (1)当抛物线过点时，求抛物线的解析式； (2)若抛物线上存在两点和，若对于，，都有，求b的取值范围． 【考点题型十二】二次函数图像的平移 【例12】在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是（　　） A． B． C． D． 【变式12 -1】在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线表达式为 ． 【变式12 -2】已知平面直角坐标系，抛物线：与轴交于点和点，与轴交于点，把抛物线向下平移得到抛物线，设抛物线的顶点为，与轴交于点，直线与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)当点与点重合时，求平移的距离； (3)连接，如果与互补，求点的坐标． 【变式12 -3】已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)抛物线可以由抛物线经过平移得到，请写出一种平移方式． 【考点题型十三】二次函数与一元二次方程 【例13】在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于的方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 【变式13 -1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，并且过和，则点的坐标为 ． 【变式13 -2】已知二次函数. (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)求该二次函数图象与轴、轴的交点坐标； (3)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象. 【变式13 -3】如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的方程的解为 ． 【变式13 -4】在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 2.35 6.05 … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个根约等于 （结果保留小数点后一位小数）． 【变式13 -5】在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1)求的值（用含的代数式表示）； (2)点，，在该抛物线上．若抛物线与x轴的一个交点为，其中，比较，，的大小，并说明理由． 【变式13 -6】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）． (1)若，求抛物线的对称轴及A，B两点的坐标； (2)已知点，，在该抛物线上，若，，中有且仅有一个大于0，求a的取值范围． 【变式13 -7】为了在校运动会的推铅球项目中取得更好的成绩，小石积极训练，铅球被推出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从铅球出手（点A处）到落地的过程中，铅球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系． 小石进行了两次训练． (1)第一次训练时，铅球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 7 8 竖直高度 1.6 2.1 2.4 2.5 2.4 2.1 1.6 0.9 0 根据上述数据，求出满足的函数关系，并直接写出小石此次训练的成绩（铅球落地点的水平距离）； (2)第二次训练时，小石推出的铅球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．记小石第一次训练的成绩为，第二次训练的成绩为，则___________（填“>”，“=”或“＜”）． 【考点题型十四】图像法求一元二次方程根的近似值 【例14】在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值： x … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于 （结果保留小数点后一位小数）． 【变式14 -1】小朋在学习过程中遇到一个函数． 下面是小朋对其探究的过程，请补充完整： (1)观察这个函数的解析式可知，x的取值范围是全体实数，并且y有______值（填“最大”或“最小”），这个值是______； (2)进一步研究，当时，y与x的几组对应值如下表： x 0 1 2 3 4 … y 0 2 1 0 2 … 结合上表，画出当时，函数的图像； (3)结合（1）（2）的分析，解决问题： 若关于x的方程有一个实数根为2，则该方程其它的实数根约为______（结果保留小数点后一位）． 【变式14 -2】数学学习小组的同学共同探究体积为330mL圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案．，他们想探究容器表面积与底面半径的关系． 具体研究过程如下，请补充完整： （1）建立模型：设该容器的表面积为S，底面半径为cm，高为cm，则 ，    ① ，    ② 由①式得，代入②式得 ．    ③ 可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是． （2）探究函数： 根据函数解析式③，按照下表中自变量x的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对应值： … 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 … … 666 454 355 303 277 266 266 274 289 310 336 … 在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； （3）解决问题：根据图表回答， ①半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积______．（填“大”或“小”）； ②若容器的表面积为300，容器底面半径约为______cm（精确到0.1）． 【考点题型十五】二次函数与不等式 【例15】已知二次函数． (1)求此二次函数图象的顶点坐标； (2)求此二次函数图象与x轴的交点坐标； (3)当时，直接写出x的取值范围． 【变式15 -1】已知二次函数过点、、． (1)求二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中用描点法画出函数图象； (2)当时，x的取值范围是___________； (3)当时，y的取值范围是___________． x …… 0 1 2 3 …… y …… 0 3 4 3 0 【变式15 -2】在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． (1)若，，直接比较m与n的大小关系：m______n以（填“”，“”，“”）； (2)若存在，使得，求b的取值范围． 【变式15 -3】在平面直角坐标系中，点，为抛物线上两个不同的点． (1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； (2)若，求m的取值范围． 【变式15 -4】在平面直角坐标系中，已知，，是抛物线上的三个点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若对于，，都有，求证：； (3)若对于，，都有，求的取值范围． 【变式15 -5】在平面直角坐标系中，对于线段和直线，称线段的中点到直线的距离为线段关于直线的平均距离，记为．    已知点，． (1)线段关于轴的平均距离为 ； (2)若点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，则线段关于直线的平均距离的最小值为_________； (3)已知点是半径为1的上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，直接写出线段关于轴的平均距离的取值范围． 【考点题型十六】实际问题与二次函数 【例16】如图，用的篙色围成一个边靠墙的矩形场地，墙长．垂直于墙的边长为．围成的矩形场地的面积为． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求这个矩形场地面积的最大值． 【变式16 -1】已知在正方形中，P是对角线上一个动点，过P作、的平行线分别交正方形的边于E、F和M、N，若，图中阴影部分的面积为y，则y与x（　　） A． B． C． D． 【变式16 -2】如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙和与路面垂直，隧道内侧宽米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面上取点E，测量点E到墙面的距离，点E到隧道顶面的距离．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表： x（米） 0 2 4 6 8 y（米） 4.0 5.5 6.0 5.5 4.0 (1)根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为___________米，并求出满足的函数关系式； (2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系．描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的函数的图像． (3)若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧道顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？ 【变式16 -3】随着冬季的到来，干果是这个季节少不了的营养主角，某超市购进一批干果，分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本20元销售过程中发现，每天销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：y＝-2x＋80（20≤x≤40），设每天获得的利润为w（元） （1）求出w与x的关系式； （2）当销售单价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ 【变式16 -4】小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线：在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系．    通过测量得到球距离台面高度（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离（单位：dm）的相关数据，如下表所示： 表1直发式 （dm） 0 2 4 6 8 10 16 20 … （dm） 4 … 表2间发式 （dm） 0 2 4 6 8 10 12 14 16 … （dm） 0 … 根据以上信息，回答问题： (1)表格中______，______； (2)直接写出“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式； (3)若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，则______（填“>”“＝”或“<”）． 【变式16 -5】某洒水车为绿化带浇水，图1是洒水车喷水区域的截面图，其上、下边缘都可以看作是抛物线的一部分，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的．喷水口距地面的竖直高度为，喷水区域的上、下边缘与地面交于，两点，上边缘抛物线的最高点恰好在点的正上方，已知，，．建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)在①，②两个表达式中，洒水车喷出水的上边缘抛物线的表达式为______，下边缘抛物线的表达式为______（把表达式的序号填在对应横线上）； (2)如图3，洒水车沿着平行于绿化带的公路行驶，绿化带的横截面可以看作矩形，水平宽度，竖直高度．如图，为喷水口距绿化带底部的最近水平距离（单位：）．若矩形在喷水区域内，则称洒水车能浇灌到整个绿化带． ①当时，判断洒水车能否浇灌到整个绿化带，并说明理由； ②若洒水车能浇灌到整个绿化带，则的取值范围是______． 【变式16 -6】“兔飞猛进”谐音成语“突飞猛进”．在自然界中，野兔善于奔跑跳跃，“兔飞猛进”名副其实．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系．通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行的测量，得到以下数据：根据数据，回答下列问题： 水平距离 0 0.4 1 1.4 2 2.4 2.8 竖直高度 0 0.48 0.9 0.98 0.8 0.48 0 (1)①野兔本次跳跃的最远水平距离为 m，最大竖直高度为 m； ②求满足条件的抛物线的解析式； (2)已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为，最大竖直高度为．若在野兔起跳点前方处有高为的篱笆，则野兔此次跳跃能否跃过篱笆？请说明理由． 【考点题型十七】二次函数综合问题 【例17】在平面直角坐标系中，已知线段和直线，，线段关于直线，的“垂点距离”定义如下：过点P作于点M，过点Q作于点N，连接，称的长为线段关于直线和的“垂点距离”，记作d． (1)已知点，，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d为______； (2)如图1，线段在直线上运动（点P的横坐标大于点Q的横坐标），若，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d的最小值为______； (3)如图2，已知点，的半径为1，直线与交于P，Q两点（点P的横坐标大于点Q的横坐标），直接写出线段关于x轴和直线的“垂点距离”d的取值范围． 【变式17 -1】如图，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，，交轴于点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线与抛物线交于两点，与直线交于点．若点是线段上的动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，交直线于点． ①当时，求的值； ②在平面内是否存在点，使四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式17 -2】在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝m﹣（m＋n）x＋n（m＜0）的图象与y轴正半轴交于A点． (1)求证：该二次函数的图象与x轴必有两个交点； (2)设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B，若∠ABO＝45°，将直线AB向下平移2个单位得到直线l，求直线l的解析式； (3)在（2）的条件下，设M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，求m的取值范围． 【变式17 -3】如图，抛物线的图象与x轴交点为A和B，与y轴交点为，与直线交点为A和C． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上是否存在一点M，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在请说明理由． (3)若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标的取值范围． 【变式17 -4】如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．      (1)求该抛物线的表达式； (2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值； (3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$