第二十九章 投影与视图（B卷·培优卷单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（广州专用，人教版）

第二十九章 投影与视图 （B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下面的几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，理解视图的定义是解题的关键．主视图是从正面看到的视图，由此判断即可． 【详解】解：几何体的主视图是： 故选：A． 2．在下列立体图形中，左视图为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何体的左视图，根据左视图的定义：从几何体左边看到的图形是左视图，即可解答． 【详解】解：A、圆柱体的左视图为矩形，符合题意； B、球的左视图为圆形，不符合题意； C、圆锥的左视图为三角形，不符合题意； D、三棱锥的左视图为三角形，不符合题意； 故选：A． 3．斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】略 4．一张桌子上摆放有若干个大小、形状完全相同的碟子，现从三个方向看，其三种视图如图所示，则这张桌子上碟子的总数为（ ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【详解】试题分析：从俯视图可得：碟子共有3摞，结合主视图和左视图，可得每摞碟子的个数，相加可得答案． 解：由俯视图可得：碟子共有3摞， 由几何体的主视图和左视图，可得每摞碟子的个数，如下图所示： 故这张桌子上碟子的个数为3+4+5=12个， 故选B． 考点：由三视图判断几何体． 5．如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面距离BC＝1米，已知某一时刻BC在地面的影长CN＝1.5米，AC在地面的影长CM＝4.5米，则AB高为（    ） A．3.5 B．2 C．1.5 D．2.5 【答案】B 【分析】由题意可得，根据平行线分线段成比例的性质可得，求得，即可求解． 【详解】解：由题意可得， 根据平行线分线段成比例的性质可得， 即， 解得：， ， 故选：B． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例性质的应用，解题的关键是掌握平行线分线段成比例的性质． 6．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中有记载：“今有竿不知其长，量得影长百寸，立一标杆，长二十寸，影长五寸，问竿长几何？”其大意是：现在有一根不知道长度的竹竿，（把它竖立在太阳下）测量得它的影子长100寸，同时竖立一根长度为20寸的标杆，测量得它的影子长5寸，则竹竿的长度是（     ） A．25寸 B．40寸 C．200寸 D．400寸 【答案】D 【分析】本题考查了平行投影，掌握同一时刻物高与影长成正比是关键；根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论． 【详解】解：设竹竿的长度是x寸， 根据同一时刻物高与影长成正比，得：， 解得：； 即竹竿的长度是400寸； 故选：D． 7．某几何体的主视图、左视图和俯视图分别如图所示，则该几何体的体积为（　　） A．3π B．2π C．π D．12 【答案】A 【分析】根据三视图可以判断该几何体为倒放的圆柱，圆柱的底面半径为1，高为3，据此求得其体积即可． 【详解】解：根据三视图可以判断该几何体为圆柱，圆柱的底面半径为1，高为3， 故体积为：πr2h=π×12×3=3π， 故选：A． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是了解圆柱的三视图并清楚其体积的计算方法． 8．如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是由三视图判断几何体的形状并计算几何体的体积，根据给出的几何体的三视图可知几何体是由一个圆柱和一个长方体组成，从而利用三视图中的数据，根据体积公式计算即可． 【详解】由三视图可知，几何体是由一个圆柱和一个长方体组成， 圆柱底面直径为20，高为8，长方体的长为30，宽为20，高为5， 故该几何体的体积为：， 故选：D． 9．小鑫正对相同的长方体快递盒进行包装，如图1单个盒子的表面积为，如图2三个盒子叠一起的表面积为，则如图3四个盒子叠一起的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何体的表面积，能用a，b，c表示出三个图中几何体的表面积及巧用整体思想是解题的关键．根据图1和图2的表面积，可得出关于a，b，c的两个等式，再用a，b，c表示出图3的表面积，利用整体思想即可解决问题． 【详解】解：由题知，设图1中，相邻三个面面积分别为a，b，c， 因为图1的表面积为， 所以， 则①． 因为图2的表面积为， 所以， 则②． 由①②得， ． 又因为图3的表面积可表示为， 则． 故选：C． 10．在桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，设组成这个几何体的小正方体的最少个数为m，最多个数为n，下列正确的是（　　） A．m＝5，n＝13 B．m＝8，n＝10 C．m＝10，n＝13 D．m＝5，n＝10 【答案】A 【详解】由主视图和左视图可以确定：正方体堆成的几何体由两层组成，其底面最多有9个相同的正方体组成，恰好构成了边长为3个小正方体棱长的正方形，上面一层最多在这个正方形的4个顶点处各放1个相同的正方体．因此最多有正方体n=9＋4＝13个；底层正方体最少的个数应是3个，第二层正方体最少的个数应该是2个，因此这个几何体最少有m=2+3=5个小正方体组成． 故选：A． 点睛：当一个几何体已知两个视图时，它的形状不能确定．应分为最多和最少各有多少，来判断，解题关键是利用“主视图”疯狂盖，利用“左视图”拆违章，找到正方体的个数，比较复杂，求最少时容易出错，应该吧中间的向后移一行，最右边向后移2行即可. 2、 填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．若干桶方便面摆放在桌子上，如图所示是它的三视图，则这一堆方便面共有 桶． 【答案】6 【分析】根据三视图的知识，底层应有4桶方便面，第二层应有2桶，第三层有1桶． 【详解】解：综合三视图，这堆方便面底层应该有桶，第二层应该有2桶， 因此共有桶． 故答案为：6． 【点睛】本题考查由三视图判断几何体，能够综合三视图进行判断是解题的关键． 12．某圆柱体的实物图和它的主视图如图所示．若，则该圆柱体的侧面积等于 ．    【答案】 【分析】首先求出圆柱底面圆的半径，然后利用圆柱的侧面积公式求解即可． 【详解】∵， ∴圆柱底面圆的半径为2， ∴该圆柱体的侧面积等于． 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆柱的侧面积，解题的关键是熟练掌握圆柱的侧面积公式． 13．一个由13个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，则这个几何体的搭法共有 种． 【答案】3 【分析】由题意俯视图：除了A，B，C不能确定，其余位置上的小立方体是确定的数字如图所示．根据俯视图即可解决问题． 【详解】解：由题意俯视图：除了A，B，C不能确定，其余位置上的小立方体是确定的数字如图所示． ∵由13个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块， ∴A为1，B为2，C为2或A为2，B为2，C为1或A为2，B为1，C为2， 共三种情形， 故答案为：3． 【点睛】本题考查三视图判定几何体，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 14．如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆和一根高7米的电线杆，它们都与地面垂直．某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在地面上的影子的 长为10米，落在围墙上的影子的长度为2米，而电线杆落在地面上的影子的长 为 5米，则落在围墙上的影子的长为 米．    【答案】3 【分析】本题主要考查了平行投影、矩形的判定与性质等知识点，根据平行投影的对应边成比例列出方程成为解题的关键． 如图：过点E作于M，过点G作于N．利用矩形的性质和平行投影的知识可以得到比例式，即，然后求出即可． 【详解】解：如图：过点E作于M，过点G作于N． 由题意得：四边形是矩形， 则，，，． ∵， ∴， 由平行投影可知：，即， 解得：． 故答案为：3． 15．如图是一个正三棱柱的三视图，则这个正三棱柱的表面积是 ． 【答案】 【分析】根据三视图可知，正三棱柱的高为3，底面的高为2，求出底面边长为，从而求出侧面积和上下底面面积，即可得到正三棱柱的表面积． 【详解】解：根据三视图可知，正三棱柱的高为3，底面的高为2， 设底面边长为，则，解得：， 正三棱柱的底面边长为， 正三棱柱的侧面积为：， 上下底面面积为：， 正三棱柱的表面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由三视图求表积，根据已知中的三视图判断出几何的形状，并分析出棱长，高等关键几何量是解题关键． 16．如图，用棱长为1的27个小正方体堆成一个棱长为3的正方体，它的主视图、俯视图、左视图均为一个的正方形．现从中拿走若干个小正方体，但不改变图形的三视图，那么最多能拿走 个小正方体． 【答案】12 【分析】考查组合几何体的三视图知识；主视图，左视图，俯视图分别是从几何体的正面，左面，上面看得到的平面图形． 【详解】解：如图，方格中的数字表示该处的小正方体个数，． 3 1 1 1 3 1 1 1 3 故答案为：12. 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）如图所示，是一个用5个小立方体搭成的几何体，请画出从正面，左面，上面看到的图形形状． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画小立方块堆砌图形的三视图，旨在考查学生的空间想象能力. 【详解】解：如图所示： 18．（4分）如图，投影线的方向如图中箭头所示．画出图中几何体的正投影． 【答案】见解析 【分析】本题考查作正投影，关键是在画图时要弄清投影面及投影方向，一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线画成实线，看不见的画成虚线． 【详解】投影线从前向后的正投影是带有两条线的矩形，如图． 19．（6分）如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．    (1)请你在图中画出此时在阳光下的投影． (2)根据题中信息，求出立柱的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了投影作图与相似三角形的判定与性质，熟记相关几何结论是解题关键． （1）连接，过D作即可完成作图； （2）证，根据对应线段成比例即可求解． 【详解】（1）解：连接，过D作交延长线于F， 如图，即为在阳光下的投影：    （2）解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得：， 20．（6分）（1）如图①是一个组合几何体，右边是它的两种视图，在右边横线上填写出两种视图名是从哪个方向看的；（填正面或上面）        （2）根据两种视图中尺寸（单位：cm），计算这个组合几何体的表面积和体积．（用含π的式子表示） 【答案】（1）正面、 上面；（2）表面积：132+24π；体积：80+24π 【分析】（1）找到从正面和上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中． （2）根据题目所给尺寸，计算出下面长方体表面积+上面圆柱的侧面积． 【详解】解：（1）正面、 上面 （2）表面积： 2（8×5+8×2+5×2）+4×π×6 ＝2（8×5+8×2+5×2）+4×π×6 ＝132+24π（cm2）． 体积： 8×5×2+4×π×6 ＝2（8×5+8×2+5×2）+4×π×6 ＝80+24π（cm3） 【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，求几何体的表面积和几何体的体积，解题关键是数形结合． 21．（8分）有一张长 9cm，宽 5cm 的长方形硬纸板，如图在长方形硬纸板的四个角上各截去一个边长为 0.5cm 的正方形，如图①所示，然后把它折叠成一个无盖的长方体小盒，如图②所示. 请问： （1）折叠成一个无盖的长方体小盒的地面长.宽分别是多少？ （2）这个硬纸板折叠成的小盒容积是多大？ 【答案】（1）8，4；（2）16 【分析】（1）首先根据题意，用长方形硬纸板的长减去小正方形的边长的2倍，求出长方体纸盒的长是多少；然后用长方形硬纸板的宽减去小正方形的边长的2倍，求出长方体纸盒的宽是多少；（2）根据长方体的容积=长×宽×高，求出这个纸盒的容积是多少立方厘米即可． 【详解】解：由题意得（1）无盖的长方体小盒的长=9-2×0.5=8 无盖的长方体小盒的宽=5-2×0.5=4； （2）小盒的容积=8×4×0.5=16（立方厘米） 故答案为（1）8，4；（2）16． 【点睛】本题主要考查长方体的体积（容积）计算的实际应用，关键是求得盒子的长、宽、高各是多少． 22．（10分）小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明利用相关数学知识测量了这个路灯的高．如图1所示，路灯顶部A处发光，光线透过窗子DC照亮地面的长度为，小明测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，其中B、O、E、F四点在同一条直线上，C、D、O三点在同一条直线上，且，． (1)求出路灯的高度． (2)现在小明想让光线透过窗子照亮地面的最远端位置离右墙角点F的距离为，如图2所示，需将路灯的高度升高多少米？此时光线照亮地面的最近端位置离O点的距离是多少？（画出图形并解答） 【答案】(1) (2)图形见解析，将路灯的高度升高米，此时光线照亮地面的最近端位置离点的距离是 【分析】本题考查了相似三角形的应用、平行线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键 （1）利用条件证明和，得和求出和即可得出答案； （2）证和得和，求出OM即可解决问题． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 即， 解得∶， 答∶路灯的高度为； （2）解：如图所示，将路灯的高度升高至， 由(1)得∶，， ， ， 由题意得∶，则， ， ，， ， ，， ， 即， 解得∶，， ， 答∶需将路灯的高度升高1米，此时光线照亮地面的最近端位置离O点的距离是． 23．（10分）如图是一种包装盒的平面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．    (1)如图是根据，的取值画出的几何体的主视图和俯视图，请在网格中画出该几何体的左视图； (2)在（）的条件下，已知，求该几何体的表面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）根据三视图的画法即可画出该几何体的左视图； （）根据俯视图和主视图即可求的值，进而可求该几何体的表面积； 本题考查了作图−三视图、几何体的表面积、展开图折叠成几何体，解题的关键是理解立体图形和平面图形之间的关系． 【详解】（1）如图所示，图中的左视图即为所求；    （2）解：根据俯视图和主视图可知：， ∴， ∴， ∴， ∴表面积为()， 答：该几何体的表面积为 ． 24．（12分）如图所示的几何体是由若干个相同的小正方体组成的．    (1)填空：这个几何体由______个小正方体组成； (2)画出从正面、左面、上面观察所看到的几何体的形状图； (3)在不改变此几何体从正面、左面观察所看到的形状图的情况下，最多还可以添加______个小正方体． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3)4 【分析】（1）根据图形进行分析即可得到答案； （2）主视图有3列，每列小正方形数目分别是2，1，1；左视图有3列，每列小正方形数目分别是1，2，1；俯视图有3列，每列小正方形数目分别是3，1，1；据此可画出图形； （3）保持主视图和俯视图不变，在第一层第二列第一行和第三行各加一个，第一层第三列第一行和第三行各加一个，相加求出即可． 【详解】（1）解：由图可得：这个几何体由6个小正方体组成， 故答案为：6； （2）解：画出从正面、左面、上面观察所看到的几何体的形状图如图所示：   ； （3）解：根据题意得： 保持主视图和俯视图不变，在第一层第二列第一行和第三行各加一个，第一层第三列第一行和第三行各加一个， （个）， 最多还可以添加4个小正方体， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了画三视图，三视图相关的计算，考查了学生空间想象能力． 25．（12分）如图，一透明的敞口正方体容器ABCD－A′B′C′D′中装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α(∠CBE＝α)． 探究：如图①，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②所示． 解决问题： (1)CQ与BE的位置关系是________，BQ的长是________dm； (2)求液体的体积(提示：V液＝S△BCQ×高AB)； (3)求液面到桌面的高度和倾斜角α的度数（）. 【答案】(1)平行,　3 (2)V液＝24(dm3)． (3)α≈37°. 【详解】试题分析：(1)根据水面与水平面平行可以得到CQ、BE的位置关系，利用勾股定理结合三视图即可求得BQ的长. (2)液体正好是一个以△ BCQ为底面的直棱柱，据此即可求得液体的体积. (3)在Rt△ BCQ中易得∠ BCQ的正切值，结合已知即可求解. 试题解析：(1)平行,　3. (2)V液＝×3×4×4＝24(dm3)． (3)过点B作BF⊥CQ，垂足为F. ∵S△BCQ＝×3×4＝×5×BF，∴ BF＝ dm，∴液面到桌面的高度是dm. ∵在Rt△BCQ中，tan∠BCQ= ，∴∠BCQ≈37°. 由(1)可知CQ∥BE，∴ α＝∠ BCQ ≈37°. 点睛：本题主要考查三视图、棱柱的体积以及三角函数等知识，熟练掌握并灵活运用这些知识是解题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$